1.सम्मिश्र विश्लेषण में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Complex Analysis),सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers):

Complex Numbers in Complex Analysis

सम्मिश्र विश्लेषण में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Complex Analysis) के इस आर्टिकल में सम्मिश्र संख्याओं के गुणधर्मों पर आधारित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करेंगे।
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2.सम्मिश्र विश्लेषण में सम्मिश्र संख्याएँ के उदाहरण (Complex Numbers in Complex Analysis Examples):

Example:1(a).सिद्ध करिए कि ;जैसे arg z धनात्मक अथवा ऋणात्मक है।
(Prove that according as arg z is positive or negative):
Solution: \arg z-\arg (-z)= \pm \pi \\ \tan ^{-1}(z)-\tan ^{-1}(-z)= \pm \pi \\ \text { L.H.S. } \tan ^{-1}(z)-\tan ^{-1}(-z) \\ =\tan ^{-1}(x+i y)-\tan ^{-1}(-x-i y)
यदि arg z धनात्मक है तो:

=\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)-\tan \left[-\pi+\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\right] \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)+\pi-\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \\ =\pi
यदि arg z ऋणात्मक है

\tan^{-1} (x+i y)-\tan ^{-1}(-x-i y) \\ =-\pi+\tan ^{-1} \frac{y}{x}-\tan ^{-1} \frac{y}{x} \\ =-\pi
अतः \arg z-\arg (-z)= \pm \pi
Example:1(b).सिद्ध कीजिए कि (Prove that)

\text { amp } z+\text{ amp } \bar{z}=2 n \pi, n \in z
Solution: \text{ amp } z+\text{ amp } \bar{z}=2 n \pi \\ \text { L.H.s. } \text{amp} z+\text{amp} \bar{z} \\ =\tan ^{-1} z+\tan ^{-1} \bar{z} \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{y}{x}-\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x} \cdot \frac{y}{x}}\right) \\ =\tan ^{-1}(0) \\ =2 n \pi
अतः \text { amp } z+\text{ amp } \bar{z}=2 n \pi
Example:2.यदि \left|z_1\right|=\left|z_2\right|  तथा \arg z_1+\arg z_2=0 प्रदर्शित करिए कि z_1 तथा z_2 सयुंग्मी संख्याएँ हैं।
(If \left|z_1\right|=\left|z_2\right|  and \arg z_1+\arg z_2=0 show that z_1 and z_2 are conjugate numbers.)

Solution:माना z_1=x_1+i y_1 तथा z_2=x_2+i y_2 \\ \left|z_1\right|=\left|z_2\right| \\ \Rightarrow\left|x_1+i y_1\right|=\left|x_2+i y_2\right| \\ \Rightarrow x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2 \ldots(1) \\ \arg z_1+\arg z_2=0 \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{y_1}{x_1}\right)+\tan ^{-1} \left( \frac{y_2}{x_2}\right)=0 \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}}{1-\frac{y_1}{x_1} \cdot \frac{y_2}{x_2}}\right)=0 \\ \Rightarrow \frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=0 \\ \Rightarrow \frac{y_1}{x_1}=-\frac{y_2}{x_2} \\ \Rightarrow x_1=-\frac{y_1 x_2}{y_2} \cdots(2)
समीकरण (2) से (1) में मान रखने पर:

\frac{y_1^2 x_2^2}{y_2^2}+y_1^2=x_2^2+y_2^2 \\ \Rightarrow y_1^2\left(\frac{x_1^2}{y_2^2}+1\right) =x_2^2+y_2^2 \\ \Rightarrow y_1^2\left(\frac{x_2^2+y_2^2}{y_2^2}\right)-\left(x_2^2+y_2^2\right)=0 \\ \Rightarrow\left(x_2^2+y_2^2\right)\left(\frac{y_1^2}{y_2^2}-1\right)=0 \\ \Rightarrow \left(x_2^2+ y_2^2\right) \frac{\left(y_1^2-y_2^2\right)}{y_2^2}=0 \\ \Rightarrow y_1^2-y_2^2=0 \\ \Rightarrow y_1^2=y_2^2 \\ \Rightarrow y_1=-y_2
समीकरण (2) में मान रखने पर:

x_1=\frac{-\left(-y_2\right) x_2}{y_2} \\ \Rightarrow x_1=x_2
अतः x_1+i y_1=x_2-i y_2
फलतः z_1 तथा  z_2 संयुग्मी संख्याएँ हैं।
Example:3.सिद्ध कीजिए कि दो संयुग्मी संख्याओं के के अनुपात का मापांक इकाई है।
(Prove that the modulus of the ratio of any two conjugate numbers is unity.)
Solution:माना दो संयुग्मी संख्याएँ z=x+iy तथा \bar{z}=x-i y है।

\left|\frac{z}{\bar{z}}\right| =\left|\frac{x+i y}{x-i y}\right| \\ =\frac{|x+i y|}{|x-i y|}\left[\because \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\mid z_1 \mid}{\mid z_2 \mid} \right] \\ =\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+(-y)^2}} \\ =\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \Rightarrow\left|\frac{z}{z}\right|=1
Example:4.यदि दो संख्याओं का योग तथा गुणन दोनों वास्तविक हैं तब प्रदर्शित करिए कि दोनों संख्याएँ या तो वास्तविक हैं या संयुग्मी हैं।
(If the sum and product of two complex numbers are both real then show that the two numbers must be either real or conjugate.)
Solution:माना z_1=x_1+i y_1  तथा z_2=x_2+i y_2 \\ z_1+z_2=x_1+x_2 \\ \Rightarrow x_1+i y_1+x_2+i y_2=x_1+x_2 \\ \Rightarrow x_1+x_2+i\left(y_1+y_2\right)=x_1+x_2 \\ \Rightarrow y_1+y_2=0 \Rightarrow y_1=-y_2 \\ \left(z_1\right)\left(z_2\right)=\left(x_1 x_2-y_1 y_2\right)+i\left(x_1 y_2+x_2 y_1\right) \\ \Rightarrow\left(x_1 x_2-y_1 y_2\right)+i\left(x_1 y_2+x_2 y_1\right)=x_1 x_2-y_1 y_2 \\ \Rightarrow x_1 y_2+x_2 y_1=0 \\ \Rightarrow x_1 y_2=-x_2 y_1 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) से:

x_1 y_2=-x_2\left(-y_2\right) \\ x_1 y_2-x_2 y_2=0 \\ y_2\left(x_1-x_2\right)=0 \\ \Rightarrow y_2=0, x_1-x_2=0 \\ \Rightarrow x_1=x_2 तथा y_2=y_1=0
अतः z_1 तथा z_2 या तो संयुग्मी संख्याएँ हैं या वास्तविक संख्याएँ हैं।
Example:5.यदि \left|z_1+z_2+\cdots+z_n\right| =\left|z_1\right|+\left|z_2\right| +\cdots+ \left|z_n\right| तब प्रदर्शित करिए कि सभी संख्याओं z_1, z_2, \ldots, z_n के कोणांक बराबर हैं।
(If \left|z_1+z_2+\cdots+z_n\right| =\left|z_1\right|+\left|z_2\right|+\cdots+\left|z_n\right| then show that the numbers z_1, z_2, \ldots, z_n have the same argument
Solution:यदि z_1=r_1\left(\cos \theta_1+i \sin \theta_1\right) \\ =r_1 e^{i \theta_1} \\ \Rightarrow\left|z_1\right|=r_1
तथा z_2=r_2\left(\cos \theta_2+i \sin \theta_2\right) \\ =r_2 e^{i \theta_2} \\ \Rightarrow \left|z_2\right|=r_2 \\ z_1+z_2=\left(r_1 \cos \theta_1+r_2 \cos \theta_2\right)+i\left(r_1 \sin \theta_1+r_2 \sin \theta_2\right) \\ \Rightarrow\left|z_1+z_2\right|^2=r_1^2+r_2^2+2 r_1 r_2 \cos \left(\theta_1-\theta_2\right) \\ \leq r_1^2+r_2^2+2 r_1 r_2 \\ \leq\left(r_1+r_2\right)^2 \\ \leq\left[\left|z_1\right| +\left|z_2\right|\right]^2 \\ \Rightarrow \left|z_1+z_2\right| \leq\left|z_1+z_2\right| \cdots(1)
यदि \theta_1=\theta_2 \Rightarrow \cos \left(\theta_1-\theta_2\right)=1 \cdots(2)
तब \left|z_1+z_2\right|^2=r_1^2+r_2^2+2 r_1 r_2 \\ \Rightarrow \left|z_1+z_2\right|^2 =\left[\left|z_1\right|+\left|z_2\right|\right]^2 \\ \Rightarrow \left|z_1+z_2\right|=\left|z_1\right| +\left|z_2\right| \cdots(3) \\ z_2 को z_2+z_3 से प्रतिस्थापित करने पर:

\left|z_1+z_2+z_3\right| =\left|z_1\right|+\left|z_2+z_3\right| \\ \Rightarrow \left|z_1+z_2+z_3\right| =\left|z_1\right|+\left|z_2\right|+\left|z_3\right| \\ \Rightarrow \left|z_1+z_2+z_3+ \cdots+z_n\right| =\left|z_1\right|+\left|z_2\right|+\left|z_3\right|+\ldots \ldots +\left|z_n\right|
अतः इस स्थिति में सभी संख्याओं के कोणांक बराबर होंगे।
Example:6.यदि (If),प्रदर्शित कीजिए कि (Show that)

\left\lvert\, \frac{1}{2} \arg \frac{1+z}{1-z} \right\rvert\,<\frac{\pi}{2}
Solution: \left\lvert\, \frac{1}{2} \arg \frac{1+z}{1-z} \right\rvert\,<\frac{\pi}{2}
माना z=x+i y \Rightarrow|z|=x^2+y^2<1 \\ \text { L.H.S. }\left|\frac{1}{2} \arg \frac{1+z}{1-z}\right| \\ =\left|\frac{1}{2} \arg \frac{1+x+i y}{1-x-i y}\right| \\ =\left|\frac{1}{2} \arg \frac{(1+x+i y)(1-x+i y)}{(1-x-i y)(1-x+i y)}\right| \\ =\left|\frac{1}{2} \arg \frac{1-x^2-y^2+2 i y}{(1-x)^2+y^2}\right| \\ =\left|\frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{\frac{2 y}{(1-x)^2+y^2}}{\frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2}}\right| \\ =\left|\frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{2 y}{1-x^2-y^2}\right| \\ x^2+y^2<1 \Rightarrow-x^2-y^2>-1 \\ <\left|\frac{1}{2} \tan ^{-1} \left(\frac{2 y}{1-1}\right)\right| \\ <\left\lvert\, \frac{1}{2} \tan ^{-1} \infty\right| \\ <\left(\frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2}\right) \\ <\frac{\pi}{4} \\ <\frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \left\lvert\, \frac{1}{2} \arg \frac{1+z}{1-z} \right\rvert\,<\frac{\pi}{2}

Complex Numbers in Complex Analysis

Example:7.यदि |z|=1, z \neq-1 प्रदर्शित करिए कि z को z=\frac{1+i a}{1-i a} के रूप में व्यक्त कर सकते हैं जब a वास्तविक संख्या है।
(If |z|=1, z \neq-1 show that z may be expressed in the form z=\frac{1+i a}{1-i a} where a is a real number.)

Solution: z=\frac{1+i a}{1-i a} \\ |z|=\left|\frac{1+i a}{1-i a}\right| \\ =\frac{|1+i a|}{|1-i a|} \left[\because \left|\frac{z_1}{z_2}\right| =\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}\right] \\ =\frac{\sqrt{1+a^2}}{\sqrt{1+(-a)^2}} \\ =\frac{\sqrt{1+a^2}}{\sqrt{1+a^2}} \\ \Rightarrow|z|=1
Example:8.सिद्ध कीजिए कि (Prove that)

|z|\geq \frac{|\operatorname{Re} z|+|\operatorname{Im} z|}{\sqrt{2}}, \forall z \in C
Solution:माना z=x+iy
तब |z|=\sqrt{x^2+y^2} जहाँ Re(z)=x,Im(z)=y
\therefore z|\geq \operatorname{Im}(z)| \cdots(1) तथा |z| \geq \operatorname{Re}(z) \mid \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:

2 |z| \geq |\operatorname{Re}(z)|+|\operatorname{Im}(z)| \\ \Rightarrow |z| \geq \frac{|\operatorname{Re}(z)+| \operatorname{Im}(z) \mid}{\sqrt{2}}
Example:9.सिद्ध कीजिए (Prove that)
Example:9(i). \left|z_1+z_2\right|^2+\left|z_1-z_2\right|^2=2\left|z_1 \right|^2+2 \left|z_2\right|^2 
Solution: \left|z_1+z_2\right|^2+\left|z_1-z_2\right|^2=2\left|z_1\right|^2+2\left|z_1\right|^2 \\ \left|z_1+z_2\right|^2 =\left(z_1+z_2\right)\left(\overline{z_1+z_2}\right) \\\left[\because \mid z \mid ^2=z\bar{z} \text{ से }\right] \\ =\left(z_1 + z_2\right)\left(\overline{z_1}+\overline{z_2}\right) \\ =\left(z_1 \bar{z}_1+z_1 \bar{z}_2+z_2 \bar{z}_1+z_2 \bar{z_2} \right) \\ \left|z_1+z_2\right|^2=z_1 \bar{z}_1+z_1 \bar{z}_2+z_2 \bar{z}_1+z_2 \overline{z_2} \cdots(1)
और \left|z_1-z_2\right|^2=\left(z_1-z_2\right)\left(\overline{z_1-z_2}\right) \\ =\left(z_1-z_2\right) \left(\overline{z_1}-\overline{z_2}\right) \\ \left|z_1-z_2\right|^2=z_1 \bar{z}_1-z_1 \bar{z}_2-z_2 \bar{z}_1+z_2 \bar{z}_2 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर:

\left|z_1+z_2\right|^2 \left|z_1-z_2\right|^2=2 z_1 \bar{z}_1+2 z_2 \bar{z}_2 \\ \Rightarrow \left|z_1+z_2\right|^2+\left|z_1 -z_2\right|^2=2\left|z_1\right|^2+2\left|z_2\right|^2
Example:9(ii).  \left|\frac{a-b}{1-\bar{a} b}\right|<1  यदि |a|=1 या  |b|=1 
Solution: \left|\frac{a-b}{1-\bar{a} b}\right|<1 \\ \Rightarrow \frac{|a-b|}{|1-\bar{a} b|}<1 \\ \Rightarrow |a-b|<|1-\bar{a} b| \\ \Rightarrow |a-b|^2<|1-\bar{a} b|^2 \\ \Rightarrow (a-b)(\overline{a-b})<(1-\bar{a} b)(\overline{1-\bar{a} b}) \\ \Rightarrow (a-b)(\bar{a}-\bar{b})<(1-\bar{a} b)(1+a \bar{b}) \\ \Rightarrow a \bar{a}-a \bar{b}-\bar{a} b+b \bar{b}<1-a \bar{b}-\bar{a} b+\bar{a} b a \bar{b} \\ \Rightarrow |a|^2+|b|^2<1+|a|^2|b|^2 \\ \Rightarrow|a|^2+|b|^2<1+|a|^2|b|^2 \\ \Rightarrow|a|^2-|a|^2|b|^2 +|b|^2-1<0 \\ \Rightarrow|a|^2\left(1-|b|^2\right)-1 \left(1-|b|^2\right)<0 \\ \Rightarrow\left(|a|^2-1\right)\left(1-|b|^2\right)<0 \\ \Rightarrow |a|^2-1=0 या 1-|b|^2=0 \\ \Rightarrow |a|^2=1 या |b|^2=1  \\ \Rightarrow |a|=1 या |b|=1
Example:10.यदि सम्मिश्र समतल में z_1, z_2, z_3 बिन्दु एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं तथा शीर्ष बिन्दु z_2 पर समकोणीय है तो सिद्ध करिए कि
(If z_1, z_2, z_3 are vertices of an isosceles triangle right angled at the vertices z_2,Prove that)

z_1^2+2 z_2^2+z_3^2=2 z_2\left(z_1+z_2\right)
Solution:समद्विबाहु त्रिभुज z_2 पर 90° का कोण बनाता है अतः

\text { amp } \frac{z_2-z_1}{z_2-z_3}=\frac{\pi}{2}
अतः \frac{z_2-z_1}{z_2-z_3} विशुद्ध काल्पनिक तथा इसका वास्तव भाग शून्य है:
हम जानते हैं कि \operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z}) \\ \therefore \frac{1}{2}\left[\frac{z_2-z_1}{z_2-z_3}+\frac{\overline{z_2}-\overline{z_1}}{\overline{z_2}-\overline{z_3}}\right]=0 \\ \Rightarrow \frac{z_2-z_1}{z_2-z_3}=-\left(\frac{\overline{z_2}-\overline{z_1}}{\bar{z}_2-\bar{z}_3}\right) \cdots(1)
परन्तु समद्विबाहु त्रिभुज की दो भुजाएँ \left|z_2-z_1\right| तथा \left|z_2-z_3\right| समान होंगी

\left|z_2-z_1\right|=\left|z_2-z_2\right|
अतः \left|z_2-z_1\right|^2=\left|z_2-z_3\right|^2 \\ \Rightarrow \left(z_2-z_1\right)\left(\bar{z}_2-\bar{z}_1 \right) =\left(z_2-z_3\right)\left(\overline{z_2}-\overline{z}_3\right) \\ \Rightarrow \frac{z_2-z_1}{z_2-z_3}=\frac{\overline{z_2}-\overline{z_3}}{\overline{z_2}-\overline{z_1}} \cdots (2)
समीकरण (1) व (2) से:

\frac{\overline{z_2}-\overline{z_3}}{\overline{z_2}-\overline{z_1}}=-\frac{\left(\overline{z_2}-\overline{z_1} \right)} {\overline{z_2}-\overline{z_3}} \\ \Rightarrow\left(\overline{z}_2-\overline{z}_3\right) \left(\overline{z}_2-\overline{z}_3\right) +\left(\overline{z}_2-\overline{z}_1\right)\left(\overline{z_2}-\overline{z_2}\right)=0 \\ \Rightarrow \overline{z}_2 \overline{z}_2-\overline{z}_2 \cdot \overline{z}_3-\overline{z}_2 \cdot \overline{z}_3+\overline{z}_3 \cdot \overline{z}_3+\overline{z}_2 \overline{z_2}-\overline{z_2} \cdot \overline{z_1}-\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}+\overline{z_1} \cdot \overline{z_1}=0 \\ \Rightarrow \left|z_2\right|^2-2 \bar{z}_2 \cdot \overline{z_3}-2 \overline{z_1} \cdot \overline{z}_2+ \left|z_3\right|^2 +\left|z_2\right|^2+\left|z_1\right|^2=0 \\ \Rightarrow z_1^2+2 z_2^2+z_3^2=2 z_2\left(z_1+z_3\right)
Example:11.z-समतल के वे क्षेत्र ज्ञात कीजिए जिसके लिए
(Find the regions of the z-plane for which \left|\frac{z-a}{z+a}\right|<1,=1,>1
जहाँ (where) Re(a)>0
Solution: \left|\frac{z-a}{z+a}\right|<1,=1,>1 \\ \left|z-a\right|^2<=>\left|z+\bar{a}\right|^2 \\ \Rightarrow(z-a)(\overline{z}-\overline{a})<=>(z+\bar{a})(\bar{z}+a) \\ \Rightarrow z \bar{z}-(\bar{a} \bar{z}+\bar{a} z)<=> z \bar{z}+z\bar{a}+\bar{z} \bar{a} \\ \Rightarrow z(a+\bar{a})+\bar{z}(a+\bar{a})>=<0 \\ \Rightarrow(z+\bar{z})(a+\bar{a})>=<0 \\ \Rightarrow 2 x \cdot 2 R(a)>=<0 \\ \Rightarrow x >=< 0 \quad[\because R(a)>0]
इस प्रकार अभीष्ट क्षेत्र z-समतल का दायां अर्द्धभाग,काल्पनिक अक्ष एवं z-समतल का बायां अर्द्धभाग।
Example:12. z का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जबकि
(Find the locus of z, when)
Example:12(i). \arg \left[\frac{(z-1)}{(z+1)}\right]=\frac{\pi}{3}
Solution: \arg \left[\frac{(z-1)}{(z+1)}\right]=\frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \frac{z-1}{z+1} =\frac{x+i y-1}{x+i y+1} \\ =\frac{(x+i y-1)(x+1-i y)}{(x+1+i y)(x+1-i y)} \\ =\frac{x^2+y^2-1+2 i y}{(x+1)^2+y^2} \\ \Rightarrow \frac{z-1}{z+1} =\frac{x^2+y^2-1+2 i y}{(x+1)^2+y^2} \\ \arg \left(\frac{z-1}{z+1}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{2 y}{(x+1)^2+y^2}}{\frac{x^2+y^2-1}{(x+1)^2+y^2}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{2 y}{x^2+y^2-1}\right) \\ \Rightarrow \tan^{-1} \left(\frac{2 y}{x^2+y^2-1}\right)=\frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \frac{2 y}{x^2+y^2-1}=\tan \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \frac{2 y}{x^2+y^2-1}=\sqrt{3} \\ \Rightarrow x^2+y^2-1=\frac{2}{\sqrt{3}} y \\ \Rightarrow x^2+y^2-\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) y-1=0
जो कि वृत्त का समीकरण है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सम्मिश्र विश्लेषण में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Complex Analysis),सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers) को समझ सकते हैं।

3.सम्मिश्र विश्लेषण में सम्मिश्र संख्याएँ के सवाल (Complex Numbers in Complex Analysis Questions):

Complex Numbers in Complex Analysis

निम्नलिखित आर्गेण्ड डायग्राम का क्षेत्र ज्ञात कीजिए:
(Determine the regions of Argand diagram defined by):

(1.) \left|z^2-z\right|<1
(2.) |z-1|+|z+1| \leq 4
उत्तर (Answers): (1.) r^4-2 r^3 \cos \theta+r^2-1<0
(2.) \frac{x^4}{4}+\frac{y^2}{3} \leq 1
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सम्मिश्र विश्लेषण में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Complex Analysis),सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सम्मिश्र विश्लेषण में सम्मिश्र संख्याएँ (Frequently Asked Questions Related to Complex Numbers in Complex Analysis),सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सम्मिश्र विश्लेषण में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Complex Analysis) के इस
आर्टिकल में सम्मिश्र संख्याओं के गुणधर्मों पर आधारित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करेंगे।