Karl Pearson’s Coefficient of Skewness

Q: प्रश्न:3.विषमता गुणक की सीमाएँ क्या हैं? (What are the Limits of Coefficient of Skewness?):

उत्तर:विषमता गुणक की सीमाएं प्रथम सूत्रानुसार \pm 1 जबकि वैकल्पिक सूत्रानुसार \pm 3 हैं।यद्यपि सैद्धान्तिक रूप से विषमता गुणक \pm 3 के मध्य हो सकता है लेकिन सामान्यतः यह कभी भी \pm 1 से अधिक या कम नहीं होता है।इसका कारण यह है कि माध्यों के बीच आनुपातिक सम्बन्ध पर आधारित सूत्र केवल आंकिक रूप से विषम वितरण में ही प्रयुक्त किया जा सकता है। उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा विषमता का कार्ल पियर्सन गुणांक (Karl Pearson's Coefficient of Skewness),विषमता का कार्ल पियर्सन माप (Karl Pearson Measure of Skewness) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

Mathematics Satyam September 24, 2022 Statistics No Comments

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1 1.विषमता का कार्ल पियर्सन गुणांक (Karl Pearson’s Coefficient of Skewness),विषमता का कार्ल पियर्सन माप (Karl Pearson Measure of Skewness):

1.1 2.विषमता का कार्ल पियर्सन गुणांक के साधित उदाहरण (Karl Pearson’s Coefficient of Skewness Solved Examples):

1.2 3.विषमता का कार्ल पियर्सन गुणांक पर आधारित सवाल (Questions Based on Karl Pearson’s Coefficient of Skewness):

1.2.1 4.विषमता का कार्ल पियर्सन गुणांक (Karl Pearson’s Coefficient of Skewness),विषमता का कार्ल पियर्सन माप (Karl Pearson Measure of Skewness) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

1.2.2 प्रश्न:1.विषमता में सममित व सामान्य आवृत्ति वितरण के बारे में बताएं। (Explain the Symmetrical or Normal Distribution in Skewness):

1.2.3 प्रश्न:2.विषमता में असममित अथवा विषम आवृत्ति वितरण के बारे में बताएं। (Tell us About the Asymmetrical Distribution or odd Frequency Distribution in Skewness):

1.2.4 प्रश्न:3.विषमता गुणक की सीमाएँ क्या हैं? (What are the Limits of Coefficient of Skewness?):

1.2.4.1 Karl Pearson’s Coefficient of Skewness

2 विषमता का कार्ल पियर्सन गुणांक (Karl Pearson’s Coefficient of Skewness)

2.1 Karl Pearson’s Coefficient of Skewness

1.विषमता का कार्ल पियर्सन गुणांक (Karl Pearson’s Coefficient of Skewness),विषमता का कार्ल पियर्सन माप (Karl Pearson Measure of Skewness):

Karl Pearson’s Coefficient of Skewness

विषमता का कार्ल पियर्सन गुणांक (Karl Pearson’s Coefficient of Skewness) समंक श्रेणी के माध्यों की स्थिति पर निर्भर करता है।एक विषम आवृत्ति वितरण में समान्तर माध्य, मध्यका तथा बहुलक के मूल्य समान नहीं होते हैं।इन माध्यों के मध्य अन्तर जितना अधिक होगा, वितरण उतना ही विषम होगा।यह माप धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।
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2.विषमता का कार्ल पियर्सन गुणांक के साधित उदाहरण (Karl Pearson’s Coefficient of Skewness Solved Examples):

Example:1.निम्नलिखित से कार्ल पियर्सन के विषमता गुणांक की गणना कीजिए:
(Calculate Karl Pearson’s coefficient of Skewness from the given below):

Life(hrs)	No. of tubes
300-400	14
400-500	46
500-600	58
600-700	76
700-800	68
800-900	50
900-1000	28
1000-1100	8
1100-1200	2

Solution:Calculation Table of Karl Pearson’s Coefficient of Skewness (A=750,i=100)

Life(Hours)	Mid-values	No. of	Step deviation		$fd^{2} x'$
	(X)	tubes	dx’	fdx’	$fd^{2} x'$	cf
300-400	350	14	-4	-56	224	14
400-500	450	46	-3	-138	414	60
500-600	550	58	-2	-116	232	118
600-700	650	76	-1	-76	76	194
700-800	750	68	0	0	0	262
800-900	850	50	1	50	50	312
900-1000	950	28	2	56	112	340
1000-1100	1050	8	3	24	72	348
1100-1200	1150	2	4	8	32	350
Total		350		-248	1212

m= value of $\frac{N}{2}$ th item
=value of $\frac{350}{2}$ th item
=175 th item

अतः मध्यका वर्ग 600-700

$M=l+\frac{i}{f} (m-c) \\ =600+\frac{100}{76}(175-118) \\ M=600+\frac{100}{76} \times 57 \\ =600+\frac{5700}{76} \\ =600+75\\=675 \\ \overline{X}=A+\frac{\Sigma fdx^{\prime}}{N} \times i \\ =750+\frac{(-240)}{350} \times 100\\ =750-\frac{2400}{35}\\ =750-70.857 \\=679.143 \\ \sigma =\frac{i}{N} \sqrt{\Sigma f d^2 x^{\prime} N-\left(fdx^{\prime}\right)^2} \\ =\frac{100}{350} \sqrt{1212 \times 350-(-248)^2} \\ =\frac{2}{7} \sqrt{424200-61504} \\ =\frac{2}{7} \sqrt{362696} \\ =\frac{2}{7} \times 602.2424 \\ \sigma =\frac{1204.4848}{7} \\ =172.069 \\ \sigma \approx 172.07 \\ J =\frac{3(\bar{X}-M)}{\sigma} \\ =\frac{3(679.14-675)}{172.07} \\ =\frac{3 \times 4.14}{172.07} \\ =0.072 \\ J \approx 0.07$
Example:2.कार्ल पियर्सन का विषमता गुणक (बहुलक पर आधारित) की गणना कीजिए:
(Calculate Karl Pearson’s coefficient of Skewness based on mode):

Tem. (°C)	No. of Days
-40 to -30	5
-30 to -20	28
-20 to -10	30
-10 to 0	42
0 to 10	65
10 to 20	180
20 to 30	10
Total	365

Solution:Calculation Table of Karl Pearson’s Coefficient of Skewness(A=-5,i=10)

Temp.(°C)	Mid values	No. of	Step Deviation		$fd^{2} x'$
	(X)	Days(f)	dx’	fdx’	$fd^{2} x'$
-40 to -30	-35	10	-3	-30	90
-30 to -20	-25	28	-2	-56	112
-20 to -10	-15	30	-1	-30	30
-10 to 0	-5	42	0	0	0
0 to 10	5	65	1	65	65
10 to 20	15	180	2	360	720
20 to 30	25	10	3	30	90
Total		365		339	1107

\bar{X} =A+\frac{\Sigma f dx^{\prime}}{N} \times i \\ =-5+\frac{339}{365} \times 10 \\ =-5+0.929 \times 10 \\=-5+9.29 \\ \bar{X}=4.29

बहुलक वर्ग 10-20

$f_0=65, f_1=180, f_2=10, i=10 \\ \Delta_1=f_1-f_0=180-65=115 \\ \Delta_2=f_1-f_2=180-10=170 \\ Z=l+\frac{\Delta_1}{\Delta_1+\Delta_2} \times i \\ =10+\frac{115}{115+170} \times 10 \\ =10+\frac{1150}{285} \\ =10+4.035 \\ =14.035 \\ Z \approx 14.04 \\ \sigma =\frac{i}{N} \sqrt{\Sigma f d^2x^{\prime} \cdot N-(f d x^{\prime})^2} \\ =\frac{10}{365} \sqrt{1107 \times 365-(339)^2} \\ =\frac{2}{73} \sqrt{404055-114921} \\ =\frac{2}{73} \times \sqrt{289134} \\ =\frac{2}{73} \times 537.7118 \\ =\frac{1075.4236}{73} \\ =14.7318 \\ \sigma \approx 14.73 \\ J =\frac{\overline{X}-Z}{\sigma} \\ \sigma =\frac{4.29-14.04}{14.73} \\ =\frac{-9.75}{14.73} \\ =-0.6619 \\ J \approx-0.66$
Example:3.निम्न सारणी की रचना एक परीक्षा के आधार पर की गई थी:
(The following table was formed by an examination):

Marks	Students
0-5	5
5-10	9
10-15	13
15-20	21
20-25	29
25-30	22
30-35	12
35-40	6
40-45	3

विस्तृत जाँच करने पर ज्ञात हुआ कि 14वें विद्यार्थी ने 11 अंक प्राप्त किए,48वें विद्यार्थी ने 22,77वें विद्यार्थी ने 26 तथा 111वें विद्यार्थी ने 38 अंक प्राप्त किए।इस सारणी का संशोधन कर कार्ल पियर्सन का विषमता गुणांक ज्ञात कीजिए।
(On having detailed investigation it was found that 14th student secured 11 marks,48th student 22,77th student 26 and 111th student secured 38 marks.Correct this table and then calculate Karl Pearson’s coefficient of skewness.)
Solution:Calculation Table of Karl Pearson’s Coefficient of Skewness (A=22.5,i=5)

Marks	Mid Values	Students	step Deviation		$fd^{2} x'$
	(X)	(f)	dx’	fdx’	$fd^{2} x'$
0-5	2.5	5	-4	-20	30
5-10	7.5	8	-3	-24	72
10-15	12.5	14	-2	-28	56
15-20	17.5	20	-1	-20	20
20-25	22.5	29	0	0	0
25-30	27.5	23	1	23	23
30-35	32.5	11	2	22	44
35-40	37.5	7	3	21	63
40-45	42.5	3	4	12	48
Total		120		-14	406

\overline{X} =A+\frac{\Sigma f d x^{\prime}}{N} \times i \\ =22.5-\frac{14}{120} \times 5 \\ =22.5-\frac{7}{12} \\ =22.5-0.583 \\ =21.917 \\ \overline{X} \approx 21.92

बहुलक वर्ग 20-25

f_0 =20, f_1=29, f_2=23, i=5 \\ \Delta_1 =f_1-f_0=29-20=9 \\ \Delta_2 =f_1-f_2=29-23=6 \\ Z=l+\frac{\Delta_1}{\Delta_1+\Delta_2} \times i \\ =20+\frac{9}{9+6} \times 5 \\ =20+\frac{45}{15} \\ =20+3 \\ \Rightarrow Z=23 \\ \sigma =\frac{i}{N} \sqrt{\Sigma f d^2 x^{\prime} N-(f dx^{\prime})^2} \\ =\frac{5}{120} \sqrt{406 \times 120-(-14)^2} \\ =\frac{1}{24} \sqrt{48720-196} \\ =\frac{1}{24} \sqrt{48524} \\ =\frac{1}{24} \times 220.2816 \\ =9.1784 \\ \sigma \approx 9.18 \\ J=\frac{\overline{X}-Z}{\sigma} \\ J=\frac{21.92-23}{9.18}=\frac{-1.07}{9.18}\\ J \approx -0.11

Karl Pearson’s Coefficient of Skewness

Example:4.निम्न 100 प्रतिदर्श पर आधारित सूचनाओं से पियर्सन के विषमता गुणक का परिकलन कीजिए:
(From the information given below relating to 100 samples calculate Pearson’s coefficient of Skewness):

Class interval	Frequency
160-164	10
155-159	24
150-154	38
145-149	56
140-144	42
135-139	24
130-134	06
Total	200

Solution:Calculation Table of Karl Pearson’s Coefficient of Skewness(A=147,i=5)

Class	Mid Value	Frequency	step Deviation		$fd^{2} x'$
interval	(X)	(f)	dx’	fdx’	$fd^{2} x'$
159.5-164.5	162	10	3	30	90
154.5-159.5	157	24	2	48	96
150.5-154.5	152	38	1	38	38
144.5-150.5	147	56	0	0	0
139.5-144.5	142	42	-1	-42	42
135.5-139.5	137	24	-2	-48	96
130.5-134.5	132	06	-3	-18	54
Total		200		8	416

\overline{X} =A+\frac{\Sigma f d x^{\prime}}{N} \times i \\ =147+\frac{8}{200} \times 5\\ =147+\frac{1}{5} \\ =147+0.2 \\ \overline{X}=147.2

बहुलक वर्ग 144.5-149.5 है।

$f_0=38, f_1=56, f_2=42, i=5 \\ \Delta_1=f_1-f_0=56-38=18 \\ \Delta_2=f_1-f_2=56-42=14 \\ Z=l_2-\frac{\Delta_1}{\Delta_1+\Delta_2} \times i \\ =149.5-\frac{18}{18+14} \times 5 \\ =149.5-\frac{90}{32} \\ =149.5-2.8125 \\ =146.6875 \\ Z \approx 146.69 \\ \sigma =\frac{i}{N} \sqrt{\Sigma f d^2 x^{\prime} \cdot N-\left(fdx^{\prime}\right)^2} \\ =\frac{5}{200} \sqrt{416 \times 200-(8)^2} \\ =\frac{1}{40} \sqrt{83200-64} \\ =\frac{1}{40} \sqrt{83136} \\ =\frac{1}{40} \times 288.3331 \\ =7.2083 \\ \sigma \approx 7.21 \\ J =\frac{\overline{X}-Z}{\sigma} \\ =\frac{147.2-146.69}{7.21} \\ =\frac{0.51}{7.21} \\ =0.0707 \\ J \approx 0.071$
Example:5.निम्नलिखित सारणी में प्रस्तुत समंकों से कार्ल पियर्सन का विषमता गुणांक ज्ञात कीजिए जो बहुलक पर आधारित हो:
(Calculate Karl Pearson’s coefficient of Skewness from the data given in the following table based on mode):

Weight(lbs)	No. of persons
70-80	16
80-90	20
90-100	30
100-110	50
110-120	60
120-130	80
130-140	10
140-150	8

Solution:Solution:Calculation Table of Karl Pearson’s Coefficient of Skewness(A=115,i=10)

Weight	Mid Value	No. of	step Deviation		$fd^{2} x'$
(lbs)	(X)	persons(f)	dx’	fdx’	$fd^{2} x'$
70-80	75	16	-4	-64	256
80-90	85	20	-3	-60	180
90-100	95	30	-2	-60	120
100-110	105	50	-1	-50	50
110-120	115	60	0	0	0
120-130	125	80	1	80	80
130-140	135	10	2	20	40
140-150	145	8	3	24	72
Total				-110	798

\overline{X}=A+\frac{\Sigma f d x^{\prime}}{N} \times i \\ =115-\frac{110}{274} \times 10 \\ =115-\frac{1100}{274} \\ =115-4.0145 \\ =110.9855 \\ \bar{x} \approx 110.98

बहुलक वर्ग 110-120 है।

$f_0 =50, f_1=60, f_2=80 ,i=10 \\ \Delta_1 =f_1-f_0=60-50=10 \\ \Delta_2 =f_1-f_2=60-80=-20 \\ Z=l+\frac{\Delta_1}{\Delta_1+\Delta_2} \times i \\ =110+\frac{10}{10+20} \times 10 \\ =110+\frac{100}{30} \\ Z=110+3.333 \\ =113.337 \\ Z \approx 113.3 \\ \sigma =\frac{i}{N} \sqrt{\Sigma f d^2 x^{\prime} \cdot N-(f dx^{\prime})^{2}} \\ =\frac{10}{274} \sqrt{798 \times 274-(-110)^2} \\ =\frac{10}{274} \sqrt{218652-12100} \\ =\frac{10}{274} \times \sqrt{206552} \\ =\frac{10}{274} \times 454.4799 \\ =\frac{4544.799}{274}=16.5868\\ \sigma \approx 16.6 \\ J=\frac{\overline{X}-Z}{\sigma}\\ =\frac{110.98-113.3}{16.6}\\ =\frac{-2 \cdot 32}{16.6}\\ =-0.1397\\ J \approx-0.14$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विषमता का कार्ल पियर्सन गुणांक (Karl Pearson’s Coefficient of Skewness),विषमता का कार्ल पियर्सन माप (Karl Pearson Measure of Skewness) को समझ सकते हैं।

3.विषमता का कार्ल पियर्सन गुणांक पर आधारित सवाल (Questions Based on Karl Pearson’s Coefficient of Skewness):

Karl Pearson’s Coefficient of Skewness

(1.)निम्न समंकों से विचरण गुणांक और विषमता गुणांक ज्ञात कीजिए।
(From the following data calculate the coefficient of variation and coecficient of Skewness):

year	Price index of wheat
1910	83
1911	87
1912	93
1913	109
1914	124
1915	726
1916	130
1917	118
1918	106
1919	104

(2.)निम्नांकित आंकड़ों से कार्ल पियर्सन का विषमता गुणांक ज्ञात कीजिए:

से अधिक अंक	विद्यार्थियों की संख्या
0	120
10	140
20	100
30	80
40	80
50	70
60	30
70	14
80	0

उत्तर (Answers):(1.)C.V.=14.6%,J= $\frac{3(\overline{X}-M)}{\sigma}$ =0.095 (2.) $\overline{X}$ =39.3 ,M=45, $\sigma$ =22.8,J=-0.75
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर विषमता का कार्ल पियर्सन गुणांक (Karl Pearson’s Coefficient of Skewness),विषमता का कार्ल पियर्सन माप (Karl Pearson Measure of Skewness) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.विषमता का कार्ल पियर्सन गुणांक (Karl Pearson’s Coefficient of Skewness),विषमता का कार्ल पियर्सन माप (Karl Pearson Measure of Skewness) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.विषमता में सममित व सामान्य आवृत्ति वितरण के बारे में बताएं। (Explain the Symmetrical or Normal Distribution in Skewness):

उत्तर:इस प्रकार के वितरण में आवृत्तियाँ एक निश्चित क्रम से बढ़ती हैं फिर एक निश्चित बिन्दु पर अधिकतम होने के पश्चात उसी क्रम से घटती हैं।यदि आवृत्ति वितरण का वक्र तैयार किया जाये तो वह सदैव घण्टी के आकार वाला (Bell-shaped) होता है जो इसकी सामान्य स्थिति को प्रदर्शित करता है।ऐसे वितरण में समान्तर माध्य,मध्यका व बहुलक के मूल्य समान होते हैं तथा मध्यका से दोनों चतुर्थकों के मूल्यों में अन्तर बराबर होता है।इस प्रकार के वितरण में विषमता नहीं होती है।ऐसे वितरण के अन्य नाम सामान्य वितरण (Normal Distribution),सामान्य वक्र (Normal Curve) या सामान्य विभ्रम वक्र (Normal curve of Error) भी है।

प्रश्न:2.विषमता में असममित अथवा विषम आवृत्ति वितरण के बारे में बताएं। (Tell us About the Asymmetrical Distribution or odd Frequency Distribution in Skewness):

उत्तर:असममित वितरण में आवृत्तियों के बढ़ने और घटने के क्रम में अन्तर पाया जाता है।आवृत्तियाँ जिस क्रम में बढ़ती है,अधिकतम बिन्दु पर पहुँचने के पश्चात उसी क्रम में नहीं घटती।ऐसे वितरण का वक्र घण्टी के आकार वाला न होकर दायें या बायें झुकाव लिए हुए होता है।ऐसे वितरण में समान्तर माध्य,मध्यका एवं बहुलक के मूल्य असमान होते हैं तथा मध्यका से दोनों चतुर्थकों के अन्तर भी असमान होते हैं।इस प्रकार के वितरण में विषमता की उपस्थिति होती है।

प्रश्न:3.विषमता गुणक की सीमाएँ क्या हैं? (What are the Limits of Coefficient of Skewness?):

उत्तर:विषमता गुणक की सीमाएं प्रथम सूत्रानुसार $\pm 1$ जबकि वैकल्पिक सूत्रानुसार $\pm 3$ हैं।यद्यपि सैद्धान्तिक रूप से विषमता गुणक $\pm 3$ के मध्य हो सकता है लेकिन सामान्यतः यह कभी भी $\pm 1$ से अधिक या कम नहीं होता है।इसका कारण यह है कि माध्यों के बीच आनुपातिक सम्बन्ध पर आधारित सूत्र केवल आंकिक रूप से विषम वितरण में ही प्रयुक्त किया जा सकता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा विषमता का कार्ल पियर्सन गुणांक (Karl Pearson’s Coefficient of Skewness),विषमता का कार्ल पियर्सन माप (Karl Pearson Measure of Skewness) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Karl Pearson’s Coefficient of Skewness

विषमता का कार्ल पियर्सन गुणांक
(Karl Pearson’s Coefficient of Skewness)