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Weiertrass M-test in Complex Analysis

1.सम्मिश्र विश्लेषण में वायर्स्ट्रास M-परीक्षण (Weiertrass M-test in Complex Analysis)-

(1.)सम्मिश्र विश्लेषण में वायर्स्ट्रास M-परीक्षण (Weiertrass M-test in Complex Analysis) के बारे में इस आर्टिकल में अध्ययन करेंगे।
(2.)वायर्स्ट्रास M-परीक्षण कथन और सिद्ध करना (State and Prove weierstrass M-Test)-
यदि\sum { { f }_{ n }\left( z \right) } ,उन फलनों की अनन्त श्रेणी है जो एक समुच्चय E(या परिबद्ध संवृत्त प्रान्त D )पर परिभाषित हो और माना \left\{ { M }_{ n } \right\} धनात्मक वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम इस प्रकार है कि
(i.) \left| { f }_{ n }\left( z \right) \right| \le { M }_{ n }\forall z\in Eतथा प्रत्येक n\in N तथा
(ii.)\overset { \infty }{ \underset { n=1 }{ \Sigma } } { M }_{ n } श्रेणी अभिसारी है तब श्रेणी \sum { { f }_{ n }\left( z \right) } एकसमान (तथा निरपेक्ष)अभिसृत होती है।
(Let \sum { { f }_{ n }\left( z \right) } be an infinite series of functions defined on the same set E (or bounded domain D) and let \left\{ { M }_{ n } \right\} be a sequence of positive real numbers such that:)
(i.)\left| { f }_{ n }\left( z \right) \right| \le { M }_{ n }\forall z\in E and each \forall n\in N and
(ii.)The series\overset { \infty }{ \underset { n=1 }{ \Sigma } } { M }_{ n } is convergent,the series \sum { { f }_{ n }\left( z \right) } converges uniformly (and absolutely) on the set E)
उपपत्ति (Proof):स्पष्टत: जब प्रतिबन्ध (1) तथा (2) फलन { f }_{ n }\left( z \right) के द्वारा सन्तुष्ट हों तब श्रेणी \sum { { f }_{ n }\left( z \right) } ,Eपर निरपेक्ष अभिसारी है।
(2) से \overset { \infty }{ \underset { n=1 }{ \Sigma } } { M }_{ n } अभिसृत होती है अतः प्रत्येक\varepsilon   के लिए एक ऐसा धनात्मक पूर्णांक m विद्यमान होगा कि n\ge m के लिए

{ M }_{ n+1 }+{ M }_{ n+2 }+...............+{ M }_{ n+p }<\varepsilon ,p\ge 1
तथा प्रतिबन्ध (1) से

\left| { f }_{ n+1 }\left( z \right) +{ f }_{ n+2 }\left( z \right) +..............+{ f }_{ n+p }\left( z \right) \right| \le \left| { f }_{ n+1 }\left( z \right) \right| +\left| { f }_{ n+2 }\left( z \right) \right| +.............+\left| { f }_{ n+p }\left( z \right) \right| \le { M }_{ n+1 }+{ M }_{ n+2 }+...............+{ M }_{ n+p }<\varepsilon

\left| { f }_{ n+1 }\left( z \right) +{ f }_{ n+2 }\left( z \right) +..............+{ f }_{ n+p }\left( z \right) \right| <\varepsilon \forall n\ge m,p\ge 1

तथा प्रत्येक z\in E
अतः एकसमान अभिसृत के सिद्धान्त से \sum { { f }_{ n }\left( z \right) } एकसमान अभिसारी है।
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2.सम्मिश्र विश्लेषण में वायर्स्ट्रास M-परीक्षण के उदाहरण और समाधान (Weiertrass M-test in Complex Analysis Examples and Solutions),एकसमान अभिसारी उदाहरणों के लिए वायर्स्ट्रास M-परीक्षण (Weierstrass M-Test for uniform convergence examples)-

निम्न श्रेणियों को दिए गए क्षेत्र में एकसमान अभिसारी होने की जांच कीजिए:
(Test for uniform convergence of following series in the indicated region:)
Example-1.\overset { \infty }{ \underset { n=1 }{ \Sigma } } \frac { { z }^{ n } }{ n\sqrt { n+1 } } ,\left| z \right| \le 1
Solution-\overset { \infty }{ \underset { n=1 }{ \Sigma } } \frac { { z }^{ n } }{ n\sqrt { n+1 } } \\ { u }_{ n }\left( z \right) =\frac { { z }^{ n } }{ n\sqrt { n+1 } } \\ \left| { u }_{ n }\left( z \right) \right| =\frac { { \left| z \right| }^{ n } }{ n\sqrt { n+1 } } \\ \qquad \le \frac { 1 }{ { n }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } [\because \left| z \right| \le 1]\\ \sum { { M }_{ n } } =\sum { \frac { 1 }{ { n }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } }
हाइपर-हारमोनिक श्रेणी से p=\frac { 3 }{ 2 } >1, अतः श्रेणी अभिसारी है।
इसलिए सम्मिश्र विश्लेषण में वायर्स्ट्रास M-परीक्षण (Weiertrass M-test in Complex Analysis) से श्रेणी एकसमान अभिसारी है।
Example-2.\overset { \infty }{ \underset { n=1 }{ \Sigma } } { (-1) }^{ n-1 }\frac { { z }^{ 2n-1 } }{ 1-{ z }^{ 2n-1 } } ,[\left| z \right| \le 1]
Solution-\overset { \infty }{ \underset { n=1 }{ \Sigma } } { (-1) }^{ n-1 }\frac { { z }^{ 2n-1 } }{ 1-{ z }^{ 2n-1 } } ,[\left| z \right| \le 1]\\ { u }_{ n }\left( z \right) =\overset { \infty }{ \underset { n=1 }{ \Sigma } } { (-1) }^{ n-1 }\frac { { z }^{ 2n-1 } }{ 1-{ z }^{ 2n-1 } } \\ \left| { u }_{ n }\left( z \right) \right| =\left| { (-1) }^{ n-1 }\frac { { z }^{ 2n-1 } }{ 1-{ z }^{ 2n-1 } } \right| \\ \le \frac { { \left| { z } \right| }^{ 2n } }{ 1-{ \left| { z } \right| }^{ 2n-1 } } \\ \le \frac { { r }^{ 2n } }{ 1-{ r }^{ 2n-1 } } ={ M }_{ n }
Where \left| { z } \right| =r and r<1

\frac { { M }_{ n+1 } }{ { M }_{ n } } =\frac { { r }^{ 2n+2 } }{ 1-{ r }^{ 2n+1 } } .\frac { 1-{ r }^{ 2n-1 } }{ { r }^{ 2n } } \\ \frac { { M }_{ n+1 } }{ { M }_{ n } } =\frac { { r }^{ 2 }\left( 1-{ r }^{ 2n-1 } \right) }{ 1-{ r }^{ 2n+1 } } \\ \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { M }_{ n+1 } }{ { M }_{ n } } } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { \left( 1-{ r }^{ 2n-1 } \right) { r }^{ 2 } }{ 1-{ r }^{ 2n+1 } } } \\ ={ r }^{ 2 }<1
अतः श्रेणी \Sigma { M }_{ n } अभिसारी है।फलत: सम्मिश्र विश्लेषण में वायर्स्ट्रास M-परीक्षण (Weiertrass M-test in Complex Analysis) से श्रेणी एकसमान अभिसारी है।

Example-3.\overset { \infty }{ \underset { n=1 }{ \Sigma } } \frac { 1 }{ { z }^{ 2 }-{ n }^{ 2 }{ \pi }^{ 2 } } \forall z\neq n\pi ,n\in N
Solution-\overset { \infty }{ \underset { n=1 }{ \Sigma } } \frac { 1 }{ { z }^{ 2 }-{ n }^{ 2 }{ \pi }^{ 2 } } \\ { u }_{ n }\left( z \right) =\frac { 1 }{ { z }^{ 2 }-{ n }^{ 2 }{ \pi }^{ 2 } } \\ \left| { u }_{ n }\left( z \right) \right| =\left| \frac { 1 }{ { z }^{ 2 }-{ n }^{ 2 }{ \pi }^{ 2 } } \right| \\ \qquad \le \frac { 1 }{ { n }^{ 2 }{ \pi }^{ 2 }-{ \left| z \right| }^{ 2 } } \\ \qquad \le \frac { 1 }{ { n }^{ 2 }{ \pi }^{ 2 }-{ r }^{ 2 } } जहां \left| z \right| =r\neq n\pi

\left| { u }_{ n }\left( z \right) \right| <\frac { 1 }{ { n }^{ 2 }{ \pi }^{ 2 }-{ r }^{ 2 } } ={ M }_{ n }(माना )

\Sigma { M }_{ n }=\Sigma \frac { 1 }{ { n }^{ 2 }{ \pi }^{ 2 }-{ r }^{ 2 } } \le \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } }

अतः हाइपर हारमोनिक श्रेणी से p=2>1,श्रेणी अभिसारी है।
फलत: सम्मिश्र विश्लेषण में वायर्स्ट्रास M-परीक्षण (Weiertrass M-test in Complex Analysis) से श्रेणी एकसमान अभिसारी है।
सिद्ध कीजिए कि निम्न श्रेणीयां सभी z के लिए निरपेक्ष एवं एकसमान अभिसारी है:
(Prove that the following series are absolutely and uniformly convergent for all values of z:)
Example-4.z-\frac { { z }^{ 3 } }{ 3! } +\frac { { z }^{ 5 } }{ 5! } -...........+\frac { { (-1) }^{ n }{ z }^{ 2n+1 } }{ (2n+1)! } +........
Solution-{ u }_{ n }\left( z \right) ={ (-1) }^{ n }\frac { { z }^{ 2n+1 } }{ (2n+1)! } \\ { u }_{ n+1 }\left( z \right) ={ (-1) }^{ n+1 }\frac { { z }^{ 2n+3 } }{ (2n+3)! } \\ \left| { u }_{ n }\left( z \right) \right| =\left| { (-1) }^{ n }\frac { { z }^{ 2n+1 } }{ (2n+1)! } \right| \\ \left| { u }_{ n }\left( z \right) \right| =\frac { \left| { (-1) }^{ n } \right| { \left| z \right| }^{ 2n+1 } }{ \left| (2n+1)! \right| } \\ \qquad =\frac { { \left| z \right| }^{ 2n+1 } }{ \left| (2n+1)! \right| } \\ \qquad =\frac { { r }^{ 2n+1 } }{ \left| (2n+1)! \right| } \left| z \right| =r \\ ={ M }_{ n } (माना )

\left| { u }_{ n+1 }\left( z \right) \right| =\left| { (-1) }^{ n+1 }\frac { { z }^{ 2n+3 } }{ (2n+3)! } \right| \\ \left| { u }_{ n }\left( z \right) \right| =\frac { \left| { (-1) }^{ n+1 } \right| { \left| z \right| }^{ 2n+3 } }{ \left| (2n+3)! \right| } \\ =\frac { { \left| z \right| }^{ 2n+3 } }{ \left| (2n+3)! \right| } \\ =\frac { { r }^{ 2n+3 } }{ \left| (2n+3)! \right| } ={ M }_{ n+1 }(माना )

\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \left| \frac { { u }_{ n+1 }\left( z \right) }{ { u }_{ n }\left( z \right) } \right| =\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { { M }_{ n+1 } }{ { M }_{ n } } \\ =\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { { r }^{ 2n+3 }(2n+1)! }{ { r }^{ 2n+1 }(2n+3)! } \\ =\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { { r }^{ 2 }(2n+1)! }{ (2n+3)! } \\ =\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { { r }^{ 2 } }{ (2n+3)(2n+2) } \\ =0<1

अतः श्रेणी एकसमान अभिसारी है।
\Sigma { M }_{ n } अभिसारी है तथा \left| { u }_{ n }\left( z \right) \right| \le { M }_{ n } तथा अभिसारी है। इसलिए सम्मिश्र विश्लेषण में वायर्स्ट्रास M-परीक्षण (Weiertrass M-test in Complex Analysis) से श्रेणी निरपेक्ष एवं एकसमान अभिसारी है।
Example-5.1-\frac { { z }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { z }^{ 4 } }{ 4! } -........+\frac { { (-1) }^{ n }{ z }^{ 2n } }{ (2n)! }
Solution-{ u }_{ n }\left( z \right) ={ (-1) }^{ n }\frac { { z }^{ 2n } }{ (2n)! } \\ { u }_{ n+1 }\left( z \right) ={ (-1) }^{ n+1 }\frac { { z }^{ 2n+2 } }{ (2n+2)! } \\ \left| { u }_{ n }\left( z \right) \right| =\left| { (-1) }^{ n }\frac { { z }^{ 2n } }{ (2n)! } \right| \\ =\frac { { \left| z \right| }^{ 2n } }{ (2n)! } ={ M }_{ n }(माना )

\left| { u }_{ n+1 }\left( z \right) \right| =\left| { (-1) }^{ n+1 }\frac { { z }^{ 2n+2 } }{ (2n+2)! } \right| \\ =\frac { { \left| z \right| }^{ 2n+2 } }{ (2n+2)! } ={ M }_{ n+1 }(माना )

\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \left| \frac { { u }_{ n+1 }\left( z \right) }{ { u }_{ n }\left( z \right) } \right| =\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { { M }_{ n+1 } }{ { M }_{ n } } \\ =\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { \left| z \right| ^{ 2n+2 }(2n)! }{ (2n+2)!\left| z \right| ^{ 2n } } \\ =\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { \left| z \right| ^{ 2 } }{ (2n+2)(2n+1) }

यदि \left| z \right| =r\\ =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { \left| r \right| ^{ 2 } }{ (2n+3)(2n+2) } } \\ =0<1

अतः श्रेणी निरपेक्ष अभिसारी है।
\Sigma { M }_{ n }अभिसारी है तथा तथा \left| { u }_{ n }\left( z \right) \right| \le { M }_{ n } अभिसारी है। इसलिए सम्मिश्र विश्लेषण में वायर्स्ट्रास M-परीक्षण (Weiertrass M-test in Complex Analysis) से श्रेणी निरपेक्ष एवं एकसमान अभिसारी है।
Example-6.निम्न श्रेणी के लिए अभिसरण का प्रांत ज्ञात कीजिए:
(Find domains of convergence of the following series:)

{ u }_{ n }=\sum { \frac { 1.3.5..........(2n-1) }{ n! } { \left( \frac { 1-z }{ z } \right) }^{ n } }
Solution-{ u }_{ n+1 }=\sum { \frac { 1.3.5...........(2n-1)(2n+1) }{ (n+1)! } { \left( \frac { 1-z }{ z } \right) }^{ n+1 } } \\ \underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \left| \frac { { u }_{ n+1 } }{ { u }_{ n } } \right| =\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \left| \frac { n! }{ (n+1)! } .(2n-1)\left( \frac { 1-z }{ z } \right) \right| \\ =\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \left| \frac { (2n-1) }{ (n+1) } .\left( \frac { 1-z }{ z } \right) \right| \\ =2\frac { \left| 1-z \right| }{ \left| z \right| }
श्रेणी अभिसारी है यदि 2\frac { \left| 1-z \right| }{ \left| z \right| } <1\Rightarrow 4{ \left| 1-z \right| }^{ 2 }<{ \left| z \right| }^{ 2 }

\Rightarrow 4(1-z)(1-\bar { z } )<z\bar { z } \\ \Rightarrow 4[1-(z+\bar { z } )+z\bar { z } ]<z\bar { z } \\ \Rightarrow 4-4(z+\bar { z } )+3z\bar { z } <0\\ \Rightarrow z\bar { z } -\frac { 4 }{ 3 } (z+\bar { z } )+\frac { 16 }{ 9 } <\frac { 16 }{ 9 } -\frac { 4 }{ 3 } \\ \Rightarrow (z-\frac { 4 }{ 3 } )(\bar { z } +\frac { 4 }{ 3 } )<\frac { 4 }{ 9 } \\ \Rightarrow { \left| z-\frac { 4 }{ 3 } \right| }^{ 2 }<\frac { 4 }{ 9 } \\ \Rightarrow { \left| z-\frac { 4 }{ 3 } \right| }<\frac { 2 }{ 3 }
जो कि वृत्त का समीकरण है जिसका केन्द्र \frac { 4 }{ 3 } व त्रिज्या \frac { 2 }{ 3 } है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सम्मिश्र विश्लेषण में वायर्स्ट्रास M-परीक्षण (Weiertrass M-test in Complex Analysis) को समझ सकते हैं।

3.सम्मिश्र विश्लेषण में वायर्स्ट्रास M-परीक्षण की समस्याएं (Weiertrass M-test in Complex Analysis Problems:)

निम्न श्रेणियों के लिए दिए गए क्षेत्र में एकसमान अभिसारी होने की जांच कीजिए:
(Test for uniform convergence of following series in the indicated region:)

(1)\sum _{ n=1 }^{ \infty } \frac { { (z+2) }^{ n-1 } }{ { (n+1) }^{ 3 }{ 4 }^{ n } } \\ (2)\sum _{ n=1 }^{ \infty } \frac { { (-1) }^{ n } }{ n! } .\frac { 1 }{ z+n } \\ (3)\sum _{ n=1 }^{ \infty } \frac { 1 }{ { n }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } } ,1<\left| z \right| <2\\ (4)\sum  \frac { { z }^{ 2n } }{ 1-{ z }^{ 2n } } ,\left| z \right| <r\quad where\quad 0<r<1

निम्न श्रेणियों के लिए अभिसरण का प्रांत ज्ञात कीजिए:
(Find domains of convergence of the following series:)

(5)\frac { 1 }{ 2 } z+\frac { 1.3.5 }{ 2.5.8 } { z }^{ 3 }+.......\\ (6)\sum _{ n=1 }^{ \infty } \frac { { z }^{ n } }{ n{ (\log { n } ) }^{ 2 } }
उत्तर-
(1.)एकसमान अभिसारी
(2.)एकसमान अभिसारी
(3.)एकसमान अभिसारी
(4.)एकसमान अभिसारी

(5)\left| z \right| \le \frac { 2 }{ 3 } \\ (6)z\le 1
उपर्युक्त समस्याओं को हल करने पर सम्मिश्र विश्लेषण में वायर्स्ट्रास M-परीक्षण (Weiertrass M-test in Complex Analysis) ओर ठीक से समझ में आ जाएगा।

4.वायर्स्ट्रास M-परीक्षण (Weierstrass M-Test)-

गणित में, वायर्स्ट्रास M-परीक्षण यह निर्धारित करने के लिए एक परीक्षण है कि क्या फलनों की एक अनंत श्रृंखला एकसमान और निरपेक्ष अभिसारी होती है।

5.एकसमान अभिसारी उदाहरणों के लिए वायर्स्ट्रास M-परीक्षण और सांत्यता (Weierstrass M-Test for uniform convergence and continuity)-

गणित में, वायर्स्ट्रास M-परीक्षण यह निर्धारित करने के लिए एक परीक्षण है कि क्या फलनों की एक अनंत श्रृंखला एकसमान रूप से और निरपेक्ष अभिसारी होती है।इसका नाम जर्मन गणितज्ञ कार्ल वायर्स्ट्रास (1815-1897) के नाम पर रखा गया है।

6.वायर्स्ट्रास M-परीक्षण फूरियर श्रृंखला (Weierstrass M-Test fourier series)-

वायर्स्ट्रास M-परीक्षण का उपयोग करते हुए, यह श्रृंखला एकसमान रूप से एक सतत फ़ंक्शन में अभिसृत होती है। वास्तव में, निम्नलिखित परिणाम के कारण, यह एकसमान रूप से { f }_{ 2 } में अभिसृत हो जाती है।एक निरंतर, 2π-आवधिक फ़ंक्शन की फूरियर श्रृंखला जो [−π, π] पर { f }_{ 2 }– टुकड़े के समान है, एकसमान रूप से फ़ंक्शन में अभिसृत होती है।

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