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Surface Area and Volume Class 9

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1 1.पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 9 (Surface Area and Volume Class 9),घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area Cube and Cuboid):

1.पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 9 (Surface Area and Volume Class 9),घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area Cube and Cuboid):

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 9 (Surface Area and Volume Class 9) में सर्वप्रथम घनाभ और घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना सीखेंगे।घनाभ एवं घन ठोस आकृतियाँ (Solid Figures) होती है।घनाभ व घन में छ: फलक,12 कोरे,चार विकर्ण तथा आठ शीर्ष (कोने) होते हैं।
क्षेत्रफल के मात्रक (unit) को वर्ग इकाई (वर्ग मात्रक) लिया जाता है क्योंकि हम एक क्षेत्र के परिमाण को मापने के लिए उसे मात्रक (या इकाई) लम्बाई की भुजा वाले वर्गों से भरते हैं।
घनाभ व घन के क्षेत्रफल तथा अन्य सूत्र:
(i)घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल=2(lb+bh+hl)
जहाँ l,b और h क्रमशः घनाभ के किनारे (कोर) हैं।
(ii)घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल या चारों दीवारों का क्षेत्रफल:
घनाभ के छ: फलकों (faces) में से केवल चार फलकों के क्षेत्रफल (निचले और ऊपरी फलकों को छोड़कर) घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 2h(l+b) होता है।
(iii)घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल=6a^{2} जहाँ a घन का किनारा है।
(iv)घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल=4a^{2}
(v)घनाभ का विकर्ण=\sqrt{l^{2}+b^{2}+h^{2}}
(vi)घन का विकर्ण=\sqrt{3} a
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2.पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 9 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Surface Area and Volume Class 9):

Example:1.1.5 m लम्बा,1.25 m चौड़ा और 65 cm गहरा प्लास्टिक का एक डिब्बा बनाया जाता है।इसे ऊपर से खुला रखना है।प्लास्टिक शीट की मोटाई को नगण्य मानते हुए,निर्धारित कीजिए:
(i)डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल।
(ii)इस शीट का मूल्य यदि 1 वर्गमीटर शीट का मूल्य 20 रुपए है।
Solution:प्लास्टिक शीट की लम्बाई (l)=1.5 m,चौड़ाई (b)=1.25 m,ऊँचाई (h)=65 cm=0.65 m
ऊपर से खुले प्लास्टिक के डिब्बे के लिए आवश्यक शीट का क्षेत्रफल=lb+2(bh+hl)
=1.5×1.25+2(1.25×0.65+0.65×1.5)
=1.875+2(0.8125+0.975)
=1.875+2×1.7875
=1.875+3.575
=5.45 वर्गमीटर
(ii)शीट का मूल्य=5.45×20 रुपए
=109 रुपए
Example:2.एक कमरे की लम्बाई,चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: 5 m,4 m और 3 m हैं।7.50 रुपए प्रति वर्गमीटर की दर से इस कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
Solution:कमरे की लम्बाई (l)=5m,चौड़ाई (b)=4m,ऊँचाई (h)=3m
कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल=2h(l+b)
=2×3(5+4)=6×9=54 वर्गमीटर
छत का क्षेत्रफल=lb=5×4=20 वर्गमीटर
कमरें की चारों दीवारों और छत का कुल क्षेत्रफल=54+20=74 वर्गमीटर
सफेदी कराने की दर=7.50 रुपए प्रति वर्गमीटर
कमरे की चारों दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय=74×7.50
=555 रुपए
Example:3.किसी आयताकार हाॅल के फर्श का परिमाप 250 m है।यदि 10 रुपए प्रति वर्गमीटर की दर से चारों दीवारों पर पेंट कराने की लागत 15000 रुपए है तो इस हाॅल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:माना आयताकार हाॅल की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः l,b,h है।
फर्श का परिमाम=2(l+b)
2(l+b)=250

\Rightarrow (l+b)=\frac{250}{2} \\ \Rightarrow (l+b)=125
कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल=\frac{\text{दीवार पर पेंट कराने का व्यय}}{\text{पेंट कराने की दर}}

\Rightarrow 2h(l+b)=\frac{15000}{10} \\ \Rightarrow 2h \times 125=1500 \\ \Rightarrow h=\frac{1500}{2 \times 125} \\ \Rightarrow h=6 m
अतः हाॅल की ऊँचाई=6 m
Example:4.किसी डिब्बे में भरा हुआ पेंट 9.375 वर्गमीटर के क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है।इस डिब्बे के पेंट से 22.5cm×10cm×7.5cm विमाओं वाली कितनी ईंट पेंट की जा सकती हैं?
Solution:माना ईंट की लम्बाई,चौड़ाई तथा ऊँचाई क्रमश: l,b,h है।
एक ईंट का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=2(lb+bh+hl)

=2\left ( \frac{22.5}{100} \times \frac{10}{100}+\frac{10}{100} \times \frac{7.5}{100}+\frac{7.5}{100} \times \frac{22.5}{100} \right ) \\ =2\left ( \frac{22.5}{1000} +\frac{7.5}{1000}+ \frac{168.75}{10000} \right ) \\=2\left ( \frac{225+75+168.75}{10000} \right ) \\=\left ( \frac{2 \times 468.75}{10000} \right ) \\=\left ( \frac{937.5}{10000} \right )वर्गमीटर
ईंटों की संख्या जिन पर पेंट किया जाना है=\frac{\text{डिब्बे का क्षेत्रफल}}{\text{एक ईंट का क्षेत्रफल}} \\=\frac{9.375}{\frac{937.5}{10000}} =\frac{9.375 \times 10000}{937.5} =100

Example:5.एक घनाकार डिब्बे का एक किनारा 10cm लम्बाई का है तथा एक अन्य घनाकार डिब्बे की लम्बाई,चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 12.5 cm,10cm और 8cm हैं।
(i)किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक है?
(ii)किस डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है और कितना कम है?
Solution:(i)घनाकार डिब्बे की भुजा (a)=10 cm
घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल=4a^{2}=4 \times 10^{2}=400 वर्गसेमी
घनाभाकार डिब्बे की लम्बाई (l)=12.5 cm,चौड़ाई (b)=10 cm,ऊँचाई (h)=8 cm
घनाभाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल= 2h(b+l)
=2×8(12.5+10)
=16×22.5
=360 वर्गसेमी
अतः घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है=400 वर्गसेमी-360 वर्गसेमी
=40 वर्गसेमी
(ii)घनाकार डिब्बे का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=6a^{2}=6 \times 10^{2}=600 वर्गसेमी
घनाभाकार डिब्बे का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल= 2(lb+bh+hl)
=2(12.5×10+10×8+8×12.5)
=2(125+80+100)
=2×305
=610 वर्गसेमी
घनाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है= 610 वर्गसेमी-600 वर्गसेमी=10 वर्गसेमी
Example:6.एक छोटा पौधा घर (green house) सम्पूर्ण रूप से शीशे की पट्टियों से (आधार भी सम्मिलित है) घर के अन्दर ही बनाया गया है और शीशे की पट्टियों को टेप द्वारा चिपका कर रोका गया है।यह पौधा घर 30 cm लम्बा,25 cm चौड़ा और 25 cm ऊँचा है।
(i)इसमें प्रयुक्त शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल क्या है?
(ii)सभी 12 किनारों के लिए कितने टेप की आवश्यकता है?
Solution:(i)पौधा घर के लिए शीशे की पट्टी की लम्बाई (l)=30 cm,चौड़ाई (b)=25 cm,ऊँचाई (h)=25 cm
शीशे की पट्टियों का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=2(lb+bh+hl)
=2(30×25+25×25+25×30)
=2×(750+625+750)
=2×2125=4250 वर्गसेमी
(ii)12 किनारों पर टेप की लम्बाई=4(l+b+h)
=4(30+25+25)
=4×80=320 cm
Example:7.शांति स्वीट स्टाल अपनी मिठाइयों को पैक करने के लिए गत्ते के डिब्बे बनाने का आर्डर दे रहा था।दो मापों के डिब्बों की आवश्यकता थी।बड़े डिब्बों की माप 25cm×20cm×5cm और छोटे डिब्बों की माप 15cm×12cm×5cm थी।सभी प्रकार की अतिव्यापकता (overlaps) के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के 5% के बराबर अतिरिक्त गत्ता लगेगा।यदि गत्ते की लागत 4 रुपए प्रति 1000 वर्गसेमी है तो प्रत्येक प्रकार के 250 डिब्बे बनवाने की कितनी लागत आएगी?
Solution:बड़े डिब्बों के लिए लम्बाई (l)=25cm,चौड़ाई (b)=20cm,ऊँचाई (h)=5cm
बड़े डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल=2(lb+bh+hl)
=2(25×20+20×5+5×25)
=2(500+100+125)
=2×725
=1450 वर्गसेमी
अतिव्यापकता के लिए गत्ते का क्षेत्रफल=1450 \times \frac{5}{100}=72.5 वर्गसेमी
बड़े डिब्बे का वास्तविक क्षेत्रफल=1450+72.5
=1522.5 वर्गसेमी
250 बड़े डिब्बों का कुल वास्तविक क्षेत्रफल=250×1522.5=380625 वर्गसेमी
गत्ते की लागत=380625 \times \frac{4}{1000}=\frac{1522500}{1000}=1522.50 रुपए
छोटे डिब्बे की लम्बाई (l)15cm,चौड़ाई (b)=12cm, ऊँचाई (h)=5cm
छोटे डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल=2(lb+bh+hl)
=2(15×12+12×5+5×15)
=2(180+60+75)
=2×315
=630 वर्गसेमी
अतिव्यापकता के लिए लगनेवाला गत्ता=630 \times \frac{5}{100}=\frac{3150}{100}=31.50 वर्गसेमी
छोटे डिब्बे का वास्तविक पृष्ठीय क्षेत्रफल=630+31.5=661.5 वर्गसेमी
250 छोटे डिब्बों का कुल वास्तविक पृष्ठीय क्षेत्रफल=661.5×250=165375 वर्गसेमी
छोटे डिब्बे में गत्ते की लागत=165375 \times \frac{4}{1000}=\frac{661500}{1000}=661.50 रुपए
प्रत्येक प्रकार के 250 डिब्बे बनवाने की कुल लागत=1522.50+661.50=2184 रुपए
Example:8.परवीन अपनी कार खड़ी करने के लिए,एक सन्दूक के प्रकार के ढाँचे जैसा एक अस्थाई स्थान तिरपाल की सहायता से बनाना चाहती है,जो कार को चारों ओर से और ऊपर से ढक ले (सामनेवाला फलक लटका हुआ होगा जिसे घुमाकर ऊपर किया जा सकता है)।यह मानते हुए कि सिलाई के समय लगा तिरपाल का अतिरिक्त कपड़ा नगण्य होगा,आधार विमाओं 4 मीटर×3 मीटर और ऊँचाई 2.5 मीटर वाले इस ढाँचे को बनाने के लिए कितने तिरपाल की आवश्यकता होगी?
Solution:ढाँचे की लम्बाई (l)=4 मीटर,चौड़ाई (b)=3 मीटर,ऊँचाई (h)=2.5 मीटर
ढाँचे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल=lb+2(bh+hl)
=4×3+2(3×2.5+2.5×4)
=12+2(7.5+10)
=12+2×17.5
=12+35
=47 वर्गमीटर
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 9 (Surface Area and Volume Class 9),घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area Cube and Cuboid) को समझ सकते हैं।
अतः 47 वर्गमीटर तिरपाल की आवश्यकता होगी।

3.पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 9 की समस्याएँ (Surface Area and Volume Class 9 Problems):

(1.)मैरी अपने क्रिसमस वृक्ष को सजाना चाहती है।वह इस वृक्ष को लकड़ी के एक घनाकार बाॅक्स (box) पर रखना चाहती है जिसे सान्ता क्लाॅज के चित्र के साथ एक रंगीन कागज से ढका जाना है (देखिए आकृति)।उसका यह जानना आवश्यक है कि उसे कितना कागज खरीदना चाहिए।यदि उपर्युक्त बाॅक्स की लम्बाई,चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 80cm,40cm और 20cm हैं तो उसे 40cm भुजा वाली कागज की कितनी वर्गाकार शीटों की आवश्यकता है?
(2.)हमीद ने अपने घर के लिए,ढक्कन वाली एक घनाकार (cubical) पानी की टंकी बनवाई है जिसका प्रत्येक बाहरी किनारा 1.5m लम्बा है।वह इस टंकी के बाहरी पृष्ठ पर,तली को छोड़ते हुए,25cm भुजा वाली वर्गाकार टाइलें (tiles) लगवाता है (देखिए आकृति)।यदि टाइलों की लागत 360 रुपए प्रति दर्जन है तो उसे टाइल लगवाने में कितना व्यय करना पड़ेगा?
उत्तर (Answers):(1.)7 शीट्स
(2.)5400 रुपए
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 9 (Surface Area and Volume Class 9),घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area Cube and Cuboid) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 9 (Surface Area and Volume Class 9) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.पृष्ठीय क्षेत्रफल किसे कहते हैं? (What is the surface area called?):

उत्तर:घनाभ या घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल को कभी-कभी सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल या कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area) भी कहा जाता है।इसमें घनाभ या घन के सभी छ: फलकों का क्षेत्रफल शामिल होता है।

प्रश्न:2.घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल किसे कहते हैं? (The lateral surface area of the cuboid is called?):

उत्तर:घनाभ या घन की चारों दीवारों के क्षेत्रफल को घनाभ या घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कहते हैं।

प्रश्न:3.ठोस आकृतियाँ किसे कहते हैं? (What are solid figures called?):

उत्तर:ऐसी आकृतियाँ जो आकाश (space) में स्थित होती हैं।ठोस (घनाकृतियाँ) त्रिविम (Three Dimensional) होती है।ईंट,माचिस की डिब्बी, मकान की दीवारें,पानी की टंकियाँ,क्रिकेट गेंद आदि सभी विभिन्न प्रकार की ठोस आकृतियाँ होती हैं।

प्रश्न:4.समतल आकृतियों तथा ठोस आकृतियों में क्या अन्तर होता है? (What is the difference between flat shapes and solid shapes?):

उत्तर:समतल आकृतियों और ठोस आकृतियों में मौलिक अन्तर यह है कि समतल आकृतियाँ पूरी की पूरी समतल में स्थित होती हैं जबकि ठोस आकृतियाँ एक समतल में स्थित नहीं होती हैं बल्कि आकाश (space) में स्थित होती हैं।समतल आकृतियों के उदाहरण हैं:त्रिभुज,आयत,वृत्त,वृत्तखण्ड तथा त्रिज्यखण्ड आदि।ठोस आकृतियाँ त्रिविमीय ठोस आकृतियाँ होती हैं अर्थात् इनकी लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई होती है।उदाहरणार्थ:चाॅक का डिब्बा,सन्दूक,कमरा इत्यादि।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 9 (Surface Area and Volume Class 9),घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area Cube and Cuboid) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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(Surface Area and Volume Class 9)

Surface Area and Volume Class 9

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 9 (Surface Area and Volume Class 9) में सर्वप्रथम घनाभ
और घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना सीखेंगे।घनाभ एवं घन ठोस आकृतियाँ (Solid Figures) होती है।

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