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Linear equation-Clairaut’s equations

1.रैखिक समीकरण-क्लैरो का समीकरण (Linear equation-Clairaut’s equations)-

रैखिक समीकरण-क्लैरो का समीकरण (Linear equation-Clairaut’s equations) के अवकल समीकरण का रूप y=px+f(p) हो तो इसे क्लेरो का समीकरण कहते हैं। जहां f(p) ,p का कोई  फलन है।यह एक लैग्रांज समीकरण का एक विशेष रूप हैं।
इसका हल ज्ञात करने के लिए इसका x के सापेक्ष अवकलन करते हैं-

px+f\left( p \right) ......(1)\\ p=p+x\frac { dp }{ dx } +f^{ \prime }\left( p \right) .\frac { dp }{ dx }
या \left[ x+f^{ \prime }\left( p \right) \right] \frac { dp }{ dx } =0
अतः\frac { dp }{ dx } =0....(2)
याx+f^{ \prime }\left( p \right) =0....(3)
समीकरण (2) से प्राप्त होता है कि
P=अचर=c(माना)
(1) व (4) में से p का विलोपन करने पर-

y=cx+f\left( c \right)
जो कि दिए हुए समीकरण का व्यापक हल (General solution) है।इस प्रकार हम देखते हैं कि रैखिक समीकरण-क्लैरो का समीकरण (Linear equation-Clairaut’s equations) का व्यापक हल अवकल समीकरणों में p के स्थान पर अचर c रखने से प्राप्त होता है।
यदि हम (1) और ‌(3) में से p का विलोपन करें तो हमको एक दूसरा हल मिलेगा जिसमें कोई स्वेच्छ अचर नहीं है और ना ही वह व्यापक हल की कोई विशिष्ट स्थिति है। इस प्रकार के हल को हम अवकल समीकरण का विचित्र हल (singular solution) कहते हैं।
टिप्पणी-यह ध्यान रखने योग्य हैं कि यदि (1) का p के सापेक्ष आंशिक अवकल करें तो हमको समीकरण (3) प्राप्त होगा।यह विशेषता विचित्र हल निकालने (sinular solution) निकालने की विधि में उपयोगी है।
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2.रैखिक समीकरण-क्लैरो का समीकरण (Linear equation-Clairaut’s equations)-

रैखिक समीकरण-क्लैरो का समीकरण (Linear equation-Clairaut’s equations) को निम्न उदाहरणों से समझा जा सकता है-
निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए (solve the following equations)-
Question-1.  sinpx.cosy=cospx.siny+p
Solution-sinpx.cosy=cospx.siny+p\\ \Rightarrow p=sinpx.cosy-cospx.siny\\ \Rightarrow p=sin\left( px-y \right) \\ { sin }^{ -1 }p=px-y\\ \Rightarrow y=px-{ sin }^{ -1 }p
जो कि क्लेरो के रूप का समीकरण है|
अतःसमीकरण का व्यापक हल-

y=xc-{ sin }^{ -1 }c
Question-2.{ \left( px-y \right) }^{ 2 }={ p }^{ 2 }-1

Solution-{ \left( px-y \right) }^{ 2 }={ p }^{ 2 }-1\\ \Rightarrow px-y=\sqrt { { p }^{ 2 }-1 } \\ \Rightarrow y=px-\sqrt { { p }^{ 2 }-1 }
जो कि क्लेरो के रूप का समीकरण है|
अतःसमीकरण का व्यापक हल-

y=xc-\sqrt { c^{ 2 }-1 }

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Question-3.\frac { { \left( y-px \right) }^{ 2 } }{ 1+{ p }^{ 2 } } ={ a }^{ 2 }
Solution-\frac { { \left( y-px \right) }^{ 2 } }{ 1+{ p }^{ 2 } } ={ a }^{ 2 }\\ \Rightarrow { \left( y-px \right) }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\left( 1+{ p }^{ 2 } \right) \\ \Rightarrow y-px=a\sqrt { \left( 1+{ p }^{ 2 } \right) } \\ \Rightarrow y=px+a\sqrt { \left( 1+{ p }^{ 2 } \right) }

जो कि क्लेरो के रूप का समीकरण है
अतःसमीकरण का व्यापक हल-

y=cx+a\sqrt { \left( 1+{ c }^{ 2 } \right) }
Question-4.p=tan\left( px-y \right)
Solution-p=tan\left( px-y \right) \\ \Rightarrow px-y={ tan }^{ -1 }p\\ \Rightarrow y=px-{ tan }^{ -1 }p
जो कि क्लेरो के रूप का समीकरण है
अतःसमीकरण का व्यापक हल-

y=cx+{ tan }^{ -1 }c
Question-5.p=log\left( px-y \right)
Solution-p=log\left( px-y \right) \\ \Rightarrow px-y={ e }^{ p }\\ \Rightarrow y=px-{ e }^{ p }
जो कि क्लेरो के रूप का समीकरण है|
अतःसमीकरण का व्यापक हल –

y=cx-{ e }^{ p }
रैखिक समीकरण-क्लैरो का समीकरण (Linear equation-Clairaut’s equations) को उपर्युक्त उदाहरणों से भली प्रकार से समझा  जा सकता है |

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