Rational Numbers
1.परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers),परिमेय संख्याएँ परिभाषा (Rational Numbers Definition):
ऐसी संख्या परिमेय संख्या (Rational Numbers) कहलाती है जिसे \frac{p}{q} के रूप में लिखा जा सकता हो जहां p और q पूर्णांक हैं तथा q \neq 0 है। उदाहरणार्थ \frac{4}{7},-\frac{3}{5} परिमेय संख्याएं हैं।0,2,-3 भी परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) हैं क्योंकि इनको के रूप में अर्थात् \frac{0}{1}, \frac{2}{1},-\frac{3}{1} के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए ये भी परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) हैं।
इस प्रकार समस्त प्राकृत संख्याओं (Natural Numbers),पूर्ण संख्याओं (Whole Numbers) तथा पूर्णांक संख्याओं (Integers) को \frac{p}{q} के रूप में लिखा जा सकता है।अत:ये सभी परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) भी हैं।
एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत (Terminating) होता है या असांत आवर्ती (अनवसानी आवर्ती) (Non-Terminating Recurring) होता है।साथ ही वह संख्या जिसका दशमलव प्रसार सांत या अनवसानी आवर्ती है,एक परिमेय संख्या होती है।सांत दशमलव प्रसार वाली भिन्न के हर में 2 या 5 अथवा 2 व 5 दोनों की घात वाली संख्याएँ होती हैं।उदाहरणार्थ: \frac{1}{8}=0.125, \frac{3}{2 \times 5^{2}}=\frac{3}{50}=0.06
भिन्न संख्याएँ जैसे कि \frac{2}{3}, \frac{2}{9} आदि रिकरिंग (Recuring) [आवर्ती] होती हैं।जैसे: \frac{2}{3}=0.666 \ldots, \frac{2}{9}=0.222 \ldots
परिमेय संख्याओं के संग्रह अर्थात् समुच्चय को Q से प्रकट किया जाता है।
अंग्रेजी शब्द “rational”की व्युत्पत्ति अंग्रेजी शब्द “ration” से हुई है और अक्षर Q अंग्रेजी शब्द ‘quotient’ से लिया गया है।
(1.)परिमेय संख्याओं के गुणधर्म (Rational Numbers Properties):
(i)दो परिमेय संख्याओं का योग भी एक परिमेय संख्या है।अर्थात् परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) योग के अंतर्गत संवृत है।
जैसे:\frac{2}{5}+\frac{7}{3}=\frac{6+35}{15}=\frac{41}{15} परिमेय संख्या है।
(ii)दो परिमेय संख्याओं का अंतर भी एक परिमेय संख्या होगी।अतः परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) व्यवकलन (Subtraction) के अंतर्गत संवृत है।जैसे:\frac{3}{7}-\left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{3}{7}+\frac{4}{5}=\frac{15+28}{35}=\frac{43}{35} परिमेय संख्या है।
(iii)दो अथवा अधिक परिमेय संख्याओं (Rational Numbers) का गुणनफल भी एक परिमेय संख्या है।अतः परिमेय संख्या गुणन के अंतर्गत संवृत है।
जैसे:-\frac{2}{3} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{5}=-\frac{8}{35} परिमेय संख्या है।
(iv)परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) भाग के अंतर्गत संवृत नहीं है।किसी भी परिमेय संख्या a=0 के लिए भाग संक्रिया परिभाषित नहीं है।जैसे: –\frac{5}{3} \div 0=\infty
तथापि यदि हम शून्य को शामिल नहीं करें तो दूसरी सभी परिमेय संख्याओं (Rational Numbers) का समूह भाग के अंतर्गत संवृत है।
(v)दो परिमेय संख्याओं को किसी भी क्रम में जोड़ा जाए तो परिणाम समान प्राप्त होता है।अतः परिमेय संख्याओं (Rational Numbers) के लिए योग क्रम विनिमेय (Commutative) है।
जैसे: \left(-\frac{6}{7}\right)+\left(-\frac{8}{5}\right)=\left(-\frac{8}{5}\right)+\left(-\frac{6}{7}\right)=\frac{-56-30}{35}=-\frac{86}{35}
(vi)दो परिमेय संख्याओं (Rational Numbers) का व्यवकलन क्रम विनिमेय (Commutative) नहीं है।जैसे: \frac{2}{3}-\frac{5}{7} \neq \frac{5}{7}-\frac{2}{3}
(vii)दो परिमेय संख्याओं (Rational Numbers) का गुणन क्रम विनिमेय है।
जैसे:\left(-\frac{6}{7}\right) \times\left(\frac{3}{5}\right)=\left(\frac{3}{5}\right) \times\left(-\frac{6}{7}\right)=-\frac{18}{35}
(viii)परिमेय संख्याओं (Rational Numbers) के लिए भाग क्रम विनिमेय नहीं है।
जैसेः\left(-\frac{4}{5}\right) \div\left(\frac{3}{11}\right) \neq\left(\frac{3}{11}\right) \div\left(-\frac{4}{5}\right)
(ix)परिमेय संख्याओं (Rational Numbers) के लिए योग साहचर्य (Associative) है।जैसे:
-\frac{2}{3}+\left[\frac{3}{5}+\left(-\frac{5}{7}\right)\right]=-\frac{2}{3}+\left[\frac{21-25}{35}\right]=-\frac{2}{3}-\frac{4}{35}=-\frac{70-12}{105}=-\frac{82}{105} \\ {\left[-\frac{2}{3}+\frac{3}{5}\right]+\left(-\frac{5}{7}\right)=\left(\frac{-10+9}{15}\right)+\left(-\frac{5}{7}\right)=-\frac{1}{15}-\frac{5}{7}=\frac{-75-7}{105}=-\frac{82}{105}}
अतः -\frac{2}{3}+\left[\frac{3}{5}+\left(-\frac{5}{7}\right)\right]=\left[-\frac{2}{3}+\frac{3}{5}\right]+\left(-\frac{5}{7}\right)
(x)परिमेय संख्याओं के लिए व्यवकलन साहचर्य (Associative) नहीं है।जैसे:
-\frac{3}{5}-\left[-\frac{3}{4}-\frac{1}{3}\right]=-\frac{3}{5}-\left(\frac{-9-4}{12}\right)=-\frac{3}{5}+\frac{13}{12}=\frac{-36+65}{60}=\frac{29}{60} \\ {\left[-\frac{3}{5}-\left(-\frac{3}{4}\right)\right]-\frac{1}{3}=\left[-\frac{3}{5}+\frac{3}{4}\right]-\frac{1}{3}=\left(\frac{-12+15}{20}\right)-\frac{1}{3}=\frac{3}{20}-\frac{1}{3}=\frac{9-20}{60}=\frac{-11}{60}}
अतः -\frac{3}{5}-\left[-\frac{3}{4}-\frac{1}{3}\right] \neq\left[-\frac{3}{5}-\left(-\frac{3}{4}\right)\right]-\frac{1}{3}
(xi)परिमेय संख्याओं (Rational Numbers) के लिए गुणन साहचर्य (Associative) है।
जैसे: -\frac{7}{5} \times\left(\frac{4}{5} \times \frac{2}{7}\right)=-\frac{7}{5} \times \frac{8}{35}=-\frac{8}{25} \\ \left(-\frac{7}{5} \times \frac{4}{5}\right) \times \frac{2}{7}=-\frac{28}{25} \times \frac{2}{7}=-\frac{8}{25}
अतः -\frac{7}{5} \times\left(\frac{4}{5} \times \frac{2}{7}\right)=\left(-\frac{7}{5} \times \frac{4}{5}\right) \times \frac{2}{7}
(xii)परिमेय संख्याओं (Rational Numbers) के लिए भाग साहचर्य (Associative) नहीं है।
जैसे:\frac{1}{3} \div\left[\left(-\frac{1}{4}\right) \div \frac{2}{7}\right]=\frac{1}{3} \div\left[-\frac{7}{8}\right]=-\frac{8}{21} \\ {\left[\frac{1}{3} \div\left(\frac{1}{4}\right)\right] \div \frac{2}{7}=-\frac{4}{3} \div \frac{2}{7}=-\frac{14}{3}}
अतः \frac{1}{3} \div\left[-\frac{1}{4} \div \frac{2}{7}\right] \neq\left[\frac{1}{3} \div\left(-\frac{1}{4}\right)\right] \div \frac{2}{7}
(xiii)परिमेय संख्याओं (Rational Numbers) के लिए गुणन की योग पर वितरकता (बंटनशीलता) (Distributivity of Multiplication Over Addition):
-\frac{3}{5} \times\left[\frac{2}{5}+\left(-\frac{5}{7}\right)\right]=-\frac{3}{5} \times\left[\frac{14-25}{35}\right] \\ =-\frac{3}{5} \times-\frac{11}{35}=\frac{33}{175} \\ -\frac{3}{5} \times \frac{2}{5}+\left(-\frac{3}{5}\right) \times\left(-\frac{5}{7}\right)=-\frac{6}{25}+\frac{15}{35} \\ =\frac{-42+75}{175}=\frac{33}{175}
अतः -\frac{3}{5} \times\left[\frac{2}{5}+\left(-\frac{5}{7}\right)\right]=-\frac{3}{5} \times \frac{2}{5}+\left(-\frac{3}{5}\right) \times\left(-\frac{5}{7}\right)
अतः योग एवं व्यवकलन पर गुणन की वितरकता:
सभी परिमेय संख्याओं a,b और c के लिए
a (b+c)=ab+ac, a (b-c)=ab-ac
(2.)दो परिमेय संख्याओं के बीच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करना (To Find the rational numbers between two rational numbers):
किन्हीं दी हुई परिमेय संख्याओं के बीच अपरिमित रूप से अनेक परिमेय संख्याएँ होती हैं।दो परिमेय संख्याओं के मध्य परिमेय संख्याएँ निम्न प्रकार ज्ञात करते हैं।
(i)परिमेय संख्याओं के हर को समान करके (By equalising denominator each of the finite numbers):
उदाहरणार्थ: -\frac{2}{5} और \frac{1}{2} के मध्य आठ परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
समान हर में परिवर्तित करने पर:
-\frac{2 \times 2}{5 \times 2}=-\frac{4}{10}, \frac{1 \times 5}{2 \times 5}=\frac{5}{10}
अतः -\frac{2}{5} और \frac{1}{2} के मध्य आठ परिमेय संख्याएँ:
\frac{-3}{10}, \frac{-2}{10}-\frac{1}{10}, 0, \frac{1}{10}, \frac{2}{10}, \frac{3}{10}, \frac{4}{10}
(ii)माध्य की अवधारणा द्वारा (By concept of mean):
उदाहरण:\frac{3}{5} और \frac{3}{4} के बीच दस परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए:
\frac{3}{5} और \frac{3}{4} का माध्य ज्ञात करने पर:
\left( \frac{3}{5}+\frac{3}{4} \right) \div 2=\left(\frac{12+15}{20}\right) \div 2 \\ \Rightarrow \frac{27}{20} \times \frac{1}{2}=\frac{27}{40} \\ \frac{3}{5}<\frac{27}{40}<\frac{3}{4}
\frac{27}{40} व \frac{3}{4} का माध्य ज्ञात करने पर:
\left(\frac{27}{40}+\frac{3}{4}\right) \div 2 \\ \Rightarrow \left(\frac{27+30}{40}\right) \times \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \frac{57}{40} \times \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \frac{57}{80}
अतः \frac{3}{5}<\frac{27}{40}<\frac{57}{30}<\frac{3}{4}
\frac{3}{5} व \frac{27}{40} का माध्य ज्ञात करने पर:
\left(\frac{3}{5}+\frac{27}{40}\right) \div 2 \\ \Rightarrow\left(\frac{24+27}{40}\right) \times \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \frac{51}{40} \times \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \frac{51}{80}
अतः \frac{3}{5}<\frac{51}{80}<\frac{27}{40}<\frac{57}{80}<\frac{3}{4}
\frac{57}{80} व \frac{3}{4} का माध्य
\left(\frac{57}{80}+\frac{3}{4}\right) \div 2 \\ \Rightarrow\left(\frac{57+60}{80}\right) \times \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{117}{160}
अतः \frac{3}{5}<\frac{51}{80}<\frac{27}{40}<\frac{57}{80}<\frac{117}{160}<\frac{3}{4}
\frac{27}{40} व \frac{57}{80} का माध्य
\left(\frac{27}{40}+\frac{57}{80}\right) \div 2 \\ \Rightarrow \frac{(54+57) }{80}\times \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \frac{111}{160}
अतः \frac{3}{5}<\frac{51}{80}<\frac{27}{40}<\frac{111}{60}<\frac{57}{80}<\frac{117}{160}<\frac{3}{4}
\frac{51}{80} व \frac{27}{40} का माध्य
\left(\frac{51}{80}+\frac{27}{40}\right) \div 2 \Rightarrow\left(\frac{51+54}{80}\right) \times \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{105}{160}
अतः \frac{3}{5}<\frac{51}{80}<\frac{105}{160}<\frac{27}{40}<\frac{11}{60}<\frac{57}{80}<\frac{117}{160}<\frac{3}{4}
\frac{3}{5} व \frac{51}{80} का माध्य
\left(\frac{3}{5}+\frac{51}{80}\right) \div 2 \Rightarrow\left(\frac{48+51}{80}\right) \times \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{99}{160}
अतः \frac{3}{5}<\frac{99}{160}<\frac{51}{80}<\frac{105}{160}<\frac{27}{40}<\frac{111}{60}<\frac{57}{80}<\frac{117}{160}<\frac{3}{4}
\frac{117}{160} व \frac{3}{4} का माध्य
\left(\frac{117}{160}+\frac{3}{4}\right) \div 2 \Rightarrow\left(\frac{117+120}{160}\right) \times \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \frac{237}{320}
अतः \frac{3}{5}<\frac{99}{160}<\frac{51}{84}<\frac{105}{160}<\frac{27}{40}<\frac{111}{60}<\frac{57}{80}<\frac{117}{160}<\frac{237}{320}<\frac{3}{4}
\frac{57}{80} व \frac{117}{160} का माध्य
\left(\frac{57}{80}+\frac{117}{160}\right) \div 2 \Rightarrow\left(\frac{114+117}{160}\right) \times \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \frac{231}{320}
अतः
\frac{3}{5}<\frac{99}{160}<\frac{51}{80}<\frac{105}{160}<\frac{27}{40}<\frac{111}{60}<\frac{57}{30}<\frac{231}{320}<\frac{117}{160}<\frac{237}{320}<\frac{3}{4}
\frac{27}{40} व \frac{111}{60} का माध्य
\left(\frac{27}{40}+\frac{111}{60}\right) \div 2 \Rightarrow\left(\frac{81+222}{120}\right) \times \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{303}{240}
अतः \frac{3}{5}<\frac{99}{160}<\frac{51}{80}<\frac{105}{160}<\frac{27}{40}<\frac{303}{240}<\frac{111}{60}<\frac{57}{80}<\frac{231}{320}<\frac{117}{160}<\frac{237}{320}<\frac{3}{4}
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2.परिमेय संख्याएँ के उदाहरण (Rational Numbers Examples):
निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है (प्रश्न 1 से 6):
Example:1.\frac{36}{100}
Solution:\frac{36}{100}=0.36
सांत है।
Example:2.\frac{1}{11}
Solution: \frac{1}{11} \\ =0.090909 \ldots \\ =0.\overline{09}
अनवसानी पुनरावर्ती
Example:3.4 \frac{1}{8}
Solution: 4 \frac{1}{8} \\=\frac{33}{8} \\=4.125
सांत
Example:4. \frac{3}{13}
Solution:\frac{3}{13} \\ =0.\overline{230769}
अनवसानी पुनरावर्ती
Example:5.\frac{2}{11}
Solution:\frac{2}{11} =0.181818 \ldots \\ =0 .\overline{18}
अनवसानी पुनरावर्ती
Example:6.\frac{329}{400}
Solution:\frac{329}{400} \\ =0.80225
सांत
निम्नलिखित को के रूप में व्यक्त कीजिए जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा है।(प्रश्न 7 से 10 तक):
Example:7.0 .\overline{3}
Solution:0 .\overline{3}
माना x=0.333….
यहाँ एक अंक की पुनरावर्ती है इसलिए दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर:
10x=3.333… ….(2)
x=0.333… (1)
– – घटाने पर
_________________
9 x=3 \\ \Rightarrow x=\frac{3}{9} \\ \Rightarrow x=\frac{1}{3}
Example:8.0 .\overline{47}
Solution:0 .\overline{47}
माना x=0.474747….
यहाँ दो अंकों की पुनरावर्ती है इसलिए दोनों पक्षों को 100 से गुणा करने पर:
100x=47.474747… ….(2)
x=0.474747… (1)
– – घटाने पर
_________________
99 x=47 \\ \Rightarrow x=\frac{47}{99}
Example:9.1.\overline{27}
Solution:1.\overline{27}
माना x=1.272727….
यहाँ दो अंकों की पुनरावर्ती है इसलिए दोनों पक्षों को 100 से गुणा करने पर:
100x=127.272727… ….(2)
x=1.272727… (1)
– – घटाने पर
_________________
99 x =126 \\ \Rightarrow x =\frac{126}{99} \\ \Rightarrow x =\frac{14}{11}
Example:10.1.2 \overline{35}
Solution:1.2 \overline{35}
माना x=1.2353535….
दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर:
10x=12.353535… (1)
यहाँ दो अंकों की पुनरावर्ती है इसलिए दोनों पक्षों को 100 से गुणा करने पर:
1000x=1235.353535… ….(2)
10x=12.353535… (1)
– – घटाने पर
_________________
990 x=1223 \\ \Rightarrow x=\frac{1223}{990}
Example:11.3 और 4 के बीच में छ: परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Solution:3 \times \frac{7}{7}=\frac{21}{7}, 4 \times \frac{7}{7}=\frac{28}{7}
अतः 3 व 4 के बीच छ: परिमेय संख्याएँ निम्न हैं:
\frac{22}{7}, \frac{23}{7}, \frac{24}{7}, \frac{25}{7}, \frac{26}{7}, \frac{27}{7}
Example:12.\frac{3}{5} और \frac{4}{5} के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Solution:\frac{3}{5} \times \frac{6}{6}=\frac{18}{30}, \frac{4}{5} \times \frac{6}{6}=\frac{24}{30}
अतः \frac{3}{5} व \frac{4}{5} के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ निम्न हैं:
\frac{19}{30}, \frac{20}{30}, \frac{21}{30},\frac{22}{30},\frac{23}{30}
Example:13.आप जानते हैं कि \frac{1}{7}=0.\overline{142857} है।वास्तव में लम्बा भाग दिए बिना क्या आप बता सकते हैं कि \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7},\frac{5}{7}, \frac{6}{7} के दशमलव प्रसार क्या हैं?यदि हाँ तो कैसे?
Solution:\frac{2}{7}=2 \times \frac{1}{7}=2 \times 0.\overline{142857}=0.\overline{285714} \\ \frac{3}{7}=3 \times \frac{1}{7}=3 \times 0.\overline{142857}=0.\overline{428571} \\ \frac{4}{7}=4 \times \frac{1}{7}=4 \times 0 .\overline{142857}=0.\overline{571428} \\ \frac{5}{7}=5 \times \frac{1}{7}=5 \times 0 .\overline{142857} =0.\overline{714285} \\ \frac{6}{7}=6 \times \frac{1}{7}=6 \times 0.142857=0.\overline{857142}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers),परिमेय संख्याएँ परिभाषा (Rational Numbers Definition) को समझ सकते हैं।
3.परिमेय संख्याओं के सवाल (Rational Numbers Questions):
निम्नलिखित को \frac{p}{q} के रूप में व्यक्त कीजिए जहाँ p और q पूर्णांक है तथा q \neq 0 है (सवाल 1 से 3):
(1)0.\overline{6} (2) 0.\overline{001} (3.)0.9999…
(4.)\frac{1}{17} के दशमलव प्रसार में पुनरावृत्ति खंड में अकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है?अपने उत्तर की जाँच करने के लिए विभाजन क्रिया कीजिए।
निम्न के मध्य पाँच-पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।(प्रश्न 5 से 7 तक)
(5.)\frac{2}{3} और \frac{4}{5}
(6.)-\frac{3}{2} और \frac{5}{3}
(7.)\frac{1}{4} और \frac{1}{2}
उत्तर (Answers):(1)\frac{2}{3}
(2.) \frac{1}{999}
(3.)1
(4 .) 0.\overline{0588235294117647}
(5.) \frac{41}{60}, \frac{42}{60}, \frac{43}{60}, \frac{44}{60}, \frac{45}{60}
(6.) -\frac{8}{7}, \frac{-7}{6}, 0, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}
(7.) \frac{9}{32}, \frac{10}{32}, \frac{11}{32}, \frac{12}{32}, \frac{13}{32}
(ऐसी ही ओर अनेक परिमेय संख्याएँ हो सकती हैं।)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers),परिमेय संख्याएँ परिभाषा (Rational Numbers Definition) को ठीक से समझ सकते हैं।
4.परिमेय संख्याओं के मुख्य बिन्दु (HIGHLIGHTS of Rational Numbers):
(1.)प्रत्येक भिन्न संख्या परिमेय संख्या है जिसके अंश व हर पूर्णांक हैं।
(2.)भिन्न संख्या व परिमेय संख्या में अन्तर:परिमेय संख्याओं के अंश व हर पूर्णांक होते हैं।अतः परिमेय संख्याओं के अंश और हर दोनों धनात्मक अथवा दोनों ऋणात्मक अथवा दोनों में से एक धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक हो सकता है।परन्तु हर कभी शून्य नहीं हो सकता है।
(3.)परिमेय संख्याओं का सरल (मानक) रूप:
हर धनात्मक हो।अंश और हर में कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है अर्थात् परस्पर अभाज्य (Coprime) हों तो ऐसी परिमेय संख्याएँ सरल रूप में होती है।
p व q का 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है अर्थात् p और q सहअभाज्य संख्याएँ (Coprime Numbers) हैं।
(4.)परिमेय संख्याओं की तुलना:यदि परिमेय संख्याओं के हर समान हों तो बड़े अंश वाली परिमेय संख्या बड़ी होती है।यदि दी हुई परिमेय संख्याओं के हर समान नहीं है तो हर समान करेंगे तथा अंश की तुलना करेंगे।
(5.)परिमेय संख्याओं का \frac{p}{q} के रूप में अद्वितीय (Unique) निरूपण नहीं होता जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q \neq 0 है।उदाहरण के लिए \frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{10}{20}=\frac{25}{50}=\frac{47}{94} आदि।ये परिमेय संख्याएँ तुल्य परिमेय संख्याएँ (या भिन्न) हैं।
(6.)एक परिमेय संख्या में रेखा के नीचे का संख्यांक अर्थात् हर यह दर्शाता है कि प्रथम इकाई को कितने समान भागों में बांटा गया है।रेखा के ऊपर संख्यांक अर्थात् अंश यह दर्शाता है कि इन समान भागों में से कितने भागों को शामिल किया गया है।इस प्रकार परिमेय संख्या \frac{4}{9} का अर्थ है कि शून्य के दांयी तरफ नौ समान भागों में से चार को लिया गया है।
(7.)परिमेय संख्याओं के लिए परिमेय संख्या शून्य योज्य तत्समक है।
(8.)परिमेय संख्याओं के लिए परिमेय संख्या 1 गुणनात्मक तत्समक है।
(9.)परिमेय संख्या \frac{a}{b} का योज्य प्रतिलोम -\frac{a}{b} है और विलोमत: भी सत्य है।
(10.)यदि \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} =1 तो परिमेय संख्या \frac{a}{b} का व्युत्क्रम अथवा गुणनात्मक प्रतिलोम \frac{c}{d} है।
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5.परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers),परिमेय संख्याएँ परिभाषा (Rational Numbers Definition)के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.क्या एक ऋणात्मक परिमेय संख्या सच है या गलत? (Is a negative rational number True or false?):
उत्तर:सत्य क्योंकि,ऋणात्मक का ऋणात्मक हमेशा धनात्मक होता है।
प्रश्न:2.वास्तविक जीवन में परिमेय संख्याओं का उपयोग कैसे किया जाता है? (How rational numbers are used in real life?):
उत्तर:परिमेय संख्याएं वास्तविक संख्याएं (real numbers) हैं जिन्हें \frac{p}{q} के रूप में लिखा जा सकता है जहां p,q पूर्णांक हैं और q≠0हैं।हम अंशों के रूप में करों का उपयोग करते हैं।जब आप एक पिज्जा या कुछ भी साझा करते हैं।ऋण (loans) और बंधक (mortgages) पर ब्याज दरें।
प्रश्न:3.परिमेय संख्याओं को समझना क्यों महत्वपूर्ण है? (Why is it important to understand rational numbers?):
उत्तर:परिमेय संख्याओं का अध्ययन करना महत्वपूर्ण है क्योंकि वे प्रतिनिधित्व करती हैं कि दुनिया इतनी जटिल (Complex) है कि हम कभी थाह (fathom) नहीं ले सकते हैं।
प्रश्न:4.हम परिमेय संख्या का उपयोग क्यों करते हैं? (Why do we use rational number?):
उत्तर:एक परिमेय संख्या जो a to b का अनुपात है,आमतौर पर भिन्न (fraction) \frac{a}{b} के रूप में लिखा जाता है।परिमेय संख्याओं की आवश्यकता है क्योंकि कई मात्राएं (many quantities) या माप (measures) हैं जिन्हें अकेले पूर्णांक पर्याप्त रूप से वर्णन नहीं करेंगे।मात्राओं का मापन,चाहे लंबाई, द्रव्यमान,समय या अन्य,परिमेय संख्याओं का सबसे आम उपयोग है।
प्रश्न:5.परिमेय संख्याओं का उपयोग कहां किया जाता है? (Where are rational numbers used?):
उत्तर:परिमेय संख्या हर समय उपयोग किया जाता है!धन का उपयोग करके उत्पादों (Products) को खरीदने और बेचने और भिन्नों के साथ खाना पकाने के लिए सांत दशमलव (terminating decimals to cooking with fractions),लोग हर दिन के बारे में परिमेय संख्या का उपयोग करते हैं|
प्रश्न:6.छात्रों को परिमेय संख्या सीखने की आवश्यकता क्यों है? (Why do students need to learn rational numbers?):
उत्तर:परिमेय संख्याओं को समझना गहराई से आपको न केवल महत्वपूर्ण गणितीय विचारों को जानने की आवश्यकता है बल्कि यह पहचानने की भी आवश्यकता है कि ये विचार एक-दूसरे से कैसे संबंधित हैं।आपकी समझ अनुभव के साथ और नए विचारों को गले लगाने (opportunities to embrace new ideas) और परिचित लोगों के बीच नए कनेक्शन खोजने के अवसरों के परिणामस्वरूप बढ़ती रहती है।
प्रश्न:7.मैंने परिमेय संख्या में दिलचस्प क्या पाया? (What I found interesting in rational numbers?):
उत्तर:(1.) परिमेय संख्या हमेशा \frac{p}{q} के रूप में माना जाता है
(2.) \frac{p}{q},q,0 के बराबर कभी नहीं है ।(q \neq 0 )
(3.)प्राकृतिक संख्या और पूर्णांक भी परिमेय हैं।
(4.) किसी भी सांत (समाप्त) (terminating) या आवर्ती दशमलव (recurring decimal) परिमेय संख्या के रूप में लिखा जा सकता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers),परिमेय संख्याएँ परिभाषा (Rational Numbers Definition) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Rational Numbers
परिमेय संख्या (Rational Numbers)
Rational Numbers
ऐसी संख्या परिमेय संख्या (Rational Numbers) कहलाती है जिसे \frac{p}{q} के रूप में लिखा जा
सकता हो जहां p और q पूर्णांक हैं तथा q \neq 0 है। उदाहरणार्थ \frac{4}{7},-\frac{3}{5}
परिमेय संख्याएं हैं।0,2,-3 भी परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) हैं
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
