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Weighted Arithmetic Mean

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1 1.भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean),भारित समान्तर माध्य सूत्र (Weighted Arithmetic Mean Formula):

1.भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean),भारित समान्तर माध्य सूत्र (Weighted Arithmetic Mean Formula):

भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean) समांतर माध्य का ही एक प्रकार है।समांतर माध्य दो प्रकार के होते हैं:
(i)सरल समांतर माध्य (Arithmetic Mean)
(ii)भारित समांतर माध्य (Weighted Arithmetic Mean)
भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean):व्यवहार में अनेक श्रेणियों में विभिन्न मूल्यों का अलग-अलग सापेक्षिक महत्त्व होता है।किसी पद का अधिक महत्त्व है,किसी का कम।ऐसी श्रेणियों में मूल्यों का समांतर माध्य निकालते समय उनके सापेक्षिक महत्त्व को ध्यान में रखना अत्यंत आवश्यक है।इकाइयों का सापेक्षिक महत्त्व किसी निर्दिष्ट आधार पर निश्चित अंकों द्वारा व्यक्त किया जाता है।इन अंको को भार (Weights) कहते हैं तथा भारों के आधार पर निर्धारित किया गया समांतर माध्य,भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean) कहलाता है।जहां पर विभिन्न मूल्य अलग-अलग सापेक्ष महत्त्व रखते हो वहां भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean) ज्ञात करना उपयुक्त है।
उदाहरणार्थ यदि किसी कारखाने में दो प्रकार के मजदूर-कुशल तथा अकुशल हों और उनकी दैनिक मजदूरी ₹6 और ₹4 हो तो यह कहा जा सकता है कि औसत मजदूरी ₹5 है।परंतु यह सही माध्य नहीं है।इस माध्य में इस बात पर विचार नहीं किया गया कि कितने कुशल मजदूर है और कितने अकुशल। यदि कुशल मजदूरों की संख्या 20 और अकुशल मजदूरों की संख्या 80 हो तो संख्या के अनुपात में भाग देने से प्राप्त माध्य औसत मजदूरी का यथोचित प्रतिनिधित्व करेगा अर्थात् \frac{(6 \times 20)+(4 \times 80)}{20+80}=4.40 रुपए सही माध्य होगा।इसी प्रकार वस्तुओं की कीमतों का समांतर माध्य ज्ञात करते समय उनके उपयोग या उत्पादन की मात्रा के आधार पर अलग-अलग भार देकर भारित माध्य निकालना अधिक उपयुक्त होगा।
भारित समान्तर माध्य के सूत्र (Weighted Arithmetic Mean Formula):
भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean) ज्ञात करने की प्रत्यक्ष विधि निम्न प्रकार है:
(i)इकाइयों के मूल्य ‘X’ और उनके भार ‘W’ की गुणा की जाती है।
(ii)मूल्य व भार की गुणाओं का जोड़ \Sigma WX निकाल लिया जाता है।
(iii)निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता है:

\overline{X}_{w}=\frac{W_{1} X_{1}+W_{2} X_{2}+W_{3} X_{3}+\cdots+W_{n} X_{n}}{W_{1}+W_{2}+W_{3}+\cdots+W_{n}}

\overline{X}_{w}=\frac{\Sigma WX}{\Sigma W}
\overline{X}_{w}=संकेत भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean) के लिए प्रयुक्त हुआ है;
\Sigma WX=संकेत मूल्यों व भारों की गुणाओं के योग (Total of Production of Sizes and Weights) के लिए प्रयोग हुआ है;
\Sigma W=संकेत भारों के जोड़ (Total of Weights) के लिए प्रयोग हुआ है।
भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean) ज्ञात करने की लघु रीति:
भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean) की गणना लघु रीति द्वारा भी की जा सकती है।इसके लिए पहले किसी मूल्य को कल्पित माध्य मान लिया जाता है फिर उससे विभिन्न पदों के विचलन (dx) ज्ञात किए जाते हैं।विचलनों व भारों की गुणा करके उन गुणाओं का जोड़ \Sigma W dx निकाल लिया जाता है और निम्न सूत्र द्वारा माध्य की गणना कर ली जाती है:

\overline{X}_{w}=A_{w}+\frac{\sum W d x}{\sum W}
व्यवहार में भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean) निकालने में अधिकतर प्रत्यक्ष रीति का ही प्रयोग किया जाता है।
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2.भारित समान्तर माध्य के उदाहरण (Weighted Arithmetic Mean Examples):

Example:1.वर्ष के प्रथम 6 महीनों में किसी उद्योग द्वारा खरीदे गए कोयले की प्रति टन सरल और भारित माध्य कीमत निकालिए।दोनों में अंतर का कारण भी स्पष्ट कीजिए।
(Calculate the simple and weighted average price per tonne of coal purchased by an industry undertaking during the first six months of a year.Also account for the difference between the two):

MonthPrice per tonnePurchase-quantity (Tonnes)
 XW
Jan42.5025
Feb51.2530
March50.0040
Apr52.0050
May44.2510
June54.0045
Total294200

Solution:सरल व भारित समान्तर माध्य की गणना

MonthPrice per tonnePurchase-quantity (Tonnes) 
 XWWX
Jan42.50251062.50
Feb51.25301537.50
March50.00402000
Apr52.00502600
May44.2510442.50
June54.00452430
Total29420010072.5

सरल समांतर माध्य:

\overline{X}=\frac{\Sigma X}{N}=\frac{294}{6} \\ \Rightarrow \overline{X}=49
भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean):

\overline{X}_{w}=\frac{\Sigma WX}{\Sigma W}=\frac{10072.50}{200} \\ =50.3625 \\ \Rightarrow \overline{X}_{w}\approx 50.36
सरल समांतर माध्य में खरीद मात्रा पर विचार नहीं किया गया है इसलिए यह अंतर है।
Example:2.एक प्रत्याशी की तीन विषयों A,B और C में 25-25 पूर्णांकों की मौखिक और 75-75 अंकों की लिखित परीक्षाएँ ली गई।तीनों विषयों में उसने मौखिक परीक्षाओं में क्रमशः 15,11 व 9 और लिखित परीक्षाओं में क्रमशः 55,32 और 28 अंक प्राप्त किए।मौखिक परीक्षाओं में प्राप्त अंकों को क्रमानुसार तीनों विषयों के भार मानकर लिखित परीक्षा के प्राप्तांकों का भारित माध्य ज्ञात कीजिए।
(A candidate was examined in three subjects-A,B and C in which oral and written test carried respectively 25 and 75 as maximum marks.In the three subjects,he secured 15,11 and 9 in oral tests and 55,32 and 28 in written tests.Taking marks secured in oral examination as weights, determine the weighted average of marks obtained in written examination.)
Solution:भारित समान्तर माध्य की गणना

Marks in Written TestMarks in Oral Test 
XWWX
5515825
3211352
289252
Total351429

भारित समान्तर माध्य

\overline{X}_{w}=\frac{\Sigma WX}{\Sigma W}=\frac{1429}{35}=40.8285 \\ \Rightarrow \overline{X}_{w} \approx 40.83
Example:3.एक छात्रवृत्ति के संबंध में निर्णय करने के लिए एक परीक्षा ली गई।विभिन्न विषयों के भिन्न-भिन्न भार रखे गए।तीन प्रत्याशियों द्वारा प्राप्त अंक निम्न वर्णित है:
(A test was held to decide about the award of a scholarship different weights were assigned to various subjects.Marks obtained by three candidates are as follows):

SubjectWeightMarks Obtained
 WABC
Statistics4636065
Mathematics3656470
Economics2585663
Hindi1708052

यदि सर्वोच्च अंक प्राप्त करने वाले को छात्रवृत्ति दी जाए तो बतलाइए वह किसको मिलनी चाहिए?
(If the candidate securing the highest marks is awarded the scholarship, state who gets it?)
Solution:भारित समान्तर माध्य की गणना

SubjectWeight      
 WABCWX_{1}WX_{1}WX_{1}
Statistics4636065252240260
Mathematics3656470195192210
Economics2585663116112126
Hindi1708052708052
Total10   633624648

भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean):

\overline{X}_{w}(A)=\frac{\Sigma WX_{1}}{\Sigma W} \\=\frac{633}{10} \\ \Rightarrow \overline{X}_{w}=63.3 \\ \overline{X}_{w}(B)=\frac{\Sigma WX_{2}}{\Sigma W}=\frac{624}{10} \\=62.4 \\ \overline{X}_{w}(B) =62.4 \\ \overline{X}_{w}(C)=\frac{\Sigma WX_{3}}{\Sigma W} \\=64.8 \\ \Rightarrow \overline{X}_{w}(c)=64.8
तीनों में सर्वाधिक भारित माध्य C का है अतः छात्रवृत्ति C को मिलने चाहिए।

Example:4.निम्नलिखित समूह-सूचकांकों के आधार पर उपभोक्ता मूल्य सूचकांक ज्ञात कीजिए:
(Obtain consumer price Index Numbers from the following group indices,using weighted arithmetic mean):

GroupFoodFuel and LightclothRentMisc.
Index No.352220230160190
Weight481081215

Solution:भारित समांतर माध्य की गणना

GroupIndex No.  
 XWWX
Food3524816896
Fuel and Light220102200
Cloth23081840
Rent160121920
Misc.190152850
Total 9325706

भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean):

\overline{X}_{w}=\frac{\Sigma WX}{\Sigma W} \\=\frac{25706}{93} \\=276.4086 \\ \overline{X}_{w} \approx 276.41
Example:5.निम्न आंकड़ों से यह निर्णय कीजिए कि A और B में कौन-सा नगर अधिक स्वस्थ है और क्यों?
(From the following data,determine which of the towns,A and B,is more healthy and why?):

AgeA(Standard)B(local)
 PopulationDeathsPopulationDeaths
0-58000185250065
5-40250001251300078
40-756000042031500252
above 7570004803000210
Total100000121050000605

Solution:औसत मृत्यु दरों की गणना

AgeA(Standard) B(local) 
 PopulationDeathsDeath Rate %PopulationDeathsDeath Rate %
 W_{1} X_{1}W_{2} X_{2}
0-5800018523.1325006526
5-4025000125513000786
40-75600004207315002528
above 75700048068.57300021070
Total1000001210 50000605 

नगर A की सामान्य मृत्यु दर:

=\frac{\Sigma W_{1}X_{1}}{\Sigma W} \\ =\frac{23.13 \times 8000+5 \times 25000+7 \times 60,000+68.57 \times 7000}{1,00,000} \\ =\frac{185040+125000+420000+479990}{100,000} \\ =\frac{1210030}{100000} \\12.1
नगर B की सामान्य मृत्यु दर:

=\frac{26 \times 2500+6 \times 13000+8 \times 31500 +70 \times 3000}{50000} \\ =\frac{65000+78000+252000+210000}{50000} \\=\frac{605000}{50000} \\ =12.1
दोनों नगरों की सामान्य मृत्यु दरों की तुलना नहीं की जा सकती।कारण यह है कि दोनों में भार (वर्गानुसार जनसंख्या) अलग-अलग है।उचित तुलना के लिए यह आवश्यक है कि भार एक समान हों।अतः नगर B की प्रमापित मृत्यु-दर ज्ञात की जाएगी जिसमें नगर A की जनसंख्या का भाग दिया जाएगा।
नगर B की प्रमापित मृत्यु दर:

=\frac{26 \times 8000+6 \times 25000+8 \times 60000+70 \times 7000}{1,001000} \\=\frac{208000+150000+480000+490000}{1,00,000} \\=13.28

S.D.R. of B=13.28 ‰
A is more healthy
Example:6.निम्न आंकड़ों से सामान्य और प्रमापित मृत्यु दरों का परिकलन कीजिए:
(From the following figures,compute crude and standardised death rates):

Age GroupPopulationDR%Standard Age
0-1040040600
10-20150041000
20-602400103000
Above 6070030400

Solution:सामान्य और प्रमापित मृत्यु दरों की गणना

Age GroupPopulationDR%Standard Age  
 W_{1} W_{2}W_{1}XW_{2}X
0-10400406001600024000
10-2015004100060004000
20-602400103000240030000
Above 60700304002100012000
Total5000 50006700070000

crude death rates of Town
= \frac{\Sigma W_{1} x}{\Sigma W_{1}} \\= \frac{67000}{5000}
C.D.R.=13.4 ‰

standardised death rates of Town

=\frac{\sum W_{2} X}{\sum W_{2}} \\=\frac{70000}{5000} \\=14

S.D.R=14 ‰
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean),भारित समान्तर माध्य सूत्र (Weighted Arithmetic Mean Formula) को समझ सकते हैं।

3.भारित समान्तर माध्य के सवाल (Weighted Arithmetic Mean Questions):

(1.)किसी काॅलेज में अध्यापकों का मासिक वेतन और उनकी संख्या (strength) निम्न सारणी में वर्णित है।मासिक वेतन का सरल तथा भारित समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।दोनों में कौनसा उपयुक्त है और क्यों?

 मासिक वेतन(रु.)भार(संख्या)
प्राचार्य (Principal)18001
विभागाध्यक्ष (Readers)120010
वरिष्ठ प्रवक्ता (Senior Lectures)75020
प्रवक्ता (Lectures)60060
सहायक प्रवक्ता (Asst. Lectures)3009

(2.)निम्न सारणी की सहायता से यह बतलाइए कि कौनसा नगर अधिक स्वस्थ (more healthy) है:

आयु वर्गनगर A (प्रमापित)नगर B (स्थानीय)
(वर्ष)जनसंख्यामृत्यु-संख्याजनसंख्यामृत्यु-संख्या
Less than 1010,00030015000270
10-2550,000100040,0001,000
25-5030,00045040,000800
50 से अधिक10,0006005,000250
 1,00,00023501,00,0002,320

उत्तर (Answers):(1.) \overline{X}=930, \overline{X}_{W}=675

(2) G.D. R. of A=23.5 ‰, G.D.R of B=23.2‰ , S.D.R. of B=25.3‰, A more healthy
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean),भारित समान्तर माध्य सूत्र (Weighted Arithmetic Mean Formula) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean),भारित समान्तर माध्य सूत्र (Weighted Arithmetic Mean Formula) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.भारित समांतर माध्य के लाभ व दोष क्या हैं? (What are the advantages and disadvantages of weighted arithmetic mean?):

उत्तर:सामान्यत: भारित समांतर माध्य के लाभ व दोष लगभग वही हैं जो सरल समांतर माध्य के हैं। जहां इकाइयों की संख्या अधिक हो,वे विभिन्न सापेक्षिक महत्ता रखती हों और पूरे समूह का अध्ययन करना हों वहां भारित समांतर माध्य ही केंद्रीय प्रवृत्ति का आदर्श माप होता है।भारित माध्य निकालने में यथासंभव वास्तविक भारों का ही प्रयोग करना चाहिए।गलत भार देने से परिणाम भ्रमात्मक हो सकते हैं।
सूचकांकों (Index Numbers) के निर्माण में तथा मृत्यु-दर,जन्म-दर,बेरोजगारी की दर,प्रतिशत परीक्षाफल आदि के तुलनात्मक अध्ययन में भारित माध्य का विशेष रूप से उपयोग किया जाता है।

प्रश्न:2.सामान्य मृत्यु दर को परिभाषित करो। (Define general death rate.):

उत्तर:एक नगर की विभिन्न आयु-वर्गों की प्रति सहस्र (per mille) मृत्यु-दरों में उसी नगर की अलग-अलग आयु-वर्गानुसार जनसंख्या की गुणा करके गुणनफलों के योग को उस नगर की कुल जनसंख्या से भाग देने पर जो संख्या प्राप्त होती है, वहीं नगर की सामान्य मृत्युदर कहलाती है।

उत्तर:एक नगर की विभिन्न आयु-वर्गों की प्रति सहस्र (per mille) मृत्यु-दरों में उसी नगर की अलग-अलग आयु-वर्गानुसार जनसंख्या की गुणा करके गुणनफलों के योग को उस नगर की कुल जनसंख्या से भाग देने पर जो संख्या प्राप्त होती है, वहीं नगर की सामान्य मृत्युदर कहलाती है।

उत्तर:दो नगरों की सामान्य मृत्यु दरें तुलना योग्य नहीं होती क्योंकि दोनों की गणना में अलग-अलग जनसंख्याओं का भार दिया जाता है।भारित माध्यों का यह महत्वपूर्ण नियम है कि दोनों माध्यों में भार एक समान होने चाहिए।अतः दो नगरों की औसत मृत्यु-दरों की तुलना करने में एक प्रमाप नगर (Standard Town) की जनसंख्या को दोनों माध्यों के लिए भार मान लिया जाता है।स्थानीय नगर (Local Town) की अलग-अलग प्रति हजार मृत्यु-दरों को प्रमाप नगर की आयु-वर्गानुसार जनसंख्या से गुणा करके उन गुणाओं के जोड़ को प्रमाप नगर की कुल जनसंख्या से भाग देने पर जो भारित माध्य दर ज्ञात होती है।वह स्थानीय नगर की प्रमापित या संशोधित मृत्युदर (Standard or Corrected Death Rate) कहलाती है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean),भारित समान्तर माध्य सूत्र (Weighted Arithmetic Mean Formula) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Weighted Arithmetic Mean

भारित समान्तर माध्य
(Weighted Arithmetic Mean)

Weighted Arithmetic Mean

भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic Mean) समांतर माध्य का ही एक प्रकार है।
समांतर माध्य दो प्रकार के होते हैं:(i)सरल समांतर माध्य (Arithmetic Mean)
(ii)भारित समांतर माध्य (Weighted Arithmetic Mean)

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