How to Find Particular Integral in DE?
1.अवकल समीकरण में विशिष्ट समाकल कैसे ज्ञात करें? (How to Find Particular Integral in DE?),कुछ विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की सरल विधियाँ (Easy Methods of Finding Out Particular Integral in Few Special Cases):
अवकल समीकरण में विशिष्ट समाकल कैसे ज्ञात करें? (How to Find Particular Integral in DE?) के इस आर्टिकल में कुछ विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की सरल विधियों के बारे में जानेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
Also Read This Article:- DE of First Order But Not 1st Degree
2.अवकल समीकरण में विशिष्ट समाकल कैसे ज्ञात करें पर आधारित उदाहरण (Examples Based on How to Find Particular Integral in DE?):
निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:2. \frac{d^2 y}{d x^2}-y=\cosh x
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-y=\cosh x
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A. E.) होगा:
m^2-1=0 \\ \Rightarrow m= \pm 1 \\ \text{C.F.}=C_{1} e^x+C_2 e^{-x}
पुनः \text { P.I.}=\frac{1}{D^2-1} \cosh x \\ =\frac{1}{D^2-1}\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right) \\ =\frac{1}{2} \frac{1}{(D-1)(D+1)} e^x+\frac{1}{2} \frac{1}{\left(D-1\right)(D+1)} e^{-x} \\ =\frac{1}{2} \frac{x}{1 !} \cdot \frac{1}{(1+1)} e^x+\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{1 !} \cdot \frac{1}{(-1-1)} e^{-x} \\ =\frac{1}{2} x\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right) \\ \Rightarrow \text { P.I.}=\frac{1}{2} x \sinh x
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C. F. +P. I.
\Rightarrow y=C_1 e^x+C_2 e^{-x}+\frac{1}{2} x \sinh x
Example:3. \frac{d^5 y}{d x^5}-m^2 \frac{d^3 y}{d x^3}=e^{a x}
Solution: \frac{d^5 y}{d x^5}-m^2 \frac{d^3 y}{d x^3}=e^{a x}
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार से लिखा जा सकता है:
\left(D^5-m^2 D^3\right) y=e^{a x}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:
M^5-m^2 M^3=0 \\ M^3\left(M^2-m^2\right)=0 \\ M^3=0, M^2-m^2=0 \\ \Rightarrow M^2=m^2 \Rightarrow M= \pm m \\ \Rightarrow M=0,0,0, m, -m \\ \text{C.F.}=C_{1}+C_2 x+C_3 x^2+C_4 e^{m x}+C_5 e^{-m x}
पुनः \text { P.I. }=\frac{1}{D^3\left(D^2-m^2\right)} e^{a x} \\ =\frac{1}{D^3\left(D^2-m^2\right)} e^{a x} \\ =\frac{1}{a^3\left(a^2-m^2\right)} e^{a x} \\ \Rightarrow \text { P.I. }=\frac{1}{a^3\left(a^2-m^2\right)} e^{a x}
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I
y=C_1+C_2 x+C_3 x^2+C_4 e^{mx}+C_5 e^{-mx}+\frac{1}{a^3\left(a^2-m^2\right)} e^{ax}
Example:4. \frac{d y}{d x^2}-5 \frac{d y}{d x}+6 y=e^{3 x}
Solution: \frac{d y}{d x^2}-5 \frac{d y}{d x}+6 y=e^{3 x}
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार से लिखा जा सकता है:
\left(D^2-5 D+6\right) y=e^{3 x}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:
m^2-5 m+6=0 \\ \Rightarrow m^2-3 m-2 m+6=0 \\ \Rightarrow m(m-3)-2(m-3)=0 \\ \Rightarrow (m-2)(m-3)=0 \\ \Rightarrow m=2,3 \\ \text { C.F .}=C_1 e^{2 x}+C_2 e^{3 x}
पुनः \text { P.I. }=\frac{1}{D^2-5 D+6} e^{3 x} \\ =\frac{1}{(D-2)(D-3)} e^{3 x} \\ =\frac{1}{(3-2)} \frac{x}{1!} e^{3 x} \\ \Rightarrow \text { P.I. }=x e^{3 x}
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C. F. +P. I.
\Rightarrow y=C_1 e^{2 x}+C_2 e^{3 x}+x e^{3 x}
Example:5. \frac{d^2 y}{d x^2}-2 \frac{d y}{d x}+y=e^x
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-2 \frac{d y}{d x}+y=e^x
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:
\left(D^2-2 D+1\right) y=e^x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:
m^2-2 m+1=0 \\ \Rightarrow(m-1)^2=0 \\ \Rightarrow m=1 , 1 \\ \text { C.F.}=\left(C_1+C_2 x\right) e^x
पुनः \text { P.I. }=\frac{1}{(D-1)^2} e^x \\ =\frac{x^2}{2 !} e^x \\ \Rightarrow \text { P.I. }=\frac{x^2}{2} e^x
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C. F+P. I.
Example:7. \left(4 D^2+4 D-3\right) y=e^{2 x}
Solution: \left(4 D^2+4 D-3\right) y=e^{2 x}
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A.E.) होगा:
4 m^2+4 m-3=0 \\ \Rightarrow 4 m^2+6 m-2 m-3=0 \\ \Rightarrow 2 m(2 m+3)-1(2 m+3)=0 \\ \Rightarrow(2 m-1)(2 m+3)=0 \\ \Rightarrow 2 m-1=0 \Rightarrow m=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow 2 m+3=0 \Rightarrow m=-\frac{3}{2} \\ m=\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\\ \text { C.F. }=C_1 e^{\frac{x}{2}}+C_2 e^{-\frac{3}{2} x}
पुनः \text { P.I. }=\frac{1}{4 D^2+4 D-3} e^{2 x} \\ =\frac{1}{4(2)^2+4 \times 2-3} e^{2 x} \\ =\frac{1}{16+8-3} e^{2 x} \\ =\frac{1}{2 !} e^{2 x} \\ \Rightarrow \text { P.I. }=\frac{1}{2 !} e^{2 x}
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.
\Rightarrow y=C_1 e^{\frac{x}{2}}+C_2 e^{-\frac{3}{2} x}+\frac{1}{21} e^{2 x}
Example:9. (D+2)(D-1)^3 y=e^x
Solution: (D+2)(D-1)^3 y=e^x
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A.E.) होगा:
(m+2)(m-1)^3=0 \\ \Rightarrow m=-2,1,1,1 \\ \text { C.F.}=\left(C_1+C_2 x+C_3 x^2\right) e^x+e^{-2 x}
पुनः \text { P.I. }=\frac{1}{(D+2)(D-1)^3} e^{e^x} \\ =\frac{1}{(1+2)} \cdot \frac{x^3}{3 !} e^x \\ \Rightarrow \text { P.I. }=\frac{1}{18} x^3 e^x
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.
\Rightarrow y=\left(C_1+C_2 x+C_3 x^2\right) e^x+e^{-2 x}+\frac{1}{18} x^3 e^x
Example:12. \left(D^2-2 a D+a^2\right) y=e^{a x}
Solution: \left(D^2-2 a D+a^2\right) y=e^{a x}
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A.E.) होगा:
m^2-2 a m+a^2=0 \\ \Rightarrow (m-a)^2=0 \\ \Rightarrow m=a, a \\ \text{C.F.}=\left(c_1+c_2 x\right) e^{a x}
पुनः \text { P.I. } =\frac{1}{(D-a)^2} e^{a x} \\ =\frac{x^2}{2 !} e^{a x} \\ \Rightarrow \text { P.I. } =\frac{1}{2} x^2 e^{a x}
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.
\Rightarrow y=(C_1+C_2 x) e^{a x}+\frac{1}{2} x^2 e^{a x}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरण में विशिष्ट समाकल कैसे ज्ञात करें? (How to Find Particular Integral in DE?),कुछ विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की सरल विधियाँ (Easy Methods of Finding Out Particular Integral in Few Special Cases) को समझ सकते हैं।
3.अवकल समीकरण में विशिष्ट समाकल कैसे ज्ञात करें पर आधारित सवाल (Questions Based on How to Find Particular Integral in DE?):
निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
(1.) 2 \frac{d^3 y}{d x^3}-3 \frac{d^2 y}{d x^2}+y=e^x+1
(2.) \frac{d^2 y}{d x^2}+4 \frac{d y}{d x}+4 y=e^{2 x}+e^{-2 x}
उत्तर (Answers): (1.) \left(C_1+C_2 x\right) \cdot e^x+C_3 e^{-\frac{x}{2}}+\frac{1}{6} x^2 e^x+1
(2.) \left(C_1+C_2 x\right) e^{-2 x} +\frac{1}{16} e^{2 x}+\frac{1}{2} x^2 e^{-2 x}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण में विशिष्ट समाकल कैसे ज्ञात करें? (How to Find Particular Integral in DE?),कुछ विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की सरल विधियाँ (Easy Methods of Finding Out Particular Integral in Few Special Cases) को ठीक से समझ सकते हैं।
Also Read This Article:- How to Find Out Particular Integral?
4.अवकल समीकरण में विशिष्ट समाकल कैसे ज्ञात करें? (Frequently Asked Questions Related to How to Find Particular Integral in DE?),कुछ विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की सरल विधियाँ (Easy Methods of Finding Out Particular Integral in Few Special Cases) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.अवकल समीकरण में Q(x) के विशेष रूप कौनसे हैं? (What are the Special Forms of Q(x) in Differential Equation?):
(1.) Q(x)=e^{a x},जहाँ a कोई अचर है।
(2.) Q(x)=\sin a x अथवा \cos ax ,जहाँ a कोई अचर है।
(3.) Q(x)=x^m ,जहाँ m कोई धन पूर्णांक है।
(4.) Q(x)=e^{a x} v ,जहाँ a अचर तथा V,x का का कोई फलन है।
(5.) Q(x)=xV, जहाँ V,x का कोई फलन है।
प्रश्न:2.अवकल समीकरण में चरघातांकी फलन का विशिष्ट समाकल ज्ञात करने का सरल सूत्र लिखो। (Write the Simple Formulas to Find the Specific Integral of the Exponential Function in the Differential Equation):
उत्तर: (1)\frac{1}{f(D)} e^{a x}=\frac{e^{a x}}{f(a)}, f(a) \neq 0
(2.)स्थिति II. जब f(a)=0
\frac{1}{f(D)} e^{a x}=\frac{1}{\phi(a)} \cdot \frac{x^r}{r !} e^{a x}, \phi(a) \neq 0
प्रश्न:3.अवकल समीकरण में चरघातांकी फलन का विशिष्ट समाकल ज्ञात करने का सरल सूत्र कब असफल हो जाता है? (When Does the Simple Formula to Find the Specific Integral of the Exponential Function Fail in the Differential Equation?):
उत्तर:उपर्युक्त सरल सूत्र उस स्थिति में असफल हो जाता है जब f(a)=0,क्योंकि गणित में शून्य से भाग देना (Division by zero) वर्जित है,ऐसी दशा में a,f(D)=0 का मूल होगा।अतः (D-a),f(D) का गुणनखण्ड (factor) होगा।यदि मूल a की r बार पुनरावृत्ति होती है तो (D-a)^r,f(D) का गुणनखण्ड होगा,अर्थात्
f(D)=(D-a)^r \phi(D)
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा अवकल समीकरण में विशिष्ट समाकल कैसे ज्ञात करें? (How to Find Particular Integral in DE?),कुछ विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की सरल विधियाँ (Easy Methods of Finding Out Particular Integral in Few Special Cases)के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
| No. | Social Media | Url |
|---|---|---|
| 1. | click here | |
| 2. | you tube | click here |
| 3. | click here | |
| 4. | click here | |
| 5. | Facebook Page | click here |
| 6. | click here |
How to Find Particular Integral in DE?
अवकल समीकरण में विशिष्ट समाकल कैसे ज्ञात करें?
(How to Find Particular Integral in DE?)
How to Find Particular Integral in DE?
अवकल समीकरण में विशिष्ट समाकल कैसे ज्ञात करें? (How to Find Particular Integral
in DE?) के इस आर्टिकल में कुछ विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की
सरल विधियों के बारे में जानेंगे।
About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
