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Surface Area of a Cylinder

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1 1.लम्ब वृत्तीय बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of a Cylinder),लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (The Curved Surface Area of a Right Circular Cylinder):

1.लम्ब वृत्तीय बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of a Cylinder),लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (The Curved Surface Area of a Right Circular Cylinder):

लम्ब वृत्तीय बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of a Cylinder) से तात्पर्य सामान्यतः बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल से होता है।लम्बवृत्तीय बेलन का आधार वृत्ताकार होता है।बेलन की आकृति आयताकार शीट से बनाई जा सकती है।इसके लिए कागज की एक आयताकार शीट ऐसी लीजिए जिसकी लम्बाई ऐसी हो कि कागज बेलन के चारों ओर बस एक बार घूम जाए और उसकी चौड़ाई बेलन की ऊँचाई के बराबर हो।
इस शीट का क्षेत्रफल हमें बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल देगा।शीट की लम्बाई वृत्तीय आधार की परिधि के बराबर है जो 2 \pi r है।

अतः बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=आयताकार शीट का क्षेत्रफल=लम्बाई×चौड़ाई
=बेलन के आधार का परिमाप×ऊँचाई

=2 \pi r \times h
अतः बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved Surface Area of Cylinder)=2 \pi r h
जहाँ r बेलन के आधार की त्रिज्या है और h उसकी ऊँचाई है।
बेलन की स्थिति में जब तक अन्यथा न कहा जाए, ‘बेलन की त्रिज्या’ से तात्पर्य उसके आधार की त्रिज्या से है।तथा बेलन से तात्पर्य लम्ब वृत्तीय बेलन से होगा।
यदि बेलन के ऊपरी और निचले सिरों को ढकना हो तो हमें दो वृत्तों (वास्तव में वृत्ताकार क्षेत्रों) की और आवश्यकता पड़ेगी जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या r होगी और क्षेत्रफल \pi r^{2}  होगा।तब इसमें हमें बेलन का सम्पूर्ण या कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi r h+2 \pi r^{2}=2 \pi r(h+r) प्राप्त होगा।
बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area of Cylinder)=2 \pi r(h+r)
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2.लम्ब वृत्तीय बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Surface Area of a Cylinder):

Example:1.ऊँचाई 14 सेमी वाले एक लम्बवृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 वर्गसेमी है।बेलन के आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
Solution:h=14cm
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi r h =88 वर्गसेमी

\Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 14=88 \\ \Rightarrow r=\frac{88 \times 7}{2 \times 22 \times 14} \\ \Rightarrow r=1
व्यास=2r=2×1=2cm
Example:2.धातु की एक चादर से 1m ऊँची और 140cm व्यास के आधार वाली एक बन्द बेलनाकार टंकी बनाई जाती है।इस कार्य के लिए कितने वर्ग मीटर चादर की आवश्यकता होगी?
Solution:h=1m, r=\frac{140}{2}=70 cm=0.70 m
बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi r(h+r)\\=2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times(1+0.7) \\ =2 \times 22 \times 0.1 \times 1.7 \\ =7.48 वर्ग मीटर
Example:3.धातु का एक पाइप 77cm लम्बा है।इसके एक अनुप्रस्थ काट का आन्तरिक व्यास 4cm है और बाहरी व्यास 4.4cm है (देखिए आकृति)।ज्ञात कीजिए:

(i)आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii)बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(iii)कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
Solution:h=77cm,R=बाह्य त्रिज्या=\frac{44}{2}=22 सेमी , अन्त:त्रिज्या=r=\frac{4}{2}=2 सेमी
(i)आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi r(h+r) \\ =2 \times \frac{22}{7} \times 2 \times 77 \\ =968 वर्गसेमी
(ii)बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi rh \\ =2 \times 22 \times 2.2 \times 77 \\ =1064.80 वर्गसेमी
(iii)कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi r h+2 \pi R h+2 \pi R^{2}-2 \pi r^{2} \\=2 \pi h(r+R)+2 \pi\left(R^{2}-r^{2}\right) \\=2 \pi h(r+R)+2 \pi (R+r)(R-r) \\=(r+R)(2 \pi h+2 \pi R-2 \pi r) \\=2 \pi(r+R)(h+R-r) \\ =2 \times \frac{22}{7} \times(2+2.2)(77+2.2-2) \\=\frac{2 \times 22}{7} \times 4.2 \times(77+0.2) \\ =2 \times \frac{22}{7} \times 4.2 \times 77.2 \\ =2038.08 वर्गसेमी
Example:4.एक रोलर (roller) का व्यास 84cm है और लम्बाई 120cm है।एक खेल के मैदान को एक बार समतल करने के लिए 500 चक्कर लगाने पड़ते हैं।खेल के मैदान का वर्गमीटर में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution: r=\frac{84}{2} cm=42 cm =0.42 m
h=120cm=1.20m
रोलर का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=2 \pi r h \\ =2 \times \frac{22}{7} \times 0.42 \times 1.20 \\=3.168 वर्गमीटर
500 चक्कर लगाने पर तय किया गया क्षेत्र=मैदान का क्षेत्रफल=500 × 3.168
=1584 वर्गमीटर
Example:5.किसी बेलनाकार स्तम्भ का व्यास 50cm है और ऊँचाई 3.5m है।12.50 रुपए प्रति वर्गमीटर की दर से इस स्तम्भ के वक्र पृष्ठ पर पेन्ट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
Solution: r=\frac{50}{2} cm=25 cm=0.25 m
h=3.5m
बेलनाकार स्तम्भ का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=2 \pi r h \\=2 \times \frac{22}{7} \times 0.25 \times 3.5 \\=5.5 वर्गमीटर
पेन्ट कराने का व्यय=5.5 × 12.50=68.75 रुपए
Example:6.एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4.4 वर्गमीटर है।यदि बेलन के आधार की त्रिज्या 0.7m है,तो उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:r=0.7m
लम्बवृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=4.4 वर्गमीटर

\Rightarrow 2 \pi r h=4.4 \\ \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times h=4.4 \\ \Rightarrow h=\frac{4.4 \times 7}{2 \times 22 \times 0.7} \\ \Rightarrow h=1 मीटर

Example:7.किसी वृत्ताकार कुएँ का आन्तरिक व्यास 3.5m है और यह 10m गहरा है।ज्ञात कीजिए:
(i)आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii)40 रुपए प्रति वर्गमीटर की दर से इसके वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय।
Solution: r=\frac{3.5}{2} m=1.75 m ,h=10m
(i)आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi r h \\ =2 \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 10 \\ =110 वर्गमीटर
(ii)वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय=110 × 40
=4400 रुपये
Example:8.गरम पानी द्वारा गरम रखने वाले एक संयत्र में 28m लम्बाई और 5cm व्यास वाला एक बेलनाकार पाइप है।इस संयत्र में गर्मी देनेवाला कुल कितना पृष्ठ है?
Solution: h=28m, r=\frac{5}{2}=2.5 सेमी =0.025 मीटर
बेलनाकार पाइप का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi rh \\ =2 \times \frac{22}{7} \times 0.025 \times 28 \\ =2 \times \frac{22}{7} \times 0.025 \times 28 \\=4.4 वर्गमीटर
Example:9.ज्ञात कीजिए:
(i)एक बेलनाकार पेट्रोल की बंद टंकी का पार्श्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल जिसका व्यास 4.2 है और ऊँचाई 4.5m है।
(ii)इस टंकी को बनाने में कुल कितना इस्पात (steel) लगा होगा,यदि कुल इस्पात का \frac{1}{12} भाग बनाने में नष्ट हो गया है।
Solution: r=\frac{4.2}{2} m=2.1 m
h=4.5m
(i)बेलनाकार टंकी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi r h \\ =2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 4.5 \\=59.4 वर्गमीटर
(ii)माना इस्पात का कुल क्षेत्रफल=x

टंकी बनाने में नष्ट हुआ=\frac{1}{12} x
टंकी बनाने में प्रयुक्त स्टील का वास्तविक क्षेत्रफल=x-\frac{x}{12}=\frac{11x}{12}

टंकी का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi r (h+r) \\ \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times(4.5+2.1) \\ \Rightarrow \frac{11 x}{12}=2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 6.6 \\ \Rightarrow x=2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 6.6 \times \frac{12}{11} \\ \Rightarrow x=95.04 वर्गमीटर
Example:10.आकृति में आप एक लैंपशेड का फ्रेम देख रहे हैं।इसे एक सजावटी कपड़े से ढका जाना है।इस फ्रेम के आधार का व्यास 20cm है और ऊँचाई 30cm है।इस फ्रेम के ऊपर और नीचे मोड़ने के लिए दोनों ओर 2.5cm अतिरिक्त कपड़ा भी छोड़ा जाना है।ज्ञात कीजिए कि लैंपशेड को ढकने के लिए कितने कपड़े की आवश्यकता होगी।

Solution: r=\frac{20}{2}=10 cm
बेलन की ऊँचाई=h=30cm+2.5cm+2.5cm
=35cm
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल= 2 \pi r h\\ =2 \times \frac{22}{7} \times 10 \times 35 \\ =2200
Example:11.किसी विद्यालय के विद्यार्थियों से एक आधार वाले बेलनाकार कलमदानों को गत्ते से बनाने और सजाने की प्रतियोगिता में भाग लेने के लिए कहा गया।प्रत्येक कलमदान को 3cm त्रिज्या और 10.5cm ऊँचाई का होना था।विद्यालय को इसके लिए प्रतिभागियों को गत्ता देना था।यदि इसमें 35 प्रतिभागी थे तो विद्यालय को कितना गत्ता खरीदना पड़ा होगा?
Solution:r=3cm,h=10.5cm
कलमदान बनाने के लिए गत्ते का पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \times \frac{22}{7} \times 3 \times 10.5+\frac{22}{7} \times 3 \times 3 \\ =198+\frac{198}{7} \\=\frac{1386+198}{7} \\=\frac{1584}{7} 
35 प्रतिभागियों के लिए गत्ते का क्षेत्रफल=\frac{1584}{7} \times 35 \\ =7920 वर्गसेमी
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा लम्ब वृत्तीय बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of a Cylinder),लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (The Curved Surface Area of a Right Circular Cylinder) को समझ सकते हैं।

3.लम्ब वृत्तीय बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल पर आधारित सवाल (Questions Based on Surface Area of a Cylinder):

(1.)एक 21 मीटर गहरा और 6 मीटर व्यास वाला कुआँ बनाने के लिए कितने घन मीटर मिट्टी खोदनी पड़ेगी?यह भी ज्ञात कीजिए कि कुएँ की आन्तरिक सतह को 95 रुपए प्रति वर्गमीटर की दर से प्लास्टर करवाने में खर्च क्या होगा?
(2.)एक खोखले बेलन की मोटाई 2सेमी है।इसका भीतरी व्यास 14 सेमी तथा ऊँचाई 26 सेमी है।बेलन के दोनों सिरे खुले हुए हैं।खोखले बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)594 घनमीटर,37620 रुपये
(2.)2816 वर्गसेमी
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर लम्ब वृत्तीय बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of a Cylinder),लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (The Curved Surface Area of a Right Circular Cylinder) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.लम्ब वृत्तीय बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of a Cylinder),लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (The Curved Surface Area of a Right Circular Cylinder) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.वृत्तीय बेलन से आप क्या समझते हैं? (What is meant by circular cylinder?):

उत्तर:ऐसी वस्तुएं जिसमें एक पार्श्व पृष्ठ (lateral surface) और सर्वांगसम वृत्तीय अनुप्रस्थ काट (cross section) हो वृत्तीय बेलन (circular cylinder) कहलाता है।

प्रश्न:2.लम्बवृत्तीय बेलन का क्या अभिप्राय है? (What is meant by right circular cylinder?):

उत्तर:यदि बेलन का अक्ष वृत्तीय अनुप्रस्थ काट पर लम्ब है तो उस बेलन को लम्ब वृत्तीय बेलन (Right Circular Cylinder) कहते हैं।

प्रश्न:3.निम्नलिखित पर संक्षिप्त टिप्पणियां लिखो (Write short notes on the following):
(i)बेलन का अक्ष (Axis of cylinder)
(ii)बेलन की त्रिज्या (Radius of Cylinder)
(iii)बेलन का आधार (Base of Cylinder)

उत्तर:(i)बेलन का अक्ष (Axis of cylinder): वृत्तीय अनुप्रस्थ काटों के केन्द्रों को मिलानेवाली रेखा को बेलन का अक्ष कहते हैं।
(ii)बेलन की त्रिज्या (Radius of Cylinder): बेलन के वृत्तीय सिरे की त्रिज्या को बेलन की त्रिज्या कहते हैं।
(iii)बेलन का आधार (Base of Cylinder): बेलन को उर्ध्वाधर स्थिति में रखने पर नीचे के वृत्तीय सिरे को बेलन का आधार कहते हैं।

प्रश्न:4.बेलन का जनक किसे कहते हैं? (What are generators?):

उत्तर:बेलन के पार्श्व पृष्ठ पर स्थित वृत्तीय सिरों के केन्द्र बिन्दुओं को मिलानेवाली रेखा के समान्तर वे रेखाएँ जो पार्श्व पृष्ठ पर स्थित हैं बेलन का जनक कहलाती हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा लम्ब वृत्तीय बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of a Cylinder),लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (The Curved Surface Area of a Right Circular Cylinder) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Surface Area of a Cylinder

लम्ब वृत्तीय बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल
(Surface Area of a Cylinder)

Surface Area of a Cylinder

लम्ब वृत्तीय बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of a Cylinder) से तात्पर्य सामान्यतः
बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल से होता है।लम्बवृत्तीय बेलन का आधार वृत्ताकार होता है।बेलन
की आकृति आयताकार शीट से बनाई जा सकती है।

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