1.गोले के आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण का परिचय (Introduction to Important Examples of Volume of Sphere),गोले का आयतन कक्षा 9 (Volume of Sphere Class 9):

Important Examples of Volume of Sphere

गोले के आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Volume of Sphere) के इस आर्टिकल में गोले के आयतन से सम्बन्धित महत्त्वपूर्ण सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।

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2.गोले के आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Volume of Sphere):

Example:1.एक धातु के गोले की त्रिज्या 14 सेमी है।इसका आयतन ज्ञात कीजिए ।
Solution:गोले की त्रिज्या (r)=14 सेमी
गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^3 \\ =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 14 \\ =\frac{241472}{21} \\ =11498.666 \\ \approx 11498.67 घनसेमी
Example:2.एक अर्द्धगोले की त्रिज्या 4.5 सेमी है।इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:r=4.5 सेमी
अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=3 \pi r^2 \\ =3 \times \frac{22}{7} \times 4.5 \times 4.5 \\ =\frac{1336.5}{7} \\ =190.928 \\ \approx 190.93  वर्गसेमी
अर्द्धगोले का आयतन=\frac{2}{3} \pi r^3 \\ =\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 4.5 \times 4.5 \times 4.5 \\ =\frac{4009.5}{21} \\ =190.928 \\ \approx 190.93  घन सेमी
Example:3.यदि एक गोले का आयतन 38808 घनसेमी है,तो गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^3=38808 \\ r^3=\frac{38808}{\frac{4}{3} \times \pi} \\ =\frac{38800}{\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}} \\ =\frac{38808 \times 3 \times 7}{4 \times 22} \\ =\frac{814968}{88} \\ =9261 \\ \Rightarrow r^3=(21)^3 \\ \Rightarrow r=21 सेमी
अतः गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल=4 \pi r^2 =4 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \\ =\frac{38808}{7} \\ =5544  वर्गसेमी
Example:4.एक सीसे के ठोस गोले,जिसकी त्रिज्या 8 सेमी है।गोले को पिघलाकर 1 सेमी त्रिज्या वाली कितनी गोलियाँ बनाई जा सकती है?
Solution:गोले की त्रिज्या (r)=8 सेमी
अतः गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^3 \\ =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 8 \times 8 \times 8 \\ =\frac{45056}{21} घनसेमी
एक गोली का आयतन=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 1 \times 1 \times 1 \\ =\frac{88}{21} घनसेमी
अतः गोलियों की संख्या=\frac{\text{गोले का आयतन}}{\text{एक गोली का आयतन}} \\ =\frac{\frac{45056}{21}}{\frac{88}{21}}=\frac{45056}{21} \times \frac{21}{88} \\=512

Important Examples of Volume of Sphere

Example:5.सीसे के एक गोले की त्रिज्या 5 सेमी है।इससे 5 मिमी त्रिज्या की कितनी गोलियाँ बन सकती हैं?
Solution:सीसे के गोले की त्रिज्या (r)=5 सेमी
सीसे के गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^3 \\ =\frac{4}{3} \times \frac{22}{5} \times 5 \times 5 \times 5 \\ =\frac{11000}{21} घनसेमी
गोली का आयतन=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.5 \times 0.5 \times 0.5
(5 मिमी=0.5 सेमी)

=\frac{11}{21}
गोलियों की संख्या=\frac{\text{सीसे के गोले का आयतन}}{\text{एक गोली का आयतन}} \\ =\frac{\frac{11000}{21}}{\frac{11}{21}} \\ =\frac{11000}{21} \times \frac{21}{11} \\ =1000 गोलियाँ
Example:6.एक गोले का व्यास 0.7 सेमी है।एक पानी की टंकी से 3000 गोले पूर्ण रूप से भरकर पानी बाहर निकाला जाता है,तो बाहर निकलने वाले पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:गोले की त्रिज्या=\frac{0.7}{2} सेमी
एक गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^3 \\ = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{0.7}{2} \times \frac{0.7}{2} \times \frac{0.7}{2} \\=\frac{30.184}{168}
3000 गोलों का आयतन=3000 \times \frac{30.184}{168} \\ =\frac{90552}{168} \\=539
अतः बाहर निकलने वाले पानी का आयतन=539 घनसेमी
Example:7.सीसे के 3 सेमी व्यास वाले एक गोले को पिघलाकर तीन गोलियों में परिवर्तित किया जाता है।इनमें से दो गोलियों के व्यास 1 सेमी और 1.5 सेमी है।तीसरी गोली का व्यास ज्ञात कीजिए।
Solution:सीसे के गोले की त्रिज्या (r)=\frac{3}{2} सेमी=1.5 सेमी
पहली गोली की त्रिज्या \left(r_1\right)=\frac{1}{2} सेमी=0.5 सेमी
दूसरी गोली की त्रिज्या \left(r_2\right)=\frac{1.5}{2} सेमी=0.75 सेमी
तीसरी गोली की त्रिज्या r_3=?
तीनों गोलियों का आयतन=\frac{4}{3} \pi r_1^3+\frac{4}{3} \pi r_2^3+\frac{4}{3} \pi r_3^3
तीनों गोलियों का आयतन=सीसे के गोले का आयतन

\Rightarrow \frac{4}{3} \pi r_1^3+\frac{4}{3} \pi r_2^3+\frac{4}{3} \pi r_3^3=\frac{4}{3} \pi r^3 \\ \Rightarrow \frac{4}{3} \pi\left(r_1^3+r_2^3+r_3^3\right)=\frac{4}{3} \pi r^3 \\ \Rightarrow r_1^3+ r_2^3+r_3^3=r^3 \\ \Rightarrow(0.5)^3+(0.75)^3+r_3^3=(1.5)^3 \\ \Rightarrow 0.25+0.421875 +r_3^3=3.375 \\ \Rightarrow 0.546875+r_3^3=3.375 \\ \Rightarrow r_3^3=3.375-0.546875 \\ \Rightarrow r_3^3=2.828125 \\ =\frac{2828125}{1000000} \\ =\frac{181}{64} \\ \Rightarrow r_3=\left(\frac{181}{64}\right)^{\frac{1}{3}} \\ \Rightarrow r_3=\frac{1}{4}(181)^{\frac{1}{3}}
अतः तीसरी गोली का व्यास=2 r_3 \\ =\frac{1}{2}(181)^{\frac{1}{3}} सेमी
Example:8.5 सेमी व्यास वाला एक गोला,पानी से आंशिक भरे एक बेलनाकार बर्तन में डाला जाता है।बर्तन के आधार का व्यास 10 सेमी है।यदि गोला पूर्णतया पानी में डूबा हो,तो पानी का स्तर कितना ऊपर उठ जायेगा?
Solution:गोले की त्रिज्या (r)=\frac{5}{2} सेमी=2.5 सेमी
गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^3 \\ =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.5 \times 2.5 \times 2.5 \\ =\frac{1375}{21}
बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या (r)=\frac{10}{2} सेमी=5 सेमी
बेलनाकार बर्तन का आयतन=\pi r^2 h \\=\frac{22}{7} \times 5 \times 5 \times h \\ =\frac{550}{7} h \\\frac{550 h}{7} =\frac{1375}{21} \\ \Rightarrow h =\frac{1375}{21} \times \frac{7}{550} \\ =\frac{1375}{1650} \\ \Rightarrow h =\frac{5}{6} सेमी
Example:9.सीसे के एक गोलीय कोश को,जिसका बाह्य व्यास 18 सेमी है,पिघलाकर पुनः एक ठोस लम्बवृत्तीय बेलन के रूप में ढाला जाता है,जिसकी ऊँचाई 8 सेमी और आधार का व्यास 12 सेमी है।कोश का आन्तरिक व्यास ज्ञात कीजिए।
Solution:गोलीय कोश की बाह्य त्रिज्या \left(r_1\right)=\frac{18}{2}=9 सेमी
गोलीय कोश का आयतन=\frac{4}{3} \pi\left(r_1^3-r^3_2\right) \\ =\frac{4}{3} \pi\left(9^3-r_2^3\right) \\=\frac{4}{3} \pi\left(729-r_2^3\right)
लम्बवृत्तीय बेलन की त्रिज्या (r)=\frac{12}{2} सेमी=6 सेमी
लम्बवृत्तीय बेलन की ऊँचाई (h)=8 सेमी
लम्बवृत्तीय बेलन का आयतन= \pi r^2 h =\pi \times 6 \times 6 \times 8 \\ =288 \pi
प्रश्नानुसार:

\frac{4}{3} \pi\left(729-r_2^3\right)=288 \pi \\ \Rightarrow 729-r_2^3 =\frac{288 \pi \times 3}{4 \pi} \\ \Rightarrow 729-r_2^3 =216 \\ \Rightarrow r_2^3 =729-216 \\ \Rightarrow r_2^3 =513 \\ =27 \times 19 \\ \Rightarrow r_2 =(27)^{\frac{1}{3}} \times(19)^{\frac{1}{3}} \\ =3(19)^{\frac{1}{3}}
गोलीय कोश का आन्तरिक व्यास=2 r_2 \\ =2 \times 3(19)^{\frac{1}{3}} \\ =6(19)^{\frac{1}{3}} सेमी

3.गोले के आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Important Examples of Volume of Sphere):

Important Examples of Volume of Sphere

(1.)यदि दो गोलों की त्रिज्याओं का अनुपात 2:3 है,तो उनके आयतन का अनुपात ज्ञात करो।
(2.)5 सेमी त्रिज्या के सीसे के गोले को पिघलाकर एक 20 सेमी ऊँचाई का लम्बवृत्तीय शंकु बनाया जाता है।शंकु के आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)8:27 (2.)5 सेमी

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4.गोले के आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Volume of Sphere),गोले का आयतन कक्षा 9 (Volume of Sphere Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

गोले के आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Volume of Sphere) के इस
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