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Permutations and Combinations

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1 1.क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations),संचय (Combinations):
1.2 3.क्रमचय और संचय की समस्याएं (Permutations and Combinations Problems),संचय की समस्याएं (Combinations Problems):

1.क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations),संचय (Combinations):

क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations):
संचय में जितनी वस्तुएं लेनी होती है,दी हुई वस्तुओं में से उतनी वस्तुओं को लेकर समूह बनाए जाते हैं जबकि क्रमचय में प्रत्येक समूह की वस्तुओं के संभव विन्यास भी बनाए जाते हैं।क्रमचय में क्रम का ध्यान रखना बहुत जरूरी है लेकिन संचय में क्रम का ध्यान नहीं रखा जाता है केवल समूह लेते हैं।जैसे की संचय में AB और BA को एक ही समूह माना जाता है जबकि क्रमचय में ये भिन्न-भिन्न माने जाते हैं।इस प्रकार क्रमचयों की संख्या संचयों की संख्या से अधिक होती है।
साधारणतया संचय निकालने की विधि समूह बनाने में,समितियां बनाने में,अक्षरों से शब्द बनाने इत्यादि में काम में लाई जाती है।
संचय (Combination):दी हुई वस्तुओं में से कुछ अथवा सभी को एक साथ लेकर भिन्न-भिन्न क्रमों या विन्यासों (Arrangement) का अध्ययन किया जा चुका है।कई बार हम दी हुई वस्तुओं में से कुछ वस्तुओं के केवल चयन में इच्छुक होते हैं।चयन की गई वस्तुओं के क्रम में हमारी कोई रुचि नहीं होती है।उदाहरण के लिए एक विद्यार्थी पुस्तकालय में एक बार में तीन पुस्तकों का चयन करना चाहता है,एक कंपनी 10 व्यक्तियों में से तीन का चयन करना चाहती है।
परिभाषा (Definition):दी हुई वस्तुओं में से कुछ अथवा सभी को एक साथ लेकर (क्रम का ध्यान रखें बिना) बनने वाले समूहों में से प्रत्येक समूह को संचय कहते हैं।n वस्तुओं में से r वस्तुओं के चयन को {^nC_{r}} या n(c,r) से प्रदर्शित किया जाता है।स्पष्टत: {^nC_{r}} परिभाषित होगा यदि 0 \leq r \leq n
प्रमेय (Theorem)1:n विभिन्न वस्तुओं में से एक साथ r वस्तुओं को लेकर बनाए जाने वाले संचयों की संख्या होती है:
\frac{n !}{(n-r)! r !} अर्थात् {^nC_{r}}=\frac{n !}{(n-r) ! r !}

प्रमाण (Proof):यहां प्रत्येक संचय r में विभिन्न वस्तुएं हैं और प्रत्येक समूह की r वस्तुएं परस्पर r विधियों से व्यवस्थित हो सकती हैं।अतः {^nC_{r}} संचयों की समस्त व्यवस्थाएं (क्रमचय) r! \times {^nC_{r}} होगी अर्थात् n वस्तुओं में से एक साथ r वस्तुओं में से एक साथ r वस्तुओं के क्रमचयों की संपूर्ण संख्या r! \times {^nC_{r}} होगी।लेकिन यह संख्या {^nP_{r}} के बराबर भी होती है।अतः r! \times {^nC_{r}}={^nP_{r}} \\ \Rightarrow {^nC_{r}}=\frac{{^nP_{r}}}{r !}=\frac{n !}{(n-r) ! r !} \quad \left[\therefore {^nP_{r}}=\frac{n !}{(n-r) !}\right]
टिप्पणी:(1.){^nC_{r}}=\frac{n !}{(n-r) ! r !} \\ \Rightarrow {^nC_{r}} =\frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1)(n-r)(n-r-1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1}{\{(n-r)(n-r-1) \cdots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\}\{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots r\}} {^nC_{r}} \\ \Rightarrow {^nC_{r}}=\frac{n(n-1) \ldots (n-r+1)}{1.2 \ldots r} \\ \text { (2) }{^nC_{n}}=\frac{n !}{(n-n) ! n !}=\frac{n !}{\text { 0!n }}=1 \quad[\because 0 !=1] \\ {^nC_{0}}=\frac{n !}{(n-0) ! 0 !}=\frac{n !}{n ! 0 !}=1 \quad\left[{^nC_{n}}={^nC_{0}}=1\right]
(3.){^nC_{r}} के गुणधर्म (Properties of {^nC_{r}}):
गुणधर्म I (Properties I):{^nC_{r}}={^nC_{n-r}} \left(0 \leq r \leq n\right)
प्रमाण (Proof):R \cdot H \cdot S={^nC_{n-r}}=\frac{n !}{\left \{ n-(n-r)\right \} ! (n-r) ! } \\ =\frac{n !}{r !(n-r) !}={^nC_{r}}=\text { L.H.S }
गुणधर्म II (Properties II): {^nC_{r}}+{^nC_{r-1}}={^{n+1}C_{r}} (0 \leq r \leq n)
प्रमाण (Proof):L \cdot H \cdot S ={^nC_{r}}+{^nC_{r-1}} \\ =\frac{n !}{r !\left(n-r \right)!}+\frac{n !}{(r-1) !\{n-(r-1)\}!} \\ =\frac{n !}{r !(n-r) !}+\frac{n !}{(r-1) !(n-r+1) !} \\ =\frac{n !}{(r-1) !(n-r) !}\left[\frac{1}{r}+\frac{1}{n-r+1}\right] \\ =\frac{n !}{(r-1) !(n-r) !}\left[\frac{n+1}{r(n-r+1)}\right] \\ \frac{(n+1) !}{r !(n-r+1) !}={^{n+1}C_{r}}=\text { R.H.S }
गुणधर्म III (Properties III): {^nC_{x}}={^nC_{y}} \Rightarrow x=y \quad \text { या } x+y=n
प्रमाण (Proof):{^nC_{x}}={^nC_{y}} \\ \Rightarrow {^nC_{x}}={^nC_{y}}\\ \Rightarrow {^nC_{x}}={^nC_{y}}={^nC_{n-y}} \\ \Rightarrow x=y \quad \text { या } x=n-y \\ \Rightarrow x=y \text { या } x+y=n

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2.क्रमचय और संचय के उदाहरण (Permutations and Combinations Examples):

n का मान ज्ञात कीजिए:
Example:1.{^{2n}C_{3}}: {^nC_{3}}=11: 1
Solution:{^{2n}C_{3}}: {^nC_{3}}=11: 1 \\ \frac{(2 n) !}{(2 n-3) ! 3!}: \frac{n !}{(n-3) ! 3 !}=11: 1 \\ \Rightarrow \frac{(2 n)(2 n-1)(2 n-2)(2 n-3) !}{(2 n-3) ! 3 !}: \frac{(n)(n-1)(n-2)(n-3) !}{(n-3)! 3 !}=11: 1 \\ \Rightarrow 2n (2 n-1)(2 n-2):n(n-1)(n-2)=11: 1 \\ \Rightarrow 4 n(2 n-1)(n-1): n(n-1)(n-2)=11 : 1 \\ \Rightarrow 4(2 n-1):(n-2)=11: 1 \\ \Rightarrow 8 n-4=11(n-2) \\ \Rightarrow 8 n-4=11n-22 \\ \Rightarrow 11 n-8 n=22-4 \\ \Rightarrow 3 n=18 \Rightarrow n=\frac{18}{3}=6 \\ \Rightarrow n=6
Example:2.{^{20}C_{n-2}}={^{20}C_{n+2}}
Solution:{^{20}C_{n-2}}={^{20}C_{n+2}} \\ n-2+n+2=20 \quad\left[{^nC_{x}}={^nC_{y}} \Rightarrow x+y=n \quad \text { गुणधर्म से }\right] \\ \Rightarrow 2 n=20 \Rightarrow n=10
Example:3.{^{n}C_{10}}={^{n}C_{15}}
Solution:{^{n}C_{10}}={^{n}C_{15}} \\ \Rightarrow {^{n}C_{n-10}}={^{n}C_{15}} \left[{^{n}C_{r}}={^{n}C_{n-r}}\right] \\ \Rightarrow n-10=15 \left[{^nC_{x}}={^nC_{y}} \Rightarrow x=y \right] \\ \Rightarrow n=25 
Example:4.{^{50}C_{11}}+{^{50}C_{12}}+{^{51}C_{13}}-{^{52}C_{13}} का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:{^{50}C_{11}}+{^{50}C_{12}}+{^{51}C_{13}}-{^{52}C_{13}} \\ \Rightarrow {^{51}C_{12}}+{^{51}C_{13}}-{^{52}C_{13}} \left[\because {^{n}C_{r}}+{^{n}C_{r-1}}={^{n+1}C_{r}}\right] \\ \Rightarrow {^{52}C_{13}}-{^{52}C_{13}} \left[\because {^{n}C_{r}}+{^{n}C_{r-1}}={^{n+1}C_{r}}\right] \\ \Rightarrow 0
Example:5.एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB,BC,CA पर क्रमशः 3,4 तथा 5 बिन्दु हैं।इन बिन्दुओं से रचित कुल त्रिभुजों की संख्या कितनी होगी?
Solution:त्रिभुज ABC की भुजाओं पर कुल बिन्दु=3+4+5=12
बिन्दु 3,4 व 5 एक ही रेखा पर स्थित हैं।अतः एक ही रेखा पर स्थित बिन्दुओं से त्रिभुज नहीं बनेंगे।अतः त्रिभुजों की संख्या={^{12}C_{3}}-{^{3}C_{3}}-{^{4}C_{3}}-{^{5}C_{3}} \\ =\frac{12 !}{9 ! 3 !}-\frac{3 !}{0 ! 3 !}-\frac{4 !}{3 ! 1!}-\frac{5 !}{2 ! 3 !} \\ =\frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 !}{9 ! \times(3 \times 2)}-1-\frac{4 \times 3 !}{3 !}-\frac{5 \times 4 \times 3 !}{2 \times 3 !} \\ =220-1-4-10=220-15=205

Example:6.एक सन्दूक में दो सफेद,तीन काली व चार लाल गेंदे हैं।इस सन्दूक से तीन गेंद कितनी विधियों से निकाली जा सकती हैं जिनमें कम से कम एक काली गेंद अवश्य हो?
Solution:सन्दूक से तीन गेंद निकालने की कुल विधियां जिनमें कम से कम काली गेंद हो:
स्थिति I:जब एक काली व 2 अन्य गेंद आए तो कुल तरीके

={^{6}C_{2}} \times {^{3}C_{1}} =\frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 3=45
स्थिति II:यदि दो काली व एक अन्य गेंद आए तो कुल तरीके:

={^{6}C_{1}} \times {^{3}C_{2}}=6 \times \frac{3 \times 2}{2 \times 1}=18
स्थिति III:यदि तीनों गेंद काली आए तो कुल तरीके:

={^{3}C_{3}}=1
अतः कुल विधियां=45+18+1=64
Example:7.छ: विभिन्न रंगों की झंडियों से एक या अधिक लेकर कितने प्रकार से संकेत दिए जा सकते हैं?
Solution:छ: विभिन्न रंगों की झंडियों में से क्रमशः 1,2,3,4,5 लेकर तथा उनको व्यवस्थित करके संकेत दिए जा सकते हैं।
अतः अभीष्ट संख्या={^{6}C_{1}} \times 1 !+{^{6}C_{2}} \times 2 !+{^{6}C_{3}} \times 3 !+{^{6}C_{4}} \times 4 !+{^{6}C_{5}} \times 5!+{^{6}C_{6}} \times 6 ! \\= 6 \times 1+\frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 2+\frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 3 \times 2 \times 1+\frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 4 \times 3 \times 2 \times 1+6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\ =6+30+ 120+360 +720+720 \\=1956
Example:8.किसी बहुभुज में विकर्णों की संख्या 44 है तो उसकी भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution:n भुजाओं वाले बहुभुज में n शीर्ष हैं तो इन शीर्षों में दो-दो बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाओं की संख्या
={^{n}C_{2}}=\frac{n(n-1)}{2} होगी।
परन्तु इनमें बहुभुज की n भुजाएँ भी शामिल हैं।
अतः विकर्णों की संख्या=\frac{n(n-1)}{2}-n \\= \frac{n(n-3)}{2} \\ \Rightarrow \frac{n(n-3)}{2}=44 \\ \Rightarrow n(n-3)=88 \Rightarrow n^{2}-3 n-88=0 \\ \Rightarrow n^{2}-11 n+8 n-88=0 \\ \Rightarrow n(n-11)+8(n-11)=0 \\ \Rightarrow (n+8)(n-11)=0 \\ \Rightarrow n=-8,11 ,n=-8 असंभव है।
अतः भुजाओं की संख्या=11
Example:9.1,2,3,4,5,6 अंकों में से 4 अंक लेकर्स कितनी संख्याएं बनाई जा सकती हैं जबकि अंक 4 तथा 5 अवश्य विद्यमान हो?
Solution:कुल अंक 6 हैं।इनमें 4 तथा 5 अंक अवश्य लेते हैं अतः शेष अंक=6-2=4
अंक 4 अंक लेकर बनाई गई अभीष्ट संख्या={^{4}C_{2}} \times {^{2}C_{2}} \times 4! \\ \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 1 \times 4 \times 3 \times \times 2 \times 1=144
Example:10 छ: ‘+’ तथा चार ‘-‘ चिन्हों को एक सरल रेखा में कुल कितने प्रकार से रखा जा सकता है कि कोई भी दो ‘-‘ के चिन्ह पास-पास न आते हों?
Solution:यदि छ: ‘+’ चिन्ह लगाएं जाए तो उनके मध्य सात स्थान होते हैं।अब उन 7 स्थानों में चार ‘-‘ चिन्ह व्यवस्थित करने हैं:
7 में से 4 के संचय ={^{7}C_{4}} \\ \frac{7 !}{3 ! 4 !}=\frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 !}{3 ! \times 4 !}=35
Example:11.8 विद्यार्थियों और 5 प्राध्यापकों में से 5 विद्यार्थियों और 2 प्राध्यापकों की एक काॅलेज परिषद बनानी है।इस प्रकार की कितनी विभिन्न परिषदें बन सकती हैं।
Solution:8 विद्यार्थियों में से 5 विद्यार्थियों के चयन के तरीके={^{8}C_{5}}
तथा 5 प्राध्यापकों में से 2 प्राध्यापकों के चयन के तरीके={^{5}C_{2}}
अभीष्ट तरीके={^{8}C_{5}} \times {^{5}C_{2}}=\frac{8 !}{3! 5!} \times \frac{5!}{3! 2 !} \\ =\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1}=560
Example:12.14 खिलाड़ियों में से क्रिकेट के लिए 11 खिलाड़ियों की एक टोली बनानी है जिसमें कम से कम 2 गेंदबाज विद्यमान हो,जबकि केवल 4 खिलाड़ी ही गेंद फेंक सकते हैं।यह टोली कितने प्रकार से बनाई जा सकती है।
Solution:स्थिति I:जब 2 गेंदबाज तथा 9 अन्य खिलाड़ियों का चयन किया जाए तो 4 में से 2 गेंदबाज तथा शेष 10 में से 9 खिलाड़ियों के चयन के तरीके={^{4}C_{2}} \times {^{10}C_{9}} \\ =\frac{4!}{2 ! 2 !} \times \frac{10!}{9! 1 !}=\frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 10 \\ =60
स्थिति II:4 में से 3 गेंदबाज तथा 10 में से 8 खिलाड़ियों के चयन के तरीके={^{4}C_{3}} \times {^{10}C_{8}} \\ \frac{4 !}{3} \times \frac{10 !}{2 ! 8 !}=4 \times \frac{10 \times 9}{2 \times 1}=180
स्थिति III:4 में से 4 गेंदबाज तथा 10 में से 7 खिलाड़ियों के चयन के तरीके={^{4}C_{4}} \times {^{10}C_{7}} \\ =\frac{4 !}{0 ! 4 !} \times \frac{10 !}{3 ! 7 !}=1 \times \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}\\ =120
अतः अभीष्ट तरीके=60+180+120=360
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations),संचय (Combinations) को समझ सकते हैं।

3.क्रमचय और संचय की समस्याएं (Permutations and Combinations Problems),संचय की समस्याएं (Combinations Problems):

(1.)व्यंजक {^{47}C_{4}}+\sum_{j=1}^{5} {^{52-j}C_{3}} का मान ज्ञात कीजिए।
(2.)व्यंजक {^{10}C_{x}}+{^{10}C_{x+4}} हो तो x का मान ज्ञात कीजिए।
(3.)5 व्यंजनों एवं 4 स्वरों से 30 व्यंजन तथा 2 स्वर लेकर कितने शब्द बनेगें ?
(4.)8 पुरुषों और 5 महिलाओं में से 6 सदस्यों की समिति बनानी है।यह समिति कितने प्रकार से बनाई जा सकती है जबकि प्रत्येक समिति में
(i)केवल 2 पुरुष हों
(ii)केवल 2 महिलाएं हों
(iii)कम से कम दो महिलाएं हों
(iv)कम से कम दो पुरुष हों
उत्तर (Answers):(1.){^{50}C_{4}} \\ (2.)x=3 \\ (3.) \frac{n(n-3)}{2}
(4.)(i)140
(4.)(ii)700
(4.)(iii)1408
(4.)(iv)1436
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations),संचय (Combinations) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations),संचय (Combinations) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.आप संयोजनों की गणना कैसे करते हैं? (How do you calculate combinations?):

उत्तर:संयोजन एक ऐसी घटना के कुल परिणामों की गणना करने का एक तरीका है जहां परिणामों का क्रम मायने नहीं रखता।संयोजनों की गणना करने के लिए,हम सूत्र {^nC_{r}}=\frac{n !}{(n-r) ! r !} का उपयोग करेंगे,जहां n आइटमों की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व करता है और r एक समय में चुने जाने वाले आइटमों की संख्या को दर्शाता है।

प्रश्न:2.आप एक संयोजन की व्याख्या कैसे करते हैं? (How do you explain a combination?),संयोजन क्या है? What is a Combination?):

उत्तर:संयोजन एक गणितीय तकनीक है जो उन वस्तुओं के संग्रह में संभावित व्यवस्थाओं की संख्या निर्धारित करती है जहां चयन का क्रम मायने नहीं रखता।संयोजनों में,आप किसी भी क्रम में आइटम का चयन कर सकते हैं।संयोजनों को क्रमचय (permutations) के साथ भ्रमित किया जा सकता है।

प्रश्न:3.वास्तविक जीवन में संयोजन कैसे लागू होते हैं? (How are combinations applied in real life?):

उत्तर:संयोजन के अन्य उदाहरण हैं जब आप एक-एक के बजाय एक ही समय में कई चीजें चुनते हैं।क्रम तब तक मायने नहीं रखेगा जब तक कोई क्रम नहीं है।उदाहरण के लिए,गेंदों से भरे बॉक्स से एक ही समय में कई (2 या 3) गेंदें खींचना संयोजन का उपयोग करेगा।यही कारण है कि हम उपयोग करते हैं

प्रश्न:4.क्रमचय और संयोजन कैसे काम करते हैं? (How do permutations and combinations work?):

उत्तर:क्रमचय और संयोजन,सबसेट बनाने के लिए विभिन्न तरीकों से एक सेट से आमतौर पर प्रतिस्थापन के बिना वस्तुओं का चयन किया जा सकता है।उपसमुच्चय के इस चयन को क्रमचय कहा जाता है जब चयन का क्रम एक कारक (a permutation when the order of selection is a factor) होता है,एक संयोजन जब क्रम एक कारक नहीं होता है (a combination when order is not a factor)।

प्रश्न:5.फैक्टोरियल का वास्तविक जीवन में क्या उपयोग होता है? (What is factorial used in real life?):

उत्तर:फैक्टोरियल फ़ंक्शन के लिए एक अन्य उपयोग यह गिनना है कि आप चीजों के संग्रह से चीजों को कितने तरीकों से चुन सकते हैं।उदाहरण के लिए,मान लीजिए कि आप किसी यात्रा पर जा रहे हैं और आप चुनना चाहते हैं कि कौन सी टी-शर्ट लेनी है।मान लीजिए कि आपके पास n टी-शर्ट हैं लेकिन आपके पास उनमें से केवल k को पैक करने के लिए जगह है।

प्रश्न:6.क्रमचय और संयोजन किसके लिए उपयोग किए जाते हैं? (What are permutations and combinations used for?):

उत्तर:क्रमचय सूचियों के लिए हैं (जहां क्रम मायने रखता है) और संयोजन समूहों के लिए हैं (जहां क्रम कोई फर्क नहीं पड़ता)।दूसरे शब्दों में: क्रमचय एक क्रमबद्ध संयोजन है।
एक “कॉम्बिनेशन” लॉक को वास्तव में “क्रमचय” लॉक कहा जाना चाहिए क्योंकि जिस क्रम में आप नंबर डालते हैं वह मायने रखता है (A “combination” lock should really be called a “permutation” lock because the order that you put the numbers in matters)।

प्रश्न:7.आप कैसे जानते हैं कि इसका क्रमचय या संयोजन है? (How do you know if its permutation or combination?):

उत्तर:संयोजन और क्रमचय के बीच का अंतर क्रम है। क्रमचय के साथ हम अवयवों के क्रम की परवाह करते हैं,जबकि संयोजनों के साथ हम नहीं करते हैं।उदाहरण के लिए,मान लें कि आपका लॉकर “कॉम्बो” 5432 है।यदि आप अपने लॉकर में 4325 दर्ज करते हैं तो यह नहीं खुलेगा क्योंकि यह एक अलग ऑर्डरिंग (उर्फ क्रमचय) है।

प्रश्न:8.1 4 संख्याओं के कितने संयोजन होते हैं? (How many combinations of 1 4 numbers are there?):

उत्तर:आप एक अंक ले सकते हैं और जाहिर है कि चार अंकों में से एक को चुनने का केवल एक ही तरीका है।अंत में किसी भी अंक को चुनने का एक तरीका नहीं है।तो चार अंकों के संयोजन की कुल संख्या 1+4+6+4+1 = 16 है।

प्रश्न:9.4 संख्याओं के कितने संयोजन हैं? (How many combinations of 4 numbers are there?):

उत्तर:चार संख्याओं के 10,000 संयोजन होते हैं जब एक संयोजन में संख्याओं का कई बार उपयोग किया जाता है। और चार संख्याओं के 5,040 संयोजन होते हैं जब संख्याओं का उपयोग केवल एक बार किया जाता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations),संचय (Combinations) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते है।

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations),संचय (Combinations) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते है।

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