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Cauchy-Riemann Equations

1.कोशी-रीमान समीकरण का परिचय (Introduction to Cauchy-Riemann Equations)-

कोशी-रीमान समीकरण (Cauchy-Riemann Equations,Cauchy-Riemann Equations Spplication)-
गणित में सम्मिश्र विश्लेषण के क्षेत्र में,आगस्टिन-कॉशी और बर्नहार्ड रीमैन के नाम पर कोशी-रीमैन समीकरणों में दो आंशिक अवकल समीकरणों की एक प्रणाली शामिल है,जो कुछ संतत् और अवकलनीयता मानदंड के साथ मिलकर एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति बनाते हैं।सम्मिश्र फ़ंक्शन को सम्मिश्र अवकलनीय होना,अर्थात, होलोमोर्फिक।समीकरणों की यह प्रणाली पहली बार जीन ले रों डी एलेबर्ट (डिएलबर्ट 1752) के काम में दिखाई दी। बाद में, लियोनहार्ड यूलर ने इस प्रणाली को विश्लेषणात्मक फलनों (ईयूल 1797) से जोड़ा।कॉशी (1814) ने तब इन समीकरणों का उपयोग अपने कार्यों के सिद्धांत का निर्माण करने के लिए किया था।कार्यों के सिद्धांत पर रीमैन के शोध प्रबंध (रीमैन 1851) 1851 में दिखाई दिए।
दो वास्तविक चर u (x,y) और v (x,y) के वास्तविक-मूल्यवान कार्यों की एक जोड़ी पर कॉशी-रीमैन समीकरण दो समीकरण हैं:
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2.कोशी-रीमान समीकरण की उपपत्ति (Cauchy-Riemann Equations Derivation,Cauchy-Riemann Equations Proof,Cauchy Riemann Equations in Cartesian Form)-

प्रमेय:फलन f(z)=u(x,y)+iv(x,y) के किसी प्रांत D में विश्लेषिक होने के लिए आवश्यक प्रतिबन्ध है कि उस प्रांत में u तथा v कोशी-रीमान समीकरण सन्तुष्ट करते हैं, अर्थात्
(The necessary condition that a function f(z)=u(x,y)+iv(x,y) be analytic in a domain D is that in D ,u and v satisfy the Cauchy-Riemann Equations,i.e. )

\frac { \partial u }{ \partial x } =\frac { \partial v }{ \partial y } ;\frac { \partial u }{ \partial y } =-\frac { \partial v }{ \partial x }
उपपत्ति (Proof):माना कि f(z) प्रांत D में विश्लेषिक फलन है तो D के प्रत्येक बिन्दु पर f^{ ' }\left( z \right) अद्वितीय रूप से विद्यमान है
अतः Z\in D के लिए

f^{ ' }\left( z \right) =\underset { ∆z\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { f\left( z+∆z \right) -f\left( z \right) }{ ∆z }
विद्यमान है तथा किसी भी मार्ग से बिन्दुz+∆z बिन्दु z के निकट आता है,यह सीमा अद्वितीय है।
अब हम दो स्थितियों पर विचार करते हैं
स्थिति I-माना कि\frac { f\left( z+∆z \right) -f\left( z \right) }{ ∆z } में,शून्य को वास्तविक अक्ष अर्थात् x-अक्ष के अनुदिश अग्रसर होता है तब∆z=∆x,∆y=0
इसलिए\frac { f\left( z+∆z \right) -f\left( z \right) }{ ∆z } =\frac { u(x+∆x,y)+i v(x+∆x,y)-u(x,y)-i v(x,y) }{ ∆x } \\ =\frac { u(x+∆x,y)-u(x,y) }{ ∆x } +i\frac { v(x+∆x,y)v(x,y) }{ ∆x }
अब \underset { ∆z\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { f\left( z+∆z \right) -f\left( z \right) }{ ∆z } =\underset { ∆z\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { u(x+∆x,y)-u(x,y) }{ ∆x } +i\underset { ∆z\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { v(x+∆x,y)v(x,y) }{ ∆x } \\ \therefore f^{ ' }\left( z \right) =\frac { \partial u }{ \partial x } +\iota \frac { \partial v }{ \partial x } ...........(1)
स्थिति II-माना कि ∆z=∆x शून्य की ओर अधिकल्पित अर्थात् y-अक्ष के अनुदिश अग्रसर होता तब ∆z=i∆y,∆x=0 और

\frac { f\left( z+∆z \right) -f\left( z \right) }{ ∆z } =\frac { u(x,y+∆y)+iv(x,y+∆y)-u(x,y)-iv(x,y) }{ i∆y } \\ =\frac { u(x,y+∆y)-u(x,y) }{ i∆y } +\frac { v(x,y+∆y)-v(x,y) }{ ∆y }

अतः f^{ ' }\left( z \right) =\underset { ∆z\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { f\left( z+∆z \right) -f\left( z \right) }{ ∆z } =\underset { ∆z\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { u(x,y+∆y)+iv(x,y+∆y)-u(x,y)-iv(x,y) }{ i∆y } \\ =\underset { ∆y\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { u(x,y+∆y)-u(x,y) }{ i∆y } +\underset { ∆y\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { v(x,y+∆y)-v(x,y) }{ ∆y } \\ =\frac { 1 }{ i } \frac { \partial u }{ \partial y } +\frac { \partial v }{ \partial y } \\ =\frac { \partial v }{ \partial y } -i\frac { \partial u }{ \partial y } .............(2)
समीकरण (1) एवं (2) से

f^{ ' }\left( z \right) =\frac { \partial u }{ \partial x } +i\frac { \partial v }{ \partial x } =\frac { \partial v }{ \partial y } -i\frac { \partial u }{ \partial y } ….(3)
वास्तविक तथा काल्पनिक भागों की तुलना करने पर-

\frac { \partial u }{ \partial x } =\frac { \partial v }{ \partial y } ,\frac { \partial v }{ \partial x } =-\frac { \partial u }{ \partial y } ...(4)
u(x,y),v(x,y) फलनों का प्रथम आंशिक अवकल गुणांक का न केवल अस्तित्व है बल्कि यह अवकल समीकरण (4) द्वारा सम्बद्ध (connected) है। समीकरण (4) कोशी-रीमान समीकरण (Cauchy-Riemann Equations) कहलाती है तथा फलन f(z) के विश्लेषिक होने का आवश्यक प्रतिबन्ध है।

3.कोशी-रीमान समीकरणों का ध्रुवी रूप (Polar form of Cauchy-Riemann Equations,Cauchy Riemann Equations in Polar form)-

यदिx=r\cos { \theta } ,y=r\sin { \theta } लें तो { r }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } तथा \theta =\tan ^{ -1 }{ (\frac { y }{ x } ) }
अब\frac { \partial r }{ \partial x } =\frac { x }{ r } =\cos { \theta } ,\frac { \partial r }{ \partial y } =\sin { \theta }\\ \frac { \partial \theta }{ \partial x } =\frac { 1 }{ 1+{ \left( \frac { y }{ x } \right) }^{ 2 } } \left( -\frac { y }{ { x }^{ 2 } } \right) =-\frac { \sin { \theta } }{ r }
तथा\frac { \partial \theta }{ \partial y } =\frac { \cos { \theta } }{ r }
पुनः \frac { \partial u }{ \partial x } =\frac { \partial u }{ \partial r } .\frac { \partial r }{ \partial x } +\frac { \partial u }{ \partial \theta } .\frac { \partial \theta }{ \partial x } \\ \frac { \partial u }{ \partial x } =\frac { \partial u }{ \partial r } \cos { \theta } +\frac { \partial u }{ \partial \theta } \left( -\frac { \sin { \theta } }{ r } \right) \\ \frac { \partial u }{ \partial x } =\frac { \partial u }{ \partial r } \cos { \theta } -\frac { \partial u }{ \partial \theta } \frac { \sin { \theta } }{ r } .....\left( 1 \right)
इसी प्रकार\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { \partial u }{ \partial r } \sin { \theta } +\frac { \partial u }{ \partial \theta } \frac { \cos { \theta } }{ r } ...........\left( 2 \right) \\ \frac { \partial v }{ \partial x } =\frac { \partial v }{ \partial r } \cos { \theta } -\frac { \partial v }{ \partial \theta } \frac { \sin { \theta } }{ r } .............\left( 3 \right)
तथा \frac { \partial v }{ \partial y } =\frac { \partial v }{ \partial r } \sin { \theta } +\frac { \partial v }{ \partial \theta } \frac { \cos { \theta } }{ r } .............\left( 4 \right)
कोशी-रीमान समीकरण (Cauchy-Riemann Equations) कार्तीय रूप में निम्न है-

\frac { \partial u }{ \partial x } =\frac { \partial v }{ \partial y } ,\frac { \partial u }{ \partial y } =-\frac { \partial v }{ \partial x } ...........\left( 5 \right)
समीकरण (1) से (4) तक की समीकरणों में समीकरण (5) को प्रयोग में लाने पर हमें निम्न प्राप्त होता है-

\frac { \partial u }{ \partial r } \cos { \theta } -\frac { \partial u }{ \partial \theta } \frac { \sin { \theta } }{ r } =\frac { \partial v }{ \partial r } \sin { \theta } +\frac { \partial v }{ \partial \theta } \frac { \cos { \theta } }{ r } ..............\left( 6 \right)
तथा \frac { \partial u }{ \partial r } \sin { \theta } +\frac { \partial u }{ \partial \theta } \frac { \cos { \theta } }{ r } =-\frac { \partial v }{ \partial r } \cos { \theta } +\frac { \partial v }{ \partial \theta } \frac { \sin { \theta } }{ r } .............\left( 7 \right)
समीकरण (6) को से तथा समीकरण (7) को से गुणा करके जोड़ने पर-

\frac { \partial u }{ \partial r } =\frac { 1 }{ r } \frac { \partial v }{ \partial \theta } .............\left( 8 \right)
पुनः समीकरण (6) को से तथा समीकरण (7) को से गुणा करके घटाने पर-

\frac { \partial u }{ \partial \theta } =-r\frac { \partial v }{ \partial r } .............\left( 9 \right)
अतः कोशी-रीमान समीकरण (Cauchy-Riemann Equations) का ध्रुवी रूप निम्न होगा-

\frac { \partial u }{ \partial r } =\frac { 1 }{ r } \frac { \partial v }{ \partial \theta } तथा \frac { \partial u }{ \partial \theta } =-r\frac { \partial v }{ \partial r } ..........\left( 10 \right)

4.w का ध्रुवी रूप में अवकलज (Derivative of w in Polar form)-

यहां \frac { dw }{ dz } =\frac { \partial w }{ \partial x } \\ =\frac { \partial w }{ \partial r } .\frac { \partial r }{ \partial x } +\frac { \partial w }{ \partial \theta } .\frac { \partial \theta }{ \partial x } \\ =\frac { \partial w }{ \partial r } \cos { \theta } -\left( \frac { \partial u }{ \partial \theta } +i\frac { \partial v }{ \partial \theta } \right) \frac { \sin { \theta } }{ r } \qquad [\because w=u+\iota v]\\ =\frac { \partial w }{ \partial r } \cos { \theta } -\left( -r\frac { \partial v }{ \partial r } +ir\frac { \partial u }{ \partial r } \right) \frac { \sin { \theta } }{ r } [(8) तथा (9) से  ]

=\frac { \partial w }{ \partial r } \cos { \theta } -i\left( \frac { \partial u }{ \partial r } -i\frac { \partial v }{ \partial r } \right) \\ =\frac { \partial w }{ \partial r } \cos { \theta } -i\frac { \partial w }{ \partial r } \sin { \theta } \\ =\left( \cos { \theta } -i\sin { \theta } \right) \frac { \partial w }{ \partial r }
इसी प्रकार \frac { dw }{ dz } =\frac { \partial w }{ \partial r } .\frac { \partial r }{ \partial x } +\frac { \partial w }{ \partial \theta } .\frac { \partial \theta }{ \partial x } \\ =(\frac { \partial u }{ \partial r } +\iota \frac { \partial v }{ \partial r } )\cos { \theta } -\frac { \partial w }{ \partial \theta } .\frac { \sin { \theta } }{ r } \\ =\left( \frac { 1 }{ r } \frac { \partial v }{ \partial \theta } -i\frac { 1 }{ r } \frac { \partial u }{ \partial \theta } \right) \cos { \theta } -\frac { \partial w }{ \partial \theta } .\frac { \sin { \theta } }{ r } \\ =-\frac { i }{ r } \left( \cos { \theta } -i\sin { \theta } \right) \frac { \partial w }{ \partial \theta }
अतः ध्रुवी रूप में

\frac { dw }{ dz } =\left( \cos { \theta } -i\sin { \theta } \right) \frac { \partial w }{ \partial r } =-\frac { i }{ r } \left( \cos { \theta } -\iota \sin { \theta } \right) \frac { \partial w }{ \partial \theta }

5.कोशी-रीमान समीकरण उदाहरण (Cauchy-Riemann Equations Examples,Cauchy-Riemann Equations Problems and Solutions)-

Question-1.सिद्ध कीजिए कि फलन { e }^{ x }\left( \cos { y } +i\sin { y } \right) विश्लेषिक है तथा इसका अवकलज ज्ञात कीजिए।
(Show that the function { e }^{ x }\left( \cos { y } +i\sin { y } \right) is holomorphic and find its derivative)
Solution-माना f(z)=u+iv={ e }^{ x }\left( \cos { y } +i\sin { y } \right)
तब u={ e }^{ x }\cos { y } ,v={ e }^{ x }\sin { y }
अब\frac { \partial u }{ \partial x } ={ e }^{ x }\cos { y } ,\frac { \partial u }{ \partial y } =-{ e }^{ x }\sin { y }\\ \frac { \partial v }{ \partial x } ={ e }^{ x }\sin { y } तथा \frac { \partial v }{ \partial y } ={ e }^{ x }\cos { y } \\ \frac { \partial u }{ \partial x } =\frac { \partial v }{ \partial y } तथा \frac { \partial u }{ \partial y } =-\frac { \partial v }{ \partial x }
अतः f(z),कोशी-रीमान समीकरण (Cauchy-Riemann Equations) को सन्तुष्ट करता है।
\frac { \partial u }{ \partial x } ,\frac { \partial v }{ \partial y } ,\frac { \partial u }{ \partial y } तथा \frac { \partial v }{ \partial x } परिमेय फलन है जिनका हर शून्य नहीं है।
u तथा v का आंशिक अवकलज प्रत्येक बिन्दु पर संतत है।
इसलिए फलन { e }^{ x }\left( \cos { y } +\iota \sin { y } \right) बिन्दु पर विश्लेषिक है।
अतःf^{ ' }\left( z \right) =\frac { \partial f }{ \partial x } =\frac { \partial u }{ \partial x } +\iota \frac { \partial v }{ \partial x } \\ ={ e }^{ x }\cos { y } +i{ e }^{ x }\sin { y } \\ ={ e }^{ x }\left( \cos { y } +i\sin { y } \right) \\ ={ e }^{ x }{ e }^{ iy }\\ ={ e }^{ x+iy }\\ f^{ ' }\left( z \right) ={ e }^{ z }
Question-2.सिद्ध करो कि फलन f\left( z \right) =u+iv जहां f\left( z \right) =\frac { { x }^{ 3 }(1+i)-{ y }^{ 3 }(1-i) }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } ,z\neq 0 तथा f\left( 0 \right)
संतत है तथा मूलबिन्दु पर कोशी-रीमान समीकरण (Cauchy-Riemann Equations) को सन्तुष्ट करता है, परंतु f^{ \prime }\left( 0 \right) का अस्तित्व नहीं है।
(Show that the function f(z)=u+iv ,wheref\left( z \right) =\frac { { x }^{ 3 }(1+i)-{ y }^{ 3 }(1-i) }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } ,z\neq 0 and f\left( 0 \right) is continuous and that Cauchy-Riemann Equations is satisfied at the origin,yet f^{ \prime }\left( 0 \right) does not exist.)
Solution-f\left( z \right) =\frac { { x }^{ 3 }(1+i)-{ y }^{ 3 }(1-i) }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \\ \Rightarrow f\left( z \right) =\frac { { x }^{ 3 }-{ y }^{ 3 } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } +i\frac { { x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } ,z\neq 0
यहां u तथा v ,x तथा y के परिमेय फलन है जिनका हर शून्य नहीं है। अतः जबz\neq 0  तो u तथा v प्रत्येक बिन्दु पर संतत् है।
सांतत्य की जांच करने के लिए x=r\cos { \theta } ,y=r\sin { \theta }
रखने पर

u=r\left( \cos ^{ 3 }{ \theta } -\sin ^{ 3 }{ \theta } \right) ,v=r\left( \cos ^{ 3 }{ \theta } +\sin ^{ 3 }{ \theta } \right)
जब r\rightarrow 0 तो \theta के किसी भी मान के लिए u तथा v शून्य की ओर अग्रसर होते हैं।
u तथा v में वास्तविक तथा सीमा के मान के लिए मूलबिन्दु पर f(z) संतत है।
अतः f(z),z के प्रत्येक मानों के लिए संतत् है।
अब मूलबिन्दु पर

\frac { \partial u }{ \partial x } =\underset { x\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { u(x,0)-u(0,0) }{ x } =\underset { x\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { x-0 }{ x } =1\\ \frac { \partial u }{ \partial y } =\underset { y\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { u(0,y)-u(0,0) }{ y } =\underset { x\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { -y-0 }{ y } =-1\\ \frac { \partial v }{ \partial x } =\underset { x\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { x-0 }{ x } =1 तथा \frac { \partial v }{ \partial y } =\underset { x\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { y-0 }{ y } =1
अतः \frac { \partial u }{ \partial x } =\frac { \partial v }{ \partial y } तथा \frac { \partial u }{ \partial y } =-\frac { \partial v }{ \partial x }
इसलिए u तथा v को कोशी-रीमान समीकरण (Cauchy-Riemann Equations) को मूलबिन्दु पर संतुष्ट करते हैं।

f^{ ' }\left( 0 \right) =\underset { z\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { f\left( z \right) -f\left( 0 \right) }{ z } \\ =\underset { z\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { \left( { x }^{ 3 }-{ y }^{ 3 } \right) +i\left( { x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 } \right) }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } .\frac { 1 }{ x+iy }
z\rightarrow 0 लेने पर तब y=x

f^{ ' }\left( 0 \right) =\underset { x\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { { i2x }^{ 3 } }{ { x }^{ 2 } } .\frac { 1 }{ x+ix } =\frac { 1 }{ 1+i } =\frac { 1 }{ 2 } (1+i)
पुनः z\rightarrow 0 ,x-अक्ष पर

f^{ ' }\left( 0 \right) =\underset { x\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { { x }^{ 3 }+{ ix }^{ 3 } }{ { x }^{ 2 } } .\frac { 1 }{ x } =1+i
अतः f^{ ' }\left( 0 \right) भिन्न-भिन्न पथ के लिए भिन्न-भिन्न मान रखता है।फलत: f^{ ' }\left( 0 \right) अद्वितीय नहीं है।
Question-3.सिद्ध कीजिए किf\left( z \right) ={ e }^{ { -z }^{ -4 } };z\neq 0 तथा f(0)=0,z=0 पर विश्लेषिक नहीं है यद्यपि इस बिन्दु पर कोशी-रीमान समीकरण (Cauchy-Riemann Equations) को सन्तुष्ट करता है।
(Show that the functionf\left( z \right) ={ e }^{ { -z }^{ -4 } };z\neq 0 and f(0)=0 is not analytic at z=0 although the Cauchy-Riemann Equations are satisfied at that point.)
Solutionf\left( z \right) ={ e }^{ { -z }^{ -4 } }\\ f\left( z \right) ={ e }^{ -\frac { 1 }{ { (x+iy) }^{ 4 } } }\\ ={ e }^{ -\frac { 1 }{ { (x+iy) }^{ 4 } } }\\ ={ e }^{ { \left( \frac { x-iy }{ (x+iy)(x-iy) } \right) }^{ 4 } }\\ ={ e }^{ { \left( \frac { x-iy }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \right) }^{ 4 } }\\ ={ e }^{ -\frac { ({ x }^{ 4 }+{ y }^{ 4 }-6{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }-4\iota { ix }^{ 3 }y+4ix{ y }^{ 3 }) }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 4 } } }\\ ={ e }^{ -\frac { ({ x }^{ 4 }+{ y }^{ 4 }-6{ x }^{ 2 }{ y }) }{ { r }^{ 8 } } }.{ e }^{ -\frac { 4\iota xy({ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }) }{ { { r }^{ 8 } } } } जहां [\left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) ={ r }^{ 2 }]\\ ={ e }^{ -\frac { ({ x }^{ 4 }+{ y }^{ 4 }-6{ x }^{ 2 }{ y }) }{ { r }^{ 8 } } }.[\cos { \frac { 4xy({ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }) }{ { { r }^{ 8 } } } } +i\sin { \frac { 4xy({ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }) }{ { { r }^{ 8 } } } } ]
मूलबिन्दु पर

\frac { \partial u }{ \partial x } =\underset { x\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { u(x,0)-u(0,0) }{ x } =\underset { x\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { { e }^{ { -x }^{ -4 } }-0 }{ x } \\ =\underset { x\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { 1 }{ x{ e }^{ \frac { 1 }{ { x }^{ 4 } } } } \\ =\underset { x\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { 1 }{ x[1+\frac { 1 }{ { x }^{ 4 } } +\frac { 1 }{ 2{ x }^{ 8 } } +.....] } \\ =\underset { x\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { 1 }{ x+\frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } +\frac { 1 }{ 2{ x }^{ 7 } } +..... } \\ \frac { \partial u }{ \partial x } =0...........(1)
इसी प्रकार\frac { \partial u }{ \partial y } =\underset { y\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { u(0,y)-u(0,0) }{ y } =\underset { x\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { { e }^{ { -y }^{ -4 } } }{ y } \\ \frac { \partial v }{ \partial y } =0...............(2)\\ \frac { \partial v }{ \partial x } =0 तथा \frac { \partial v }{ \partial y } =0
समीकरण (1) व (3) से

\frac { \partial v }{ \partial x } =\frac { \partial v }{ \partial y }

तथा \frac { \partial u }{ \partial y } =-\frac { \partial v }{ \partial x }
अतः फलन मूलबिन्दु पर कोशी-रीमान समीकरण (Cauchy-Riemann Equations) को सन्तुष्ट करता है।
अब f^{ ' }\left( 0 \right) =\underset { z\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { f\left( z \right) -f\left( 0 \right) }{ z } \\ =\underset { z\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { { e }^{ { -z }^{ -4 } } }{ z } \\ =\underset { r\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { { e }^{ -r^{ -4 } }{ e }^{ -i\pi } }{ r{ e }^{ \frac { i\pi }{ 4 } } }
जब z\rightarrow 0,z=r{ e }^{ \frac { i\pi }{ 4 } }\\ f^{ ' }\left( 0 \right) =\underset { r\rightarrow 0 }{ Lim } \frac { { e }^{ \frac { 1 }{ { r }^{ 4 } } } }{ r{ e }^{ \frac { \pi }{ 4 } } } \rightarrow \infty
f(z),z=0 पर विश्लेषिक नहीं है।

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कोशी-रीमान समीकरण (Cauchy-Riemann Equations) को समझा जा सकता है।

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