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Correlation by Karl Pearson Method

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1 1.कार्ल पियर्सन रीति से सहसम्बन्ध (Correlation by Karl Pearson Method),कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक (Karl Pearson Coefficient of Correlation):

1.कार्ल पियर्सन रीति से सहसम्बन्ध (Correlation by Karl Pearson Method),कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक (Karl Pearson Coefficient of Correlation):

कार्ल पियर्सन रीति से सहसम्बन्ध (Correlation by Karl Pearson Method) गुणांक ज्ञात करने के लिए प्रत्यक्ष रीति तथा लघु रीति का प्रयोग किया जाता है।पिछले लेख में प्रत्यक्ष रीति से सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात करना सीखा था।कुछ ओर उदाहरणों द्वारा सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात करेंगे।
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2.कार्ल पियर्सन रीति से सहसम्बन्ध के साधित उदाहरण (Correlation by Karl Pearson Method Solved Examples):

Example:10.समंकों द्वारा विनियोजित पूँजी एवं प्राप्त लाभ के मध्य कार्ल पियर्सन के सूत्र से सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिए:
(Calculate Karl Pearson’s coefficient of correlation between capital employed and profit obtained):

Capital employed profit obtained
(Rs. Thousand) (Rs. Thousand)
10 2
20 4
30 8
40 5
50 10
60 15
70 14
80 20
90 22
100 30

Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation

Capital Deviation  Square of Profit Deviotions Square of Product of
(Rs. Thousand) from mean Deviation (Rs. Thousand) from mean Deviation Deviations
X dx d^{2}x Y dy d^{2}y dxdy
10 -45 2025 2 -11 121 495
20 -35 1225 4 -9 81 315
30 -25 625 8 -5 25 125
40 -15 225 5 -8 64 120
50 -5 25 10 -3 9 15
60 5 25 15 2 4 10
70 15 225 14 1 1 15
80 25 625 20 7 49 175
90 35 1225 22 9 81 315
100 45 2025 30 17 289 765
Total=550   8250 130   724 2350

capital Emplofed (X)
\bar{X}=\frac{\Sigma X}{N}=\frac{550}{10}=55 \\ \sigma_x=\sqrt{\frac{\Sigma d^2 x}{N}}= \sqrt{\frac{8250}{10}} =\sqrt{825} \\ \sigma_x=28.7228
Profit obtained (Y)
\bar{Y}=\frac{\Sigma Y}{N}=\frac{130}{10}=13 \\ \sigma_y=\sqrt{\frac{\Sigma d^2 y}{N}} \\ =\sqrt{\frac{724}{10}}=8.5088 \\ \sigma_y=8.5088
मूल सूत्र से :
r=\frac{\Sigma d x d y}{N \sigma_x \sigma_y} \\ =\frac{2350}{10 \times 28.7228 \times 8.5088} \\ =\frac{2350}{2443 .9656} \\=0.96155 \\ r \approx+0.96
Example:11.निम्न समंकों के मध्य सहसम्बन्ध गुणांक का परिकलन कीजिए:
(Calculate the coefficient of correlation from the following data):

Marks in Statistics Marks in Law
20 18
30 35
28 20
17 18
19 25
23 28
35 33
13 18
16 20
18 40

Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation

  Deviations devations square   Deviations devations square product of
  from mean of d   from mean of d Deviations
Marks(X) dx d^{2}x Marks(Y) dy d^{2}y dxdy
20 1 1 18 -7 49 -7
30 11 121 35 10 100 110
28 9 81 20 -5 25 -45
17 -2 4 18 -7 49 14
19 0 0 25 0 0 0
23 4 16 28 3 9 12
35 16 256 33 8 64 128
13 -6 36 18 -7 49 42
16 -3 9 20 -5 25 15
18 -1 1 40 15 225 -15
29   525   5 595 254

Marks in Statistics(X):
\bar{X} =A_{x}+\frac{\Sigma d x}{N} \\ =19+\frac{29}{10} \\ =19+2.9 \\ \bar{X} =21.9 \\ \sigma_x=\sqrt{\frac{\Sigma d^2 x}{N}-\left(\frac{\Sigma d x}{N}\right)^2} \\=\sqrt{\frac{525}{10}-\left(\frac{29}{10}\right)^2} \\ =\sqrt{52.5-8.41}=\sqrt{44.09} \\ \sigma_x \approx 6.640
Y-series
\bar{Y}=A_{y}+\frac{\Sigma d y}{N} \\ =25+\frac{5}{10} \\ =25+0.5 \\ \bar{Y}=25.5 \\ \sigma_y =\sqrt{\frac{\Sigma d^2 Y}{N}-\left(\frac{\Sigma d y}{N}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{595}{10}-\left(\frac{5}{10}\right)^2} \\ =\sqrt{59.5-0.25} \\=\sqrt{59.25} \\ \sigma_y=7.6974 \\ r=\frac{\Sigma d x d y-N\left( \bar{X}-A_x\right)\left(\bar{Y}-A_y\right)}{N \sigma_x \sigma_y} \\ =\frac{254-10(21.9-19)(25.5-25)}{10 \times 6.640 \times 7.6974} \\ =\frac{254-10 \times 2.9 \times 0.5}{511.10736} \\ =\frac{254-14.5}{511.10736} \\=\frac{239.5}{511.10736} \\ =0.0468590 \\ r \approx +0.4686
Example:12.निम्नलिखित समंकों से कार्ल पियर्सन के सहसम्बन्ध गुणांक का परिकलन कीजिए तथा उसकी प्रमाप विभ्रम भी ज्ञात कीजिए:
(Calculate Karl Pearson’s coefficient of correlation from the following data and find out its standard error):

X Y
105 101
104 103
102 100
101 98
100 95
99 96
98 104
96 92
93 97
92 94

Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation

  Deviations devations square   Deviations devations square product of
  from mean of d   from mean od d Deviations
X dx d^{2}x Y dy d^{2}y dxdy
105 5 25 101 6 36 30
104 4 16 103 8 64 32
102 2 4 100 5 25 10
101 1 1 98 3 9 3
100 0 0 95 0 0 0
99 -1 1 96 1 1 -1
98 -2 4 104 9 81 -18
96 -4 16 92 -3 9 12
93 -7 49 97 2 4 -14
92 -8 64 94 1 1 8
  -10 180   30 230 62

X-Series
\bar{X}=A_{x}+\frac{\Sigma d x}{N} \\ =100-\frac{10}{10} \\ =100-1 \\ \bar{X} =99 \\ \sigma_x =\sqrt{\frac{\Sigma d^2 x}{N}-\left(\frac{\Sigma d x}{N}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{180}{10}-\left(\frac{-10}{10}\right)^2} \\ =\sqrt{18-(-1)^2} \\ =\sqrt{18-1} \\=\sqrt{17} \\ \sigma =4.1231 \\ \sigma_{x} \approx 4.1231
Y-Series
\bar{Y}=A_{y}+\frac{\Sigma d y}{N} \\ =95+\frac{30}{10} \\ =95+3 \\=98 \\ \bar{Y}=98 \\ \sigma_y= \sqrt{\frac{\Sigma d^2 y}{N}-\left(\frac{\Sigma d y}{N}\right)^2} \\=\sqrt{\frac{230}{10}-\left(\frac{30}{10} \right)^2} \\ =\sqrt{23-9} \\ =\sqrt{14} \\ \sigma_y \approx 3.74165 \\ \sigma_y \approx 3.7417 \\r=\frac{\Sigma d x d y-N(\bar{X}-A_{x})(\bar{Y}-A_{y})}{N \sigma_x \sigma_y} \\ =\frac{62-10(99-100)(98-95)}{10 \times 4.1231 \times 3.7417} \\ =\frac{62-10 \times-1 \times 3}{154.2740327} \\ =\frac{62+30}{154.2740327} \\ =\frac{92}{154.2740327} \\ =0.5963 \\ r \approx 0.60
Q.E. of r =\frac{1-r^2}{\sqrt{N}} \\ = \frac{1-(0.60)^2}{\sqrt{10}} \\ =\frac{(1-0.36)}{3.162277} \\ =\frac{0.64}{3.162277} \\= \frac{0.64}{3.162277} \\ =0.2023 \\ \text { S.E. of r } \approx 0.202

Example:13.निम्नलिखित से कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिएः
(Calculate Karl Pearson’s coefficient of correlation from the following.Take assumed mean 60 and 30.)

X Y
50 22
54 25
56 34
59 28
60 26
62 30
61 32
65 30
67 28
71 34
71 36

Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation

  Deviations Devations square   Deviations Devations square Product of
  from mean of d   from mean of d Devations
X dx d^{2}x Y dy d^{2}y dxdy
50 -10 100 22 -8 64 80
54 -6 36 25 -5 25 30
56 -4 16 34 4 16 -16
59 -1 1 28 -2 4 2
60 0 0 26 -4 16 0
62 2 4 30 0 0 0
61 1 1 32 2 4 2
65 5 25 30 0 0 0
67 7 49 28 -2 4 -14
71 11 121 34 4 16 44
71 11 121 36 6 36 66
Total 16 474   -5 185 194

X-series
\bar{X}=A_{x}+\frac{\Sigma d x}{N} \\ =60+\frac{16}{11} \\ =60+1.4545 \\ =61.4545 \\ \bar{X}= 61.45 \\ \sigma_x=\sqrt{\frac{\Sigma d^2 x}{N}-\left(\frac{\Sigma d x}{N}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{474}{11}-\left(\frac{16}{11}\right)^2} \\ =\sqrt{43.0909-2.1157} \\ \sigma_x =\sqrt{40.9752} \\ =6.40118 \\ \sigma_x \approx 6.4012
Y -series
\bar{Y}=A_y+\frac{\Sigma d y}{N} \\ =30-\frac{5}{11} \\ =30-0.4545 \\ \bar{y}=29.5455 \\ \sigma_y =\sqrt{\frac{185}{11}-\left(-\frac{5}{11}\right)^2} \\ =\sqrt{16.8181-0.2066} \\ =\sqrt{16.6115} \\ =4.07572 \\ \sigma_y \approx 4.0757 \\ r =\frac{\Sigma dx dy-N\left(\bar{x}-A_x\right)(\bar{Y}-A_{y})}{N \sigma_x \sigma_y} \\=\frac{194-11(61.45-60)(29.5455-30)}{11 \times 6.4012 \times 4.0757} \\ =\frac{194+11 \times 1.45 \times 0.4545}{286.9830792} \\ =\frac{194+7.249275}{286.9830792} \\ =\frac{201.249275}{286.9830792} \\=0.70125 \\ r \approx 0.7012
Example:14.मुम्बई और कोलकता में समस्त वस्तुओं के मूल्य सूचकांक निम्नवत् थेः
(The index number of prices of all commodities in Mumbai and in Kolkata were as under):

Kolkata Mumbai
169 204
182 222
182 225
192 228
198 229
209 233
227 249
238 266
250 255
253 255

(Do you think prices in Mumbai and Kolkata are correlated?)
Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation

  Devations Devations square   Devations Devations square product
  from mean of d   from mean of d of Devations
X dx d^{2}x Y dy d^{2}y dxdy
169 -40 1600 204 -29 841 1160
182 -27 729 222 -11 121 297
182 -27 729 225 -8 64 216
192 -17 289 228 -5 25 85
198 -11 121 229 -4 16 44
209 0 0 233 0 0 0
227 18 324 249 16 256 288
238 29 841 266 33 1089 957
250 41 1681 255 22 484 902
253 44 1936 255 22 484 968
Total 10 2250   36 3380 4917

Kolkata Price Index(X):
\bar{X} =A_x+\frac{\Sigma d x}{N} \\ =209+\frac{10}{10} \\ =209+1 \\ \bar{x}=210 \\ \sigma_x =\sqrt{\frac{\Sigma d^2 x}{N}-\left(\frac{\Sigma d x}{N}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{8250}{10}-\left(\frac{10}{10}\right)^2} \\ =\sqrt{825-1} \\ =\sqrt{824} \\ =28.7054 \\ \sigma_x \approx 28.71
Mumbai Price Index(Y):
\bar{Y}=A_{y}+\frac{\Sigma d y}{N} \\ =233+\frac{36}{10} \\ \bar{Y}=233+3.6 \\ \bar{Y}=236.6\\ \bar{Y}=\sqrt{\frac{\Sigma d^2 y}{N}-\left(\frac{\Sigma d y}{N}\right)^2} \\ \sigma_y =\sqrt{\frac{3380}{10}-\left(\frac{36}{10}\right)^2} \\ =\sqrt{338-12.96} \\ =\sqrt{325.04} \\ 18.0288 \\ \sigma_{y} \approx 18.029 \\ r=\frac{\Sigma dx dy-N\left(\bar{X}-A_{x}\right)\left(\bar{Y}-A_y\right)}{N \sigma_x \sigma_y} \\ =\frac{4917-10(210-209)(236.6-233)}{10 \times 28.71 \times 18.029} \\ =\frac{4917-10 \times 1 \times (3.6)}{5176.1259} \\ =\frac{4917-36}{5176.1259} \\=\frac{4881}{5176.1259} \\=0.94298 \\ r \approx 0.94
Example:15.निमानलिखित समंकों के आधार पर सहसम्बन्ध गुणांक की परिगणना कीजिए:
(From the following information calculate coefficient of correlation):

Year No. of Worker(000) Bales used(00000)
1995 368 22
1996 384 21
1997 385 24
1998 361 20
1999 347 22
2000 384 22
2001 395 26
2002 403 29
2003 400 28
2004 385 27

Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation

    Deviations Devations square   Deviations Devations square product of
  No. from mean of d Bales from mean of d Deviations
Year X dx d^{2}x Y dy d^{2}y dxdy
1995 368 21 441 22 0 0 0
1996 384 37 1369 21 -1 1 -37
1997 385 38 1444 24 2 4 76
1998 361 14 196 20 -2 4 -28
1999 347 0 0 22 0 0 0
2000 384 37 1369 22 4 16 148
2001 395 48 2304 26 4 16 192
2002 403 56 3136 29 7 49 392
2003 400 53 2809 28 6 36 318
2004 385 38 1444 27 5 25 190
Total   342 14512   25 151 1251

No. of workers(X)
\bar{X}=A_{x}+\frac{\Sigma d x}{N} \\ =347+\frac{342}{10} \\ =347+34.2 \\ \bar{X} =381.2 \\ \sigma_x =\sqrt{\frac{\Sigma d^2 x}{N}-\left(\frac{\Sigma d x}{N}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{14512}{10}-\left(\frac{342}{10}\right)} \\ =\sqrt{1451.2-1169.64} \\ =\sqrt{281.56} \\ \sigma_x=16.7797
Bales used(Y)
\bar{Y}=A_{y}+\frac{\Sigma d y}{N} \\ =22+\frac{25}{10} \\ \bar{Y}=22+2.5 \\ \bar{Y}=24.5 \\ \sigma_y= \sqrt{\frac{\Sigma d^2 y}{14}-\left(\frac{\Sigma d y}{N}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{151}{10}-\left(\frac{25}{10}\right)^2} \\ =\sqrt{15.1-6.25} \\ =\sqrt{8.85} \\ \sigma_y =2.97489 \\ \sigma_y \approx 2.9749 \\ r= \frac{\Sigma dx dy-N\left(\bar{X}-A_x\right)\left(\bar{y}-A_y\right)}{N \sigma_x \sigma_y} \\ =\frac{1251-10(381.2-347)(24.5-22)}{10 \times 16.7797 \times 2.9749} \\ =\frac{1251-10 \times 34.2 \times 2.5}{499.1792953} \\ =\frac{1251-855}{499.1792953} \\ =\frac{396}{499.1792953} \\=0.7933 \\ r \approx 0.7933

3.कार्ल पियर्सन रीति से सहसम्बन्ध पर आधारित सवाल (Questions Based on Correlation by Karl Pearson Method):

(1.)पिता व पुत्र की लम्बाई के निम्नलिखित समंकों से सहसम्बन्ध गुणांक निकालिएः
(Find coefficient of correlation from the following figures of height of father and sons):

Height of Fathers(inches) Height of sons(inches)
65 67
66 68
67 64
67 68
68 72
69 70
71 69
73 70

(2.)निम्नांकित श्रेणियां एक वस्तु के मूल्य तथा पूर्ति से सम्बन्धित है।उनमें कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक मालूम कीजिएः
(The following series to the price and supply of an article,find Karl Pearson’s coefficient of correlation between them):

Price Supply
11 30
12 29
13 29
14 25
15 24
16 24
17 24
18 21
19 18
20 15

उत्तर (Answers):(1.)r=+0.471 (2.)r=-0.962

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4.कार्ल पियर्सन रीति से सहसम्बन्ध (Frequently Asked Questions Related to Correlation by Karl Pearson Method),कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक (Karl Pearson Coefficient of Correlation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.सहसम्बन्ध की अनुपस्थिति से आप क्या समझते हैं? (What Do You Understand by Absence of Correlation?):

उत्तरःयदि दो चरों में आश्रितता बिल्कुल न पाई जाए अर्थात् उनके परिवर्तनों में कोई सहानुभूति पूर्ण सम्बन्ध न हो तो ऐसी स्थिति को सहसम्बन्ध का अभाव कहते हैं।

प्रश्न:2.बहुगुणी सहसम्बन्ध से आप क्या समझते हैं? (What Do You Understand by Multiple Correlation?):

उत्तरःदो से अधिक चर मूल्यों के मध्य सहसम्बन्ध ‘बहुगुणी सहसम्बन्ध’ (Multiple Correlation) कहलाता है।बहुगुणी सहसम्बन्ध में दो से अधिक स्वतन्त्र चर मूल्यों के एक आश्रित चर पर सम्मिलित प्रभाव का अध्ययन किया जाता है।उदाहरणार्थ यदि वर्षा एवं खाद (दोनों स्वतन्त्र) दोनों की चावल की उपज (आश्रित चर) पर परिवर्तन का अध्ययन किया जाय तो यह बहुगुणी सहसम्बन्ध होगा।

प्रश्न:3.रेखीय तथा वक्र रेखीय सहसम्बन्ध को स्पष्ट करो। (Explain Clearly Linear and Curvilinear Correlation):

उत्तरःदो चरों के मध्य उनमें होने वाले परिवर्तनों के अनुपात के आधार पर सहसम्बन्ध रेखीय या वक्र रेखीय हो सकता है।यदि दो चरों के मध्य परिवर्तन का अनुपात स्थिर रहता है तो ऐसा सहसम्बन्ध रेखीय कहलाता है।यदि ग्राफ पेपर पर अंकित किया जाए तो एक सीधी रेखा बनेगी।इस प्रकार का सहसम्बन्ध साधारणतया भौतिक तथा गणितीय विज्ञानों में पाया जाता है।सामाजिक तथा आर्थिक क्षेत्रों में ऐसा सहसम्बन्ध कम देखने को मिलता है।उदाहरणार्थ यदि किसी कारखाने में कच्चे माल की मात्रा या श्रमिकों की संख्या दुगुनी कर देने पर उत्पादन भी दुगुना हो जाए तो ऐसा सहसम्बन्ध रेखीय सहसम्बन्ध होगा।
यदि दो चर मूल्यों में परिवर्तन का अनुपात स्थायी रूप से समान नहीं रहता तब सहसम्बन्ध वक्र रेखीय या अ-रेखीय (curvilinear or non-linear) होगा।इसे ग्राफ पेपर पर अंकित किया जाय तो एक वक्र रेखा बनेगी।सामाजिक तथा आर्थिक क्षेत्रों से सम्बन्धित समंकों में प्रायः वक्र रेखीय सहसम्बन्ध देखने को मिलता है क्योंकि विज्ञापन एवं विक्रय में वक्र रेखीय सहसम्बन्ध ही होता है क्योंकि विज्ञापन व्ययों में एक निश्चित अनुपात में वृद्धि के फलस्वरूप विक्रय मात्रा उसी अनुपात में परिवर्तित नहीं होती है अर्थात् जब दो चरों में परिवर्तन समान अनुपात में न होकर एक चर में दूसरे की अपेक्षा कम या अधिक परिवर्तन होते हैं तो सहसम्बन्ध वक्र रेखीय होता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा कार्ल पियर्सन रीति से सहसम्बन्ध (Correlation by Karl Pearson Method),कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक (Karl Pearson Coefficient of Correlation) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Correlation by Karl Pearson Method

कार्ल पियर्सन रीति से सहसम्बन्ध
(Correlation by Karl Pearson Method)

Correlation by Karl Pearson Method

कार्ल पियर्सन रीति से सहसम्बन्ध (Correlation by Karl Pearson Method) गुणांक ज्ञात करने
के लिए प्रत्यक्ष रीति तथा लघु रीति का प्रयोग किया जाता है।पिछले लेख में प्रत्यक्ष रीति से
सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात करना सीखा था।

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