Euler’s Theorem of Homogeneous Function
1.समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय (Euler’s Theorem of Homogeneous Function),समघात फलन (Homogeneous Functions):
समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय (Euler’s Theorem of Homogeneous Function) के सत्यापन पर आधारित सवाल और इस प्रमेय के आधार पर अन्य सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय आधारित उदाहरण (Examples Based on Euler’s Theorem of Homogeneous Function):
Example:1(c). u=a x^2+2 h x y+b y^2
Solution: u=a x^2+2 h x y+b y^2
दिए हुए फलन के दोनों पक्षों का क्रमशः x,y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
\frac{\partial u}{\partial x}=2 a x+2 h y \\ \frac{\partial u}{\partial y}=2 h x+2 b y \\ x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=2 a x^2+2 h x y+2 h x y+2 b y^2 \\ =2\left(a x^2+2 h x y+b y^2\right) \\ \Rightarrow x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=2 u
यह ऑयलर प्रमेय का सत्यापन करता है।
Example:1(d). u=x^3+y^3+z^3+3 x y z
Solution: u=x^3+y^3+z^3+3 x y z
दिए हुए फलन के दोनों पक्षों का क्रमशः x,y,z के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
Example:2(a).यदि (If) z=x y f\left(\frac{y}{x}\right), तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that)
x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=2 z
Solution: z=x y f\left(\frac{y}{x}\right)
यहाँ z,x तथा y का 2 घात का समघात फलन है।अतः ऑयलर प्रमेय से:
x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=2 z
वैकल्पिक विधि (Alliter):
दिया हुआ है: z=x y f\left(\frac{y}{x}\right) \cdots(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
\frac{\partial z}{\partial x}=y f\left(\frac{y}{x}\right)+x y f^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right)\left(-\frac{y}{x^2}\right) \\ \Rightarrow x \frac{\partial z}{\partial x}=x y f\left(\frac{y}{x}\right)-y^2 f^{\prime} \left(\frac{y}{x}\right) \cdots(2)
पुनः (1) का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
\frac{\partial z}{\partial y}=x f\left(\frac{y}{x}\right)+x y f^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right) \cdot \frac{1}{x} \\ \Rightarrow y \frac{\partial z}{\partial y}=x y f\left(\frac{y}{x}\right)+y^2 f^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right) \cdots(3)
समीकरण (2) तथा (3) का योग करने पर:
x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}= x y f\left(\frac{y}{x}\right)-y^2 f^{\prime} \left(\frac{y}{x}\right)+x y f\left(\frac{y}{x}\right) +y^2 f^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right) \\ \Rightarrow x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial x}=2 x y f\left(\frac{y}{x}\right) \\ \Rightarrow x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial x}=2 z
Example:2(b).यदि (If) z=\phi\left(\frac{y}{x}\right), तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that)
Solution: z=\phi\left(\frac{y}{x}\right)
यहाँ z, x तथा y का शून्य घात का फलन है।
अतः ऑयलर प्रमेय से:
x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=0 . z \\ \Rightarrow x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=0
वैकल्पिक विधि (Alliter):
दिया हुआ है: z=\phi\left(\frac{y}{x}\right) \cdots(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
\frac{\partial z}{\partial x}=\phi\left(\frac{y}{x}\right)\left(-\frac{y}{x^2}\right) \\ \Rightarrow x \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{y}{x} \phi\left(\frac{y}{x}\right) \cdots(2)
पुनः (1) का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
\frac{\partial z}{\partial y}=\phi\left(\frac{y}{x}\right) \cdot \frac{1}{x} \\ y \frac{\partial z}{\partial y}= \frac{y}{x} \phi\left(\frac{y}{x}\right) \cdots(3)
समीकरण (2) तथा (3) का योग करने पर:
x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y}{x} \phi\left(\frac{y}{x}\right)+ \frac{y}{x} \phi\left(\frac{y}{x}\right) \\ \Rightarrow x \frac{\partial z}{x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=0
Example:2(c).यदि (If) u=\sin ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that)
x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=0
Solution: u=\sin ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)
मान लो u=f+g
जहाँ f=\sin ^{-1} \frac{x}{y} तथा g=\tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) दोनों फलन शून्य घात के समघात फलन हैं।अतः ऑयलर प्रमेय से:
x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}=0
तथा x \frac{\partial g}{\partial x}+y \frac{\partial g}{\partial y}=0 \\ =x \frac{\partial u}{x}+y \frac{\partial u}{\partial y} = x \frac{\partial}{\partial x} (f+g)+y \frac{\partial}{\partial y} (f+g) \\ =x \frac{\partial f}{\partial x}+ x \frac{ \partial g}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+y \frac{\partial g}{\partial y} \\ =\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right)+\left(x \frac{\partial g}{\partial x}+y \frac{\partial g}{\partial y}\right) \\ =0+0 \\ \Rightarrow x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=0
वैकल्पिक विधि (Alliter):
दिया हुआ है: u=\sin ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{x}{y}\right) \cdots(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x^2}{y}\right)^2}} \cdot \frac{1}{y}+\frac{1}{1+\left(\frac{x}{y}\right)^2} \cdot \frac{1}{y} \\ \Rightarrow x \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{y^2-x^2}}+\frac{x y}{y^2+x^2} \ldots (2)
पुनः (1) का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{y}\right)^2}}\left(\frac{-x}{y^2}\right)+ \frac{1}{1+\left(\frac{x}{y}\right)^2}\left(\frac{-x}{y^2}\right) \\ \Rightarrow y \frac{\partial u}{\partial y} =-\frac{x}{\sqrt{y^2-x^2}}-\frac{x y}{y^2+x^2} \cdots(3)
समीकरण (2) तथा (3) का योग करने पर:
3.सम्पूर्ण अवकलन (Total Differentiation):
Example:14.यदि (If) x^3+y^3-3 a x^2=0, \frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{2 a^2 x^2}{y^5}=0 तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that)
Solution: x^3+y^3-3 a x^2=0
मानाकि f(x, y)=x^3+y^3-3 a x^2=0
x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
p=\frac{\partial f}{\partial x}=3 x^2-6 a x
पुनः y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
q=\frac{\partial f}{\partial y}=3 y^2 \\ r=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=6 x-6 a \\ s= \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=0 \\ t=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=6 y
अब \frac{d^2 y}{d x^2}= \frac{q^2 r-2 p q s \cdot+p^2 t}{q^3} \\ =\frac{\left(3 y^2\right)^2(6 x-6 a) -2\left(3 x^2-6 a x\right)\left(3 y^2\right)(0) +\left(3 x^2-6 a x\right)^2(6 y)}{\left(3 y^2\right)^3} \\ =\frac{9 y^4(6 x-6 a)+\left(9 x^4-36 a x^3+36 a^2 x^2\right)(6 y)}{27 y^6} \\ =\frac{27 y\left(2 x y^3-2 a y^3+2 x^4-8 a x^3+8 a^2 x^2\right)}{27 y^6} \\ =\frac{2 x\left(x^3+y^3\right)-2 a\left(x^3+y^3\right) +8 a^2 x^2-6 a x^3}{y^5} \\ =\frac{2 x\left(3 a x^2\right)-2 a\left(3 a x^2\right)+8 a^2 x^2-6 a x^3}{y^5} \\ =\frac{6 a x^3-6 a^2 x^2+8 a^2 x^2-6 a x^3}{y^5} \\=\frac{2 a^2 x^2}{y^5} \\ \Rightarrow \frac{d^2 y}{d x^2} -\frac{2 a^2 x^2}{y^5}=0
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय (Euler’s Theorem of Homogeneous Function),समघात फलन (Homogeneous Functions) को समझ सकते हैं।
4.समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय पर आधारित सवाल (Questions Based on Euler’s Theorem of Homogeneous Function):
(1.)यदि (If) z=x^m f\left(\frac{y}{x}\right)+x^n g\left(\frac{x}{y}\right), सिद्ध करो (prove that)
x^2 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+2 x y \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}+y^2 \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}+mnz=(m+n-1) \left(x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}\right)
(2.)यदि (If) u=\log \left(\frac{x^2+y^2}{x y}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right), सिद्ध करो (prove that) x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय (Euler’s Theorem of Homogeneous Function),समघात फलन (Homogeneous Functions) को ठीक से समझ सकते हैं।
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5.समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय (Frequently Asked Questions Related to Euler’s Theorem of Homogeneous Function),समघात फलन (Homogeneous Functions) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय क्या है? (What is Euler’s Theorem of Homogeneous Functions?):
उत्तर:यदि f(x,y) चरों x तथा y का n घातीय समघात फलन हो,तो
(If f(x,y) be a homogenous function of x and y of degree n then)
x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y} \equiv nf
प्रश्न:2.n घात का समघात फलन के व्यापकीकरण की प्रमुख उपप्रमेय का उल्लेख करें। (Mention the Main Corollary of the Generalization of the Homogeneous Function of Degree n):
Solution:यदि फलन f(x,y),चरों x,y का n घात का समघात फलन हो,तो
(If f(x,y) be a homogenous function of x,y or degree n,then)
(1.) x \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+y \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=(n-1) \frac{\partial f}{\partial x} \\ (2.) x \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}+y \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=(n-1) \frac{\partial f}{\partial y} \\ (3.) x^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+2 x y \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}+y^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=n(n-1) f
प्रमाण (Proof):(1.)यहाँ f(x,y),n घात का समघातीय फलन है।अतः ऑयलर प्रमेय से:
x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}=n f \cdots(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
\frac{\partial f}{\partial x}+x \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+y \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=n \frac{\partial f}{\partial x} \\ \Rightarrow x \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+y \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=(n-1) \frac{\partial f}{\partial x} \cdots(2)
(2.)समीकरण (1) का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
x \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+y \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=n \frac{\partial f}{\partial y} \\ \Rightarrow x \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}+y \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=(n-1) \frac{\partial f}{\partial y}\left[\because \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} =\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right] \cdots(3)
(3.)अब समीकरण (2) को x तथा (3) को y से गुणा करके योग करने पर:
x^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+2xy \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + y^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=(n-1) \left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y} \right)=(n-1)nf=n(n-1)f
प्रश्न:3.ऑयलर प्रमेय से महत्त्वपूर्ण निगमन क्या है? (What is the Important Deduction from Euler’s Theorem?):
उत्तर:यदि u=\phi(T_n) ,जहाँ T_n एक n घात का x,y में समघात फलन है तथा वह यदि सम्बन्ध T_n=f(u) से प्राप्त होता है तब
x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=n \frac{f(u)}{f^{\prime}(u)}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय (Euler’s Theorem of Homogeneous Function),समघात फलन (Homogeneous Functions) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
