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Combined Arithmetic Mean

1.सामूहिक समान्तर माध्य (Combined Arithmetic Mean),सामूहिक समान्तर माध्य सूत्र (Combined Arithmetic Mean Formula):

सामूहिक समान्तर माध्य (Combined Arithmetic Mean):-यदि किसी समूह के दो या अधिक भागों के अलग-अलग समांतर माध्य और उन भागों में पदों की संख्या ज्ञात हो तो उनकी सहायता से पूरे समूह का सामूहिक समान्तर माध्य (Combined Arithmetic Mean) ज्ञात किया जा सकता है। सामूहिक समांतर माध्य ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग किया जाता है:
सामूहिक समान्तर माध्य (Combined Arithmetic Mean) (\bar{X})=\frac{\bar{X}_{1} N_{1}+\bar{X}_{2} N_{2}+\bar{X}_{3} N_{3}+\cdots+\bar{X}_{N} N_{N}}{N_{1}+N_{2}+N_{3}+\cdots+N_{N}}
\overline{X}_{1}, \overline{X}_{2}, \overline{X}_{3} विभिन्न भागों के समांतर माध्य हैं तथा N_{1}, N_{2}, N_{3} इत्यादि विभिन्न भागों में इकाइयों की संख्या हैं।
इसी प्रकार यदि सामूहिक समान्तर माध्य (Combined Arithmetic Mean) और कुल संख्या ज्ञात हो तथा समूह के तीन संभागों (Components) में से दो के माध्य और इकाइयों की संख्याएँ ज्ञात हो तो तीसरे भाग का समांतर माध्य निम्न सूत्र द्वारा निकाला जा सकता है:

\bar{X}_{3}=\frac{\bar{X} N-\left(\bar{X}_{1} N_{1}+\bar{X}_{2} N_{2}\right)}{N-\left(N_{1}+N_{2}\right)}
ये सूत्र समांतर माध्य के इस बीजगणितीय गुण पर आधारित हैं कि माध्य और संख्या की गुणा करने से कुल मूल्यों का जोड़ ज्ञात हो जाता है।
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2.सामूहिक समान्तर माध्य के उदाहरण (Combined Arithmetic Mean Examples):

Example:1.सांख्यिकी के तीन प्राध्यापकों ने एक परीक्षा में अपनी-अपनी कक्षाओं के औसत प्राप्तांक 79,74 तथा 82 बतलाए जिनमें क्रमशः 32,25 तथा 17 विद्यार्थी थे।समस्त कक्षाओं के औसत प्राप्तांक का निर्धारण कीजिए।
(Three teachers of statistics reported mean marks in an examination as 79,74 and 82 in their respective classes which considered of 32,25 and 17 students respectively.Determine mean marks of all the students.)
Solution:X_{1}=79, X_{2}=74, X_{3}=82 तथा N_{1}=32, N_{2}=25, N_{3}=17
सामूहिक समान्तर माध्य (Combined Arithmetic Mean) (\bar{X})=\frac{\bar{X}_{1} N_{1}+\bar{X}_{2} N_{2}+\bar{X}_{3} N_{3}}{N_{1}+N_{2}+N_{3}} \\ =\frac{79 \times 32+74 \times 25+82 \times 17}{32+25+17} \\ =\frac{2528+1850+1394}{74} \\ =\frac{5772}{74} \\ \Rightarrow \bar{X}=78 Marks
Example:2.30 बच्चों का औसत वजन 110 पौंड हैं।उनमें से 10 बच्चों का औसत वजन 100 पौंड तथा अन्य 10 बच्चों का 125 पौंड है।शेष बच्चों का औसत वजन ज्ञात कीजिए।
(The average weight of 30 children is 110 lbs.The mean weight of 10 of them is 100 lbs and of another 10 is 125 lbs.Find the mean weight of remaining children.)
Solution:\bar{X}=110, N=30, \quad N_{1}=10, \bar{X}_{1}=100, \bar{X}_{2}=125, N_{2}=10 , N_{3}=10, \bar{X}_{3}=? \\ \bar{X}_{3}= \frac{\bar{X} N-\left(\bar{X}_{1} N_{1}+\bar{X}_{2} N_{2}\right)}{N-\left(N_{1}+N_{2}\right)} \\ =\frac{110 \times 30-(100 \times 10+125 \times 10)}{30-(10+10)} \\= \frac{3300-(1000+1250)}{30-20} \\=\frac{3300-(1000+1250)}{30-20} \\=\frac{3300-2250}{10} \\=\frac{1050}{10} \\ \bar{X_{3}}=1051 lbs
Example:3.एक कारखाने में 500 श्रमिक हैं। उनकी औसत मजदूरी ₹240 है।रात की पाली में कार्य करने वाले 200 श्रमिकों की मजदूरी ₹250 है।शेष 300 श्रमिकों की औसत मजदूरी ज्ञात कीजिए।
(There are 500 workers in a factory.Their mean wages is ₹240.Average wages of 200 workers working in night shift is ₹250.Find out mean wages of rest 300 Workers.)
Solution:\bar{X}=240, N=500 \\ \bar{X}_{1}=250, N_{1}=200, N_{2}=300, \bar{X}_{2}=? \\ \bar{X}_{2}=\frac{\bar{X} N-\bar{X}_{1} N_{1}}{N_{2}}\\ =\frac{240 \times 500-250 \times 200}{300} \\=\frac{120000-50000}{300} \\=\frac{70000}{300} \\ \bar{X_{2}} =233.33 Rs
Example:4.विभाग A में 50 वस्तु बेची जाती हैं जिनका औसत मूल्य 30 सैन्ट है।विभाग H में 75 वस्तुएं बेची जाती है जिनका औसत मूल्य 20 सैन्ट है।A तथा H विभागों द्वारा विक्रय की जानेवाली संपूर्ण वस्तुओं का औसत मूल्य ज्ञात कीजिए।
(50 Commodities are sold in Dept. A the mean price of which is 30 cents.75 Commodities are sold in Dept.H the mean price of which is 20 cents.Find the mean price of all commodities sold in departments A and H.)
Solution:विभाग A: \bar{X_{1}}=30, N_{1}=50
विभाग B: \bar{X_{2}} =20, N_{2}=75 \\ \bar{X} =\frac{\bar{X_{1}} N_{1}+\bar{X}_{2} N_{2}}{N_{1}+N_{2}} \\ =\frac{30 \times 50+20 \times 75}{50+75} \\ =\frac{1500+1500}{125} \\ =\frac{3000}{125} \\ \Rightarrow \bar{X} =24
Example:5.एक कंपनी के समस्त कर्मचारियों को दिया जाने वाला औसत वार्षिक वेतन ₹15000 था।पुरुष तथा स्त्री कर्मचारियों का औसत वार्षिक वेतन क्रमश: ₹15600 तथा ₹12600 दिया जाता था।कंपनी के द्वारा रखे गए कर्मचारियों में पुरुष तथा स्त्रियों का प्रतिशत ज्ञात कीजिए।
(The mean annual salary paid to all employees was ₹15000.The mean annual salaries paid to male and female employees of the company were ₹15600 and ₹12600 respectively.Determine the percentage of males and females employed by the company.)
Solution:पुरुष कर्मचारी:
औसत वार्षिक वेतन \bar{X_{1}}=15600, N_{1}=?
महिला कर्मचारी:
औसत वार्षिक वेतन \bar{X}_{2}=12600, N_{2}=? \\ \bar{X}=15000 \\ \bar{X}=\frac{\bar{X}_{1} N_{1}+\bar{X}_{2} N_{2}}{N_{1}+N_{2}} \\ 15000=\frac{15600 N_{1}+12600 N_{2}}{N_{1}+N_{2}} \\ \Rightarrow 15000 N_{1}+15000 N_{2}=15600 N_{1}+12600 N_{2} \\ \Rightarrow 15000 N_{1}-15600 N_{1}=12600 N_{2}-15000 N_{2} \\ \Rightarrow-600 N_{1}=-2400 N_{2} \\ \Rightarrow \frac{N_{1}}{N_{2}}=\frac{2400}{600} \\ \Rightarrow \frac{N_{1}}{N_{2}}=\frac{4}{1} \\ \Rightarrow \frac{N_{1}+N_{2}}{N_{2}}=\frac{4+1}{1} \\ \Rightarrow \frac{N}{N_{2}}=\frac{5}{1}  
अतः महिला कर्मचारियों का प्रतिशत =\frac{N_{2}}{N} \times 100=\frac{1}{5} \times 100 \\=20 \%
तथा पुरुष कर्मचारियों का प्रतिशत =100 % -20 % =80 %

Example:6.एक शहर में सोमवार से शनिवार तक की वर्षा का औसत 15 सेमी था।रविवार को भारी वर्षा के कारण उस सप्ताह का औसत बढ़कर 20 सेमी हो गया।रविवार को कितनी वर्षा हुई थी?
(The average rainfall of a city from Monday to Saturday was 15cms.What was the rainfall on Sunday?)
Solution:सोमवार से शनिवार तक वर्षा का औसत \bar{X}_{1}=15 सेमी ,N_{1}=6
सोमवार से रविवार तक वर्षा का औसत \bar{X}=20 सेमी,N=7
रविवार को वर्षा: X_{2}=?, N_{2}=1 \\ \bar{X}_{2} =\frac{\bar{X} N-\bar{X}_{1} N_{1}}{N_{2}} \\=\frac{20 \times 7-15 \times 6}{1} \\=140-90 \\=50 \\ \Rightarrow \bar{X}_{2} =50
Example:7.निम्नलिखित सूचनाओं से ज्ञात कीजिए:
(i)कौन-से कारखाने द्वारा प्रतिदिन अधिक मजदूरी की राशि दी जाती है?,
(ii)दोनों कारखानों के संयुक्त श्रमिकों की औसत मजदूरी।
(From the information given below, find:
(i) Which factory pay a larger amount as daily wages?
(ii) What is the average of daily wages for the workers of the two factories combined?)

DescriptionFactory AFactory B
Number of wages erners250200
average daily Wages(Rs.)2.002.50

Solution:(i)कारखाना A द्वारा दी गई मजदूरी=\bar{X}_{1} N_{1}=(2.00)×(250)=500 Rs.
कारखाना B द्वारा दी गई मजदूरी=\bar{X}_{2} N_{2}=(2.50)(200)=500
(ii)कारखाना A: \bar{X}_{1}=2.00, \quad N_{1}=250

कारखाना B: \bar{X}_{2} =2.50, N_{2}=200 \\ \\ \bar{X} =\frac{\bar{X}_{1} N_{1}+\bar{X}_{2} N_{2}}{N_{1}+N_{2}} \\ =\frac{(2.00)(250)+(2.50)(200)}{250+200} \\ =\frac{500+500}{450} \\ \Rightarrow \bar{X}=\frac{1000}{450} \\ \Rightarrow \bar{X}=2.22 Rs.
Example:8.निम्नलिखित समंक 4 कारखानों में कार्य कर रहे श्रमिकों की कुल संख्या एवं उनकी औसत आय को प्रदर्शित करते हैं।2003 व 2004 वर्षों के लिए चारों कारखानों के श्रमिकों की संयुक्त प्रति श्रमिक औसत आय ज्ञात कीजिए।
(The following data relates to number of workers and average earning per worker in four factories for the year 2003 and 2004.Calculate the average earnings per worker of both the years for all four factories combined):

DescriptionFactory (2003)Factory (2004)
 ABCDABCD
No. of workers50150200300100200500200
Average Earnings(in Rs)110120139143113125141153

Solution: Factory 2003

Factory A: \bar{X}_{1}=110, N_{1}=50

Factory B: \bar{X}_{2}=120, \quad N_{2}=150

Factory c: \bar{X}_{3}=139, \quad N_{3}=200

Factory D:\bar{X}_{4}=143, N_{4}=300 \\ \bar{X}=\frac{\bar{X}_{1} N_{1}+\bar{X}_{2} N_{2}+\bar{X}_{3} N_{3}+ \bar{X}_{4} N_{4}}{N_{1}+N_{2}+N_{3}+N_{4}} \\ =\frac{110 \times 50+120 \times 150+139 \times 200+143 \times 300}{50+150+200+300} \\ =\frac{5500+18000+27800+42900}{700} \\=\frac{94200}{700}\\ \bar{X}=134.57 Rs.
Factory 2004

Factory A: \bar{X}_{1}=113, N_{1}=100

Factory B: \bar{X}_{2}=125, \quad N_{2}=200

Factory c: \bar{X}_{3}=141, \quad N_{3}=500

Factory D: \bar{X}_{4}=153, N_{4}=200

\bar{X}=\frac{\bar{X}_{1} N_{1}+\bar{X}_{2} N_{2}+\bar{X}_{3} N_{3}+\bar{X}_{4} N_{4}}{N_{1}+N_{2}+ N_{3}+ N_{4}}\\ = \frac{ 113 \times 100+125 \times 200+141 \times 500 \times 153 \times 200}{100+200+500+200} \\ =\frac{11300+25000+70500+30600}{1000} \\ =\frac{137400}{1000} \\ \Rightarrow \bar{X} =137.40 Rs.
Example:9.एक प्रतियोगिता में 50 विद्यार्थी बैठे। जिन परीक्षार्थियों ने 60% से कम प्राप्तांक  उपलब्ध किए उनका परिणाम निम्नवत है:
(50 Students appeared in a competitive test. The result of those who secured less than 60% marks is given below):
यदि समस्त परीक्षार्थियों के औसत प्राप्तांक 25 हो तो उन परीक्षार्थियों के औसत प्राप्तांक की परिगणना कीजिए जिन्होंने 60% या इससे अधिक अंक प्राप्त किए हों।
(If the average for all students is 25 marks,find out the average marks for those who secured 60% or more marks):

Marks0-1010-2020-30
No. of students81220

Solution:-

MarksNo. of students(f)Mid point(x)fx
0-108540
10-201215180
20-302025500
Total40 720

\bar{X}_{1} =\frac{\sum f x}{\sum f} \\ \Rightarrow \bar{X}_{1} =\frac{720}{40}=18 \\ \bar{X} =25, N=50 \\ \bar{X}_{2} =? \quad N_{2}=50-40=10 \\ \bar{X}_{2} =\frac{\bar{X} N-\bar{X}_{1} N}{N_{2}} \\ =\frac{25 \times 50-18 \times 40}{10}=\frac{1250-720}{10} \\ \Rightarrow \bar{X}_{2} =\frac{530}{10}=53
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सामूहिक समान्तर माध्य (Combined Arithmetic Mean),सामूहिक समान्तर माध्य सूत्र (Combined Arithmetic Mean Formula) को समझ सकते हैं।

3.सामूहिक समान्तर माध्य के सवाल (Combined Arithmetic Mean Questions):

(1.)एक कक्षा के 50 विद्यार्थियों ने परीक्षा दी। परीक्षा में जो उत्तीर्ण हुए उनके परिणाम इस प्रकार है:
(50 Students took up a test.The result of those who passed the test is given below):
यदि सभी 50 विद्यार्थियों का माध्य 5.16 प्राप्तांक है तो उन विद्यार्थियों का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए जो अनुत्तीर्ण रहे।
(If the average for all the 50 students is 5.16 marks;find the average of those failed.)

Marks456789
No. of students8109643

(2.)एक कारखाने में जिसमें दो पारियों में क्रमशः 60 एवं 40 श्रमिक कार्य करते हैं।इन 100 श्रमिकों का औसत वेतन ₹38 है,सुबह की पारी में कार्यरत 60 श्रमिकों का औसत वेतन ₹40 है।शाम की पारी में कार्यरत 40 श्रमिकों का औसत वेतन ज्ञात कीजिए।
(The mean wages of 100 employees working in a factory running in two shifts of 60 and 40 workers respectively is ₹38,the mean of 60 employees working in morning shift is ₹40.Find the mean wages of 40 employees working in the evening shift.)

Answers:-(1)For failures (\bar{X})=21 marks (2)Rs. 35
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सामूहिक समान्तर माध्य (Combined Arithmetic Mean),सामूहिक समान्तर माध्य सूत्र (Combined Arithmetic Mean Formula) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सामूहिक समान्तर माध्य (Combined Arithmetic Mean) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.उपयुक्त माध्य का चुनाव कैसे करें? (How to choice of a suitable Average?):

उत्तर:किसी भी माध्य का चुनाव अनुसंधान के पूर्व निश्चित उद्देश्यों और समंकों की प्रकृति के अनुरूप किया जाना चाहिए।उदाहरणार्थ यदि समंक इस प्रकार के हैं कि सभी मूल्यों को समान महत्त्व देना है तो समांतर माध्य का प्रयोग करना चाहिए।किंतु बड़े मूल्यों को कम महत्त्व व छोटे मूल्यों को अधिक महत्त्व देना हो तो गुणोत्तर माध्य का प्रयोग श्रेष्ठ रहेगा।इसके विपरीत विद्यार्थियों की योग्यता,बुद्धिमानी,ईमानदारी इत्यादि में मध्यका से श्रेष्ठ परिणाम निकाले जा सकते हैं।यदि औजारों का औसत माप या तैयार वस्त्रों की औसत माप,जूतों की औसत माप ज्ञात करना हो तो बहुलक का प्रयोग करना उपयुक्त होता है।

प्रश्न:2.सामूहिक समांतर माध्य कैसे ज्ञात किया जाता है? (How to find combined Arithmetic Mean?):

उत्तर:यदि अनेक श्रेणियों में पृथक-पृथक समांतर माध्य ज्ञात हैं और उनसे मिलाकर सामूहिक माध्य ज्ञात करने की आवश्यकता हो तो उन अलग-अलग माध्यों की सहायता से सामूहिक माध्य ज्ञात किया जा सकता है।इसके लिए निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग किया जाता है:
\bar{X}=\frac{\bar{X}_{1} N_{1}+\bar{X}_{2} N_{2}+\bar{X}_{3} N_{3}+\cdots+\bar{X}_{N}N_{N}}{N_{1}+N_{2}+N_{3}+\cdots N_{N}}

प्रश्न:3.समांतर माध्य की कोई तीन बीजगणितीय विशेषताएं बताइए। (State any three algebraic characteristics of arithmetic mean):

उत्तर:(1.)समांतर माध्य के अंतर्गत प्रमाप विभ्रम अन्य माध्य की अपेक्षा कम होता है।
(2.)यदि दो या दो से अधिक भागों के समांतर माध्य व उसकी संख्याएं दी हुई हो तो सामूहिक समांतर माध्य ज्ञात किया जा सकता है।
(3.)दी हुई श्रेणियों के तत्संबंधी मूल्यों (Corresponding Values) के सभी योग अन्तरों से समांतर माध्यों के योग अथवा अंतर बराबर होते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सामूहिक समान्तर माध्य (Combined Arithmetic Mean),सामूहिक समान्तर माध्य सूत्र (Combined Arithmetic Mean Formula) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

 

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Combined Arithmetic Mean

सामूहिक समान्तर माध्य
(Combined Arithmetic Mean)

Combined Arithmetic Mean

सामूहिक समान्तर माध्य (Combined Arithmetic Mean):-यदि किसी समूह के दो या अधिक भागों
के अलग-अलग समांतर माध्य और उन भागों में पदों की संख्या ज्ञात हो तो उनकी सहायता से
पूरे समूह का सामूहिक समान्तर माध्य (Combined Arithmetic Mean) ज्ञात किया जा सकता है।

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