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Teaching of Formulae

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2 5.सूत्रों का अध्यापन (Teaching of Formulae),गणितीय सूत्रों का अध्यापन (Teaching of Mathematical Formulae) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

1.सूत्रों का अध्यापन (Teaching of Formulae),गणितीय सूत्रों का अध्यापन (Teaching of Mathematical Formulae):

  • सूत्रों का अध्यापन (Teaching of Formulae) का अध्यापन किस प्रकार किया जाए क्योंकि गणित में सूत्रों एवं सूत्रों के निर्धारण व सूत्रों का प्रतिस्थापन का महत्त्वपूर्ण स्थान है।गणित में सूत्रों के बिना गणित की कल्पना भी नहीं की जा सकती है।
  • बीजगणित,ज्यामिति तथा गणित की विभिन्न शाखाओं में संख्याओं,सिद्धांतों के विभिन्न संबंधों को संक्षिप्त रूप में लिखा जाता है।सूत्रों में संकेतों और प्रतीकों का प्रयोग होता है।बीजीय संकेतों का वह संबंध जो संकेत के प्रत्येक मान के लिए सत्य हो सूत्र कहलाता है।यह वह समीकरण है जो अज्ञात राशि के प्रत्येक मान से संतुष्ट होता है।गणित की कई क्रियाओं को शीघ्रतापूर्वक और शुद्ध रूप से हल करने में सूत्र बहुत उपयोगी होते हैं।
  • सूत्र एक संक्षिप्त भाषा है जिसमें भिन्न-भिन्न चर राशियाँ होती है।सूत्र निष्कर्षों को व्यक्त करने की संक्षिप्त भाषा है।गणित में सूत्रों का महत्त्वपूर्ण स्थान है।अनेक सिद्धांतों को समझने में सूत्र अत्यंत लाभदायक है।
  • छात्र-छात्राओं को सूत्रों को स्थापित करने की क्रियाविधि को भलीभांति समझना चाहिए।सूत्रों में प्रयोग किए जाने वाले संकेतों,प्रतीकों तथा चिन्हों का अर्थ ठीक से समझ लेना चाहिए।सूत्रों को केवल रटकर या याद करके प्रयोग करने से सवालों को ठीक से हल नहीं किया जा सकता है।इसलिए सूत्र स्थापित करने की क्रियाविधि तथा प्रतीकों का अर्थ समझकर सूत्रों को याद करना चाहिए।
  • सूत्रों के आधार पर गणित के सवाल तत्काल तथा शुद्धता के साथ हल किए जा सकते हैं।परंतु सूत्रों को समझने के बाद उस पर आधारित उदाहरणों को हल करना चाहिए जिससे सूत्रों में प्रयुक्त संकेतों,प्रतीकों की कॉन्सेप्ट स्पष्ट हो जाएगी।इसके पश्चात ही एक्सरसाइज (प्रश्नावली) के सवालों को हल करना चाहिए।सूत्रों को केवल रटकर या याद करके सवालों को हल करने की आदत नहीं डालनी चाहिए।
  • उदाहरणार्थ:\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
    स्टेप:1.12^3 का क्या अर्थ है? 12×12×12
    स्टेप:2.12 को क्या (10+2) के रूप में लिखा जा सकता है? (10+2)×(10+2)×(10+2)
    स्टेप:3.\left(10+2\right)^2 का मान किस प्रकार ज्ञात करेंगे?
    (10+2)×(10+2)
    =10(10+2)+2(10+2)
    =100+20+20+4
    =144
    स्टेप:4.\left(10+2\right)^3 का मान कैसे ज्ञात करेंगे?
    \Rightarrow\left(10+2\right)^2\left(10+2\right)
    \Rightarrow144\left(10+2\right)
    \Rightarrow\left(1440+288\right)
    \Rightarrow1728
    (a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)
    \Rightarrow a^2+ab+ab+b^2
    \Rightarrow a^2+2ab+b^2
    स्टेप:5.\left(a+b\right)^3 का मान कैसे ज्ञात करेंगे?
    \Rightarrow\left(a+b\right)\left(a+b\right)^2
    \Rightarrow\left(a+b\right)\left(a^2+2ab+b^2\right)
    \Rightarrow a\left(a^2+2ab+b^2\right)+b\left(a^2+2ab+b^2\right)
    \Rightarrow a^3+2a^2b+a^2b+2ab^2+ab^2+b^3
    \Rightarrow a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
    स्टेप:6.\Rightarrow\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
    इसी प्रकार दो संख्याओं के अंतर के उदाहरणों को लेकर छात्र-छात्राओं को \left(a-b\right)^2,\left(a^2-b^2\right),\left(a-b\right)^3,\\ a^3-b^3,a^3+b^3,\left(a+b\right)^2 इत्यादि के सूत्रों को समझाया जा सकता है।
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2.सूत्रों को पढ़ते-पढ़ाते समय ध्यान रखी जाने वाली बातें (Things to keep in mind while reading and teaching formulas):

  • (1.)सूत्र एक प्रकार की संक्षिप्त सांकेतिक भाषा है इसलिए संकेतों का अर्थ भली प्रकार समझ लेना चाहिए।
  • (2.)सूत्र में अज्ञात चर होते हैं जिनमें अज्ञात चर को आंकिक मान दिया जा सकता है।
  • (3.)सूत्रों द्वारा सवालों को शीघ्रता से तथा संक्षिप्त में हल किया जा सकता है।
  • (4.)सूत्रों को अंकगणितीय संबंधों द्वारा व्यक्त करके ठीक से समझा जा सकता है।क्योंकि अज्ञात कर के बजाय आंकिक मानो की कॉन्सेप्ट छात्र-छात्राओं को ठीक से समझ में आ जाती है। आंकिक मान एक प्रकार के स्थूल तथ्य होते हैं।
  • (5.)सूत्रों का प्रयोग केवल रटकर या याद करके नहीं करना चाहिए बल्कि उनको समझकर प्रयोग करना चाहिए।
  • (6.)सूत्रों के प्रयोग करने से बीजगणित,ज्यामिति के द्वारा छात्र-छात्राओं का मानसिक विकास होता है। क्योंकि सूत्र संक्षिप्त होते हैं इसलिए पहले मानसिक रूप से गणना कार्य करना होता है।
  • (7.)सूत्रों के प्रयोग से संबंधित टॉपिक की वैचारिक व तार्किक कांसेप्ट स्पष्ट हो जाती है।इससे छात्र-छात्राओं की चिंतन व तार्किक क्षमता का विकास होता है।
  • (8.)सूत्र गणित के सिद्धांतों,कथनों तथा प्रमेयों के संबंधों को व्यक्त करता है।
  • (9.)सूत्रों का प्रयोग करते समय उन बातों तथा परिस्थितियों को भी जानना चाहिए जिनमें संबंधित सूत्र का प्रयोग नहीं किया जा सकता है।
  • (10.)गणित की लगभग सभी शाखाओं यथा अंकगणित,बीजगणित,ज्यामिति,अवकलन गणित,समाकलन गणित में सूत्रों का उपयोग करना लाभदायक सिद्ध होता है।
  • सूत्रों को शब्दों में व्यक्त करने का अभ्यास भी करना चाहिए इससे छात्र-छात्राओं को सूत्रों को समझने में सहायता मिलेगी।
    जैसे:\left(a \pm b\right)^2=\left(a^2\pm 2ab+b^2\right)
    को भाषा में व्यक्त किया जाता है  “दो राशियों के योग या अंतर का वर्ग,उनमें अलग-अलग वर्गों के योग तथा क्रमश: उनके गुणनफल में दुगुने के बराबर अधिक या कम होता है।

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3.सूत्रों से संबंधित मुख्य तथ्य (HIGHLIGHTS related to Formulae):

  • (1.)विभिन्न प्रतियोगिता परीक्षाओं जेईई-मेन,जेईई-एडवांस (आईआईटी),इंजीनियरिंग गेट (GATE),बैंक इत्यादि में शीघ्रतापूर्वक तथा कम समय में सूत्रों का प्रयोग उपयोगी सिद्ध होता है।
  • (2.)सवालों की गणना लम्बी-चौड़ी हो तो सूत्रों की सहायता से बहुत कम स्टेप्स तथा संक्षिप्त रूप में हल किया जा सकता है।
  • (3.)सूत्र मूर्त उदाहरणों से ठीक से समझ में आता है।इसलिए अधिक से अधिक मूर्त उदाहरणों को हल करने का अभ्यास करना चाहिए।
  • (4.)सूत्रों का प्रयोग करते समय मस्तिष्क को अधिक से अधिक सक्रिय रखना चाहिए।केवल यांत्रिक रूप से सूत्रों का प्रयोग नहीं करना चाहिए।
  • (5.)सूत्रों में अचर (स्थिरांक) और चर राशियों का प्रयोग होता है।इसलिए इनके बीच अंतर को समझना चाहिए।
  • (6.)सूत्र प्रतीकात्मक संकेतन के कथन है।
  • (7.)सूत्रों में चर राशियों अथवा अज्ञात राशियों में अंतर्संबंध होता है।
  • (8.)सूत्र दो प्रकार से चर राशियों के किसी संबंध की समानता को स्पष्ट करता है।
  • (9.)सूत्र गणितीय भाषा का प्रतीकात्मक रूपांतरण है।
  • (10.)सूत्रों के प्रयोग करने की जानकारी अनुभव के साथ बढ़ती जाती है।

4.सूत्रों का अध्यापन का सारांश (Conclusion of Teaching of Formulae):

  • उपर्युक्त विवरण से सूत्रों के प्रयोग की महत्ता स्पष्ट है।अन्य विषयों तथा गणित विषयों को पढ़ना-पढ़ाने में अंतर है।अन्य विषयों को पढ़कर तथा याद करके पारंगत हो सकते हैं।परंतु गणित विषय को समझकर ही पारंगत हो सकते हैं।गणित विषय की प्रकृति अन्य विषयों से बिल्कुल हटकर है।अन्य विषयों में एक टॉपिक अन्य टॉपिक से अंतर्संबंधित नहीं होते हैं।इसलिए किसी एक टाॅपिक को छोड़कर अन्य टॉपिक को पढ़ा जा सकता है।परंतु गणित विषय में प्रत्येक टॉपिक आपस में अंतर्संबंधित होते हैं।
  • गणित विषय संकल्पनाओं तथा गूढ़ विचारों की विषय सामग्री है।इसलिए इस प्रकार के विषय को सूत्रों की सहायता से आसानी से समझा जा सकता है।क्योंकि अमूर्त विचारों और आकृतियों को समझने में छात्र-छात्राओं को कठिनाई महसूस होती है।छात्र छात्राएं मूर्त टाॅपिक को आसानी से समझ लेते हैं।परंतु सूत्रों के द्वारा गणित को समझने में काफी हद तक सुगमता तथा आसानी हो जाती है। इसलिए सूत्रों को मूर्त उदाहरणों और टॉपिक से अधिक से अधिक समझने का प्रयास करना चाहिए।
    उपर्युक्त विवरण में सूत्रों का अध्यापन (Teaching of Formulae),गणितीय सूत्रों का अध्यापन (Teaching of Mathematical Formulae) के बारे में बताया गया है।

5.सूत्रों का अध्यापन (Teaching of Formulae),गणितीय सूत्रों का अध्यापन (Teaching of Mathematical Formulae) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.बुनियादी गणित के फार्मूले क्या हैं? (What are Basic Mathematics Formulas?):

उत्तर:आयत की परिधि (Perimeter of a rectangle)=2(लंबाई + चौड़ाई) [2 (length + width)]
आयत का क्षेत्रफल (Area of rectangle)=लंबाई × चौड़ाई (length × width)।
एक वर्ग की परिधि (The perimeter of a square)=4 × भुजा की लंबाई (4 × side length।
वर्ग का क्षेत्रफल (Area of square)=साइड लंबाई × साइड लंबाई (Side length × side length)।
घनाभ का आयतन (The volume of cuboid)=लंबाई × चौड़ाई ×ऊंचाई (length × width × height)
लाभ (Profit)=बिक्री मूल्य (Selling price)- लागत मूल्य (cost price)।

प्रश्न:2.सबसे महत्वपूर्ण गणित फार्मूले क्या हैं? (What are the most important math formulas?):

उत्तर:पाइथागोरस प्रमेय (The Pythagorean Theorem)।
लघुगणक और उसकी सर्वसमिकाएं (The logarithm and its identities)।
कलन का मौलिक प्रमेय (The fundamental theorem of calculus)।
न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम (Newton’s universal law of gravitation)।
सम्मिश्र संख्याओं की उत्पत्ति (The origin of complex numbers)।
पॉलीहेड्रा के लिए यूलर का फॉर्मूला (Euler’s formula for polyhedra)।
सामान्य बंटन (The normal distribution)। 
तरंग समीकरण (The wave equation)।

प्रश्न:3.प्रसिद्ध गणित फार्मूला क्या है? (What is famous math formula?):

उत्तर:सापेक्षता का सिद्धांत (The Theory of Relativity)
चाहे एक गणित या भौतिकी में निपुण है या गणित की शब्दावली के कुछ भी नहीं जानता है,हर कोई अल्बर्ट आइंस्टीन (Albert Einstein) के प्रसिद्ध फार्मूला जानता है: E=mc² ।

प्रश्न:4.बीजगणित के सूत्र क्या हैं? (What are the formulas for algebra?):

उत्तर:बीजगणित फार्मूला
a² – b² = (a-b)(a+b)
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² – 2ab + b²
a² + b² = (a-b)² +2ab.
(a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc.
(a-b-c)² = a²+b²+c²-2ab-2ac+2bc.
a³-b³ = (a-b) (a² + ab + b²)
a³+b³ = (a+b) (a² – ab + b²)

प्रश्न:5.गणित में शीर्ष 5 सूत्र क्या हैं? (What are the top 5 formulas in math?):

उत्तर:प्री-बीजगणित/प्राथमिक बीजगणित
अंकगणितीय माध्य (औसत)=मूल्यों का योग/मूल्यों की संख्या
प्रायिकता (Probability)=लक्ष्य परिणाम/कुल परिणाम (Target outcomes / Total outcomes)।
द्विघात फार्मूला (Quadratic Formula):x=\frac{− b ± √b²-4ac}{2a}
दूरी फॉर्मूला:d=√(x₁ – x₂)²+ (y₁ – y₂)²
ढाल फार्मूला (Slope Formula): ढलान (Slope)= \frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}
ढाल अन्तखण्ड फाॅर्मूला (Slope Intercept):y =mx +c।

प्रश्न:6.गणित में e का क्या मतलब है? (What does E mean in math?):

उत्तर:सांख्यिकी में,प्रतीक e लगभग 2.71828183 के बराबर एक गणितीय अचर है।
2.3e^{-5},का अर्थ है e की माइनस पांच घात का 2.3 गुना या 0.000023।2.3e^{6} का अर्थ है छठी घात के लिए 4.5 गुना दस या 4500000 जो 4,500,000 के समान है।

प्रश्न:7.क्या सभी सूत्र समीकरण हैं? (Are all formulas equations?):

उत्तर:यदि आप समीकरण को समान चिन्ह वाले कथन के रूप में परिभाषित करते हैं,तो समान चिन्ह वाला हर सूत्र एक समीकरण है।
यदि कोई असमानता (inequalities) नहीं है तो वह फार्मूले हैं।एक समीकरण एक कथन है जो कि एक =चिन्ह के साथ दो अभिव्यक्तियों को जोड़ता है और उनकी समानता का दावा है।

प्रश्न:8.मैथ्स में बोडमास रूल क्या है? (What is Bodmas rule in maths?):

उत्तर:BODMAS नियम बच्चों को गणितीय संक्रिया के क्रम को याद रखने में मदद करने के लिए एक संक्षिप्त शब्द है-सही क्रम जिसमें गणित की समस्याओं को हल करने के लिए।बोडमास (BODMAS) B-Brackets (कोष्ठक),O-Orders (ऑर्डर) (घातें/सूचकांक या मूल)(powers/indices or roots),D-Division(डिवीजन),M-Multiplication (गुणा),A-Addition (जोड़), S-Subtraction (घटाव) के लिए खड़ा है ।

प्रश्न:9.बोडमास गलत क्यों है? (Why Bodmas is wrong?):

उत्तर:इसके अक्षर कोष्ठक,क्रम (घातों के अर्थ में), विभाजन गुणा,जोड़,घटाव के लिए खड़े हो जाओ ।
इसमें कोई कोष्ठक,घातें,विभाजन या गुणा नहीं है ताकि हम BODMAS का पालन करेंगे और घटाव के बाद जोड़ करते हैं:यह गलत है।

प्रश्न:10.पेमदास किस लिए खड़े हैं? (What does Pemdas stand for?):

उत्तर:सातवीं कक्षा में याद है जब आप गणित कक्षा में संक्रिया के क्रम पर चर्चा कर रहे थे और शिक्षक तुम्हें आकर्षक परिवर्णी (acronyms) शब्द कहा, “PEMDAS” (कोष्ठक,प्रतिघात,गुणा,विभाजन, जोड़,घटाव) (parenthesis,exponents, multiplication, division, addition, substraction) मदद करने के लिए आप याद है? यादगार परिवर्णी शब्द अवधारणाओं को याद करने का एकमात्र तरीका नहीं हैं।

प्रश्न:11.गणित के सूत्र क्या है? (What is Mathematics Formulas?):

उत्तर:सीबीएसई कक्षा 6 से 12 के लिए बेसिक मैथ्स फॉर्मूले।
बुनियादी गणित फार्मूले a^2 + b^2= c,y = mx+ c · d = rt · कुल लागत=(इकाइयों की संख्या) × (मूल्य प्रति यूनिट) (total cost = (number of units) × (price per unit)) ·
X=\left[\frac{-b ± √ (b^2 – 4ac)}{2a}\right]
a^m × b^m=\left(a × b\right)^m
बीजगणित सूत्र: पाइथागोरस प्रमेय; ढाल अन्त:खण्ड रूप के समीकरण के रूप में।
मध्य बिंदु फार्मूला:M=\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)
त्रिकोणमितीय सूत्र: साइन फ़ंक्शन; कोसाइन फ़ंक्शन;टेन्जेन्ट फंक्शन
दूरी फार्मूला:डी= √
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उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सूत्रों का अध्यापन (Teaching of Formulae),गणितीय सूत्रों का अध्यापन (Teaching of Mathematical Formulae) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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प्रश्नों के उत्तर द्वारा सूत्रों का अध्यापन (Teaching of Formulae)

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सूत्रों का अध्यापन (Teaching of Formulae) का अध्यापन किस प्रकार किया जाए क्योंकि गणित में सूत्रों एवं सूत्रों के निर्धारण व सूत्रों का प्रतिस्थापन का महत्त्वपूर्ण स्थान है।गणित में सूत्रों के बिना गणित की कल्पना भी नहीं की जा सकती है (Teaching of Formulae).

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