Analytic Functions Complex Analysis
1.सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन (Analytic Functions Complex Analysis),विश्लेषिक फलन (Analytic Function):
सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन (Analytic Functions Complex Analysis) के इस आर्टिकल में फलनों का सांतत्य,विश्लेषिक फलनों की जाँच कोशी-रीमान समीकरणों के आधार पर हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
Also Read This Article:- Analytic Continuation
2.सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन के साधित उदाहरण (Analytic Functions Complex Analysis Solved Illustrations):
Illustration:1.यदि f(z)=\frac{x y^2(x+i y)}{x^2+y^4} , z \neq 0, f(0)=0 ; सिद्ध कीजिए कि \frac{f(z)-f(0)}{z} \rightarrow 0 जैसे किसी ध्रुवान्तर रेखा पर z \rightarrow 0 परन्तु यह सत्य नहीं है यदि z किसी भी मार्ग से मूलबिन्दु के निकट आए।
(If f(z)=\frac{x y^2(x+i y)}{x^2+y^4} , z \neq 0, f(0)=0 ; prove that \frac{f(z)-f(0)}{z} \rightarrow 0 as z \rightarrow 0 along any radius vector but not as z \rightarrow 0 in any number.)
Solution:माना ध्रुवान्तर रेखा y=mx के अनुदिश तब
\underset{z \rightarrow 0}{\lim} \frac{f(z)-f(0)}{z}=\underset{z \rightarrow 0}{\lim} \frac{x y^2(x+i y)}{\left(x^2+y^4\right) z} \\ =\underset{z \rightarrow 0}{\lim} \frac{x(m x)^2}{x^2+(m x)^4} \\ =\underset{z \rightarrow 0}{\lim} \frac{m^2 x}{1+m^4 x^2}=0
पुनः माना z \rightarrow 0, x=y^2 के अनुदिश तब
\underset{z \rightarrow 0}{\lim} \frac{f(z)-f(0)}{z} =\underset{z \rightarrow 0}{\lim} \frac{x \cdot x}{x^2+x^2} \\=\frac{1}{2} (जो कि शून्य नहीं है)
Hence Proved
Illustration:2.सिद्ध करो कि अचर मापांक वाला एक विश्लेषिक फलन अचर होता है।
(show that an analytic function with constant modulus is constant)
या (Or)
सिद्ध करो कि एक विश्लेषिक फलन बिना किसी अचर को कम किए अचर मापांक नहीं रख सकता है।
(Show that an analytic function cannot have a constant modulus without reducing to a constant.)
Solution:माना f(z)=u+iv दिया हुआ विश्लेषिक फलन है।
तब u तथा v कोशी-रीमान समीकरणों को सन्तुष्ट करते हैं।
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} तथा \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\cdots(1) \\ |f(z)|=अचर=c (दिया है)
तब u^2+v^2=c^2
दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial v}{\partial x}=0, u \frac{\partial u}{\partial y}+v \frac{\partial v}{\partial y}=0 \\ \Rightarrow u \frac{\partial u}{\partial x}-v \frac{\partial u}{\partial y}=0 तथा u \frac{\partial u}{\partial y}+v \frac{\partial u}{\partial x}=0 [(1) से ]
उपर्युक्त समीकरणों से \frac{\partial u}{\partial y} का विलोपन करने पर:
\left(u^2+v^2\right) \frac{\partial u}{\partial x}=0 \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x}=0, यदि u+i v \neq 0
इसी प्रकार \frac{\partial u}{\partial y}=0, \frac{\partial v}{\partial x}=0, \frac{\partial v}{\partial y}=0
अतः \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x} तथा \frac{\partial v}{\partial y} सभी शून्य हैं।
इसलिए u व v अचर हैं।अतः f(z)=u+iv एक अचर फलन है।
Illustration:3.सिद्ध करो कि अचर कोणांक वाला एक विश्लेषिक फलन अचर होता है।
(show that an analytic function with constant argument is constant.)
Solution: arg f(z)=\tan ^{-1} \frac{v}{u} \\ \Rightarrow \arg f(z)=c (अचर)
\Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{v}{u}\right)=c \\ \Rightarrow \frac{v}{u}=\tan c \\ \Rightarrow u=v \cot c \\ \Rightarrow u=k v (जहाँ k=\cot c )
u-kv=0 जब v शून्य न हो परन्तु u-kv; (1+ik)f का वास्तविक भाग है अतः फलन f भी अचर है।
Illustration:4.यदि f(z) तथा \phi(z) प्रान्त D में विश्लेषिक फलन हैं,तो सिद्ध करें कि f(z)+\phi(z) तथा f(z) \cdot \phi(z) भी D में विश्लेषिक हैं। साथ ही सिद्ध करें कि \frac{f(z)}{\phi(z)} ,D में विश्लेषिक है, बशर्ते कि \phi(z) वहाँ लुप्त न हो।
(if f(z) and \phi(z) are analytic functions in a domain D, prove that f(z)+\phi(z) and f(z) \cdot \phi(z) are also analytic in D.Also prove that \frac{f(z)}{\phi(z)} is analytic in D, provided that \phi(z) does not vanish there.)
Solution:f(z) तथा \phi(z) , D में विश्लेषिक हैं,इसलिए दोनों D में संतत है।हम जानते हैं कि दो संतत फलनों का योग और गुणा संतत होता है इसलिए f(z)+\phi(z) तथा f(z) \cdot \phi(z) ,D में संतत है।
अब \frac{d}{d z} \cdot[f(z)+\phi(z)]=\frac{d f}{d z}+\frac{d \phi}{d z}
जिनका अद्वितीय अस्तित्व है क्योंकि f(z) व \phi(z) ,D में विश्लेषिक हैं।
\therefore f(z)+\phi(z) ,D में विश्लेषिक है।
पुनः \frac{d}{d z}[f(z)+\phi(z)]=f(z) \frac{d \phi(z)}{d z}+\phi(z) \frac{d f(z)}{d z}
जिनका अद्वितीय अस्तित्व है क्योंकि f(z) तथा \phi(z) विश्लेषिक हैं।
अतः f(z) \cdot \phi(z) , D में विश्लेषिक है।
हम जानते हैं कि दो संतत फलन का भाजक संतत होता है बशर्ते हर शून्य न हो,इसलिए \frac{f(z)}{\phi(z)} संतत है,बशर्ते \phi(z) \neq 0 \\ \frac{d}{d z}\left[\frac{f(z)}{\phi(z)}\right]=\frac{\frac{d f}{d z} \phi(z)-f(z) \frac{d \phi}{d z}}{[\phi(z)]^2} \\ \phi(z) \neq 0
जिनका अद्वितीय अस्तित्व है क्योंकि f(z) तथा विश्लेषिक है।
\therefore \frac{f(z)}{\phi(z)} ,D में विश्लेषिक है बशर्ते \phi(z) \neq 0
Illustration:5.z के किन मानों के लिए z=e^{-v}(\cos u+i \sin u) द्वारा परिभाषित फलन w जहाँ w=u+iv विश्लेषिक होना बंद हो जाता है?
(For what values of z the function w defined by z=e^{-v}(\cos u+i \sin u) where w=u+iv ceases to be analytic?)
Solution: z=e^{-v}(\cos u+i \sin u) \\ \frac{d z}{d w} =\frac{\partial z}{\partial u} \\ =e^{-v}(-\sin u+i \cos u) \\ =i e^{-v}(\cos u+i \sin u) \\ =i z \\ \therefore \frac{d w}{d z} =\frac{1}{i z}
w विश्लेषिक होगा यदि \frac{d w}{d z} परिमित हो
यदि z=0 तो w विश्लेषिक होना समाप्त हो जाता है।
Illustration:6.z के किन मानों के लिए निम्नलिखित समीकरण द्वारा परिभाषित फलन w विश्लेषिक होना बंद हो जाता है:
(i) z=\sinh u \cos v+i \cosh u \sin v, w=u+i v
(ii) z=\sin u \cosh v+i \cos u \sinh v, w=u+i v
(For what values of z do the function w defined by the following equations cease to be analytic):
(i) z=\sinh u \cos v+i \cosh u \sin v, w=u+i v
(ii) z=\sin u \cosh v+i \cos u \sinh v, w=u+i v
Solution:(i). z=\sinh u \cos v+i \cosh u \sin v, w=u+i v \\ \Rightarrow \frac{d z}{d w}= \frac{\partial z}{\partial u}=\cosh u \cos v+i \sinh u \sin v \\ z^2=(\sinh u \cos v+i \cosh u \sin v)^2 \\ =\sinh ^2 u \cos ^2 v-\cosh ^2 u \sin ^2 v+ 2 i \sinh u \cos v \cdot \cosh u \sin v \\ =\left(\cosh ^2 u-1\right) \cos ^2 v-\left(1+\sinh ^2 u\right) \sin ^2 v +2 i \sinh u \cos v \cosh u \sin v \\ =(\cosh u \cos v+i \sinh u \sin v)^2-1 \\ \Rightarrow\left(\frac{d z}{d w}\right)^2-1 \\ \Rightarrow \left(\frac{dz}{d w}\right)^2=z^2+1 \\ \Rightarrow \frac{d z}{d w}= \pm \sqrt{z^2+1} \\ \Rightarrow \frac{d w}{d z}= \pm \frac{1}{\sqrt{z^2+1}}
\therefore w विश्लेषिक होने के लिए,\frac{d w}{d z} परिमित होना चाहिए।
\therefore w विश्लेषिक होना समाप्त हो जाता है यदि z^2+1=0 \Rightarrow z= \pm i
Solution:(ii). z=\sin u \cosh v+i \cos u \sinh v, w=u+i v \\ \frac{d z}{d \omega}=\frac{\partial z}{\partial u}=\cos u \cosh v-i \sin u \sinh v \\ z^2=(\sin u \cosh v+i \cos u \sinh v)^2 \\ =\sin ^2 u \cosh ^2 v-\cos ^2 u \sinh ^2 v+2 i \sin u \cos h u \cos u \sinh u \\ =\left(1-\cos ^2 u\right) \cosh^2 v-\left(1-\sin ^2 u\right) \sinh^2 v +2 i \sin u \cosh v \cos u \sinh v \\ =\cosh ^2 v-\cos ^2 u \cosh ^2 v-\sinh ^2 v +\sin ^2 u \sinh ^2 v +2 i \sin u \cosh v \cos u \sinh v \\=\cosh ^2 v-\sinh ^2 v-(\cos ^2 u \cosh ^2 v- \sin ^2 u \sinh ^2 v-2 i \sin u \cosh v \cos u \sinh v) \\ =1-(\cos u \cosh v-i \sin u \sinh v)^2 \\ =1-\left(\frac{d z}{d \omega}\right)^2 \\ \Rightarrow \left(\frac{d z}{d w}\right)^2=1-z^2 \\ \Rightarrow \frac{d z}{d z}= \pm \sqrt{1-z^2} \\ \Rightarrow \frac{d w}{d z}=\frac{1}{ \pm \sqrt{1-z^2}}
\therefore w विश्लेषिक होने के लिए,\frac{d w}{d z} परिमित होना चाहिए।
\therefore w विश्लेषिक होना समाप्त हो जाता है यदि 1-z^2=0 \Rightarrow z= \pm 1
Illustration:7.z के किन मानों के लिए z=\log \rho+i \phi द्वारा परिभाषित फलन w जहाँ w=\rho(\cos \phi+i \sin \phi) विश्लेषिक होना बंद हो जाता है?
(For what values of z, the function w defined by z=\log \rho+i \phi where w=\rho(\cos \phi+i \sin \phi)
ceases to analytic?)
Solution:हम जानते हैं कि यदि w=f(r, \theta) तथा z=r(\cos \theta+i \sin \theta)
तब \frac{d w}{d z}=(\cos \theta-i \sin \theta) \frac{\partial w}{\partial r} \\ z=\log \rho+i \phi
तथा \rho(\cos \phi+i \sin \phi) रखने पर:
\therefore \frac{d z}{d w}=\frac{\partial z}{\partial \rho}(\cos \phi-i \sin \phi)=\frac{1}{\rho}(\cos \phi-i \sin \phi) \\ =\frac{(\cos \phi-i \sin \phi) \cdot(\cos \phi+i \sin \phi)}{\rho(\cos \phi+i \sin \phi)} \\ =\frac{1}{w} \\ \therefore \frac{d w}{d z}=w
जो w के विश्लेषिक होने के लिए परिमित होना चाहिए।अब w परिमित है अतः \rho परिमित है I.e. z परिमित है।इस प्रकार w विश्लेषिक फलन है,z का किसी भी परिमित प्रान्त में
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन (Analytic Functions Complex Analysis),विश्लेषिक फलन (Analytic Function) को समझ सकते हैं।
Also Read This Article:- Topological Preliminaries
3.सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन (Frequently Asked Questions Related to Analytic Functions Complex Analysis),विश्लेषिक फलन (Analytic Function) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.होलोमार्फिक फलन किसे कहते हैं? (What is a Holomorphic Function?):
उत्तर:एक फलन एक बिन्दु z_{0} पर विश्लेषिक फलन कहलाता है यदि इसका अवकलज का न केवल उस बिन्दु पर परन्तु उस बिन्दु के प्रतिवेश में भी अस्तित्व हो। विश्लेषिक फलन को होलोमार्फिक फलन (Holomorphic function) भी कहते हैं।
प्रश्न:2.विश्लेषिक होने के लिए आवश्यक प्रतिबन्ध क्या है? (What is the Necessary Condition for a Function to be Analytic?):
उत्तर:फलन f(z)=u(x,y)+iv(x,y) के किसी प्रान्त D में विश्लेषिक होने के लिए आवश्यक प्रतिबन्ध है कि उस प्रान्त में u तथा v कोशी-रीमान समीकरण सन्तुष्ट करते हैं,अर्थात्
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
प्रश्न:3.कोशी-रीमान समीकरणों का ध्रुवी रूप लिखो। (Write the Polar Form of Cauchy-Riemann Equations):
उत्तर:यदि x=r \cos \theta, y=r \sin \theta लें तो r^2=x^2+y^2 तथा \theta=\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)
कोशी-रीमान समीकरण कार्तीय रूप में निम्न हैं:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
कोशी-रीमान समीकरण का ध्रुवी रूप निम्न होगा:
\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta} तथा \frac{\partial u}{\partial \theta}=-r \frac{\partial v}{\partial r}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन (Analytic Functions in Complex Analysis),विश्लेषिक फलन (Analytic Function) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
No. | Social Media | Url |
---|---|---|
1. | click here | |
2. | you tube | click here |
3. | click here | |
4. | click here | |
5. | Facebook Page | click here |
6. | click here |
Analytic Functions Complex Analysis
सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन
(Analytic Functions Complex Analysis)
Analytic Functions Complex Analysis
सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन (Analytic Functions Complex Analysis) के इस
आर्टिकल में फलनों का सांतत्य,विश्लेषिक फलनों की जाँच कोशी-रीमान समीकरणों के
आधार पर हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
Related Posts
About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.