1.भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean),भारित समान्तर माध्य सूत्र (Weighted Arithmetic Mean Formula):

Weighted Arithmetic Mean

भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean) समांतर माध्य का ही एक प्रकार है।समांतर माध्य दो प्रकार के होते हैं:
(i)सरल समांतर माध्य (Arithmetic Mean)
(ii)भारित समांतर माध्य (Weighted Arithmetic Mean)
भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean):व्यवहार में अनेक श्रेणियों में विभिन्न मूल्यों का अलग-अलग सापेक्षिक महत्त्व होता है।किसी पद का अधिक महत्त्व है,किसी का कम।ऐसी श्रेणियों में मूल्यों का समांतर माध्य निकालते समय उनके सापेक्षिक महत्त्व को ध्यान में रखना अत्यंत आवश्यक है।इकाइयों का सापेक्षिक महत्त्व किसी निर्दिष्ट आधार पर निश्चित अंकों द्वारा व्यक्त किया जाता है।इन अंको को भार (Weights) कहते हैं तथा भारों के आधार पर निर्धारित किया गया समांतर माध्य,भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean) कहलाता है।जहां पर विभिन्न मूल्य अलग-अलग सापेक्ष महत्त्व रखते हो वहां भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean) ज्ञात करना उपयुक्त है।
उदाहरणार्थ यदि किसी कारखाने में दो प्रकार के मजदूर-कुशल तथा अकुशल हों और उनकी दैनिक मजदूरी ₹6 और ₹4 हो तो यह कहा जा सकता है कि औसत मजदूरी ₹5 है।परंतु यह सही माध्य नहीं है।इस माध्य में इस बात पर विचार नहीं किया गया कि कितने कुशल मजदूर है और कितने अकुशल। यदि कुशल मजदूरों की संख्या 20 और अकुशल मजदूरों की संख्या 80 हो तो संख्या के अनुपात में भाग देने से प्राप्त माध्य औसत मजदूरी का यथोचित प्रतिनिधित्व करेगा अर्थात् \frac{(6 \times 20)+(4 \times 80)}{20+80}=4.40 रुपए सही माध्य होगा।इसी प्रकार वस्तुओं की कीमतों का समांतर माध्य ज्ञात करते समय उनके उपयोग या उत्पादन की मात्रा के आधार पर अलग-अलग भार देकर भारित माध्य निकालना अधिक उपयुक्त होगा।
भारित समान्तर माध्य के सूत्र (Weighted Arithmetic Mean Formula):
भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean) ज्ञात करने की प्रत्यक्ष विधि निम्न प्रकार है:
(i)इकाइयों के मूल्य ‘X’ और उनके भार ‘W’ की गुणा की जाती है।
(ii)मूल्य व भार की गुणाओं का जोड़ \Sigma WX निकाल लिया जाता है।
(iii)निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता है:

\overline{X}_{w}=\frac{W_{1} X_{1}+W_{2} X_{2}+W_{3} X_{3}+\cdots+W_{n} X_{n}}{W_{1}+W_{2}+W_{3}+\cdots+W_{n}}

\overline{X}_{w}=\frac{\Sigma WX}{\Sigma W}
\overline{X}_{w}=संकेत भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean) के लिए प्रयुक्त हुआ है;
\Sigma WX=संकेत मूल्यों व भारों की गुणाओं के योग (Total of Production of Sizes and Weights) के लिए प्रयोग हुआ है;
\Sigma W=संकेत भारों के जोड़ (Total of Weights) के लिए प्रयोग हुआ है।
भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean) ज्ञात करने की लघु रीति:
भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean) की गणना लघु रीति द्वारा भी की जा सकती है।इसके लिए पहले किसी मूल्य को कल्पित माध्य मान लिया जाता है फिर उससे विभिन्न पदों के विचलन (dx) ज्ञात किए जाते हैं।विचलनों व भारों की गुणा करके उन गुणाओं का जोड़ \Sigma W dx निकाल लिया जाता है और निम्न सूत्र द्वारा माध्य की गणना कर ली जाती है:

\overline{X}_{w}=A_{w}+\frac{\sum W d x}{\sum W}
व्यवहार में भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean) निकालने में अधिकतर प्रत्यक्ष रीति का ही प्रयोग किया जाता है।
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2.भारित समान्तर माध्य के उदाहरण (Weighted Arithmetic Mean Examples):

Example:1.वर्ष के प्रथम 6 महीनों में किसी उद्योग द्वारा खरीदे गए कोयले की प्रति टन सरल और भारित माध्य कीमत निकालिए।दोनों में अंतर का कारण भी स्पष्ट कीजिए।
(Calculate the simple and weighted average price per tonne of coal purchased by an industry undertaking during the first six months of a year.Also account for the difference between the two):

Solution:सरल व भारित समान्तर माध्य की गणना

सरल समांतर माध्य:

\overline{X}=\frac{\Sigma X}{N}=\frac{294}{6} \\ \Rightarrow \overline{X}=49
भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean):

\overline{X}_{w}=\frac{\Sigma WX}{\Sigma W}=\frac{10072.50}{200} \\ =50.3625 \\ \Rightarrow \overline{X}_{w}\approx 50.36
सरल समांतर माध्य में खरीद मात्रा पर विचार नहीं किया गया है इसलिए यह अंतर है।
Example:2.एक प्रत्याशी की तीन विषयों A,B और C में 25-25 पूर्णांकों की मौखिक और 75-75 अंकों की लिखित परीक्षाएँ ली गई।तीनों विषयों में उसने मौखिक परीक्षाओं में क्रमशः 15,11 व 9 और लिखित परीक्षाओं में क्रमशः 55,32 और 28 अंक प्राप्त किए।मौखिक परीक्षाओं में प्राप्त अंकों को क्रमानुसार तीनों विषयों के भार मानकर लिखित परीक्षा के प्राप्तांकों का भारित माध्य ज्ञात कीजिए।
(A candidate was examined in three subjects-A,B and C in which oral and written test carried respectively 25 and 75 as maximum marks.In the three subjects,he secured 15,11 and 9 in oral tests and 55,32 and 28 in written tests.Taking marks secured in oral examination as weights, determine the weighted average of marks obtained in written examination.)
Solution:भारित समान्तर माध्य की गणना

भारित समान्तर माध्य

\overline{X}_{w}=\frac{\Sigma WX}{\Sigma W}=\frac{1429}{35}=40.8285 \\ \Rightarrow \overline{X}_{w} \approx 40.83
Example:3.एक छात्रवृत्ति के संबंध में निर्णय करने के लिए एक परीक्षा ली गई।विभिन्न विषयों के भिन्न-भिन्न भार रखे गए।तीन प्रत्याशियों द्वारा प्राप्त अंक निम्न वर्णित है:
(A test was held to decide about the award of a scholarship different weights were assigned to various subjects.Marks obtained by three candidates are as follows):

यदि सर्वोच्च अंक प्राप्त करने वाले को छात्रवृत्ति दी जाए तो बतलाइए वह किसको मिलनी चाहिए?
(If the candidate securing the highest marks is awarded the scholarship, state who gets it?)
Solution:भारित समान्तर माध्य की गणना

भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean):

\overline{X}_{w}(A)=\frac{\Sigma WX_{1}}{\Sigma W} \\=\frac{633}{10} \\ \Rightarrow \overline{X}_{w}=63.3 \\ \overline{X}_{w}(B)=\frac{\Sigma WX_{2}}{\Sigma W}=\frac{624}{10} \\=62.4 \\ \overline{X}_{w}(B) =62.4 \\ \overline{X}_{w}(C)=\frac{\Sigma WX_{3}}{\Sigma W} \\=64.8 \\ \Rightarrow \overline{X}_{w}(c)=64.8
तीनों में सर्वाधिक भारित माध्य C का है अतः छात्रवृत्ति C को मिलने चाहिए।

Weighted Arithmetic Mean

Example:4.निम्नलिखित समूह-सूचकांकों के आधार पर उपभोक्ता मूल्य सूचकांक ज्ञात कीजिए:
(Obtain consumer price Index Numbers from the following group indices,using weighted arithmetic mean):

Solution:भारित समांतर माध्य की गणना

भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean):

\overline{X}_{w}=\frac{\Sigma WX}{\Sigma W} \\=\frac{25706}{93} \\=276.4086 \\ \overline{X}_{w} \approx 276.41
Example:5.निम्न आंकड़ों से यह निर्णय कीजिए कि A और B में कौन-सा नगर अधिक स्वस्थ है और क्यों?
(From the following data,determine which of the towns,A and B,is more healthy and why?):

Solution:औसत मृत्यु दरों की गणना

नगर A की सामान्य मृत्यु दर:

=\frac{\Sigma W_{1}X_{1}}{\Sigma W} \\ =\frac{23.13 \times 8000+5 \times 25000+7 \times 60,000+68.57 \times 7000}{1,00,000} \\ =\frac{185040+125000+420000+479990}{100,000} \\ =\frac{1210030}{100000} \\12.1‰
नगर B की सामान्य मृत्यु दर:

=\frac{26 \times 2500+6 \times 13000+8 \times 31500 +70 \times 3000}{50000} \\ =\frac{65000+78000+252000+210000}{50000} \\=\frac{605000}{50000} \\ =12.1 ‰
दोनों नगरों की सामान्य मृत्यु दरों की तुलना नहीं की जा सकती।कारण यह है कि दोनों में भार (वर्गानुसार जनसंख्या) अलग-अलग है।उचित तुलना के लिए यह आवश्यक है कि भार एक समान हों।अतः नगर B की प्रमापित मृत्यु-दर ज्ञात की जाएगी जिसमें नगर A की जनसंख्या का भाग दिया जाएगा।
नगर B की प्रमापित मृत्यु दर:

=\frac{26 \times 8000+6 \times 25000+8 \times 60000+70 \times 7000}{1,001000} \\=\frac{208000+150000+480000+490000}{1,00,000} \\=13.28 ‰

S.D.R. of B=13.28 ‰
A is more healthy
Example:6.निम्न आंकड़ों से सामान्य और प्रमापित मृत्यु दरों का परिकलन कीजिए:
(From the following figures,compute crude and standardised death rates):

Solution:सामान्य और प्रमापित मृत्यु दरों की गणना

crude death rates of Town
= \frac{\Sigma W_{1} x}{\Sigma W_{1}} \\= \frac{67000}{5000}
C.D.R.=13.4 ‰

standardised death rates of Town

=\frac{\sum W_{2} X}{\sum W_{2}} \\=\frac{70000}{5000} \\=14‰

S.D.R=14 ‰
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean),भारित समान्तर माध्य सूत्र (Weighted Arithmetic Mean Formula) को समझ सकते हैं।

3.भारित समान्तर माध्य के सवाल (Weighted Arithmetic Mean Questions):

Weighted Arithmetic Mean

(1.)किसी काॅलेज में अध्यापकों का मासिक वेतन और उनकी संख्या (strength) निम्न सारणी में वर्णित है।मासिक वेतन का सरल तथा भारित समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।दोनों में कौनसा उपयुक्त है और क्यों?

(2.)निम्न सारणी की सहायता से यह बतलाइए कि कौनसा नगर अधिक स्वस्थ (more healthy) है:

उत्तर (Answers):(1.) \overline{X}=930, \overline{X}_{W}=675

(2) G.D. R. of A=23.5 ‰, G.D.R of B=23.2‰ , S.D.R. of B=25.3‰, A more healthy
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean),भारित समान्तर माध्य सूत्र (Weighted Arithmetic Mean Formula) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean),भारित समान्तर माध्य सूत्र (Weighted Arithmetic Mean Formula) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean) समांतर माध्य का ही एक प्रकार है।
समांतर माध्य दो प्रकार के होते हैं:(i)सरल समांतर माध्य (Arithmetic Mean)
(ii)भारित समांतर माध्य (Weighted Arithmetic Mean)