1.प्रारम्भिक सांस्थितिक (Topological Preliminaries),सम्मिश्र संख्याओं का प्रारम्भिक सांस्थितिक (Topological Preliminaries of Complex Numbers):

Topological Preliminaries

प्रारम्भिक सांस्थितिक (Topological Preliminaries) के इस आर्टिकल में सम्मिश्र संख्याओं के सवालों तथा प्रमेयों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.प्रारम्भिक सांस्थितिक के उदाहरण (Topological Preliminaries Examples):

Example:1.मान लो वर्ग के अन्दर तथा परिसीमा पर स्थित a+ib (जहाँ a,b \in Q) रूपवाली सभी संख्याओं का समुच्चय है तो जाँच कीजिए कि:
(Let A be the set of all numbers of the form a+ib (a,b \in Q)  lying inside and on the square then examine the following):
(a)क्या A प्रतिबद्ध है? (Is A bounded?)
(b)A के सीमा बिन्दु क्या हैं? (What are limit points of A?)
(c)क्या A संवृत्त है? (Is A closed?)
(d)A के आन्तरिक एवं परिसीमा बिन्दु क्या हैं? (What are the interior and boundary points of A?)
(e)क्या A विवृत्त है? (Is A open?)
(f)क्या A सम्बद्ध है? (Is A connected?)
(g)क्या A विवृत्त क्षेत्र है? (Is A open region?)
(h) A का संवरक क्या है? (What is closure of A?)
(i)क्या A संहत है? (Is A compact?)
Solution:
(a)A परिबद्ध समुच्चय है चूँकि A के प्रत्येक बिन्दु z के लिए

|z|=|a+i b|>0 \leq \sqrt{\left(a^2+b^2\right)} \leq 2 \\ (\because 0 \leq a \leq 1, 0 \leq b \leq 1)
(b)चूँकि वर्ग के अन्दर तथा ऊपर स्थित प्रत्येक बिन्दु Z_{0} के लिए उसके प्रत्येक प्रतिवेश में A के अनन्त बिन्दु विद्यमान हैं।अतः ये सभी A के सीमा बिन्दु है।
(c)स्पष्टतः A संवृत्त है चूँकि इसके सभी सीमा बिन्दु इसमें विद्यमान हैं।
(d)वर्ग पर स्थित सभी बिन्दु के परिसीमा बिन्दु हैं साथ ही A का आन्तरिक बिन्दु भी है चूँकि ऐसा बिन्दु Z_{0} विद्यमान है जिसका कम से कम एक प्रतिवेश N_{\epsilon } (Z_{0}) पूर्णतया A में अन्तर्विष्ट हो।
(e)A विवृत्त नहीं है।
(f)चूँकि A के किन्हीं दो बिन्दुओं z_{1},z_{2} को किसी बहुभुज से जोड़ा जा सकता है जो पूर्णतया A में स्थित हो।अतः A सम्बद्ध है।
(g)A एक विवृत्त क्षेत्र नहीं है चूँकि यह विवृत्त नहीं है।
(h)चूँकि वर्ग के ऊपर तथा अन्दर का प्रत्येक बिन्दु A का सीमा बिन्दु है,अतः A का संवरक वर्ग के ऊपर तथा अन्दर के सभी बिन्दुओं का समुच्चय है।
(i)A संहत है चूँकि संवृत्त है।
Example:2.यदि A=\left\{(-1)^n+\frac{n i}{n+i},n=1,2,3 \ldots\right\} तो इसके सीमा बिन्दु क्या होंगे?
(If A=\left\{(-1)^n+\frac{n i}{n+i},n=1,2,3 \ldots\right\} then what are limit points of A?)
Solution: A =\left\{(-1)^n+\frac{n i}{n+1} ; n=1,2,3\right\} \\ A=\left\{-1+\frac{i}{2}, 1+\frac{2}{3} i,-1+\frac{3 i}{3}, \cdots\right\}
अतः A के सीमा बिन्दु=-1 \pm i
Example:3.सिद्ध कीजिए कि विवृत्त समुच्चयों के किसी स्वेच्छ संग्रह का संघ विवृत्त समुच्चय होता है तथा विवृत्त समुच्चयों के परिमित संग्रह का सर्वनिष्ठ विवृत्त समुच्चय होता है।
(Prove that the union of an arbitrary collection of open sets is open,and that the intersection of a finite number of open sets is open.)
Example:3.सिद्ध कीजिए कि संवृत्त समुच्चयों के किसी स्वेच्छ संग्रह का सर्वनिष्ठ संवृत्त समुच्चय होता है तथा परिमित संग्रह का संघ संवृत्त होता है।
(Show that the intersection of an arbitrary collection closed sets is closed and the union of a finite collection of closed sets is closed.)
Solution:यदि Z_{0} \in c, \nu  विवृत्त समुच्चयों के किसी संग्रह है तथा P= U^{\nu } इनका संघ है,तब Z_{0} ,P में है यदि और केवल यदि इसका कम से कम एक समुच्चय \nu में हैं।माना कि,यह है V \in \nu  ,तब जबकि V विवृत्त है, Z_{0} के केन्द्र में डिस्क D_{r} (Z_{0})  है,जिसमें V सम्मिलित है।यह सिद्ध करता है कि P विवृत्त है।
अब माना \left\{V_1, V_2, V_3, \cdots V_k\right\} विवृत्त समुच्चयों का परिमित संग्रह और Z_0 \in P=V_1 \cap V_2 \cap \ldots \ldots \ldots \cap V_n तब जबकि V_k प्रत्येक विवृत्त है,प्रत्येक k के लिए त्रिज्या r_k इस प्रकार है कि D_{rk} (Z_{0}) \subset P  ।यदि r=\min \left\{r_1,r_2,\ldots,r_n\right\} ,तब प्रत्येक k के लिए,जिससे यह प्रदर्शित होता है कि D_{r} (Z_{0}) \subset P।इससे निष्कर्ष निकलता है कि P विवृत्त है।
संवृत्त समुच्चयों के कथन का प्रमाण से भी निष्कर्ष निकलता है कि विवृत्त समुच्चयों का पूरक लेकर
उक्त प्रमेय के परिणामस्वरूप यह आसानी से निष्कर्ष निकलता है कि P विवृत्त है तो K संवृत्त है,तब समुच्चय सिद्धान्त अन्तर से \frac{P}{K} विवृत्त है।इसी प्रकार \frac{K}{P} संवृत्त है।
Example:6.निम्न में से कौनसे अनुक्रम अभिसारी है?
(Which of the following sequences are convergent?)
Example:6(a). \{n i^n\}
Solution: \{n i^n\} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n i^n=\infty
अतः अनुक्रम अपसारी है।
Example:6(b). \left\{ \frac{\cos \alpha+i \sin \alpha}{n}\right\}
Solution: \left\{\frac{\cos \alpha+i \sin \alpha}{n}\right\} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left\{\frac{\cos \alpha+i \sin \alpha}{n}\right\}=0(परिमित राशि )
अतः अनुक्रम अभिसारी है।
Example:6(c). \left\{\frac{n^2 i^n}{n^3+1}\right\}
Solution: \left\{\frac{n^2 i^n}{n^3+1}\right\} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left\{\frac{n^2 i^n}{n^3+1}\right\}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left\{\frac{i^n}{x\left(1+\frac{1}{n^3}\right)}\right\} \\ =0 (परिमित राशि )
अतः अनुक्रम अपसारी है।
Example:6(d). \left\{1+\frac{3 z}{n^2}\right\}
Solution: \left\{1+\frac{3 z}{n^2}\right\} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left\{1+\frac{3 z}{n^2}\right\}=1 (परिमित राशि )
अतः अनुक्रम अपसारी है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रारम्भिक सांस्थितिक (Topological Preliminaries),सम्मिश्र संख्याओं का प्रारम्भिक सांस्थितिक (Topological Preliminaries of Complex Numbers) को समझ सकते हैं।

Topological Preliminaries

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3.प्रारम्भिक सांस्थितिक (Frequently Asked Questions Related to Topological Preliminaries),सम्मिश्र संख्याओं का प्रारम्भिक सांस्थितिक (Topological Preliminaries of Complex Numbers) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रारम्भिक सांस्थितिक (Topological Preliminaries) के इस आर्टिकल में
सम्मिश्र संख्याओं के सवालों तथा प्रमेयों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।