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Partial Differentiation

1.आंशिक अवकलन (Partial Differentiation)-

आंशिक अवकलन (Partial Differentiation) की आवश्यकता तब होती है जब कोई फलन दो चर अथवा अधिक चर वाला हो।अभी तक हमने पूर्व कक्षाओं में एक ही स्वतन्त्र चर (Independent Variable) वाले फलनों पर विचार किया था और उन्हीं के अवकलन ज्ञात किए थे।परन्तु व्यवहार में बहुधा हमको ऐसे फलनों का सामना करना पड़ता है जो दो या दो से अधिक स्वतन्त्र चरों के फलन होते हैं।उदाहरण: किसी वृत्तीय शंकु के आयतन V जिसके आधार की त्रिज्या r ऊंचाई h हो,का मान

V=\frac{1}{3} \pi r^{2} h
होता है।यहां आयतन V,दो स्वतन्त्र चरों r तथा h का फलन है।अतः हम कह सकते हैं कि V=f(r,h)
इसी प्रकार एक त्रिभुज का क्षेत्रफल \Delta,हम सूत्र

\Delta=\frac{1}{2} b c \sin A
से ज्ञात करते हैं।यहां b,c तथा A स्वतन्त्र चर तथा \Delta उन पर निर्भर करता है।
दो चरों वाले फलन (Functions of Two Variables)-
यदि दो चरों x तथा y का मान देने पर एक का निश्चित मान प्राप्त होता है तो z को x तथा y का फलन कहते हैं अर्थात् z=f(x,y)
यहां z आश्रित चर (Dependent Variable) कहलाता है तथा x और y स्वतन्त्र चर (Independent Variable) कहलाते हैं।z का मान प्रत्येक युग्म (x,y) के लिए परिभाषित होना आवश्यक नहीं है।उदाहरणार्थ फलनिक सम्बन्ध z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}
में z,xy-समतल के उन्हीं बिन्दुओं पर परिभाषित होगा जिनके लिए x^{2}+y^{2} \leq a^{2}
जबकि सम्बन्ध z=x^{2}+y^{2}
में z,xy-समतल के प्रत्येक बिन्दु पर परिभाषित है।xy-समतल में वह प्रदेश (region) जिसके प्रत्येक बिन्दु पर z परिभाषित हो,z का प्रान्त कहलाता है।
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2.आंशिक अवकलन के उदाहरण (Partial Differentiation Examples)-

Example-1.यदि (If) u=\tan^{-1} \frac{x y}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}},तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that) \frac{\partial^{2} y}{\partial x \partial y}=\frac{1}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
Solutionu=\tan^{-1} \frac{x y}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}
दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{1+\frac{x^{2} y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}} \cdot\left[\frac {\sqrt{1+x^{2}+y^{2}} \cdot x-x y \cdot \frac{1}{2 \sqrt{1+x^{2}+y^{2}}} 2 y}{1+x^{2}+y^{2}}\right] \\ =\frac{1+x^{2}+y^{2}}{1+x^{2}+y^{2} +x^{2} y^{2}} \cdot\left[\frac{\left(1+x^{2}+y^{2}\right) x-x y^{2}}{\left(1 +x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right] \\ =\frac{x+x^{3}+x y^{2}-x y^{2}}{\left[1\left (1+x^{2} \right)+y^{2} \left(1+x^{2}\right) \right]\left(1+x^{2} +y^{2} \right)^{\frac{1}{2}}} \\ =\frac{x\left(1+ x^{2}\right)}{\left(1+x^{2} \right)\left(1+y^{2}\right)\left(1+x^{2}+y^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}} \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial y} =\frac{x}{\left(1+y^{2}\right)\left(1+x^{2} +y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}
पुनः दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} =\frac{1}{\left(1+y^{2}\right)}\left[\frac {\left(1 +x^{2}+y^{2}\right) ^{\frac{1}{2}} \cdot 1-x \cdot \frac{1}{2 \sqrt{1+x^{2}+y^{2}}} \cdot 2 x}{1+x^{2} +y^{2}}\right] \\ =\frac{1}{\left(1+ y^{2}\right)} \cdot \frac{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)-x^{2}}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \\ =\frac{1+y^{2}}{\left(1+y^{2}\right) \left(1+x^{2}+y^{2} \right)^{3 / 2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\frac{1}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
Example-2.यदि (If) u=2(l x+m y)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}\right) तथा (and) l^{2}+m^{2}=1,तो (then find ) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} का मान ज्ञात कीजिए।
Solutionu=2(l x+m y)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}\right).....(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial x}=2(2)(l x+m y) \cdot l-2 x \\ \frac{\partial u}{\partial x}=4 l^{2} x+4 m y l-2 x
पुनः दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=4 l^{2}-2 \ldots(2)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial y} =4(l x+m y) \cdot m-2 y \\ =4 m l x+4 m^{2} y-2 y
पुनः दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=4 m^{2}-2 \cdots (3)

समीकरण (2) में से (3)  पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} =4 l^{2}-2+4 m^{2}-2 \\ =4 \left(l^{2}+m^{2} \right)-4 \\ =4(1)-4 \quad\left[\text { Given } l^{2}+m^{2}=1\right] \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} =0
Example-3.यदि (If) z=\tan (y+a x)+(y-a x)^{\frac{3}{2}},तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that)

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0
Solutionz=\tan (y+a x)+(y-a x)^{\frac{3}{2}}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial z}{\partial x}=\sec ^{2}(y+a x) \cdot a+\frac{3}{2}(y-a x)^{\frac{1}{2}} \cdot(-a) \\ \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}=a \sec ^{2}(y+a x)-\frac{3}{2} a(y-a x)^{\frac{1}{2}}
पुनः दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=2 a \sec ^{2}(y+a x) \tan (y+a x).a-\frac{3}{4} a(y-a x)^{-\frac{1}{2}} \cdot(-a) \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=2 a^{2} \sec ^{2}(y+a x) \tan (y+a x)+\frac{3}{4} a^{2}\left(y-a x\right)^{-\frac{1}{2}} \cdots (2)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial z}{\partial y}=\sec ^{2}(y+a x) \cdot 1+\frac{3}{2}(y-a x)^{\frac{1}{2}}. 1 \\ \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial y}=\sec ^{2}(y+a x)+\frac{3}{2}(y-a x)^{\frac{1}{2}}
पुनः दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} =2 \sec ^{2}(y+a x) \tan (y+a x)+\frac{3}{4}(y-a x)^{-\frac{1}{2}} \\ a^{2} \frac{\partial ^{2}z}{\partial y^{2} } =2 a^{2} \sec ^{2}(y+a x) \tan (y+a x)+\frac{3}{4} a^{2}(y-a x)^{-\frac{1}{2}} \cdots (3)

समीकरण (2) में से (3) घटाने पर-

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0
Example-4.यदि (If) u=\phi(y+a x)+\psi(y-a x),तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}
Solutionu=\phi(y+a x)+\psi(y-a x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial x} =\phi^{\prime}(y+a x) \cdot a+\psi^{\prime}(y-a x)(-a) \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x} =a \phi^{\prime}(y+a x)-a \psi^{\prime}(y-a x)
पुनः दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=a \phi^{\prime \prime}(y+a x) \cdot a-a \psi^{\prime \prime}(y-a x)(-a) \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=a^{2} \phi^{\prime \prime}(y+a x)+a^{2} \psi^{\prime \prime}(y-a x) \cdots(2)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial y}=\phi^{\prime}(y+a x)+\psi^{\prime}(y-a x)
पुनः दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=\phi^{\prime \prime}(y+a x)+\psi^{\prime \prime}(y-a x) \\ a^{2} \left(\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right)=a^{2} \phi^{\prime \prime}(y+a x)+a^{2} \psi^{\prime \prime}(y-a x) \cdots(3)
समीकरण (2) व (3) से-

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}
Example-5.यदि (If) u=\sin (\sqrt{x}+\sqrt{y}), प्रदर्शित कीजिए कि (then prove that) x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{2 u}{\partial y}=\frac{1}{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \cos (\sqrt{x}+\sqrt{y})
Solutionu=\sin (\sqrt{x}+\sqrt{y}) \cdots (1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial x} =\cos (\sqrt{x}+\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ x \frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\sqrt{x}}{2} \cos (\sqrt{x}+\sqrt{y}) \cdots (2)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial y}=\cos (\sqrt{x}+\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y}} \\ \Rightarrow y \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\sqrt{y}}{2} \cos (\sqrt{x}+\sqrt{y})\cdots (3)
समीकरण (2) व (3) को जोड़ने पर-

x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\sqrt{x}}{2} \cos (\sqrt{x}+\sqrt{y})+\frac{\sqrt{y}}{2} \cos (\sqrt{x}+\sqrt{y}) \\ \Rightarrow x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \cos (\sqrt{x}+\sqrt{y})

Example-6.यदि (If) u=x^{m}f( \frac{y}{x}),तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that) \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} =\frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}
Solution- u=x^{m}f( \frac{y}{x}) \cdots (1)
दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{y y} =x^{m} f^{\prime}(\frac{y}{x}) \cdot \frac{1}{x} \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial y} =x^{m-1} f^{\prime}(\frac{y}{x})
पुनः दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=(m-1) x^{m-2} f^{\prime}(\frac{y}{x})+x^{m-1} f^{\prime \prime}(\frac{y}{x})\left(-\frac{y}{x^{2}}\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} y}{\partial x \partial y}=(m-1) x^{m-2} f^{\prime}(\frac{y}{x})-x^{m-3} y f^{\prime \prime}(\frac{y}{x}) \cdots (2)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial x}=m x^{m-1} f\left(\frac{y}{x}\right)+x^{m} f^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right)\left(-\frac{y}{x^{2}}\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x}=m x^{m-1} \cdot f\left(\frac{y}{x}\right)-x^{m-2} y \cdot f^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right)
पुनः दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x} =m x^{m-1} f^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right)\left(\frac{1}{x}\right)-x^{m-2} \cdot f^{\prime}(\frac{y}{x})-x^{m-2} \cdot y f^{\prime \prime}(\frac{y}{x}). \frac{1}{x} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} y}{\partial y \partial x}=m x^{m-2} f^{\prime}(\frac{y}{x})-x^{m-2} f^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right)-x^{m-3} y f^{\prime \prime}\left(\frac{y}{x}\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}=(m-1) x^{m-2} f^{\prime}(\frac{y}{x})-x^{m-3} y f^{\prime \prime}(\frac{y}{x}) \cdots(3)
समीकरण (2) और (3) से-

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}
Example-7.यदि (If) f(x, y)=\log \left(x^{2}+y^{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right),तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that) \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0
Solutionf(x, y)=\log \left(x^{2}+y^{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \cdots (1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{x^{2}+y^{2}} \cdot 2 x+\frac{1}{1+\frac{y^{2}}{x^{2}}} \cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2 x}{x^{2}+y^{2}}-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}
पुनः दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} =2\left[\frac{x^{2}+y^{2}-1-x \cdot 2 x}{\left(3 x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}\right]+\frac{y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \cdot 2 x \\ =\frac{2\left(x^{2}+y^{2}-2 x^{2}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}+\frac{2 x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \\ =\frac{2\left(-x^{2} +y^{2} \right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}+\frac{2 x y}{\left (x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} =\frac{2\left(-x^{2}+y^{2}+x y\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}...(2)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}} \cdot 2 y+\frac{1}{1+y^{2}} \cdot\left(\frac{1}{x}\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2 y}{x^{2}+y^{2}}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}
पुनः दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} =2\left[\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right) \cdot 1-y \cdot 2 y}{\left(x^{2}+y^{2} \right)^{2}}\right]+\frac{x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \cdot 2 y \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} =2 \frac{\left(x^{2}+y^{2}-2 y^{2}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}-\frac{2 x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} =\frac{2\left(x^{2}-y^{2}-x y\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\cdots \cdots(2)
समीकरण (2) व (3) को जोड़ने पर-

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{-2 x^{2}+2 y^{2}+2 x y}{\left(x^{2}+y^{2} \right)^{2}}+\frac{2 x^{2}-2 y^{2}-2 x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0
Example-8.यदि (If) u=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}} ,तो प्रदर्शित कीजिए कि (then prove that) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=n(n+1)\left(x^{2} +y^{2} +z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}
Solutionu=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}} \cdots (1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{n}{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1} \cdot 2 x \\ \frac{\partial u}{\partial x}=n x\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}
पुनः दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=n\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}+n \left(\frac{n}{2}-1\right) x\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-2}-2 x \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=n\left(x^{2}+y^{2}+z^{2} \right)^{\frac{n}{2}-1}+n(n-2) x^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{-z}\right)^{\frac{n}{2}-2} \cdots (2)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{n}{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1} \cdot 2 y \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial y}=n y\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}
पुनः दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=n\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}+n y\left(\frac{n-1}{2}\right)\left(x^{2} +y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-2}(2 y) \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} y}{\partial y^{2}}=n \left(x^{2}+y^{2}+ z^{2} \right)^{\frac{n}{2}-1}+n(n-2) y^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-2}\cdots(3)
इसी प्रकार समीकरण (1) के दोनों पक्षों का z के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial z} =\frac{n}{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1} \cdot 2 z \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial z} =n \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}
पुनः दोनों पक्षों का z के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} =n\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}+n\left(\frac{n}{2}-1\right)z \left(x^{2} +y^{2}+ z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-2} \cdot 2 z \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} =n\left(x^{2} +y^{2}+ z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}+n(n-2) z^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2} \right)^{\frac{n}{2}-2} \cdots (4)
समीकरण (2),(3),(4) को जोड़ने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=3 n\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}+n(n-2)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \left(x^{2} +y^{2}+ z\right) ^{\frac{n}{2}-2} \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=\left(3 n+n^{2}-2 n\right)\left(x^{2}+y^{2} +z^{2}\right) ^{\frac{n}{2}-1} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=n(n+1)\left(x^{2}+y^{2} +z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}
Example-9.यदि (If) r^{2}=x^{2}+y^{2} तथा (and) \tan \theta=\left(\frac{y}{x}\right), सिद्ध कीजिए कि (prove that) \frac{\partial \theta}{\partial x}=-\frac{y}{r^{2}} तथा \left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial r}{\partial y}\right)^{2}=1
Solution\tan \theta=\left(\frac{y}{x}\right)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\Rightarrow \sec ^{2} \theta \frac{\partial \theta}{\partial x}=-\frac{y}{x^{2}} \\ \Rightarrow\left(1+\tan ^{2} \theta\right) \frac{\partial \theta}{\partial x}=\frac{-y}{x^{2}} \\ \Rightarrow\left(1+\frac{y^{2}}{x^{2}}\right) \frac{\partial \theta}{\partial x}=-\frac{y}{x^{2}} \\ \Rightarrow\left(x^{2}+y^{2}\right) \frac{\partial \theta}{\partial x}=-y \\ \Rightarrow r^{2} \cdot \frac{\partial \theta}{\partial x}=-y \quad\left[\because r^{2}=x^{2}+y^{2}\right] \\ \Rightarrow \frac{\partial \theta}{\partial x}=-\frac{y}{r^{2}} \\ x^{2}=x^{2}+y^{2} \cdots \cdot (1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

2 r \frac{\partial r}{\partial x} =2 x \\ \frac{\partial r}{\partial x} =\frac{x}{r} \\ \frac{\partial r}{\partial x} =\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\left[\because r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right] \\ \left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)^{2}=\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \cdots (2)
पुनः समीकरण (1) के दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

2 r \frac{\partial r}{\partial y}=2 y \\ \Rightarrow \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r} \\ \Rightarrow \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \quad\left[\because r=\sqrt{x^{2} +y^{2}}\right] \\ \Rightarrow \left(\frac {\partial r}{\partial y}\right)^{2}=\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \cdots (3)
समीकरण (2) व (3) को जोड़ने पर-

\left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial r}{\partial y}\right)^{2}= \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2} +y^{2}} \\ \Rightarrow\left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)^{2}+ \left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)^{2}=1
Example-10.यदि (If) \theta=t^{n} e^{-\frac{r^{2}}{4 t}} .n का मान ज्ञात कीजिए जिससे कि (Find the value of n for which) \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial \theta}{\partial r}\right)=\frac{\partial \theta}{\partial t}
Solution\theta=t^{n} e^{-\frac{r^{2}}{4 t}} \cdots (1)
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial \theta}{\partial t} =n t^{n-1} \cdot e^{-\frac{r^{2}}{4 t}}+t^{n} e^{-\frac{r^{2}}{4 t}}\left(\frac{r^{2}}{4 t^{2}}\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial \theta}{\partial t} =n t^{n-1} e^{-\frac{r^{2}}{4 t}}+\frac{1}{4} t^{n-2} r^{2} e^{-\frac{r^{2}}{4 t}} \cdots (2)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का r के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial \theta}{\partial r}=t^{n} e^{-\frac{r^{2}}{4 t}}\left(-\frac{r}{2 t}\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial \theta}{\partial r}=-\frac{1}{2} t^{n-1} r e^{-\frac{r^{2}}{4 t}} \cdots (3) \\ \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial \theta}{\partial r}\right)=\frac{\partial \theta}{\partial t} \cdots(4)
समीकरण (2) व (3) से समीकरण (4) में मान रखने पर-

\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left[r^{2} \cdot\left(-\frac{1}{2} t^{n-1} r e^{-\frac{r^{2}}{4 t}}\right) \right]=n t^{n-1} e^{-\frac{r^{2}}{4 t}}+\frac{1}{4} t^{n-2} r^{2} e^{-\frac{r^{2}}{4 t}} \\ \Rightarrow \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left[-\frac{1}{2} r^{3} e^{-\frac{r^{2}}{4 t}}\right] t^{n-1}=t^{n-1}\left[n e^{-\frac{r^{2}}{4 t}}+\frac{1}{4 t} r^{2} e^{-\frac{r^{2}}{4 t}}\right] \\ \Rightarrow \frac{1}{r^{2}}\left[-\frac{3}{2} r^{2} e^{-\frac{r^{2}}{4t}}-\frac{1}{2} r^{3} e^{-\frac{r^{2}}{4t}} \cdot\left(-\frac{r}{2 t}\right)\right]=e^{-\frac{r^{2}}{4t}}\left(n+\frac{r^{2}}{4 t}\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{r^{2}} \cdot r^{2}\left[-\frac{3}{2}+\frac{r^{2}}{4 t}\right] e^{-\frac{r^{2}}{4t}}=e^{-\frac{r^{2}}{4t}} \left(n +\frac{r^{2}}{4 t}\right) \\ \Rightarrow-\frac{3}{2}+\frac{r^{2}}{4 t}=n+\frac{r^{2}}{4 t} \\ \Rightarrow n=-\frac{3}{2}
Example-11.यदि (If) u=\log r, जहां (where) [katex]r^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2},तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=\frac{1}{r^{2}}
Solution-u =\log r \\ \Rightarrow u =\log \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}} \\ \Rightarrow u=\frac{1}{2} \log \left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right] \cdots (1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}} 2(x-a) \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{x-a}{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}
पुनः दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} =\frac{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right] \cdot 1-(x-a) \cdot 2(x-a)}{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right]^{2}} \\ =\frac{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}-2(x-a)^{2}}{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right]^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{(y-b)^{2} +(z-c)^{2}-(x-a)^{2}}{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right]^{2}} \cdot \cdots \cdot(2)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right]^{2}} \cdot 2(y-b) \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{y-b}{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right]^{2}}
पुनः दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} =\frac{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right] \cdot 1-(y-b) \cdot 2(y-b)}{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right]^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} =\frac{(x-a)^{2}+(z-c)^{2}-(y-b)^{2}}{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-1)^{2}\right]^{2}} \cdots (3)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का z के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}} \cdot 2(z-c) \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial z}=\frac{z-c}{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}
पुनः दोनों पक्षों का z के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac{\partial u}{\partial z^{2}}=\frac{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right] \cdot 1-(z-c)-2(z-c)}{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right]^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=\frac{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}-(z-c)^{2}}{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right]^{2}} \cdots(4)
समीकरण (2),(3),(4) को जोड़ने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} y}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} =\frac{(y-b)^{2}+(z-1)^{2}-(x-a)^{2}+(x-a)^{2}+(z-c)^{2}-(y-b)^{2}+(x-a)^{2}+(y-b)^{2}-(z-c)^{2}}{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right]^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+ \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial ^{2} u} {\partial z^{2}}=\frac{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right]^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial u^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=\frac{1}{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+ \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=\frac{1}{r^{2}}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा आंशिक अवकलन (Partial Differentiation) को समझ सकते हैं।

3.आंशिक अवकलन की समस्याएं (Partial Differentiation Problems)-

प्रमेय \frac{\partial^{2} y}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x} की पुष्टि कीजिए,जबकि (Verify the theorem \frac{\partial^{2} y}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}, when)

(1)u=\log x \cdot(y \sin x+x \sin y)\\ (2) u=x^{y} \\ (3) u=x \sin y+y+\sin x \\(4) u=e^{m y} \cos m x \\ (5)u=\frac{1}{\sqrt{y}} e^{-\frac{(x-a)^{2}}{4y}}
(6.)यदि (If) z(x+y)=x^{2}+y^{2} ,तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that) 

\left(\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}=4\left(1-\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}\right)
(7.)यदि (If) u=x^{2} \tan ^{2}(\frac{y}{x})-y^{2} \tan ^{-1}(\frac{x}{y}),तो (then find the value of) \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answer):(7)\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर आंशिक अवकलन (Partial Differentiation) को ठीक से समझा जा सकता है।

आंशिक अवकलन (Partial Differentiation) के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न-

प्रश्न-:1.आप आंशिक रूप से कैसे अवकलन करते हैं? (How do you differentiate partially?)-

उत्तर-गणित में, कई वेरिएबल्स के एक फ़ंक्शन का एक आंशिक अवकलज इसके अवकलज में से एक है जो उन वेरिएबल्स के संबंध में है, जिनमें से अन्य को स्थिर रखा गया है (सम्पूर्ण अवकलज के विपरीत, जिसमें सभी चर अलग-अलग होने की अनुमति है)।आंशिक अवकलज का उपयोग वेक्टर केलकुलस और अवकलन ज्यामिति में किया जाता है।

प्रश्न-:2.आंशिक अवकलज हमें क्या बताता है? (What does the partial derivative tell us?)-

उत्तर-आंशिक अवकलज का अर्थ याद करें;किसी दिए गए बिंदु (a,b) पर,x के संबंध में आंशिक का मान, यानी fx(a,b) ब्लू क्रॉस सेक्शन के लिए स्पर्शरेखा का ढलान है (x में परिवर्तन पर z में परिवर्तन)।दूसरे शब्दों में, यह बताता है कि x में परिवर्तन के संबंध में कितनी तेजी से z बदलता है।
गणित में, कई वेरिएबल्स के एक फ़ंक्शन का एक आंशिक अवकलज इसका एक अवकलज होता है, जिसमें से एक वैरिएबल के सापेक्ष अवकलन होता है, जबकि अन्य चरों को अचर मानते हैं (सम्पूर्ण अवकलज के विपरीत, जिसमें सभी चर अलग-अलग होने की अनुमति होती है)।

प्रश्न:3.आंशिक अवकलज का सूत्र क्या है? (What is the formula of partial derivatives?)-

उत्तर-दो चरों के एक फंक्शन को देखते हुए,f(x, y) का x के सापेक्ष अवकलन (y चर को अचर की तरह व्यवहार करते हुए) को x के सापेक्ष में f का आंशिक अवकलज कहा जाता है और इसे ∂ƒ/∂x या ƒ x द्वारा निरूपित किया जाता है।

प्रश्न:4.आंशिक अवकल नियम (Partial Derivative Rules)-

उत्तर-आंशिक अवकलन के नियम ठीक उसी तर्क का अनुसरण करते हैं जैसा कि एकल अवकलन अर्थात् एक चर के अवकलन में करते हैं।एकमात्र अंतर यह है कि हमें यह तय करना होगा कि दूसरे चर के साथ कैसे व्यवहार किया जाए। याद रखें कि पिछले भाग में, ढलान को x या y में दिए गए परिवर्तन के लिए z में बदलाव के रूप में परिभाषित किया गया था, दूसरे चर को अचर के रूप में रखते हुए।

प्रश्न:5.आंशिक अवकलन प्रतिभाषा (Partial Differentiation Definition)-

उत्तर-किसी दिए गए फ़ंक्शन के आंशिक डेरिवेटिव को ज्ञात करने की प्रक्रिया को आंशिक अवकलन कहा जाता है। आंशिक अवकलन, किसी एक चर के सापेक्ष अवकलन तथा अन्य चर को अचर की तरह लेने की क्रिया है।
संकेतित बिंदु पर आंशिक अवकलज x या y दिशा में ढाल को ज्ञात करने का एक तरीका है।अन्य चर को अचर की तरह मानने से स्थिति प्रतीत होती है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा आंशिक अवकलन (Partial Differentiation) को समझ सकते हैं।

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा आंशिक अवकलन (Partial Differentiation) को समझ सकते हैं।

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