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Derivatives of inverse trigonometrical functions

1.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज (Derivatives of inverse trigonometrical functions)-

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज (Derivatives of inverse trigonometrical functions) के बारे में इस आर्टिकल में बताया गया है।प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन संतत होते हैं।इस प्रकार के अवकलजों को ज्ञात करने के लिए अवकलन का श्रृंखला नियम का प्रयोग करेंगे।
अवकलज के श्रृंखला नियम का उल्लेख हम इससे पूर्व आर्टिकल में कर चुके हैं। अतः यदि अवकलन के श्रृंखला नियम को जानना चाहते हैं तो आपको उस आर्टिकल को पढ़ना चाहिए।
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2.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज के उदाहरण (Derivatives of inverse trigonometrical functions examples)-

निम्न फलनों का x के सापेक्ष अवकलज ज्ञात कीजिए-
Example-1.\sin ^{ -1 }{ \left( 3x-4{ x }^{ 3 } \right) } ,x\in \left( \frac { -1 }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 2 } \right)
Solution-\sin ^{ -1 }{ \left( 3x-4{ x }^{ 3 } \right) } \\ y=\sin ^{ -1 }{ \left( 3x-4{ x }^{ 3 } \right) } \\ put\quad x=\sin { \theta } \Rightarrow \theta =\sin ^{ -1 }{ x } \\ y=\sin ^{ -1 }{ \left( 3\sin { \theta } -4\sin ^{ 3 }{ \theta } \right) } \\ y=\sin ^{ -1 }{ \left( \sin { 3\theta } \right) } \\ y=3\theta \\ y=3\sin ^{ -1 }{ x }
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dy }{ dx } =\frac { 3 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } }
Example-2.\cos ^{ -1 }{ \left( \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ 1+{ x }^{ 2 } } \right) } ,x\in \left( 0,1 \right)
Solution-\cos ^{ -1 }{ \left( \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ 1+{ x }^{ 2 } } \right) } ,x\in \left( 0,1 \right) \\ put\quad x=\tan { \theta } \Rightarrow \theta =\tan ^{ -1 }{ x } \\ y=\cos ^{ -1 }{ \left( \frac { 1-\tan ^{ 2 }{ \theta } }{ 1+\tan ^{ 2 }{ \theta } } \right) } \\ \Rightarrow y=\cos ^{ -1 }{ \left( \cos { 2\theta } \right) } \\ \Rightarrow y=2\theta \\ \Rightarrow y=2\tan ^{ -1 }{ x }
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dy }{ dx } =\frac { 2 }{ 1+{ x }^{ 2 } }
Example-3.\cos ^{ -1 }{ \left( \sqrt { \frac { 1+x }{ 2 } } \right) }
Solution-\cos ^{ -1 }{ \left( \sqrt { \frac { 1+x }{ 2 } } \right) } \\ y=\cos ^{ -1 }{ \left( \sqrt { \frac { 1+x }{ 2 } } \right) } \\ put\quad x=\cos { \theta } \Rightarrow \theta =\cos ^{ -1 }{ x } \\ \Rightarrow y=\cos ^{ -1 }{ \left( \sqrt { \frac { 1+\cos { \theta } }{ 2 } } \right) } \\ \Rightarrow y=\cos ^{ -1 }{ \left( \sqrt { \frac { 1+2\cos ^{ 2 }{ \frac { \theta }{ 2 } } -1 }{ 2 } } \right) } \\ \Rightarrow y=\cos ^{ -1 }{ \left( \sqrt { \frac { 2\cos ^{ 2 }{ \frac { \theta }{ 2 } } }{ 2 } } \right) } \\ \Rightarrow y=\cos ^{ -1 }{ \left( \cos { \frac { \theta }{ 2 } } \right) } \\ \Rightarrow y=\frac { \theta }{ 2 } \\ \Rightarrow y=\frac { 1 }{ 2 } \cos ^{ -1 }{ x }
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dy }{ dx } =\frac { 1 }{ 2 } \left( -\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } \right) \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { -1 }{ 2\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } }

Example-4.\sin ^{ -1 }{ \left( \frac { 1+{ x }^{ 2 } }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) } +\cos ^{ -1 }{ \left( \frac { 1+{ x }^{ 2 } }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) }
Solution-\sin ^{ -1 }{ \left( \frac { 1+{ x }^{ 2 } }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) } +\cos ^{ -1 }{ \left( \frac { 1+{ x }^{ 2 } }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) } \\ y=\sin ^{ -1 }{ \left( \frac { 1+{ x }^{ 2 } }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) } +\cos ^{ -1 }{ \left( \frac { 1+{ x }^{ 2 } }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) } \\ y=\frac { \pi }{ 2 } \\ \left[ \because \sin ^{ -1 }{ x } +\cos ^{ -1 }{ x } =\frac { \pi }{ 2 } \right]
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dy }{ dx } =0
Example-5.\cos ^{ -1 }{ 2x } +2\cos ^{ -1 }{ \left( \sqrt { 1-4{ x }^{ 2 } } \right) }
Solution-y=\cos ^{ -1 }{ 2x } +2\cos ^{ -1 }{ \left( \sqrt { 1-4{ x }^{ 2 } } \right) } \\ put\quad 2x=\cos { \theta } \Rightarrow \theta =\cos ^{ -1 }{ 2x } \\ y=\cos ^{ -1 }{ (\cos { \theta } ) } +2\cos ^{ -1 }{ \left( \sqrt { 1-\cos ^{ 2 }{ \theta } } \right) } \\ \Rightarrow y=\theta +2\cos ^{ -1 }{ \left( \sin { \theta } \right) } \\ \Rightarrow y=\theta +2\cos ^{ -1 }{ \left( \cos { (\frac { \pi }{ 2 } -\theta ) } \right) } \\ \Rightarrow y=\theta +\pi -2\theta \\ \Rightarrow y=\pi -\theta \\ \Rightarrow y=\pi -\cos ^{ -1 }{ 2x }
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dy }{ dx } =0-\left( -\frac { 1 }{ \sqrt { 1-4{ x }^{ 2 } } } .2 \right) \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { 2 }{ \sqrt { 1-4{ x }^{ 2 } } }
Example-6.\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { { 2 }^{ x } }{ 1-{ 4 }^{ x } } \right) }
Solution-y=\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { { 2 }^{ x } }{ 1-{ 4 }^{ x } } \right) } \\ \Rightarrow y=\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { { 2 }^{ x }.2 }{ 1-{ \left( { 2 }^{ x } \right) }^{ 2 } } \right) } \\ put\quad { 2 }^{ x }=\tan { \theta } \\ \Rightarrow y=\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { 2\tan { \theta } }{ 1-\tan ^{ 2 }{ \theta } } \right) } \\ \Rightarrow y=\tan ^{ -1 }{ \left( \tan { 2\theta } \right) } =2\theta \\ \Rightarrow y=2\tan ^{ -1 }{ \left( { 2 }^{ x } \right) }
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dy }{ dx } =\frac { { 2 }^{ x }.2 }{ 1+{ \left( { 2 }^{ x } \right) }^{ 2 } } .{ 2 }^{ x }\log _{ e }{ 2 } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { { 2 }^{ x+1 }\log _{ e }{ 2 } }{ 1+{ 4 }^{ x } }
Example-7.\sin { \left\{ 2\tan ^{ -1 }{ \left( \sqrt { \frac { 1+x }{ 1-x } } \right) } \right\} }
Solution-y=\sin { \left\{ 2\tan ^{ -1 }{ \left( \sqrt { \frac { 1+x }{ 1-x } } \right) } \right\} } \\ put\quad x=\cos { \theta } \Rightarrow \theta =\cos ^{ -1 }{ x } \\ y=\sin { \left\{ 2\tan ^{ -1 }{ \left( \sqrt { \frac { 1+\cos { \theta } }{ 1-\cos { \theta } } } \right) } \right\} } \\ \Rightarrow y=\sin { \left\{ 2\tan ^{ -1 }{ \left( \sqrt { \frac { 1+2\cos ^{ 2 }{ \frac { \theta }{ 2 } } -1 }{ 1-(1-2\sin ^{ 2 }{ \frac { \theta }{ 2 } } ) } } \right) } \right\} } \\ \Rightarrow y=\sin { \left\{ 2\tan ^{ -1 }{ \left( \sqrt { \frac { 2\cos ^{ 2 }{ \frac { \theta }{ 2 } } }{ 2\sin ^{ 2 }{ \frac { \theta }{ 2 } } } } \right) } \right\} } \\ \Rightarrow y=\sin { \left\{ 2\tan ^{ -1 }{ \left( \sqrt { \cot ^{ 2 }{ \frac { \theta }{ 2 } } } \right) } \right\} } \\ \Rightarrow y=\sin { \left\{ 2\tan ^{ -1 }{ \left( \cot { \frac { \theta }{ 2 } } \right) } \right\} } \\ \Rightarrow y=\sin { \left\{ 2\tan ^{ -1 }{ \left( \tan { \left( \frac { \pi }{ 2 } -\frac { \theta }{ 2 } \right) } \right) } \right\} } \\ \Rightarrow y=\sin { \left\{ 2\left( \frac { \pi }{ 2 } -\frac { \theta }{ 2 } \right) \right\} } \\ \Rightarrow y=\sin { \left( \pi -\theta \right) } \\ \Rightarrow y=\sin { \theta } \\ \Rightarrow y=\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } }
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dy }{ dx } =\frac { -2x }{ 2\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { -x }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } }
Example-8.\cot ^{ -1 }{ \left( \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } +x \right) }
Solution-y=\cot ^{ -1 }{ \left( \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } +x \right) } \\ put\quad x=\tan { \theta } \Rightarrow \theta =\tan ^{ -1 }{ x } \\ \Rightarrow y=\cot ^{ -1 }{ \left( \sqrt { 1+\tan ^{ 2 }{ \theta } } +\tan { \theta } \right) } \\ \Rightarrow y=\cot ^{ -1 }{ \left( \sqrt { \sec ^{ 2 }{ \theta } } +\tan { \theta } \right) } \\ \Rightarrow y=\cot ^{ -1 }{ \left( \sec { \theta } +\tan { \theta } \right) } \\ \Rightarrow y=\cot ^{ -1 }{ \left( \frac { 1 }{ \cos { \theta } } +\frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } \right) } \\ \Rightarrow y=\cot ^{ -1 }{ \left( \frac { 1+\sin { \theta } }{ \cos { \theta } } \right) } \\ \Rightarrow y=\cot ^{ -1 }{ \left( \frac { 1+\sin { \theta } }{ \cos { \theta } } \right) } \\ \Rightarrow y=\cot ^{ -1 }{ \left( \frac { \sin ^{ 2 }{ \frac { \theta }{ 2 } } +\cos ^{ 2 }{ \frac { \theta }{ 2 } } +2\sin { \frac { \theta }{ 2 } } \cos { \frac { \theta }{ 2 } } }{ \cos ^{ 2 }{ \frac { \theta }{ 2 } } -\sin ^{ 2 }{ \frac { \theta }{ 2 } } } \right) } \\ \Rightarrow y=\cot ^{ -1 }{ \left( \frac { \sin ^{ 2 }{ \frac { \theta }{ 2 } } +\cos ^{ 2 }{ \frac { \theta }{ 2 } } +2\sin { \frac { \theta }{ 2 } } \cos { \frac { \theta }{ 2 } } }{ \left( \cos { \frac { \theta }{ 2 } } +\sin { \frac { \theta }{ 2 } } \right) \left( \cos { \frac { \theta }{ 2 } } -\sin { \frac { \theta }{ 2 } } \right) } \right) } \\ \Rightarrow y=\cot ^{ -1 }{ \left( \frac { { \left( \sin { \frac { \theta }{ 2 } } +\cos { \frac { \theta }{ 2 } } \right) }^{ 2 } }{ \left( \cos { \frac { \theta }{ 2 } } +\sin { \frac { \theta }{ 2 } } \right) \left( \cos { \frac { \theta }{ 2 } } -\sin { \frac { \theta }{ 2 } } \right) } \right) } \\ \Rightarrow y=\cot ^{ -1 }{ \left( \frac { { \left( \sin { \frac { \theta }{ 2 } } +\cos { \frac { \theta }{ 2 } } \right) } }{ \left( \cos { \frac { \theta }{ 2 } } -\sin { \frac { \theta }{ 2 } } \right) } \right) } \\ \Rightarrow y=\cot ^{ -1 }{ \left( \frac { \cos { \frac { \theta }{ 2 } } { \left( 1+\tan { \frac { \theta }{ 2 } } \right) } }{ \cos { \frac { \theta }{ 2 } } \left( 1-\tan { \frac { \theta }{ 2 } } \right) } \right) } \\ \Rightarrow y=\cot ^{ -1 }{ \left( \frac { { \left( \tan { \frac { \pi }{ 4 } } +\tan { \frac { \theta }{ 2 } } \right) } }{ \left( 1-\tan { \frac { \pi }{ 4 } } \tan { \frac { \theta }{ 2 } } \right) } \right) } \\ \Rightarrow y=\cot ^{ -1 }{ \left[ \tan { \left( \frac { \pi }{ 4 } +\frac { \theta }{ 2 } \right) } \right] } \\ \Rightarrow y=\cot ^{ -1 }{ \left[ \cot { \left( \frac { \pi }{ 2 } -\frac { \pi }{ 4 } -\frac { \theta }{ 2 } \right) } \right] } \\ \Rightarrow y=\frac { \pi }{ 4 } -\frac { \theta }{ 2 } \\ \Rightarrow y=\frac { \pi }{ 4 } -\frac { 1 }{ 2 } \tan ^{ -1 }{ x }
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dy }{ dx } =0-\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =-\frac { 1 }{ 2(1+{ x }^{ 2 }) }
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज (Derivatives of inverse trigonometrical functions) को समझ सकते हैं।

3.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज की समस्याएं (Derivatives of inverse trigonometrical functions Problems)-

उपर्युक्त समस्याओं को हल करने पर प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज (Derivatives of inverse trigonometrical functions) को ओर ठीक प्रकार से समझ सकते हैं।

(1)\sin ^{ -1 }{ \left( 2x\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) } ,-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } <x<\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \\ (2)\cos ^{ -1 }{ \left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) } ,x\in (-1,1)\\ (3)\cos ^{ -1 }{ (4{ x }^{ 3 }-3x) } ,x\in (-\frac { 1 }{ 2 } ,1)\\ (4)\sec ^{ -1 }{ \left( \frac { 1 }{ 2{ x }^{ 2 }-1 } \right) } ;x\in (0,\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } )\\ (5)\cos ^{ -1 }{ \left( \frac { 1+{ x }^{ 2 } }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) } ,x\in (0,\infty )\\ (6)\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { a+x }{ 1-ax } \right) } \\ (7)\tan ^{ -1 }{ \left[ \frac { 3{ a }^{ 2 }x-{ x }^{ 3 } }{ a({ a }^{ 2 }-3{ x }^{ 2 }) } \right] } \\ (8)\tan ^{ -1 }{ \left[ \frac { \sqrt { 1+\sin { x } } +\sqrt { 1-\sin { x } } }{ \sqrt { 1+\sin { x } } -\sqrt { 1-\sin { x } } } \right] } \\ (9)\tan ^{ -1 }{ \left[ \frac { \sqrt { 1+x } +\sqrt { 1-x } }{ \sqrt { 1+x } -\sqrt { 1-x } } \right] } \\ (10)\tan ^{ -1 }{ \left[ \frac { \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } +\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } -\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } \right] }

Solution:-(1)\frac { 2 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } \quad \quad \quad \quad \quad (2)\frac { -2 }{ 1+{ x }^{ 2 } } \\ (3)\frac { -3 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } \quad \quad \quad \quad \quad (4)\frac { -2 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } \\ (5)\frac { 2 }{ 1+{ x }^{ 2 } } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (6)\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } \\ (7)\frac { 3a }{ { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } \qquad \quad \quad \quad \quad \quad (8)-\frac { 1 }{ 2 } \\ (9)\frac { 1 }{ 2\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } \quad \quad \quad \quad \quad \quad (10)\frac { -x }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 4 } } }

उपर्युक्त समस्याओं को हल करने पर प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज (Derivatives of inverse trigonometrical functions) को ओर ठीक प्रकार से समझ सकते हैं।

4.tan inverse का अवकलज क्या है? (What is the derivative of tan inverse?)-

प्रक्रिया वही है जो हमने ऊपर प्रयोग की थी। y =\tan ^{ -1 }{ x } सेट करके प्रारंभ करें ताकि tan (y) = x।इस समीकरण के दोनों पक्षों को अलग करते हुए और श्रृंखला नियम को लागू करते हुए, कोई y के संदर्भ में \frac { dy }{ dx } के लिए हल कर सकता है।कोई x के संदर्भ में \frac { dy }{ dx } की गणना करना चाहता है।

5. 6 व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन क्या हैं? (What are the 6 inverse trig functions?)-

विशेष रूप से, वे साइन, कोसाइन, टेन्जेंट, कॉटैंजेंट,सेकेंट और कोसेकेंट फलनों के व्युत्क्रम हैं,और किसी भी कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात से कोण प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है।

6.आप प्रतिलोम सेकेंट के अवकलज का पता कैसे लगाते हैं? (How do you find the derivative of inverse secant?)-

अवकलज प्रतिलोम का अवकलज
फ़ंक्शन को y = f (x) = \sec ^{ -1 }{ x } के रूप में होने दें। उदाहरण: y = f (x) = \sec ^{ -1 }{ 2x } के अवकलज का पता लगाएं।
हमारे पास दिए गए फ़ंक्शन के रूप में है।y = \sec ^{ -1 }{ 2x }
वेरिएबल x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें मिलती है। \frac { d }{ dx } \sec ^{ -1 }{ 2x }

7.व्युत्क्रम फलनों का अवकलज (Derivatives of inverse functions)-

Linear Inverse Functions.
The point (y,x) is on the graph of f, which means that f(y)=x.
slope of M={ f }^{ \prime }(y)={ f }^{ \prime }({ f }^{ -1 }(x))
slope of L={ D }_{ x }({ f }^{ -1 }(x))
{ D }_{ x }({ f }^{ -1 }(x))= slope of L = 1/(slope of M) = \frac { 1 }{ { f }^{ \prime }({ f }^{ -1 }(x)) }

8.त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज (Derivatives of trig functions)-

बुनियादी त्रिकोणमितीय फलनों के डेरिवेटिव।हमने पहले ही अवकलज पृष्ठ की परिभाषा पर साइन और कोसाइन के अवकलज को प्राप्त कर लिया है।

9.श्रृंखला नियम के द्वारा प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Chain rule with inverse trig functions)-

उपर्युक्त प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का अवकलज त्रिकोणमिति सर्वसमिका, अस्पष्ट अवकलज और श्रृंखला नियम से होता है।वे इस प्रकार हैं।

\frac { d }{ dx } (\sin ^{ -1 }{ x } )=\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } \\ \frac { d }{ dx } (\cos ^{ -1 }{ x } )=-\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } \\ \frac { d }{ dx } (\tan ^{ -1 }{ x } )=\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } \\ \frac { d }{ dx } (\cot ^{ -1 }{ x } )=-\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } \\ \frac { d }{ dx } (\sec ^{ -1 }{ x } )=\frac { 1 }{ x\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } } \\ \frac { d }{ dx } ({ cosec }^{ -1 }x)=-\frac { 1 }{ x\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } }
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज (Derivatives of inverse trigonometrical functions) को ओर स्पष्ट रूप से समझा जा सकता है।

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