Complex Numbers in Complex Analysis
1.सम्मिश्र विश्लेषण में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Complex Analysis),सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers):
सम्मिश्र विश्लेषण में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Complex Analysis) के इस आर्टिकल में सम्मिश्र संख्याओं के गुणधर्मों पर आधारित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करेंगे।
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2.सम्मिश्र विश्लेषण में सम्मिश्र संख्याएँ के उदाहरण (Complex Numbers in Complex Analysis Examples):
Example:1(a).सिद्ध करिए कि ;जैसे arg z धनात्मक अथवा ऋणात्मक है।
(Prove that according as arg z is positive or negative):
Solution: \arg z-\arg (-z)= \pm \pi \\ \tan ^{-1}(z)-\tan ^{-1}(-z)= \pm \pi \\ \text { L.H.S. } \tan ^{-1}(z)-\tan ^{-1}(-z) \\ =\tan ^{-1}(x+i y)-\tan ^{-1}(-x-i y)
यदि arg z धनात्मक है तो:
=\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)-\tan \left[-\pi+\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\right] \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)+\pi-\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \\ =\pi
यदि arg z ऋणात्मक है
\tan^{-1} (x+i y)-\tan ^{-1}(-x-i y) \\ =-\pi+\tan ^{-1} \frac{y}{x}-\tan ^{-1} \frac{y}{x} \\ =-\pi
अतः \arg z-\arg (-z)= \pm \pi
Example:1(b).सिद्ध कीजिए कि (Prove that)
\text { amp } z+\text{ amp } \bar{z}=2 n \pi, n \in z
Solution: \text{ amp } z+\text{ amp } \bar{z}=2 n \pi \\ \text { L.H.s. } \text{amp} z+\text{amp} \bar{z} \\ =\tan ^{-1} z+\tan ^{-1} \bar{z} \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{y}{x}-\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x} \cdot \frac{y}{x}}\right) \\ =\tan ^{-1}(0) \\ =2 n \pi
अतः \text { amp } z+\text{ amp } \bar{z}=2 n \pi
Example:2.यदि \left|z_1\right|=\left|z_2\right| तथा \arg z_1+\arg z_2=0 प्रदर्शित करिए कि z_1 तथा z_2 सयुंग्मी संख्याएँ हैं।
(If \left|z_1\right|=\left|z_2\right| and \arg z_1+\arg z_2=0 show that z_1 and z_2 are conjugate numbers.)
Solution:माना z_1=x_1+i y_1 तथा z_2=x_2+i y_2 \\ \left|z_1\right|=\left|z_2\right| \\ \Rightarrow\left|x_1+i y_1\right|=\left|x_2+i y_2\right| \\ \Rightarrow x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2 \ldots(1) \\ \arg z_1+\arg z_2=0 \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{y_1}{x_1}\right)+\tan ^{-1} \left( \frac{y_2}{x_2}\right)=0 \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}}{1-\frac{y_1}{x_1} \cdot \frac{y_2}{x_2}}\right)=0 \\ \Rightarrow \frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=0 \\ \Rightarrow \frac{y_1}{x_1}=-\frac{y_2}{x_2} \\ \Rightarrow x_1=-\frac{y_1 x_2}{y_2} \cdots(2)
समीकरण (2) से (1) में मान रखने पर:
\frac{y_1^2 x_2^2}{y_2^2}+y_1^2=x_2^2+y_2^2 \\ \Rightarrow y_1^2\left(\frac{x_1^2}{y_2^2}+1\right) =x_2^2+y_2^2 \\ \Rightarrow y_1^2\left(\frac{x_2^2+y_2^2}{y_2^2}\right)-\left(x_2^2+y_2^2\right)=0 \\ \Rightarrow\left(x_2^2+y_2^2\right)\left(\frac{y_1^2}{y_2^2}-1\right)=0 \\ \Rightarrow \left(x_2^2+ y_2^2\right) \frac{\left(y_1^2-y_2^2\right)}{y_2^2}=0 \\ \Rightarrow y_1^2-y_2^2=0 \\ \Rightarrow y_1^2=y_2^2 \\ \Rightarrow y_1=-y_2
समीकरण (2) में मान रखने पर:
x_1=\frac{-\left(-y_2\right) x_2}{y_2} \\ \Rightarrow x_1=x_2
अतः x_1+i y_1=x_2-i y_2
फलतः z_1 तथा z_2 संयुग्मी संख्याएँ हैं।
Example:3.सिद्ध कीजिए कि दो संयुग्मी संख्याओं के के अनुपात का मापांक इकाई है।
(Prove that the modulus of the ratio of any two conjugate numbers is unity.)
Solution:माना दो संयुग्मी संख्याएँ z=x+iy तथा \bar{z}=x-i y है।
\left|\frac{z}{\bar{z}}\right| =\left|\frac{x+i y}{x-i y}\right| \\ =\frac{|x+i y|}{|x-i y|}\left[\because \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\mid z_1 \mid}{\mid z_2 \mid} \right] \\ =\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+(-y)^2}} \\ =\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \Rightarrow\left|\frac{z}{z}\right|=1
Example:4.यदि दो संख्याओं का योग तथा गुणन दोनों वास्तविक हैं तब प्रदर्शित करिए कि दोनों संख्याएँ या तो वास्तविक हैं या संयुग्मी हैं।
(If the sum and product of two complex numbers are both real then show that the two numbers must be either real or conjugate.)
Solution:माना z_1=x_1+i y_1 तथा z_2=x_2+i y_2 \\ z_1+z_2=x_1+x_2 \\ \Rightarrow x_1+i y_1+x_2+i y_2=x_1+x_2 \\ \Rightarrow x_1+x_2+i\left(y_1+y_2\right)=x_1+x_2 \\ \Rightarrow y_1+y_2=0 \Rightarrow y_1=-y_2 \\ \left(z_1\right)\left(z_2\right)=\left(x_1 x_2-y_1 y_2\right)+i\left(x_1 y_2+x_2 y_1\right) \\ \Rightarrow\left(x_1 x_2-y_1 y_2\right)+i\left(x_1 y_2+x_2 y_1\right)=x_1 x_2-y_1 y_2 \\ \Rightarrow x_1 y_2+x_2 y_1=0 \\ \Rightarrow x_1 y_2=-x_2 y_1 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) से:
x_1 y_2=-x_2\left(-y_2\right) \\ x_1 y_2-x_2 y_2=0 \\ y_2\left(x_1-x_2\right)=0 \\ \Rightarrow y_2=0, x_1-x_2=0 \\ \Rightarrow x_1=x_2 तथा y_2=y_1=0
अतः z_1 तथा z_2 या तो संयुग्मी संख्याएँ हैं या वास्तविक संख्याएँ हैं।
Example:5.यदि \left|z_1+z_2+\cdots+z_n\right| =\left|z_1\right|+\left|z_2\right| +\cdots+ \left|z_n\right| तब प्रदर्शित करिए कि सभी संख्याओं z_1, z_2, \ldots, z_n के कोणांक बराबर हैं।
(If \left|z_1+z_2+\cdots+z_n\right| =\left|z_1\right|+\left|z_2\right|+\cdots+\left|z_n\right| then show that the numbers z_1, z_2, \ldots, z_n have the same argument
Solution:यदि z_1=r_1\left(\cos \theta_1+i \sin \theta_1\right) \\ =r_1 e^{i \theta_1} \\ \Rightarrow\left|z_1\right|=r_1
तथा z_2=r_2\left(\cos \theta_2+i \sin \theta_2\right) \\ =r_2 e^{i \theta_2} \\ \Rightarrow \left|z_2\right|=r_2 \\ z_1+z_2=\left(r_1 \cos \theta_1+r_2 \cos \theta_2\right)+i\left(r_1 \sin \theta_1+r_2 \sin \theta_2\right) \\ \Rightarrow\left|z_1+z_2\right|^2=r_1^2+r_2^2+2 r_1 r_2 \cos \left(\theta_1-\theta_2\right) \\ \leq r_1^2+r_2^2+2 r_1 r_2 \\ \leq\left(r_1+r_2\right)^2 \\ \leq\left[\left|z_1\right| +\left|z_2\right|\right]^2 \\ \Rightarrow \left|z_1+z_2\right| \leq\left|z_1+z_2\right| \cdots(1)
यदि \theta_1=\theta_2 \Rightarrow \cos \left(\theta_1-\theta_2\right)=1 \cdots(2)
तब \left|z_1+z_2\right|^2=r_1^2+r_2^2+2 r_1 r_2 \\ \Rightarrow \left|z_1+z_2\right|^2 =\left[\left|z_1\right|+\left|z_2\right|\right]^2 \\ \Rightarrow \left|z_1+z_2\right|=\left|z_1\right| +\left|z_2\right| \cdots(3) \\ z_2 को z_2+z_3 से प्रतिस्थापित करने पर:
\left|z_1+z_2+z_3\right| =\left|z_1\right|+\left|z_2+z_3\right| \\ \Rightarrow \left|z_1+z_2+z_3\right| =\left|z_1\right|+\left|z_2\right|+\left|z_3\right| \\ \Rightarrow \left|z_1+z_2+z_3+ \cdots+z_n\right| =\left|z_1\right|+\left|z_2\right|+\left|z_3\right|+\ldots \ldots +\left|z_n\right|
अतः इस स्थिति में सभी संख्याओं के कोणांक बराबर होंगे।
Example:6.यदि (If),प्रदर्शित कीजिए कि (Show that)
\left\lvert\, \frac{1}{2} \arg \frac{1+z}{1-z} \right\rvert\,<\frac{\pi}{2}
Solution: \left\lvert\, \frac{1}{2} \arg \frac{1+z}{1-z} \right\rvert\,<\frac{\pi}{2}
माना z=x+i y \Rightarrow|z|=x^2+y^2<1 \\ \text { L.H.S. }\left|\frac{1}{2} \arg \frac{1+z}{1-z}\right| \\ =\left|\frac{1}{2} \arg \frac{1+x+i y}{1-x-i y}\right| \\ =\left|\frac{1}{2} \arg \frac{(1+x+i y)(1-x+i y)}{(1-x-i y)(1-x+i y)}\right| \\ =\left|\frac{1}{2} \arg \frac{1-x^2-y^2+2 i y}{(1-x)^2+y^2}\right| \\ =\left|\frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{\frac{2 y}{(1-x)^2+y^2}}{\frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2}}\right| \\ =\left|\frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{2 y}{1-x^2-y^2}\right| \\ x^2+y^2<1 \Rightarrow-x^2-y^2>-1 \\ <\left|\frac{1}{2} \tan ^{-1} \left(\frac{2 y}{1-1}\right)\right| \\ <\left\lvert\, \frac{1}{2} \tan ^{-1} \infty\right| \\ <\left(\frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2}\right) \\ <\frac{\pi}{4} \\ <\frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \left\lvert\, \frac{1}{2} \arg \frac{1+z}{1-z} \right\rvert\,<\frac{\pi}{2}
Example:7.यदि |z|=1, z \neq-1 प्रदर्शित करिए कि z को z=\frac{1+i a}{1-i a} के रूप में व्यक्त कर सकते हैं जब a वास्तविक संख्या है।
(If |z|=1, z \neq-1 show that z may be expressed in the form z=\frac{1+i a}{1-i a} where a is a real number.)
Solution: z=\frac{1+i a}{1-i a} \\ |z|=\left|\frac{1+i a}{1-i a}\right| \\ =\frac{|1+i a|}{|1-i a|} \left[\because \left|\frac{z_1}{z_2}\right| =\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}\right] \\ =\frac{\sqrt{1+a^2}}{\sqrt{1+(-a)^2}} \\ =\frac{\sqrt{1+a^2}}{\sqrt{1+a^2}} \\ \Rightarrow|z|=1
Example:8.सिद्ध कीजिए कि (Prove that)
|z|\geq \frac{|\operatorname{Re} z|+|\operatorname{Im} z|}{\sqrt{2}}, \forall z \in C
Solution:माना z=x+iy
तब |z|=\sqrt{x^2+y^2} जहाँ Re(z)=x,Im(z)=y
\therefore z|\geq \operatorname{Im}(z)| \cdots(1) तथा |z| \geq \operatorname{Re}(z) \mid \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:
2 |z| \geq |\operatorname{Re}(z)|+|\operatorname{Im}(z)| \\ \Rightarrow |z| \geq \frac{|\operatorname{Re}(z)+| \operatorname{Im}(z) \mid}{\sqrt{2}}
Example:9.सिद्ध कीजिए (Prove that)
Example:9(i). \left|z_1+z_2\right|^2+\left|z_1-z_2\right|^2=2\left|z_1 \right|^2+2 \left|z_2\right|^2
Solution: \left|z_1+z_2\right|^2+\left|z_1-z_2\right|^2=2\left|z_1\right|^2+2\left|z_1\right|^2 \\ \left|z_1+z_2\right|^2 =\left(z_1+z_2\right)\left(\overline{z_1+z_2}\right) \\\left[\because \mid z \mid ^2=z\bar{z} \text{ से }\right] \\ =\left(z_1 + z_2\right)\left(\overline{z_1}+\overline{z_2}\right) \\ =\left(z_1 \bar{z}_1+z_1 \bar{z}_2+z_2 \bar{z}_1+z_2 \bar{z_2} \right) \\ \left|z_1+z_2\right|^2=z_1 \bar{z}_1+z_1 \bar{z}_2+z_2 \bar{z}_1+z_2 \overline{z_2} \cdots(1)
और \left|z_1-z_2\right|^2=\left(z_1-z_2\right)\left(\overline{z_1-z_2}\right) \\ =\left(z_1-z_2\right) \left(\overline{z_1}-\overline{z_2}\right) \\ \left|z_1-z_2\right|^2=z_1 \bar{z}_1-z_1 \bar{z}_2-z_2 \bar{z}_1+z_2 \bar{z}_2 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर:
\left|z_1+z_2\right|^2 \left|z_1-z_2\right|^2=2 z_1 \bar{z}_1+2 z_2 \bar{z}_2 \\ \Rightarrow \left|z_1+z_2\right|^2+\left|z_1 -z_2\right|^2=2\left|z_1\right|^2+2\left|z_2\right|^2
Example:9(ii). \left|\frac{a-b}{1-\bar{a} b}\right|<1 यदि |a|=1 या |b|=1
Solution: \left|\frac{a-b}{1-\bar{a} b}\right|<1 \\ \Rightarrow \frac{|a-b|}{|1-\bar{a} b|}<1 \\ \Rightarrow |a-b|<|1-\bar{a} b| \\ \Rightarrow |a-b|^2<|1-\bar{a} b|^2 \\ \Rightarrow (a-b)(\overline{a-b})<(1-\bar{a} b)(\overline{1-\bar{a} b}) \\ \Rightarrow (a-b)(\bar{a}-\bar{b})<(1-\bar{a} b)(1+a \bar{b}) \\ \Rightarrow a \bar{a}-a \bar{b}-\bar{a} b+b \bar{b}<1-a \bar{b}-\bar{a} b+\bar{a} b a \bar{b} \\ \Rightarrow |a|^2+|b|^2<1+|a|^2|b|^2 \\ \Rightarrow|a|^2+|b|^2<1+|a|^2|b|^2 \\ \Rightarrow|a|^2-|a|^2|b|^2 +|b|^2-1<0 \\ \Rightarrow|a|^2\left(1-|b|^2\right)-1 \left(1-|b|^2\right)<0 \\ \Rightarrow\left(|a|^2-1\right)\left(1-|b|^2\right)<0 \\ \Rightarrow |a|^2-1=0 या 1-|b|^2=0 \\ \Rightarrow |a|^2=1 या |b|^2=1 \\ \Rightarrow |a|=1 या |b|=1
Example:10.यदि सम्मिश्र समतल में z_1, z_2, z_3 बिन्दु एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं तथा शीर्ष बिन्दु z_2 पर समकोणीय है तो सिद्ध करिए कि
(If z_1, z_2, z_3 are vertices of an isosceles triangle right angled at the vertices z_2,Prove that)
z_1^2+2 z_2^2+z_3^2=2 z_2\left(z_1+z_2\right)
Solution:समद्विबाहु त्रिभुज z_2 पर 90° का कोण बनाता है अतः
\text { amp } \frac{z_2-z_1}{z_2-z_3}=\frac{\pi}{2}
अतः \frac{z_2-z_1}{z_2-z_3} विशुद्ध काल्पनिक तथा इसका वास्तव भाग शून्य है:
हम जानते हैं कि \operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z}) \\ \therefore \frac{1}{2}\left[\frac{z_2-z_1}{z_2-z_3}+\frac{\overline{z_2}-\overline{z_1}}{\overline{z_2}-\overline{z_3}}\right]=0 \\ \Rightarrow \frac{z_2-z_1}{z_2-z_3}=-\left(\frac{\overline{z_2}-\overline{z_1}}{\bar{z}_2-\bar{z}_3}\right) \cdots(1)
परन्तु समद्विबाहु त्रिभुज की दो भुजाएँ \left|z_2-z_1\right| तथा \left|z_2-z_3\right| समान होंगी
\left|z_2-z_1\right|=\left|z_2-z_2\right|
अतः \left|z_2-z_1\right|^2=\left|z_2-z_3\right|^2 \\ \Rightarrow \left(z_2-z_1\right)\left(\bar{z}_2-\bar{z}_1 \right) =\left(z_2-z_3\right)\left(\overline{z_2}-\overline{z}_3\right) \\ \Rightarrow \frac{z_2-z_1}{z_2-z_3}=\frac{\overline{z_2}-\overline{z_3}}{\overline{z_2}-\overline{z_1}} \cdots (2)
समीकरण (1) व (2) से:
\frac{\overline{z_2}-\overline{z_3}}{\overline{z_2}-\overline{z_1}}=-\frac{\left(\overline{z_2}-\overline{z_1} \right)} {\overline{z_2}-\overline{z_3}} \\ \Rightarrow\left(\overline{z}_2-\overline{z}_3\right) \left(\overline{z}_2-\overline{z}_3\right) +\left(\overline{z}_2-\overline{z}_1\right)\left(\overline{z_2}-\overline{z_2}\right)=0 \\ \Rightarrow \overline{z}_2 \overline{z}_2-\overline{z}_2 \cdot \overline{z}_3-\overline{z}_2 \cdot \overline{z}_3+\overline{z}_3 \cdot \overline{z}_3+\overline{z}_2 \overline{z_2}-\overline{z_2} \cdot \overline{z_1}-\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}+\overline{z_1} \cdot \overline{z_1}=0 \\ \Rightarrow \left|z_2\right|^2-2 \bar{z}_2 \cdot \overline{z_3}-2 \overline{z_1} \cdot \overline{z}_2+ \left|z_3\right|^2 +\left|z_2\right|^2+\left|z_1\right|^2=0 \\ \Rightarrow z_1^2+2 z_2^2+z_3^2=2 z_2\left(z_1+z_3\right)
Example:11.z-समतल के वे क्षेत्र ज्ञात कीजिए जिसके लिए
(Find the regions of the z-plane for which \left|\frac{z-a}{z+a}\right|<1,=1,>1
जहाँ (where) Re(a)>0
Solution: \left|\frac{z-a}{z+a}\right|<1,=1,>1 \\ \left|z-a\right|^2<=>\left|z+\bar{a}\right|^2 \\ \Rightarrow(z-a)(\overline{z}-\overline{a})<=>(z+\bar{a})(\bar{z}+a) \\ \Rightarrow z \bar{z}-(\bar{a} \bar{z}+\bar{a} z)<=> z \bar{z}+z\bar{a}+\bar{z} \bar{a} \\ \Rightarrow z(a+\bar{a})+\bar{z}(a+\bar{a})>=<0 \\ \Rightarrow(z+\bar{z})(a+\bar{a})>=<0 \\ \Rightarrow 2 x \cdot 2 R(a)>=<0 \\ \Rightarrow x >=< 0 \quad[\because R(a)>0]
इस प्रकार अभीष्ट क्षेत्र z-समतल का दायां अर्द्धभाग,काल्पनिक अक्ष एवं z-समतल का बायां अर्द्धभाग।
Example:12. z का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जबकि
(Find the locus of z, when)
Example:12(i). \arg \left[\frac{(z-1)}{(z+1)}\right]=\frac{\pi}{3}
Solution: \arg \left[\frac{(z-1)}{(z+1)}\right]=\frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \frac{z-1}{z+1} =\frac{x+i y-1}{x+i y+1} \\ =\frac{(x+i y-1)(x+1-i y)}{(x+1+i y)(x+1-i y)} \\ =\frac{x^2+y^2-1+2 i y}{(x+1)^2+y^2} \\ \Rightarrow \frac{z-1}{z+1} =\frac{x^2+y^2-1+2 i y}{(x+1)^2+y^2} \\ \arg \left(\frac{z-1}{z+1}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{2 y}{(x+1)^2+y^2}}{\frac{x^2+y^2-1}{(x+1)^2+y^2}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{2 y}{x^2+y^2-1}\right) \\ \Rightarrow \tan^{-1} \left(\frac{2 y}{x^2+y^2-1}\right)=\frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \frac{2 y}{x^2+y^2-1}=\tan \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \frac{2 y}{x^2+y^2-1}=\sqrt{3} \\ \Rightarrow x^2+y^2-1=\frac{2}{\sqrt{3}} y \\ \Rightarrow x^2+y^2-\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) y-1=0
जो कि वृत्त का समीकरण है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सम्मिश्र विश्लेषण में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Complex Analysis),सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers) को समझ सकते हैं।
3.सम्मिश्र विश्लेषण में सम्मिश्र संख्याएँ के सवाल (Complex Numbers in Complex Analysis Questions):
निम्नलिखित आर्गेण्ड डायग्राम का क्षेत्र ज्ञात कीजिए:
(Determine the regions of Argand diagram defined by):
(1.) \left|z^2-z\right|<1
(2.) |z-1|+|z+1| \leq 4
उत्तर (Answers): (1.) r^4-2 r^3 \cos \theta+r^2-1<0
(2.) \frac{x^4}{4}+\frac{y^2}{3} \leq 1
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सम्मिश्र विश्लेषण में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Complex Analysis),सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.सम्मिश्र विश्लेषण में सम्मिश्र संख्याएँ (Frequently Asked Questions Related to Complex Numbers in Complex Analysis),सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.वास्तविक अक्ष किसे कहते हैं? (What is the Real Axis?):
उत्तर:जिस प्रकार से एक वास्तविक संख्या को सरल रेखा पर एक बिन्दु द्वारा निरूपित किया जा सकता है उसी प्रकार एक सम्मिश्र संख्या z=x+iy को समतल में किसी बिन्दु द्वारा निरूपित किया जा सकता है।यदि समतल में दो आयताकार अक्ष लिए जाए तो सम्मिश्र संख्या z=x+iy को एक बिन्दु P(x,y) से अभिनिर्धारित (identify) किया जा सकता है।इस प्रकार से सभी सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय एवं समतल में स्थित सभी बिन्दुओं के समुच्चय में एकैकी प्रतिचित्रण स्थापित होता है।स्पष्टतः इस प्रतिचित्रण के अन्तर्गत सभी वास्तविक संख्याएँ x-अक्ष के बिन्दुओं के साथ एकैकी संगतता (correspondence) रखती है अतः इसे वास्तविक अक्ष कहते हैं।
प्रश्न:2.काल्पनिक अक्ष किसे कहते हैं? (What is an Imaginary Axis?):
उत्तर:सभी विशुद्ध काल्पनिक संख्याएँ y-अक्ष के साथ एकैकी संगतता रखेगी इसलिए y-अक्ष को काल्पनिक अक्ष कहते हैं।
प्रश्न:3.आर्गेण्ड समतल किसे कहते हैं? (What is Argand Plane Called?):
उत्तर:पुनः सम्मिश्र संख्या 0=0+i.0,x-अक्ष एवं y-अक्ष के प्रतिच्छेद बिन्दु अर्थात् मूलबिन्दु के संगत होगी।समतल जिसके बिन्दु सम्मिश्र संख्याओं को निरूपित करते हैं सम्मिश्र समतल या आर्गेण्ड समतल (Argand plane) कहते हैं।इसे गासीय समतल भी कहा जाता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सम्मिश्र विश्लेषण में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Complex Analysis),सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।।
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सम्मिश्र विश्लेषण में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Complex Analysis) के इस
आर्टिकल में सम्मिश्र संख्याओं के गुणधर्मों पर आधारित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करेंगे।
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Satyam
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