1.सांख्यिकी में क्वांटाइल्स (Quantiles in Statistics),सांख्यिकी में विभाजन मूल्य (Quantiles Statistics):

Quantiles in Statistics

सांख्यिकी में क्वांटाइल्स(Quantiles in Statistics) मध्यका के सिद्धान्त पर आधारित हैं।मध्यका समंक श्रेणी को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।मध्यका के सिद्धान्त के आधार पर समंक माला को चार, पाँच, आठ, दस या सौ बराबर भागों में बाँटा जा सकता है।श्रेणी को अनेकों भागों में विभक्त करने वाले मूल्यों को विभाजन मूल्य (Partition Values or Quantiles) कहते हैं।चार बराबर भागों में बाँटने वाले मूल्य चतुर्थक (Quartiles),पाँच बराबर भागों में बाँटनेवाले मूल्य पंचमक (Quintiles),आठ भागों में विभक्त करनेवाले मूल्य अष्टमक (Octiles),दस बराबर भागों में बाँटने वाले मूल्य दशमक (Deciles) तथा सौ भागों में विभक्त करनेवाले मूल्य शतमक (Percentiles) कहलाते हैं।एक समंक-माला में कुल 3 चतुर्थक,4 पंचमक,7 अष्टमक,9 दशमक तथा 99 शतमक होते हैं जिनमें से दूसरे चतुर्थक, चौथे अष्टमक, पाँचवें दशमक अथवा पचासवें शतमक का मूल्य मध्यका मूल्य के बराबर ही होता है।इन मापों की गणना करने हेतु निम्न सूत्रों का प्रयोग किया जाता है:

दिए गए चिन्हों का अर्थ इस प्रकार है:

Q_{1}=First Quartile

Q_{3}=Third Quartile

Q_{n_{1}}=First Quintile

Q_{n_{2}}=Second Quintile

Q_{n_{4}}=Fourth Quintile

O_{1}=First Octile

O_{3}=Third Octile

O_{5}=Fifth Octile

O_{7}=Seventh Octile

D_{1}=First Decile

D_{3}=Third Decile

D_{4}=Fourth Decile

D_{7}=Seventh Decile

D_{9}=Ninth Decile

P_{30}=Percentile Thirty

P_{76}=Percentile Seventysixth 

P_{99}=Percentile Ninety-nine
i=Class interval of the related class
f=Frequency of the related group in which the relevant value lies
c=Cumulative frequency of the preceedings class of the related group
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2.सांख्यिकी में क्वांटाइल्स के साधित उदाहरण (Quantiles in Statistics Solved Examples):

Example:1.निम्न बंटन में बहुलक,मध्यका व चतुर्थकों के मान ज्ञात कीजिए।
(Determine the mode,median and quartiles in the following distribution):

Solution:सर्वप्रथम श्रेणी को समान अन्तर वाले वर्गान्तर में परिवर्तित करने पर:

सबसे अधिक बारम्बारता 30 है अतः बहुलक वर्ग 18-24
l=18, \quad i=24-18=6, f_{0}=25, f_{1}=30, f_{2}=20
बहुलक Z=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times i \\ =18+\frac{30-25}{2 \times 30-25-20} \times 6 \\ =18+\frac{5}{60-45} \times 6 \\ Z=18+\frac{30}{15} \\ \Rightarrow Z=18+2 \\ \Rightarrow Z=20 \\ \frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50
50 आवृत्ति प्रथम बार 71 संचयी आवृत्ति में शामिल है अतः मध्यका वर्ग 18-24 है।
l=18, \quad i=24-18=6, m=\frac{N}{2}=50\\ c=41, f=30\\ M=l+\frac{i}{f}(m-c)\\ =18+\frac{6}{30}(50-41) \\=18+\frac{1}{5} \times 9\\=18+\frac{9}{5}\\=18+1.8 \\ \Rightarrow M=19.8 \\ q_{1}=\frac{N}{4}=\frac{100}{4}=25
अतः यह 12-18 वर्ग के अन्तर्गत संचयी आवृत्ति में शामिल है।

l=12,i=18-12=6,f=25,c=16 \\ Q_{1} =l+\frac{i}{f}\left(q_{1}-c\right) \\ =12+\frac{6}{25}(25-16) \\=12+\frac{6 \times 9}{25} \\=12+\frac{54}{25} \\=12+2.16 \\ Q_{1} =14.16 \\ q_{3} =\frac{3 N}{4}=\frac{3 \times 100}{4}=75
यह 24-30 वर्ग की संचयी आवृत्ति में शामिल है अतः l=24,i=30-24=6,f=20,c=71 \\ Q_{3} =l+\frac{i}{f}\left(q_{3}-c\right) \\=24+\frac{6}{20}(75-71) \\=24+\frac{3}{10} \times 4 \\=24+\frac{6}{5} \\=24+1.2 \\ \Rightarrow Q_{3} =25.2
Example:2.

(i)सर्वाधिक प्रचलित मजदूरी क्या है?
(What is the most usual wages?)
(ii)मध्यका पगार क्या है?
(What is the median wage?)
(iii)मध्य के 50% श्रमिकों की पगार सीमाएँ निर्धारित कीजिए।
(Determine the wage limits of the middle 50% workers.)
Solution:

सबसे अधिक बारम्बारता 50 है अतः बहुलक वर्ग 30-31 है।
l=30,i=31-30=1 ,f_{0}=430, f_{1}=550 \\ f_{2}=340
बहुलक =l+\frac{f_{1}-f 0}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times i\\ =30+\frac{550-430}{2 \times 550-430-340} \times 1\\=30+\frac{120}{1100-770}\\ =30+\frac{120}{330}\\ =30+0.363 \\ \Rightarrow Z \approx 30.36 \\ \frac{N}{2}=\frac{2130}{2}=1065
1065 संचयी आवृत्ति 1490 में पहली बार शामिल हुई है अतः मध्यका वर्ग 30-31 है।
l=30, m=\frac{N}{2}=1065, \quad i=31-30=1, f=550, c=940 \\ M=l+\frac{i}{f}(m-c) \\ =30+\frac{1}{550}(1065-940) \\ =30+\frac{1}{550} \times 125 \\=30+\frac{125}{550} \\=30+0.227 \\M \approx 30.23 \\ q_{1}=\frac{N}{4}=\frac{2130}{4}=532.5
अतः यह आवृत्ति वर्ग 29-30 की संचयी आवृत्ति में पहली बार शामिल हुई है।
l=29,i=30-29=1,f=430,c=510 ,q_{1}=\frac{N}{4}=532.5 \\ Q_{1} =l+\frac{i}{f}\left(q_{1}-c\right) \\=29+\frac{1}{430}(532.5-510) \\=29+\frac{1}{430} \times 22.5 \\=29+\frac{22.5}{430} \\=29+0.05 \\Q_{1} =29.05 \\ q_{3} =\frac{3 N}{4}=\frac{3 \times 2130}{4}=1597.5
अतः यह आवृत्ति वर्ग 31-32 की संचयी आवृत्ति में शामिल हुई है।
l=31,i=32-31=1,f=340,c=1490 \\ Q_{3} =l+\frac{1}{f}\left(q_{3}-c\right) \\ =31+\frac{1}{340}(1597.5+490) \\=31+\frac{1}{390} \times 107.5 \\ =31+\frac{107.5}{340} \\=31+0.316 \\ Q_{3} \approx 31.32

Quantiles in Statistics

Example:3.Calculate (परिकलित कीजिए):
(i)Median (ii)Quartlies (iii)Decile 6 and (iv)Percentile 76,for each of the following years:

Solution:समावेशी श्रेणी को अपवर्जी श्रेणी में परिवर्तित करने पर:

वर्ष (Year) 2006 : \frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50

50 आवृत्ति पहली बार 60 संचयी आवृत्ति में शामिल है,अतः मध्यका वर्ग 24.5-29.5 है।
l=24.5, i=29.5-24.5=5 \\ f_{1}=28, c=32, m=\frac{N}{2}=50 \\ M=l+\frac{i}{f}(m-c) \\=24.5+\frac{5}{28}(50-32) \\=24.5+\frac{5}{28} \times 18 \\=24.5+3.21 \\ M=27.71
वर्ष (Year) 2007:

\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50
100 संचयी आवृत्ति पहली बार संचयी आवृत्ति 128 में शामिल हुई है अतः मध्यका वर्ग 19.5-24.5 है।
l=19.5,i=24.5-19.5=5,f_{2}=60,m=\frac{N}{2}=100,c=68 \\ M =l+\frac{i}{f_{2}}(m-c) \\ =19.5+\frac{5}{60}(100-68) \\ =19.5+\frac{5}{60} \times 32 \\ =19.5+\frac{160}{60} \\ =19.5+2.666 \\ \Rightarrow M =22.167 \\ \Rightarrow M \approx 22.17
Year 2006:

q_{1}= \frac{N}{4}=\frac{100}{4}=25
25 आवृत्ति पहली बार संचयी आवृत्ति 32 में शामिल है अतः प्रथम चतुर्थक वर्ग 19.5-24.5 है।
l=19.5, i=24.5-19.5=5\\ f=12, c=20 \\ Q_{1}=l+\frac{i}{f} ( q_{1}-c )\\ =19.5+\frac{5}{12}(25-20)\\=19.5+\frac{5}{12} \times 5\\=19.5+\frac{25}{12}\\=19.5+2.083\\=21.583\\ \Rightarrow Q_{1} \approx 21.58\\ q_{3}=\frac{3 N}{4}=\frac{3 \times 100}{4}=75
75 आवृत्ति प्रथम बार संचयी आवृत्ति 80 में शामिल है अतः तृतीय चतुर्थक वर्ग 29.5-34.5 है।
l=29.5, i=34.5-29.5=5 \\ f=20, c=60 \\ Q_{3}=l+\frac{i}{f}\left(q_{3}-c\right) \\=29.5+\frac{5}{20}(75-60) \\ Q_{3} =29.5+\frac{1}{4}(15) \\ =29.5+3.75 \\ Q_{3} =33.25 \\ d_{6} =\frac{6 N}{10}=\frac{6 \times 100}{10}=60
60 आवृत्ति प्रथम बार वर्ग 24.5-29.5 की संचयी आवृत्ति में शामिल हुई है।
l=24.5,i=29.5-24.5=5,f=28,c=32 \\ D_{6} =l+\frac{i}{f}\left(d_{6}-c\right) \\ =24.5+\frac{5}{28}(60-32) \\ =24.5+\frac{5}{28} \times 28 \\ \Rightarrow D_{6} =29.5 \\ p_{76} =\frac{76 N}{100}= \frac{76 \times 100}{100}=76
76 आवृत्ति प्रथम बार 29.5-34.5 की संचयी आवृत्ति में शामिल है।
अतः l=29.5,i=34.5-29.5=5,f=20,c=60 \\ P_{76} =l+\frac{i}{f}\left(p_{76}-C\right) \\ =29.5+\frac{5}{20}(76-60) \\ =29.5+\frac{1}{4} \times 16 \\=29.5+4 \\ \Rightarrow P_{76} =33.5
Year 2007

q_{1}=\frac{N}{4}=\frac{200}{4}=50
50 आवृत्ति पहली बार संचयी आवृत्ति 68 में शामिल है अतः प्रथम चतुर्थक वर्ग 14.5-19.5 है।
l=14.5,i=19.5-14.5=5,f=32,c=36 \\ Q_{1} =l+\frac{i}{f}(q_{1}-c) \\ =14.5+\frac{5}{32}(50-36) \\=14.5+\frac{5}{32} \times 14 \\=14.5+\frac{35}{16} \\=14.5+2.1875 \\=16.6875 \\ \Rightarrow Q_{1} \approx 16.69 \\ q_{3}=\frac{3 N}{4}=\frac{3 \times 200}{4}=150
150 प्रथम बार संचयी आवृत्ति 158 में शामिल है अतः तृतीय चतुर्थक वर्ग 24.5-29.5 है।
l=24.5,i=29.5-24.5=5,f=30,c=128 \\ Q_{3} =l+\frac{i}{f} \left(q_{3}-c\right) \\ =24.5+\frac{5}{30}(150-128) \\ =24.5+\frac{1}{6} \times 22 \\ =24.5+\frac{11}{3} \\ =24.5+3.666 \\ =28.166 \\ \Rightarrow Q_{3} \approx 28.17 \\ d_{6} =\frac{6 N}{10}=\frac{6 \times 200}{10}=120
120 आवृत्ति प्रथम बार वर्ग 19.5-24.5 की संचयी आवृत्ति में शामिल है।
अतः l=19.5,i=24.5-19.5=5,f=60,c=68 \\ D_{6} =l+\frac{i}{f}\left(d_{6}-c\right) \\ \Rightarrow D_{6} =19.5+\frac{5}{60}(120-68) \\=19.5+\frac{1}{2} \times 52 \\=19.5+4.333 \\ D_{6} \approx 23.83 \\ p_{76}=\frac{76 N}{100}=\frac{76 \times 200}{100}=152
152 आवृत्ति प्रथम बार वर्ग 24.5-29.5 की संचयी आवृत्ति में शामिल हुई है।
अतः l=24.5,=29.5-24.5=5,f=30,c=128 \\ P_{76} =l+\frac{i}{f}\left(p_{76}-c\right) \\ =24.5+\frac{5}{30}(152-128) \\ =24.5+\frac{1}{6}(24) \\=24.5+4 \\P_{76} =28.5
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में क्वांटाइल्स(Quantiles in Statistics) के बारे में समझ सकते हैं।

3.सांख्यिकी में क्वांटाइल्स के सवाल (Quantiles in Statistics Questions):

Quantiles in Statistics

(1.)निम्न समंकों से दोनों चतुर्थक,द्वितीय पंचमक, तृतीय अष्टमक,नवाँ दशमक तथा 45 वाँ शतमक ज्ञात कीजिए।
(Calculate both the Quartiles,3rd Octile,9th Decile and 45th Percentile from the following data):

(2.)निम्न सारणी में प्रस्तुत समंकों से प्रथम व तृतीयक चतुर्थक,चतुर्थ दशमक,पंचम अष्टमक तथा 70 वाँ शतमक ज्ञात कीजिए:
(From the data given in the following table calculate 1st and 3rd quartiles,4th deciles,5th octile and 70th percentile.):

उत्तर (Answers):(1)Q_{1}=26.35 marks,Q_{n_{2}}=32.78 marks,D_{9}=60.63 marks,Q_{3}=31.91 marks,P_{45}=34.51 marks

(2)Q_{1}=2 unit,Q_{3}=6 unit,D_{4}=4 unit,O_{5}=6 unit,P_{70}=6 unit
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में क्वांटाइल्स (Quantiles in Statistics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सांख्यिकी में क्वांटाइल्स (Quantiles in Statistics) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले:

सांख्यिकी में क्वांटाइल्स(Quantiles in Statistics) मध्यका के सिद्धान्त पर आधारित हैं।मध्यका समंक श्रेणी को
दो बराबर भागों में विभाजित करता है।मध्यका के सिद्धान्त के आधार पर समंक माला को चार, पाँच, आठ, दस
या सौ बराबर भागों में बाँटा जा सकता है।