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Harmonic function in complex analysis

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1 1.सम्मिश्र विश्लेषण में प्रसंवादी फलन (Harmonic function in complex analysis)-

1.सम्मिश्र विश्लेषण में प्रसंवादी फलन (Harmonic function in complex analysis)-

(1.)सम्मिश्र विश्लेषण में प्रसंवादी फलन (Harmonic function in complex analysis) की परिभाषा,सम्मिश्र विश्लेषण में हार्मोनिक फ़ंक्शन को परिभाषित करें (Define harmonic function in complex analysis)-

किसी वास्तविक मान फलन u(z) या u(x,y) को,जो किसी प्रदेश D में परिभाषित है और एकमानी हो तब प्रदेश D में एक प्रसंवादी फलन होता है जबकि वह और उसके प्रथम दो कोटियों के आंशिक अवकलज संतत हो और लाप्लास समीकरण

\Delta u=\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { x }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { y }^{ 2 } } =0
को संतुष्ट करता हो,किसी विश्लेषिक फलन के वास्तविक और सम्मिश्र भाग अनिवार्यतः प्रसंवादी फलन होते हैं।

(2.)आप एक हार्मोनिक फ़ंक्शन कैसे दिखाते हैं? (How do you show a harmonic function?)-

प्रमेय (Theorem):यदि D में f(z)=u(x,y)+iv(x,y) एक विश्लेषिक फलन हो तब u(x,y) तथा v(x,y) प्रान्त D में प्रसंवादी है।
(If f(z)=u(x,y)+iv(x,y) is analytic function in domain D then u(x,y) and v(x,y) harmonic function in D.)
उपपत्ति (Proof):चूंकि फलन f(z) एक प्रदेश D में विश्लेषिक है इसलिए कोशी-रीमान समीकरणों से-
\frac { { \partial }u }{ \partial { x } } =\frac { { \partial }v }{ \partial { y } } तथा \frac { { \partial }u }{ \partial { y } } =-\frac { { \partial }v }{ \partial { x } } ..........(1)
पुनः u तथा v एक विश्लेषिक फलन के वास्तविक तथा अधिकल्पित भाग हैं इसलिए u तथा v के हर कोटि के अवकलजों का अस्तित्व होगा और ये अवकलज संतत भी हैं। इसलिए

\frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial x\partial y } =\frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial y\partial x } .............(2)
(1) की समीकरणों का अवकलन करने पर-
\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { x }^{ 2 } } =\frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial x\partial y } तथा\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { y }^{ 2 } } =-\frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial y\partial x }
दोनों समीकरणों का योग करने पर-

\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { x }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { y }^{ 2 } } =0
इसी प्रकार \frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial { x }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial { y }^{ 2 } } =0
प्रान्त D के प्रत्येक बिन्दु पर। अतः u तथा v प्रसंवादी फलन है।
यदि f(z)=u(x,y)+iv(x,y) विश्लेषिक फलन है तब v,u का प्रसंवादी संयुग्मी कहलाता है। चूंकि f विश्लेषिक है अतः if=I(u+iv)=-v+iv विश्लेषिक फलन है फलत: प्रतिसममित गुण अनुसार v,u का प्रसंवादी संयुग्मी होगा यदि और केवल यदि u,-v का प्रसंवादी संयुग्मी है।
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2.प्रसंवादी संयुग्मी ज्ञात करने के लिए कोशी-रीमान समीकरण का अनुप्रयोग (Application of Cauchy-Riemann equations to find harmonic conjugate),संयुग्मी प्रसंवादी फलन (Conjugate harmonic function)-

प्रमेय (Theorem): यदि f(z)=u+iv विश्लेषिक फलन है, जहां दोनों u(x,y) तथा v(x,y) संयुग्मी फलन है।माना इसमें से एक u(x,y) दिया हुआ है तब दूसरे v(x,y) को ज्ञात करना।
(If f(z)=u+iv is an analytic function,where both u(x,y) and v(x,y) are conjugate harmonic functions.Let one of the these say u(x,y) is given, to find the other v(x,y))
उपपत्ति (Proof): चूंकि वास्तविक चर x,y का फलन है इसलिए
dv=\frac { { \partial }v }{ \partial { x } } dx+\frac { { \partial }v }{ \partial { y } } dy\\ =-\frac { { \partial }u }{ \partial { y } } dx+\frac { { \partial }u }{ \partial { x } } dy(कोशी-रीमान समीकरण से)
इसका दक्षिण पक्ष (RHS) का रूप Mdx+Ndy है जहां

M=-\frac { { \partial }u }{ \partial { y } } ,N=\frac { { \partial }u }{ \partial { x } }
इसलिए \frac { { \partial }M }{ \partial { y } } =\frac { { \partial } }{ \partial { y } } (-\frac { { \partial }u }{ \partial { y } } )=-\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { y }^{ 2 } }
तथा\frac { { \partial }N }{ \partial { x } } =\frac { { \partial } }{ \partial { x } } (\frac { { \partial }u }{ \partial { y } } )=-\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { x }^{ 2 } }
अब क्योंकि u प्रसंवादी फलन है इसलिए लाप्लास समीकरण को सन्तुष्ट करता है अर्थात्

\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial y }^{ 2 } } =0\\ \Rightarrow \frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } =-\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial y }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { { \partial }M }{ \partial { y } } =\frac { { \partial }N }{ \partial { x } }
अतः-\frac { { \partial }u }{ \partial { y } } dx+\frac { { \partial }u }{ \partial { x } } dy
यथातथ अवकल समीकरण (Exact Differential Equation) के प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करता है।
इसलिएdv=-\frac { { \partial }u }{ \partial { y } } dx+\frac { { \partial }u }{ \partial { x } } dy
का समाकलन किया जा सकता है और इस प्रकार v को ज्ञात किया जा सकते हैं।

3.सम्मिश्र विश्लेषण में प्रसंवादी फलन के उदाहरण (Harmonic function in complex analysis Examples)-

Example-1.यदि \phi तथा\psi ,x,y के विश्लेषिक फलन है और लाप्लास समीकरण को सन्तुष्ट करता है तो प्रदर्शित करिए कि s+it एक विश्लेषिक फलन है, जहां
(If \phi and \psi and are analytic functions of x  y satisfying Laplace’s equation,show that (s+it) is analytic,where
s=\frac { { \partial }\phi }{ \partial { y } } -\frac { { \partial }\psi }{ \partial { x } } तथा (and)t=\frac { { \partial }\phi }{ \partial { x } } +\frac { { \partial }\psi }{ \partial { y } }
Solution\phi (x,y)तथा\psi (x,y) विश्लेषिक फलन है तथा लाप्लास समीकरण को सन्तुष्ट करते हैं अतः

\frac { { \partial }^{ 2 }\phi }{ \partial { x }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }\phi }{ \partial { y }^{ 2 } } =0............(1)\\ \frac { { \partial }^{ 2 }\psi }{ \partial { x }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }\psi }{ \partial { y }^{ 2 } } =0............(2)
दिया है-s=\frac { { \partial }\phi }{ \partial { y } } -\frac { { \partial }\psi }{ \partial { x } } तथा (and)t=\frac { { \partial }\phi }{ \partial { x } } +\frac { { \partial }\psi }{ \partial { y } }

\frac { { \partial }s }{ \partial { x } } =\frac { { \partial }^{ 2 }\phi }{ \partial x\partial y } -\frac { { \partial }^{ 2 }\psi }{ \partial { x }^{ 2 } } ...............(3)\\ \frac { { \partial }t }{ \partial { y } } =\frac { { \partial }^{ 2 }\phi }{ \partial y\partial x } +\frac { { \partial }^{ 2 }\psi }{ \partial { y }^{ 2 } } ..............(4)

समीकरण (2) में से (4) घटाने पर-

\frac { { \partial }s }{ \partial { x } } -\frac { { \partial }t }{ \partial { y } } =\frac { { \partial }^{ 2 }\phi }{ \partial x\partial y } -\frac { { \partial }^{ 2 }\psi }{ \partial { x }^{ 2 } } -\left( \frac { { \partial }^{ 2 }\phi }{ \partial y\partial x } -\frac { { \partial }^{ 2 }\psi }{ \partial { y }^{ 2 } } \right) \\ \\ \frac { { \partial }s }{ \partial { x } } -\frac { { \partial }t }{ \partial { y } } =\frac { { \partial }^{ 2 }\phi }{ \partial x\partial y } -\frac { { \partial }^{ 2 }\psi }{ \partial { x }^{ 2 } } -\frac { { \partial }^{ 2 }\phi }{ \partial y\partial x } +\frac { { \partial }^{ 2 }\psi }{ \partial { y }^{ 2 } } \\ \\ =-\left( \frac { { \partial }^{ 2 }\psi }{ \partial { x }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }\psi }{ \partial { y }^{ 2 } } \right) =-(0)=0\\ \frac { { \partial }s }{ \partial { x } } -\frac { { \partial }t }{ \partial { y } } =0\\ \Rightarrow \frac { { \partial }s }{ \partial { x } } =\frac { { \partial }t }{ \partial { y } }

इसी प्रकार

\frac { { \partial }s }{ \partial { y } } =\frac { { \partial }^{ 2 }\phi }{ \partial { y }^{ 2 } } -\frac { { \partial }^{ 2 }\psi }{ \partial y\partial x } ...........(5)\\ \frac { { \partial }t }{ \partial { x } } =\frac { { \partial }^{ 2 }\phi }{ \partial { x }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }\psi }{ \partial x\partial y } ...........(6)
समीकरण (5) व (6) को जोड़ने पर-

\frac { { \partial }s }{ \partial { y } } +\frac { { \partial }t }{ \partial { x } } =\frac { { \partial }^{ 2 }\phi }{ \partial { y }^{ 2 } } -\frac { { \partial }^{ 2 }\psi }{ \partial y\partial x } +\frac { { \partial }^{ 2 }\phi }{ \partial { x }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }\psi }{ \partial x\partial y } \\ \Rightarrow \frac { { \partial }s }{ \partial { y } } +\frac { { \partial }t }{ \partial { x } } =\frac { { \partial }^{ 2 }\phi }{ \partial { y }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }\phi }{ \partial { x }^{ 2 } } =0\\ \Rightarrow \frac { { \partial }s }{ \partial { y } } +\frac { { \partial }t }{ \partial { x } } =0\\ \Rightarrow \frac { { \partial }s }{ \partial { y } } =-\frac { { \partial }t }{ \partial { x } }
\phi तथा\psi  लाप्लास समीकरण को सन्तुष्ट करते हैं।
अतः \frac { { \partial }s }{ \partial { x } } =\frac { { \partial }t }{ \partial { y } } एवं \frac { { \partial }s }{ \partial { y } } =-\frac { { \partial }t }{ \partial { x } }
कोशी-रीमान समीकरण सन्तुष्ट होती है।फलत: s+it एक विश्लेषिक समीकरण है।
Example-2.सिद्ध कीजिए किu={ y }^{ 3 }-3{ x }^{ 2 }y प्रसंवादी फलन है।इसका प्रसंवादी संयुग्मी ज्ञात करिए तथा इसके संगत विश्लेषिक फलन f(z),z के पदों में ज्ञात कीजिए।
Solution-u={ y }^{ 3 }-3{ x }^{ 2 }y..................(1)
x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac { { \partial }u }{ \partial { x } } =-6xy=\phi \left( x,y \right)
पुनः x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { x }^{ 2 } } =-6y..................(2)
y के सापेक्ष समीकरण (1) का आंशिक अवकलन करने पर-

\frac { { \partial }u }{ \partial { y } } =3{ y }^{ 2 }-3{ x }^{ 2 }=\psi \left( x,y \right)
पुनः y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac { { \partial }u }{ \partial { y } } =6y...........(3)
(2) व (3) से-

\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { x }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { y }^{ 2 } } =0
अतः u प्रसंवादी फलन है।
माना v(x,y) इसका संयुग्मी प्रसंवादी फलन है।तब
dv=\frac { { \partial }v }{ \partial { x } } .dx+\frac { { \partial }v }{ \partial { y } } .dy\\ =-\frac { { \partial }u }{ \partial { y } } .dx+\frac { { \partial }u }{ \partial { x } } .dy[कोशी-रीमान समीकरण से]

dv=(-3{ y }^{ 2 }+3{ x }^{ 2 })dx+(-6xy)dy

जो यथातथ अवकल समीकरण (Exact Differential Equation) है।
अतः समाकलन करने पर-
\int { dv } =\int { (-3{ y }^{ 2 }+3{ x }^{ 2 })dx } +\int { 0dy } (केवल x रहित पद)

v=-3x{ y }^{ 2 }+{ x }^{ 3 }+c
जो u का संयुग्मी प्रसंवादी फलन है।
पुनः संगत विश्लेषिक फलन f(z) हो तो
f(z)=u+iv

\Rightarrow f\left( z \right) ={ y }^{ 3 }-3{ x }^{ 2 }y+i(-3x{ y }^{ 2 }+{ x }^{ 3 }+c)\\ f\left( z \right) ={ y }^{ 3 }-3{ x }^{ 2 }y+-3ix{ y }^{ 2 }+i{ x }^{ 3 }+ic\\ =i{ \left( x+iy \right) }^{ 3 }+d\\ \Rightarrow f\left( z \right) =i{ z }^{ 3 }+d

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा सम्मिश्र विश्लेषण में प्रसंवादी फलन (Harmonic function in complex analysis) को समझा जा सकता है

Example-3.सिद्ध कीजिए किu={ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } ,v=-\frac { y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } यदि दोनों u तथा v लाप्लास समीकरण को सन्तुष्ट करते हैं परन्तु u+iv,z का विश्लेषिक फलन नहीं है।
(Prove that u={ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } ,v=-\frac { y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } if both u and v satisfy Laplace’s equation,but u+iv is not an analytic function of z.)
Solutionu={ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }...................(1)
x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac { { \partial }u }{ \partial { x } } =2x

पुनः x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { x }^{ 2 } } =2...................(2)
y के सापेक्ष समीकरण (1) का आंशिक अवकलन करने पर-

\frac { { \partial }u }{ \partial { x } } =-2y
पुनः y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { y }^{ 2 } } =-2..................(3)
समीकरण (2) व (3) को जोड़ने पर-

\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { x }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { y }^{ 2 } } =0\\ v=-\frac { y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } ...............(4)
x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac { { \partial }v }{ \partial { x } } =\frac { 2xy }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 2 } }
पुनः x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial { x }^{ 2 } } =2y\left[ \frac { { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 2 }.1-x.2{ \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }.2x }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 4 } } \right] \\ \Rightarrow \frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial { x }^{ 2 } } =2y\left[ \frac { { { -4x }^{ 2 } } }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 3 } } \right] \\ \Rightarrow \frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial { x }^{ 2 } } =2y\left[ \frac { { { { y }^{ 2 }-3x }^{ 2 } } }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 3 } } \right] \\ \Rightarrow \frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial { x }^{ 2 } } =\frac { { { { 2y }^{ 3 }-6x }^{ 2 }y } }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 3 } } ...............(5)
y के सापेक्ष समीकरण (4) का आंशिक अवकलन करने पर-

\frac { \partial v }{ \partial y } =-[\frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }.1-y.2y }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } ]\\ \Rightarrow \frac { \partial v }{ \partial y } =-\frac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 2 } }
पुनः y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial { x }^{ 2 } } =-[\frac { { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 2 }(-2y)-{ 2\left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }2y }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 4 } } ]\\ \Rightarrow \frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial { x }^{ 2 } } =-[\frac { { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }(-2y)-{ 4y\left( { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } \right) } }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 3 } } ]\\ \Rightarrow \frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial { x }^{ 2 } } =-[\frac { -2{ x }^{ 2 }y-2{ y }^{ 3 }-4{ x }^{ 2 }y+4{ y }^{ 3 } }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 3 } } ]\\ \Rightarrow \frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial { x }^{ 2 } } =-[\frac { -6{ x }^{ 2 }y+2{ y }^{ 3 } }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 3 } } ]\\ \Rightarrow \frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial { x }^{ 2 } } =\frac { 6{ x }^{ 2 }y-2{ y }^{ 3 } }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 3 } } ....(6)
समीकरण (5) व (6) को जोड़ने पर-

\Rightarrow \frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial { x }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial { x }^{ 2 } } =\frac { { { { 2y }^{ 3 }-6x }^{ 2 }y } }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 3 } } +\frac { 6{ x }^{ 2 }y-2{ y }^{ 3 } }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 3 } } \\ \Rightarrow \frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial { x }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial { x }^{ 2 } } =\frac { { { { 2y }^{ 3 }-6x }^{ 2 }y+6{ x }^{ 2 }y-2{ y }^{ 3 } } }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 3 } } \\ \Rightarrow \frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial { x }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial { x }^{ 2 } } =\frac { { 0 } }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 3 } } \\ \Rightarrow \frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial { x }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial { x }^{ 2 } } =0
अतः u तथा v लाप्लास समीकरण को सन्तुष्ट करते हैं।
f(z)=u+iv={ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }+i[\frac { -y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } ]
f(z)=u+iv={ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }-\frac { iy }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \\ \frac { \partial u }{ \partial x } =2x,\frac { \partial v }{ \partial y } =-\frac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } \\ \frac { \partial u }{ \partial y } =-2y,\frac { \partial v }{ \partial x } =\frac { 2xy }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { \partial u }{ \partial x } \neq \frac { \partial v }{ \partial y } तथा \frac { \partial u }{ \partial y } \neq -\frac { \partial v }{ \partial x }
f(z)=u+iv,तब u व v कोशी-रीमान समीकरण सन्तुष्ट नहीं करते हैं। अतः u+iv ,z का विश्लेषिक फलन नहीं है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सम्मिश्र विश्लेषण में प्रसंवादी फलन (Harmonic function in complex analysis) को समझा जा सकता है।

4.सम्मिश्र विश्लेषण में हार्मोनिक फ़ंक्शन समस्याएं (Harmonic function in complex analysis problems)-

प्रदर्शित कीजिए कि निम्न फलन प्रसंवादी है तथा प्रसंवादी संयुग्मी भी ज्ञात कीजिए।
(Show that the following function is Harmonic function and also find the Harmonic conjugate function .)

(1)u={ e }^{ x }(x\cos { y } -y\sin { y } )\\ (2)u={ e }^{ x }\sin { y } \\ (3)u=\sin { x } \cosh { y } \\ (4)u={ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }\\ (5)v=\cos { x } \cosh { y } \\ (6)v=\frac { x-y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \\ (7)v=\tan ^{ -1 }{ (\frac { y }{ x } ) } \\ (8)u=\frac { 1 }{ 2 } \log { ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) } \\ (9)u=\cos { x } \cosh { y } \\ (10)2x-{ x }^{ 3 }+3x{ y }^{ 2 }\\ (11){ e }^{ -x }(x\cos { y } +y\sin { y } )

5.किसी फंक्शन के हार्मोनिक होने का क्या मतलब है? (What does it mean for a function to be harmonic?)-

हार्मोनिक फ़ंक्शन, दो चर का गणितीय फलन,जिसमें किसी भी बिंदु पर इसका मान उस बिंदु के आसपास किसी भी सर्कल के साथ इसके मूल्यों के औसत के बराबर है, बशर्ते फ़ंक्शन को सर्कल के भीतर परिभाषित किया गया हो।

6.सम्मिश्र विश्लेषण का उपयोग क्या है? (What is the use of complex analysis?)-

सम्मिश्र विश्लेषण उनके अवकलजों, हेरफेर और अन्य गुणों के साथ मिलकर सम्मिश्र संख्याओं का अध्ययन है। सम्मिश्र विश्लेषण भौतिक समस्याओं के समाधान के लिए अप्रत्याशित रूप से बड़ी संख्या में व्यावहारिक अनुप्रयोगों के साथ एक अत्यंत शक्तिशाली उपकरण है।

7.हार्मोनिक समीकरण क्या है? (What is harmonic equation?)-

कुछ बिंदु पर मूल्यांकन किया गया एक हार्मोनिक फ़ंक्शन उस बिंदु पर केंद्रित कुछ सर्कल (या गोले) के आसपास उस फ़ंक्शन के औसत मूल्य के बराबर है।

8.हार्मोनिक फ़ंक्शन अनुप्रयोग (Harmonic function application)-

हार्मोनिक फ़ंक्शन लाप्लास के समीकरण के समाधान हैं। इस तरह के फलनों का उपयोग संभावित-क्षेत्र पथ योजना के लिए लाभ के लिए किया जा सकता है क्योंकि वे स्थानिक स्थानीय मिनीमा को प्रदर्शित नहीं करते हैं। हार्मोनिक फलनों को यहां कई गुणों को दिखाया गया है जो रोबोटिक्स अनुप्रयोगों के लिए आवश्यक हैं।

9.सम्मिश्र विश्लेषण में हार्मोनिक फ़ंक्शन क्या है (what is harmonic function in complex analysis)-

गणित, गणितीय भौतिकी और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में, एक हार्मोनिक फ़ंक्शन एक दो बार सतत अवकलनीय फलन है f: U → R, जहां U, { R }^{ n } का एक खुला उपसमूह है, जो लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करता है, यानी कि हर जगह U।

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सम्मिश्र विश्लेषण में प्रसंवादी फलन (Harmonic function in complex analysis) को समझा जा सकता है।

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