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Integration of Rational Functions

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1 1.परिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Rational Functions):
1.2 3.परिमेय फलनों का समाकलन की समस्याएं (Integration of Rational Functions Problems):

1.परिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Rational Functions):

परिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Rational Functions) ज्ञात करने के लिए परिमेय फलन को पूर्ण वर्ग विधि से मानक सूत्र और प्रतिस्थापन विधि से समाकलन करने वालों फलनों में परिवर्तित कर लिया जाता है।फिर मानक सूत्र तथा प्रतिस्थापन विधि से समाकलन कर लिया जाता है।
जब b^{2}-4ac>0  तो

\int \frac{d x}{a x^{2}+b x+c}=\frac{1}{\sqrt{b^{2}-4 a c}} \log \left(\frac{2 a x+b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a x+b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}\right)+c
जब b^{2}-4ac<0 तो

\int \frac{d x}{a x^{2}+b x+c}=\frac{2}{\sqrt{b^{2}-4 a c}} \tan^{-1} \left(\frac{2 a x+b}{\sqrt{b^{2}-4 a c}}\right)+c
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2.परिमेय फलनों का समाकलन के उदाहरण (Integration of Rational Functions Examples):

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए:
Example:1.\frac{x}{x^{4}+x^{2}+1}
Solution:I =\int \frac{x}{x^{4}+x^{2}+1} d x \\ \text{put } x^{2} =t \Rightarrow 2 x d x=d t \\ I =\frac{1}{2} \int \frac{d t}{t^{2}+t+1} \\=\frac{1}{2} \int \frac{d t}{t^{2}+t+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+1-(\frac{1}{2})^{2}} \\ =\frac{1}{2} \int \frac{d t}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^{2}+1-\frac{1}{4}} \\ =\frac{1}{2} \int \frac{d t}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^{2}+ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} \\ \text { put } t+\frac{1}{2}=u \Rightarrow d t=d u \\ I =\frac{1}{2} \int \frac{d u}{u^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} \\ I=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \tan ^{-1}\left(\frac{u}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right) \\ =\frac{1}{\sqrt{3}} \tan ^{-1} \left(\frac{t+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)+c\\ =\frac{1}{\sqrt{3}} \tan ^{-1} \left(\frac{2 t+1}{\sqrt{3}}\right)+c \\ I=\frac{1}{\sqrt{3}} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x^{2}+1}{\sqrt{3}}\right)+c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा परिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Rational Functions) को समझ सकते हैं।
Example:2.\frac{(x-3)}{x^{2}+2 x-4}
Solution:I=\int \frac{(x-3)}{x^{2}+2 x-4} d x \\ x-3=A \frac{d}{d x}\left(x^{2}+2 x-4\right)+B \\ \Rightarrow x-3=A(2 x+2)+B \\ \Rightarrow x-3=2 A x+2 A+B
दोनों पक्षों के पदों की तुलना करने पर:

2 A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{2} \\ 2 A+B=-3 \\ \Rightarrow 2\left(\frac{1}{2}\right)+B=-3 \\ \Rightarrow 1+B=-3 \\ \Rightarrow B=-4 \\ I=\frac{1}{2} \int \frac{2 x+2}{x^{2}+2 x-4} d x-4 \int \frac{1}{x^{2}+2 x+4} dx\\ I=\frac{1}{2} I_{1}-4 I_{2} \\ I_{1}=\int \frac{2 x+2}{x^{2}+2 x-4} d x \\ \text { put } x^{2}+2 x-4=t \\ \Rightarrow(2 x+2) d x=d t \\ I_{1}=\int \frac{d t}{t} \\ =\log t+c_{1} \\ \Rightarrow I_{1}=\log \left(x^{2}+2 x-4\right)+c_{1} \\ I_{2}=\int \frac{1}{x^{2}+2 x-4} d x \\ =\int \frac{1}{x^{2}+2 x+1-4-1} d x \\ =\int \frac{1}{(x+1)^{2}-5} d x \\ =\int \frac{1}{(x+1)^{2}-(\sqrt{5})^{2}} \\ \text { put } x+1=u \\ \Rightarrow d x=d u \\ I_{2}=\int \frac{1}{u^{2}-(\sqrt{5})^{2}} d u \\ =\frac{1}{2 \sqrt{5}} \log \left(\frac{u-\sqrt{5}}{u+\sqrt{5}}\right)+c_{2} \\ I_{2}=\frac{1}{2 \sqrt{5}} \log \left(\frac{x+1-\sqrt{5}}{x+1+ \sqrt{5}}\right)+c_{2} \\ I=I_{1}+I_{2} \\ I=\frac{1}{2} \log |x^{2}+2 x-4|-\frac{2}{2 \sqrt{5}} \log | \frac{x+1-\sqrt{5}}{x+1+\sqrt{5}}|+c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा परिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Rational Functions) को समझ सकते हैं।
Example:3.\frac{3 x+1}{2 x^{2}-2 x+3}
Solution:I=\int \frac{3 x+1}{2 x^{2}-2 x+3} d x \\ 3 x+1=A \frac{d}{d x}\left(2 x^{2}-2 x+3\right)+B \\ \Rightarrow 3 x+1=A(4 x-2)+B \\ \Rightarrow 3x+1=4Ax-2A+B
दोनों पक्षों के पदों की तुलना करने पर:

4 A=3 \Rightarrow A=\frac{3}{4} \\ -2 A+B=1 \\ \Rightarrow-2\left(\frac{3}{4}\right)+B=1 \\ \Rightarrow-\frac{3}{2}+B=1 \\ \Rightarrow B=1+\frac{3}{2} \\ \Rightarrow B=\frac{5}{2} \\ I=\frac{3}{4} \int \frac{4 x-2}{\left(2 x^{2}-2 x+3\right)} d x+\frac{5}{2} \int \frac{d x}{\left(2 x^{2}-2 x+3\right)} \\ I=\frac{3}{4} I_{1}+\frac{5}{2} I_{2} \\ I_{1}=\int \frac{4 x-2}{2 x^{2}-2 x+3} d x \\ \text { Put } 2 x^{2}-2 x+3=t \\ (4 x-2) d x=d t \\ I_{1}= \int \frac{d t}{t} \\ I_{1} =\log t+c_{1} \\ I_{1} =\log \left|2 x^{2}-2 x+3\right|+c_{1} \\ I_{2} =\int \frac{d x}{2 x^{2}-2 x+3} \\ =\frac{1}{2} \int \frac{d x}{x^{2}-x+\frac{3}{2}} \\ =\frac{1}{2} \int \frac{d x}{x-x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-(\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{2}} \\ =\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}+\frac{3}{2}} \\ =\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{5}{4}} \\ I_{2} =\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+ \left(\frac{\sqrt{5}} {2}\right)^{2}} \\ \text { Put } x-\frac{1}{2}=u \Rightarrow d x=d u \\ I_{2} =\frac{1}{2} \int \frac{d u}{u^{2}+\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2}} \\ =\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)} \tan ^{-1}\left(\frac{u}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}\right)+c_{2} \\ =\frac{1}{\sqrt{5}} \tan \left(\frac{2\left(x-\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{5}}\right)+c_{2} \\ \Rightarrow I_{2} =\frac{1}{\sqrt{5}} \tan \left(\frac{2 x-1}{\sqrt{5}}\right)+c_{2} \\ I=\frac{3}{4} \log \left|2 x^{2}-2 x+3\right|+ \frac{\sqrt{5}}{2} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{\sqrt{5}}\right)+c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा परिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Rational Functions) को समझ सकते हैं।
Example:4.\frac{x+1}{x^{2}+4 x+5}
Solution:I=\int \frac{x+1}{\left(x^{2}+4 x+5\right)} d x\\ x+1=A \frac{d}{d x}\left(x^{2}+4 x+5\right)+B\\ \Rightarrow x+1=A(2 x+4)+B\\ \Rightarrow x+1=2 A x+4 A+B
दोनों पक्षों के पदों की तुलना करने पर:

\Rightarrow 2 A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow 4 A+B=1 \\ \Rightarrow 4\left(\frac{1}{2}\right)+B=1 \\ \Rightarrow B=1-2 \\ \Rightarrow B=-1 \\ I=\frac{1}{2} \int \frac{(2 x+4) d x}{x^{2}+4 x+5}-\int \frac{1}{x^{2}+4 x+5} dx \\ I=\frac{1}{2} I_{1}-I_{2} \\ \text { put } x^{2}+4 x+5=t \\ \Rightarrow(2 x+4) d x=d t \\ I_{1}=\int \frac{1}{t} d t\\ =\log t+c_{1}\\ I_{1}=\log \left|x^{2}+4 x+5\right|+c_{1}\\ I_{2}=\int \frac{1}{x^{2}+4 x+5} d x\\ =\int \frac{d x}{x^{2}+4 x+4+1} \\ =\int \frac{d x}{(x+2)^{2}+1} \\ \text { put } x+2=u \Rightarrow d x=d u \\ I_{2}=\int \frac{d u}{u^{2}+1^{2}}\\ =\tan ^{-1} u+c_{2}\\ \Rightarrow I_{2}=\tan ^{-1}(x+2)+c_{2}\\ I=\frac{1}{2} \log \left|x^{2}+4 x+5\right|-\tan ^{-1}(x+2)+c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा परिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Rational Functions) को समझ सकते हैं।

Example:5.\frac{1}{2 e^{2 x}+3^{x}+1}
Solution:I=\int \frac{1}{2 e^{2 x}+3^{x}+1} d x \\ \text { put } e^{x}=t \Rightarrow e^{x} d x=d t \\ I=\int \frac{1}{t\left(2t^{2}+3 t+1\right)} d t \\ I=\int \frac{d t}{t\left[2 t^{2}+2 t+t+1\right]} \\ =\int \frac{d t}{t[2 t(t+1)+1(t+1)}  \\ I=\int \frac{d t}{t(t+1)(2 t+1)}\\ \frac{1}{t(t+1)(2 t+1)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{(t+1)}+\frac{c}{2 t+1}\\ \Rightarrow \frac{1}{t(t+1)(2 t+1)}=\frac{A(t+1)(2 t+1)+B t(t+1)+c t(t+1)}{t(t+1)(2 t+1)}\\ \Rightarrow 1=A(t+1)(2 t+1)+B t(2 t+1)+c t(t+1) \\ \text { put } t=0 \Rightarrow 1=A \Rightarrow A=1 \\ \text{put } t=-1 \Rightarrow 1=B(-1)(-2+1) \\ \Rightarrow B=1 \\ \text { put } t=-\frac{1}{2} \Rightarrow 1=c\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}+1\right) \\ 1=-\frac{c}{4} \\ \Rightarrow c=-4 \\ I=\int \frac{1}{t} d t+\int \frac{1}{t+1} d t-\int \frac{4}{2 t+1} d t \mid \\ \Rightarrow I=\log |t|+\log |t+1|-2 \log |2 t+1|+c \\ \Rightarrow I=\log \left(e^{x}\right)+\log \left|e^{x}+1\right|-2 \log \left|2 e^{x}+1\right|+c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा परिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Rational Functions) को समझ सकते हैं।
Example:6.\frac{x^{3}}{x^{2}+x+1}
Solution:I =\int \frac{x^{3}}{x^{2}+x+1} d x \\ =\int\left(x-1+\frac{1}{x^{2}+x+1}\right) dx \\ \Rightarrow =\frac{1}{2} x^{2}-x+\int \frac{1}{x^{2}+x+1} d x \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2} x^{2}-x+\int \frac{d x}{x+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+1} \\ I= \frac{1}{2} x^{2}-x+\int \frac{d x}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}+1}\\ =\frac{1}{2} x^{2}-x+\int \frac{d x}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} \\ \text{put }x+\frac{1}{2}=t \Rightarrow d x=d t \\ I=\frac{1}{2} x^{2}-x+\int \frac{d t}{t^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} \\ =\frac{1}{2} x^{2}-x+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \tan^{-1} \left(\frac{-t}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right) \\ =\frac{1}{2} x^{2}-x+\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left(\frac{2 t}{\sqrt{3}}\right)+c \\ =\frac{1}{2} x^{2}-x+\frac{2}{\sqrt{3}} \tan ^{-1}\left(\frac{2\left(x +\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{3}}\right)+c \\ =\frac{1}{2} x^{2}-x+\frac{2}{\sqrt{3}} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x+1}{\sqrt{3}}\right) +c \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2} x^{2}=x+\frac{2}{\sqrt{3}} \tan \left(\frac{2 x+1}{\sqrt{3}}\right)

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा परिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Rational Functions) को समझ सकते हैं।
Example:7.\frac{x^{3}+5 x^{2}-3 x-7}{\left(x^{2}-x-1\right)}
Solution:I=\int \frac{x^{3}+5 x^{2}-3 x-7}{\left(x^{2}-x-1\right)} d x \\ =\int\left[x+6+\frac{4 x-1}{x^{2}-x-1}\right] d x \\ =\int x d x+\int 6 dx+\int \frac{4 x-1}{x^{2}-x-1} d x \\ =\frac{1}{2} x^{2}+6 x+\int \frac{4 x-1}{x^{2}-x-1} d x \\ 4 x-1=A \frac{d}{dx} \left(x^{2}-x-1\right)+B \\ 4 x-1=A(2 x-1)+B \\ \Rightarrow 4 x-1=2 A x-A+B \\ 2 A=4 \Rightarrow A=2 \\ -A+B=-1 \\ -2+B=-1 \\ B=1 \\ I=\frac{1}{2} x^{2}+6 x+2 \int \frac{(2 x-1)}{x^{2}-x-1} dx+ \int \frac{1}{x^{2}-x-1} d x \\ I=\frac{1}{2} x^{2}+6 x+2 I_{1}+I_{2} \\ I_{1}=\int \frac{2 x-1}{x^{2}-x-1} d x \\ \text{put } x^{2}-x-1=t \\ (2x-1)dx=dt \\ I_{1}=\int \frac{1}{t} d t \\ I_{1}=\log |t|+c \\ I_{1}=\log \mid\ x^{2}-x-1\mid\ +c_{1} \\ I_{2}=\int \frac{1}{x^{2}-x-1} d x \\ =\int \frac{d x}{x^{2}-x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-1} \\ =\int \frac{d x}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{1}} \\ =\int \frac{d x}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{5}{4}} \\ =\int \frac{d x}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2}} \\ \text { put } x-\frac{1}{2}=u \\ \Rightarrow d x=d u \\ I_{2} =\int \frac{d u}{u^{2}-\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2}} \\ =\frac{1}{2(\frac{\sqrt{5}}{2})} \log \left|\frac{u-\frac{\sqrt{5}}{2}}{u+\frac{\sqrt{5}}{2}}\right|+c_{2} \\ \Rightarrow I_{2} =\frac{1}{\sqrt{5}} \log \left|\frac{x-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}}{x-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}}\right|+c_{2} \\ I_{2}=\log \left|\frac{2 x-1-\sqrt{5}}{2 x-1+\sqrt{5}}\right|+c_{2} \\ I=\frac{1}{2} x^{2}+6 x+2 \log \left|x^{2}-x+1\right| + \frac{1}{\sqrt{5}} \log \left|\frac{2 x-1-\sqrt{5}}{2 x-1+\sqrt{5}}\right|+c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा परिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Rational Functions) को समझ सकते हैं।
Example:8. \frac{1}{x^{2}+4 x+1}
Solution:I =\int \frac{d x}{x^{2}+4 x+4-3} \\ =\int \frac{d x}{(x+2)^{2}-(\sqrt{3})^{2}} \\ \text { Put } x+2=t \Rightarrow d x=d t \\ =\int \frac{d t}{t^{2}-(\sqrt{3})^{2}} \\ I= \frac{1}{2 \sqrt{3}} \log \left|\frac{t-\sqrt{3}}{t+\sqrt{3}}\right|+c \\ =\frac{1}{2 \sqrt{3}} \log \left| \frac{x+2-\sqrt{3}}{x+2+\sqrt{3}} \right|+c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा परिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Rational Functions) को समझ सकते हैं।
Example:9.\frac{1}{3+x+2 x^{2}}
Solution:I=\int \frac{d x}{3+x+2 x^{2}} \\=\frac{1}{2} \int \frac{d x}{x^{2}+\frac{x}{2}+\frac{3}{2}} \\ =\frac{1}{2} \int \frac{d x}{x^{2}+\frac{x}{2}+(\frac{1}{4})^{2}-(\frac{1}{4})^{2}+\frac{3}{2}} \\ =\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{1}{16}+\frac{3}{2}} \\ I=\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{23}}{4}\right)^{2}} \\ \text{put } x+\frac{1}{4}=t \Rightarrow d x=d t \\ I =\frac{1}{2} \int \frac{1}{t^{2}+\left(\frac{\sqrt{23}}{4}\right)^{2}} \\ =\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\left(\frac{\sqrt{23}}{4}\right)} \tan ^{-1}\left(\frac{t}{\frac{\sqrt{23}}{4}}\right)+c \\ =\frac{2}{\sqrt{23}} \tan^{-1} \left(\frac{4 t}{\sqrt{23}}\right)+c \\ =\frac{2}{\sqrt{23}} \tan^{-1} \left[\frac{4\left(x+\frac{1}{4}\right)}{\sqrt{23}}\right]+c \\ =\frac{2}{\sqrt{23}} \tan^{-1} \left(\frac{4 x+1}{\sqrt{23}}\right)+c
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा परिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Rational Functions) को समझ सकते हैं।

3.परिमेय फलनों का समाकलन की समस्याएं (Integration of Rational Functions Problems):

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए:

\text { (1) } \frac{1}{x^{2}+4 x+1} \\ \text { (2) } \frac{1}{1-6 x-9 x^{2}} \\ \text { (3) } \frac{5 x-2}{3 x^{2}+2 x+1} \\ \text { (4) } \frac{3 x}{x^{2}-x-1}
उत्तर (Answers):(1 ) \frac{1}{2 \sqrt{3}} \log \left| \frac{x+2-\sqrt{3}}{x+2+\sqrt{3}}\right|+c \\ \text { (2) } \frac{1}{6 \sqrt{2}} \log \left|\frac{\sqrt{2}+1+3 x}{\sqrt{2}-1-3 x}\right|+C \\ \text { (3) } \frac{5}{6} \log \left|3 x^{2}+2 x+1\right|-\frac{11}{3 \sqrt{2}} \tan^{-1} \left(\frac{3 x+1}{\sqrt{2}}\right)+c \\ \text { (4) } \frac{3}{2} \log \left|x^{2}-x-1\right|+\frac{3}{2 \sqrt{5}} \log \left|\frac{2 x-1-\sqrt{5}}{2 x-1+\sqrt{5}}\right|+c
उपर्युक्त सवालों को हल करके परिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Rational Functions) को ओर ठीक से समझ सकते हैं।

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4.परिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Rational Functions) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.तीन समाकलन विधियां क्या हैं? (What are the three integration methods?):

उत्तर:आइए हम समाकलन के विभिन्न तरीकों पर चर्चा करें जैसे कि खण्डश: समाकलन (integration by parts),प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (integration by substitution),आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन (integration by partial fractions) विस्तार से।

प्रश्न:2.सबसे कठिन समाकलन तकनीक क्या है? (What is the hardest integration technique?):

उत्तर:समाकलन के चिह्न के अन्तर्गत अवकलन सबसे कठिन है (कम से कम मेरे लिए) और आमतौर पर कैलकुलस कक्षाओं में नहीं पढ़ाया जाता है।मैं सोच रहा हूं कि मुझे किस पर सबसे ज्यादा ध्यान देना चाहिए/अभ्यास करना चाहिए।मैंने अभी तक केवल आईबीपी और ट्रिगर इंटीग्रल का अध्ययन किया है।

प्रश्न:3.उचित और अनुचित परिमेय फलन में क्या अंतर है? (What is the difference between a proper and improper rational function?):

उत्तर:एक उचित परिमेय फलन वह होता है जिसमें अंश की घात हर की घात से कम होती है।अन्यथा इसे अनुचित परिमेय फलन कहा जाता है।किसी भी परिमेय फलन को एक बहुपद और एक उचित परिमेय फलन के योग के रूप में लिखा जा सकता है।

प्रश्न:4.एक अनुचित परिमेय फलन क्या है? (What is a improper rational function?):

उत्तर:यदि अंश P(x) में हर Q(x) की घात से अधिक या उसके बराबर है,तो परिमेय फलन P(x)Q(x) को अनुचित कहा जाता है।इस मामले में,हम बहुपदों के लंबे विभाजन का उपयोग करके अनुपात को शेषफल वाले बहुपद के रूप में लिखते हैं।

प्रश्न:5.क्या सभी परिमेय फलन का समाकलन हैं? (Are all rational functions integrable?):

उत्तर:हाँ,प्रत्येक परिमेय फलन का एक प्रारंभिक समाकलन होता है।

प्रश्न:6.समाकलन सूत्र क्या है? (What is integration formula?):

उत्तर:समाकलन अवकलन की विपरीत प्रक्रिया है। समाकलन का मूल उपयोग उस फ़ंक्शन को वापस प्राप्त करना है जिसके डेरिवेटिव ज्ञात हैं।तो,यह एक अवकलज-विरोधी (anti-derivative) प्रक्रिया की तरह है।इस प्रकार,इंटीग्रल की गणना एक इंटीग्रेशन को व्युत्क्रम ऑपरेशन के रूप में अवकलन के रूप में देखकर की जाती है।

प्रश्न:7.समाकलन के प्रकार क्या हैं? (What are the types of integration?):

उत्तर:समाकलन के मुख्य प्रकार हैं:
पश्च लंबवत एकीकरण (Backward vertical integration)।
सामूहिक एकीकरण (Conglomerate integration)।
अग्र लंबवत एकीकरण (Forward vertical integration)।
क्षैतिज एकीकरण (Horizontal integration)।

प्रश्न:8.मैं समाकलन में कैसे अच्छा हो सकता हूं? (How can I be good at integration?):

उत्तर:पागलों की तरह अभ्यास करो (Practice like crazy)।
कुछ और अभ्यास करें (Practice some more)।
बहुत से व्यावहारिक,व्यावहारिक उदाहरणों पर काम करें,जहां समाकलन अपने आप में उद्देश्य के बजाय एक उपकरण है।
विभिन्न शॉर्टकट्स का पता लगाना सीखें जैसे कि समाकलन के अंतराल पर सम/विषम भागों पर फलनों को अलग करना आदि।

प्रश्न:9.समाकलन का क्या अर्थ है? (What is the meaning of integration?):

उत्तर:एक समाकलन पूरे में संयोजन का एक फलन या उदाहरण।एक नस्लीय (racial),धार्मिक (religious) या जातीय समूह (ethnic group) को एकीकृत करने का एक कार्य या उदाहरण।किसी फ़ंक्शन या समीकरण के समाकल को खोजने का संचालन,विशेष रूप से एक अवकल समीकरण को हल करना।व्यवहार, एक व्यक्ति के रूप में, जो पर्यावरण के अनुरूप है।

रश्न10.खण्डश: समाकलन का नियम क्या है? (What is the rule for integration by parts?):

उत्तर:आइए भागों द्वारा समाकल का नियम देखें: ∫u v dx बराबर u∫v dx −∫u’ (∫v dx) dx है।u फलन है u(x) खण्डश: समाकलन का सूत्र है।
उत्तर) खण्डश: समाकलन उन फलनों के लिए है जिन्हें किसी अन्य फ़ंक्शन के गुणन और तीसरे फ़ंक्शन के अवकलज के रूप में लिखा जा सकता है।

प्रश्न11.आप कैसे जानते हैं कि कोई फ़ंक्शन परिमेय है या नहीं? (How do you know if a function is rational?):

उत्तर:एक परिमेय अभिव्यक्ति उचित है यदि अंश की डिग्री हर की डिग्री से कम है और अन्यथा अनुचित है।पहले उदाहरण में,अंश एक द्वितीय-डिग्री बहुपद है और हर एक तृतीय-डिग्री बहुपद है,इसलिए परिमेय उचित है।

प्रश्न:12.आप एक परिमेय फलन को कैसे व्यक्त करते हैं? (How do you express a rational function?):
प्रमुख बिंदु

उत्तर:एक परिमेय फलन कोई भी फलन होता है जिसे दो बहुपद फलनों के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ हर में बहुपद शून्य के बराबर नहीं होता है।
f(x)=P(x)Q(x) f ( x ) = P ( x ) Q ( x ) का प्रांत सभी बिंदुओं x का समुच्चय है जिसके लिए हर Q(x) शून्य नहीं है।

प्रश्न:13आप एक अनुचित को उचित फलन में कैसे परिवर्तित करते हैं? (How do you convert an improper to a proper function?):

उत्तर:मिश्रित संख्या के पूर्ण संख्या भाग के रूप में उत्तर का उपयोग करें, और शेष को मूल हर के ऊपर रखें: 4 3/6। यदि आवश्यक हो तो अंश कम करें।उदाहरण के लिए, 3/6 बराबर 1/2 (3 और 6 का सबसे छोटा सामान्य भाजक 3 है,इसलिए अंश को घटाकर 1/2 करने के लिए अंश और हर दोनों को 3 से विभाजित करें)।

प्रश्न:14.क्या ऋणात्मक संख्याएँ परिमेय हैं? (Are negative numbers rational?):

उत्तर:परिमेय संख्याओं में सभी धनात्मक संख्याएँ,ऋणात्मक संख्याएँ और शून्य शामिल होते हैं जिन्हें एक संख्या के अनुपात (अंश) के रूप में दूसरी संख्या के रूप में लिखा जा सकता है।पूर्ण संख्याएँ (Whole numbers),पूर्णांक (integers),भिन्न (fractions),सांत दशमलव (terminating decimals) और दोहराए जाने वाले दशमलव (repeating decimals) सभी परिमेय संख्याएँ हैं।

प्रश्न:15.मानक समाकलन क्या हैं? (What are the standard integrals?):

उत्तर:हमने समाकलन को किसी दिए गए फ़ंक्शन के प्रतिअवकलज (anti derivative) के रूप में परिभाषित किया है।∫(cos x)dx = sin x + C जहाँ C समाकलन का अचर है जिसकी चर्चा पहले की जा चुकी है।इस सिद्धांत के आधार पर हम किसी दिए गए फ़ंक्शन को समाकलन करने में उपयोगी सामान्य समाकलन सूत्रों की एक सूची प्रस्तुत करते हैं।

प्रश्न:16.हम समाकलन का उपयोग क्यों करते हैं? (Why do we use integration?):

उत्तर:समाकलों को खोजने की प्रक्रिया को समाकलन कहते हैं।अवकलन के साथ,समाकलन,कैलकुलस का एक मौलिक,आवश्यक संचालन है और गणित और भौतिकी में समस्याओं को हल करने के लिए एक उपकरण के रूप में कार्य करता है,जिसमें एक स्वेच्छ आकार का क्षेत्र,एक वक्र की लंबाई और एक ठोस का आयतन शामिल होता है।

प्रश्न:17.उदाहरणों के साथ समाकलन क्या है? (What is integration with examples?):

उत्तर:समाकलन को उन चीजों या लोगों को एक साथ मिलाने के रूप में परिभाषित किया गया है जो पहले अलग हो गए थे।समाकलन का एक उदाहरण तब है जब स्कूलों को अलग कर दिया गया था और अब अफ्रीकी अमेरिकियों के लिए अलग पब्लिक स्कूल नहीं थे।

प्रश्न:18.दो बुनियादी समाकलन रणनीतियाँ क्या हैं? (What are the two basic integration strategies?):

उत्तर:दो प्रकार की समाकलन रणनीतियाँ हैं:क्षैतिज (horizontal) और लंबवत (vertical)।

प्रश्न:19.समाकलन रणनीति क्या है? (What is integration strategy?):

उत्तर:परिभाषा”यह प्रतिस्पर्धियों के साथ अधिग्रहण या विलय की प्रक्रिया है,जिससे उद्योग समेकन होता है।” “क्षैतिज समाकलन एक रणनीति है जहां एक कंपनी उसी उद्योग मूल्य श्रृंखला में किसी अन्य कंपनी का अधिग्रहण, विलय या अधिग्रहण करती है।”उदाहरण के लिए, पिक्सर (फिल्म निर्माण) के साथ डिज्नी का विलय (Disney merging with Pixar)।

प्रश्न:20.आप कैसे जानेंगे कि कोई व्यंजक परिमेय है या अपरिमेय? (How do you know if an expression is rational or irrational?):

उत्तर:यदि आपसे यह पहचानने के लिए कहा जाए कि कोई संख्या परिमेय है या अपरिमेय है,तो पहले संख्या को दशमलव रूप में लिखें।यदि संख्या समाप्त हो जाती है तो यह परिमेय है।यदि यह हमेशा के लिए चला जाता है,तो अंकों के दोहराए गए पैटर्न की तलाश करें।यदि कोई दोहराव पैटर्न नहीं है,तो संख्या अपरिमेय है।

प्रश्न:21.वास्तविक जीवन में समाकलन का क्या उपयोग है? (What is the use of integration in real life?):

उत्तर:फिजिक्स में इंटीग्रेशन की बहुत जरूरत होती है। उदाहरण के लिए,एक स्पोर्ट्स यूटिलिटी वाहन के द्रव्यमान केंद्र (Centre of Mass),गुरुत्वाकर्षण केंद्र (Centre of Gravity) और जड़ता के द्रव्यमान (Mass Moment of Inertia) क्षण की गणना करने के लिए।किसी वस्तु के वेग और प्रक्षेप वक्र (trajectory of an object) की गणना करने के लिए,ग्रहों की स्थिति का अनुमान लगाएं और विद्युत चुंबकत्व (electromagnetism) को समझें।

प्रश्न:22.पश्च समाकलन उदाहरण क्या है? (What is backward integration example?):

उत्तर:संक्षेप में,पश्च समाकलन तब होता है जब कोई कंपनी अपने उद्योग की आपूर्ति श्रृंखला में पीछे की ओर बढ़ते हुए एक ऊर्ध्वाधर समाकलन शुरू करती है।बैकवर्ड इंटीग्रेशन का एक उदाहरण एक बेकरी हो सकता है जो गेहूं प्रोसेसर या गेहूं का खेत खरीदता है।

प्रश्न:23.क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर समाकलन के बीच अंतर क्या है? (What is the difference between horizontal and vertical integration?):

उत्तर:क्षैतिज समाकलन (Horizontal integration) तब होता है जब कोई व्यवसाय आपूर्ति श्रृंखला के एक ही बिंदु पर अपने उद्योग में एक समान कंपनी का अधिग्रहण करके बढ़ता है।लंबवत समाकलन (Vertical integration) तब होता है जब कोई व्यवसाय किसी अन्य कंपनी को प्राप्त करके फैलता है जो आपूर्ति श्रृंखला में उनके पहले या बाद में संचालित होता है।

प्रश्न:24.पूर्ण समाकलन रणनीति क्या है? (What is full integration strategy?):

उत्तर:1.एक ढांचा जो एक वातावरण को दूसरे में एम्बेड करता है।इसमें और जानें:जीआईएस (GIS) और अनुकूलन उपकरण (Optimization Tools) के लिए समाकलन रणनीतियाँ (Integration Strategies)।

प्रश्न:25.बैकवर्ड वर्टिकल इंटीग्रेशन के क्या लाभ हैं? (What are the benefits of backward vertical integration?):

उत्तर:पश्च समाकलन व्यवसायों को आपूर्तिकर्ताओं पर नियंत्रण प्राप्त करने और आपूर्ति श्रृंखला दक्षता में सुधार करने की अनुमति देता है।प्रतिस्पर्धियों और कम लागत पर रणनीतिक लाभ हासिल करने के लिए व्यवसाय अपने आपूर्तिकर्ताओं के साथ विलय और अधिग्रहण करते हैं।

प्रश्न:26.ऊर्ध्वाधर समाकलन के नुकसान क्या हैं? (What are the disadvantages of vertical integration?):

उत्तर:लंबवत एकीकरण के नुकसान की सूची
इसमें क्षमता-संतुलन की समस्या हो सकती है।
इससे और मुश्किलें आ सकती हैं।
इसके परिणामस्वरूप लचीलेपन में कमी आ सकती है।
यह बाजार में प्रवेश के लिए कुछ बाधाएं पैदा कर सकता है।
इससे व्यवसाय में भ्रम की स्थिति पैदा हो सकती है।
इसके लिए बड़ी रकम की जरूरत होती है।
यह चीजों को और कठिन बना देता है।
(It can have capacity-balancing problems.
It can bring about more difficulties.
It can result in decreased flexibility.
It can create some barriers to market entry.
It can cause confusion within the business.
It requires a huge amount of money.
It makes things more difficult.)
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा परिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Rational Functions) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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