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Linear Differential Equations in DE

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1 1.अवकल समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations in DE),रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations):

1.अवकल समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations in DE),रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations):

अवकल समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations in DE) का समाकलन गुणक ज्ञात करके इसका हल ज्ञात करना उदाहरणों के द्वारा सीखेंगे।इससे सम्बन्धित उदाहरण निम्नलिखित हैंः
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2.अवकल समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Linear Differential Equations in DE):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:1. x\left(1-x^2\right) d y+\left(2 x^2 y-y-a x^3\right) d x=0
Solution: x\left(1-x^2\right) d y+\left(2 x^2 y-y-a x^3\right) d x=0
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः

\Rightarrow \frac{d y}{d x}+\frac{\left(2 x^2-1 \right)y}{x\left(1-x^2\right)}=\frac{a x^3}{x\left(1-x^2\right)} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}+\frac{\left(2 x^2-1\right) y}{x\left(1-x^2\right)}=\frac{a x^2}{1-x^2}
से ज्ञात होता है कि यह रैखिक अवकल समीकरण है।
यहाँ समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p dx} \\ =e^{\int \frac{2x^{2}-1}{x\left(1-x^2\right)}} \\ =e^{\left[-\frac{1}{x}+\frac{1}{2(1-x)}-\frac{1}{2(1-x)} \right]dx}\\ =e^{-\log x-\frac{1}{2} \log (1-x)-\frac{1}{2} \log (1+x)} \\ =e^{-\log x \sqrt{1-x^2}} \\ =e^{\log \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}} \\ \Rightarrow \text{I.F.} =\frac{1}{x \sqrt{1-x^2}}
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot \text{(I.F.)}=\int \text{(I.F.)} Q dx+c \\ \Rightarrow y \cdot \frac{1}{x \sqrt{1-x^2}}=\int \frac{1}{x \sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{a x^2}{\left(1-x^2\right)} d x+c \\ =a \int \frac{x}{\left(1-x^2 \right)^{\frac{3}{2}}} d x+c \\ =\frac{a}{\sqrt{1-x^2}}+c \\ \Rightarrow y=a x+c x \sqrt{1-x^2}
Example:2. x\left(1+x^2\right) \frac{dy}{dx}=y\left(1-x^2\right)+x^3 \log x
Solution: x\left(1+x^2\right) \frac{dy}{dx}=y\left(1-x^2\right)+x^3 \log x
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः

\frac{dy}{dx}+\frac{\left(x^2-1\right)y}{x\left(1+x^2\right)}=\frac{x^{2} \log x}{1+x^{2}}
से ज्ञात होता है कि यह रैखिक अवकल समीकरण है।
यहाँ समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int P d x} \\ =\int e^{\frac{x^2-1}{x \left(1+x^2\right)}dx} \\ =e^{\int\left(-\frac{1}{x}+\frac{2 x}{1+x^2}\right) d x} \\ =e^{-\log x+\log \left(1+x^2\right)} \\ =e^{\log \left(\frac{1+x^2}{x}\right)} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\frac{1+x^2}{x}
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot \text{I.F.} =\int \text{I.F.} Q dx+c \\ \Rightarrow y \cdot\left(\frac{1+x^2}{x}\right)=\int \frac{1+x^2}{x} \cdot \frac{x^2 \log x}{1+x^2} d x+c \\ =\int x \log x d x+c \\ \Rightarrow y\left(1+x^2\right)=c x^2+\frac{1}{2} x^3 \log x-\frac{x^3}{4}+c
Example:3. x(x-1) \frac{d y}{d x}-(x-2) y=x^3(2 x-1)
Solution: x (x-1) \frac{d y}{d x}-(x-2) y=x^3(2 x-1)
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः

\frac{d y}{d x}-\frac{(x-2)}{x(x-1)} y=\frac{x^2(2 x-1)}{x-1}
से ज्ञात होता है कि यह रैखिक अवकल समीकरण है।
यहाँ समाकलन गुणक (I.F.)=\text{I.F.}=e^{\int p d x} \\ =\int \frac{-(x-2)}{x(x-1)} d x \\ =e^{\int\left[\frac{-2}{x}+\frac{1}{x-1}\right] d x} \\ =e^{-2 \log x+\log (x-1)} \\ =e^{\log \left(\frac{x-1}{x^2}\right)}=\frac{x-1}{x^2}
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot \text{I.F.} =\int \text{I.F.} Q d x+c \\ \Rightarrow y\left(\frac{x-1}{x^2}\right) =\int\left(\frac{x-1}{x^2}\right) \cdot \frac{x^2(2 x-1)}{x-1} d x+c \\ =\int (2x-1) dx+c \\ \Rightarrow y\left(\frac{x-1}{x^2}\right) =x^2-x+c \\ \Rightarrow y(x-1) =x^2\left(x^2-x+c\right)
Example:4. x(x-1) \frac{d y}{d x}-y=x^2(x-1)^{2}
Solution: x(x-1) \frac{d y}{d x}-y=x^2(x-1)^2
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः

\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x(x-1)}=\frac{x^2(x-1)^2}{x(x-1)} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}-\frac{y}{x(x-1)} =x(x-1)
से ज्ञात होता है कि यह रैखिक अवकल समीकरण है।
यहाँ समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p dx} \\ =e^{\int -\frac{1}{x(x-1)} d x} \\ =e^{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}\right) d x}\\ =e^{\log x-\log (x-1)} \\ =e^{\log \left(\frac{x}{x-1}\right)} \\ \Rightarrow \text {I.F}=\frac{x}{x-1}
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot \text {I.F}=\int (\text {I.F}) Q dx+c \\ \Rightarrow y \left(\frac{x}{x-1}\right)=\int\left(\frac{x}{x-1}\right) x(x-1) dx+c \\=\int x^2 dx+c \\ =\frac{x^3}{3}+c \\ \Rightarrow y x =c(x-1)+\frac{1}{3} x^3(x-1)
Example:6. \frac{d y}{d x}+\frac{4 x}{x^2+1}=\frac{1}{\left(x^2+1\right)^3}
Solution: \frac{d y}{d x}+\frac{4 x}{x^2+1}=\frac{1}{\left(x^2+1\right)^3}
यहाँ P=\frac{4 x}{x^2+1} तथा Q=\frac{1}{\left(x^2+1\right)^3}
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p dx} \\ =e^{\int\left(\frac{4 x}{x^2+1}\right) d x} \\ =e^{2 \log \left(x^2+1\right)} \\ =e^{\log \left(x^2+1\right)^2} \\ \Rightarrow \text{I.F}=\left(x^2+1\right)^2
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot \text{I.F}=\int(\text{I.F}) Q dx+c \\ \Rightarrow y\left(x^2+1\right)^2= \int\left(x^2 +1\right)^2 \cdot \frac{1}{\left(x^2+1\right)^3} d x+c \\ \Rightarrow y\left(x^2+1\right)^2=\int \frac{1}{1+x^2} d x+c \\ \Rightarrow y\left(x^2+1\right)^2=c+\tan ^{-1} x
Example:8. \left(1+x^2\right) \cdot \frac{d y}{d x}+y=e^{\tan ^{-1} x}
Solution: \left(1+x^2\right) \cdot \frac{d y}{d x}+y=e^{\tan ^{-1} x}
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः

\frac{d y}{d x}+\frac{y}{1+x^2}=\frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}
यहाँ p=\frac{1}{1+x^2}  तथा Q=\frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{p dx} \\ =e^{\int\left(\frac{1}{1+x^2}\right)} d x \\ \text{I.F.}=e^{\tan ^{-1} x}
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot(\text{I.F.})=\int \text{I.F.} \quad Q dx+c \\ \Rightarrow y e^{\tan ^{-1} x}=\int e^{\tan ^{-1} x} \frac{e \tan^{-1} x}{1+x^2} d x+c \\ =\int e^{2 \tan ^{-1} x} \frac{1}{1+x^2} d x+c \\ \Rightarrow y e^{\tan ^{-1} x} =\frac{1}{2} e^{2 \tan ^{-1} x}+c
Example:10. x^2 \frac{d y}{d x}+(1-2 x) y=x^2
Solution: x^2 \frac{d y}{d x}+(1-2 x) y=x^2
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः

\frac{d y}{d x}+\frac{(1-2 x)}{x^{2}}y=1
यहाँ P=\frac{1-2 x}{x^2} तथा Q=1
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x} \\ =e^{\int \frac{1-2 x}{2 x^2} d x} \\ =e^{\int\left(\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\right) d x} \\ =e^{-\frac{1}{x}-2 \log x} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2}
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot\left(\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2}\right) =\int \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2} \cdot 1 d x+c \\ =e^{-\frac{1}{x}}+c \\ \Rightarrow y =c x^2 e^{\frac{1}{x}}+x^2 \\ \Rightarrow y =x^2\left(c e^{\frac{1}{x}}+1\right)

Example:11. \cos ^2 x \frac{d y}{d x}+y=\tan x
Solution: \cos ^2 x \frac{d y}{d x}+y=\tan x
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः

\frac{d y}{d x}+y \sec ^2 x=\sec ^2 x \tan x
यहाँ P=\sec ^2 x तथा  Q=\sec ^2 x \tan x
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x} \\=e^{\int \sec ^2 x d x} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=e^{\tan x}
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot \text{I.F.}=\int \text{I.F.} \quad Q d x+c \\ \Rightarrow y e^{\tan x}=\int e^{\tan x} \cdot \sec ^2 x \tan x d x+c \\ \text{put} \tan x=t \Rightarrow \sec ^2 x d x=dt \\ =\int t e^t d t+c \\ =t e^{t}-e^t+c \\ =\tan x e^{\tan x}-e^{\tan x}+c \\ =e^{\tan x}(\tan x-1)+c \\ \Rightarrow y =(\tan x-1)+c e^{-\tan x}
Example:12. \frac{d y}{d x}-y \cot x=\operatorname{cosec} x
Solution: \frac{d y}{d x}-y \cot x=\operatorname{cosec} x
यहाँ p=-\cot x तथा Q=\operatorname{cosec} x
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x} \\ =e^{\int(-\cot x) d x} \\ =e^{-\log \sin x} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\frac{1}{\sin x}
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot(\text{I.F.})=\int \text{I.F.} \quad Q dx+c \\ \Rightarrow y \cdot \frac{1}{\sin x} =\int \frac{1}{\sin x} \operatorname{cosec} x d x+c \\ =\int \operatorname{cosec}^2 x d x+c \\ =-\cot x+c \\ \Rightarrow y \operatorname{cosec} x =c-\cot x
Example:13. \frac{d y}{d x}+y=x^{-2}
Solution: \frac{d y}{d x}+y=x^{-2}
यहाँ P=1 तथा Q=x^2
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x}\\ \Rightarrow \text{I.F.}=e^{\int 1 dx}=e^x  
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot (\text{I.F.}) =\int \text{I.F.} \quad Q dx+c \\ \Rightarrow y e^x =\int e^x x^{-2} d x+c \\ =e^x \int x^{-2} d x-\int \left[ \frac{d}{dx}\left(e^x\right) \int x^{-2} d x\right] dx+c \\ =e^x \left(\frac{x^{-1}}{-1}\right)-\int e^x \cdot\left(\frac{x^{-1}}{-1}\right) d x+c \\ \Rightarrow y e^x =c-x^{-1} \cdot e^{x}+\int x^{-1} e^x d x+c
Example:15. \frac{d y}{d x}+\frac{1}{x} y=\sin x
Solution: \frac{d y}{d x}+\frac{1}{x} y=\sin x
यहाँ P=\frac{1}{x} तथा Q=\sin x
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p dx } \\ =e^{\int \frac{1}{x} d x} \\ =e^{\log x} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=x
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot \text{I.F.}=\int \text{I.F.} \quad Q dx+c \\ y x=\int x \cdot \sin x d x+c \\ \Rightarrow x y=-x \cos x+\sin x+c
Example:16. (x+y+1) \frac{d y}{d x}=1
Solution: (x+y+1) \frac{d y}{d x}=1 
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः

\frac{d x}{d y}-x=y+1
यहाँ p=-1 तथा Q=y+1
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p dy} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=-e^{(-1) d y}=e^{-y}
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

x \cdot (\text{I.F.})=\int(\text{I.F.}) Q d y+c \\ x \cdot e^{-y}=\int e^y(y+1) d y+c \\ =\int y e^{-y} d y+\int e^{-y} d y+c \\ =-y e^{-y}-e^{-y}-e^{-y}+c \\ =-\bar{e}^y(y+2)+c \\ \Rightarrow x=c e^y-(y+2)
Example:17. (y-x) \frac{d y}{d x}=a^2
Solution: (y-x) \frac{d y}{d x}=a^2
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः

\frac{d x}{d y}=\frac{y-x}{a^2} \Rightarrow \frac{d x}{d y}+\frac{x}{a^2}=-\frac{y}{a^2}
यहाँ p=+\frac{1}{a^2} तथा Q=-\frac{y}{a^2}
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d y} \\ =e^{\int \frac{1}{a^{2}} d y} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=e^{\frac{y}{a^{2}}}
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

x \cdot(\text{I.F.})=\int(\text{I.F.}) d y+c \\ \Rightarrow x e^{\frac{y}{a^{2}}}=\int e^{\frac{y}{a^{2}}} \cdot \frac{y}{a^{2}} dy+c \\ =y e^{\frac{y}{a^{2}}}-a^2 e^{\frac{y}{a^{2}}}+c \\ \Rightarrow x=y-a^2+c e^{-\frac{y}{a^{2}}}
Example:19. (x \log x) \frac{d y}{d x}+y=2 \log x
Solution: (x \log x) \frac{d y}{d x}+y=2 \log x
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः

\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x \log x}=\frac{2}{x}
यहाँ p=\frac{1}{x \log x} तथा Q=\frac{2}{x}
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p dx} \\ =e^{\int \frac{1}{x \log x} d x} \\ =e^{\log (\log x)} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\log x 
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot \text{I.F.}=\int(\text{I.F.})\quad Q d x+c \\ \Rightarrow y(\log x)=\int(\log x) \cdot \frac{2}{x} d x+c \\ \Rightarrow y(\log x)=(\log x)^2+c
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा अवकल समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations in DE),रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations) को समझ सकते हैं।

3.अवकल समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Linear Differential Equations in DE):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):

(1.) \sqrt{\left(a^2+x^2\right)} \frac{d y}{d x}+y=\sqrt{\left(a^2+x^2\right)}-x
(2.) (x+\tan y) d y=\sin 2y dx
(3.) \frac{d y}{d x}-\frac{2 y}{x}=\frac{5 x^2}{(x+2)(3-2 x)}
उत्तर (Answers): (1.)y\left[x+\sqrt{\left(x^2+a^2\right)}\right]=c+a^2 \log \{x+\sqrt{(x^{2}+a^{2})}\}
(2.) x=c \sqrt{(\tan y)}+\tan y
(3.) \frac{y}{x^2}=c-\log (x+2)-3 \log (2 x-3)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations in DE),रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अवकल समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Linear Differential Equations in DE),रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.रैखिक अवकल समीकरण किसे कहते हैं? (What is Linear Differential Equation?):

उत्तर:यदि किसी अवकल समीकरण में आश्रित चर (dependent variable) y तथा इसके अवकल गुणांक केवल प्रथम घात में ही आते हों तो उसको रैखिक अवकल समीकरण (linear differential equation) कहते हैं।ऐसे समीकरण में y तथा उसके अवकलजों (derivatives) के गुणांक स्वतन्त्र चर x के कोई भी फलन हो सकते हैं।

प्रश्न:2.प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का मानक रूप क्या है? (What is the Standard Form of the First Order Linear Differential Equation?):

उत्तर:प्रथम कोटि (first order) के रैखिक अवकल समीकरण का मानक रूप (standard form)
\frac{d y}{d x}+p(x) y=Q(x) \cdots(1)
होता है,जहाँ P(x) तथा Q(x) स्वतन्त्र चर x के कोई फलन हैं।
ऐसे समीकरण को सरल करने के लिए हम दोनों पक्षों को से गुणा करते हैं।हम देखते हैं कि
e^{\int p d x} \frac{d y}{d x}+p e^{\int p d x} y=Q e^{\int p d x} \cdots(2) \\ \Rightarrow \frac{d}{d x}\left[e^{\int p d x} y\right]=Q e^{\int p d x}
का समाकलन करने पर
y e^{\int p d x}=\int Q e^{\int p dx} d x+c \cdots(3)
जो कि अवकल समीकरण (1) का अभीष्ट व्यापक हल है।
समीकरण (2) में दिये हुए गुणनखण्ड e^{\int p dx} को हम अवकल समीकरण (1) का समाकलन गुणक (integrating factor) कहते हैं।यह संक्षेप में I.F. भी लिखा जाता है।
इसलिए (3) को हम निम्न प्रकार लिख सकते हैंः
y(\text{I.F.})=\int(\text{I.F.}) \cdot Q dx+c \cdots(4)

प्रश्न:3.रैखिक अवकल समीकरण को हल करते समय छात्र-छात्राओं को क्या ध्यान रखना चाहिए? (What Should Students Keep in Mind While Solving Linear Differential Equations?):

उत्तर:(1.)विद्यार्थियों को चाहिए कि वे सदैव रैखिक अवकल समीकरण को मानक रूप (1) में लिखें।तत्पश्चात उसका समाकलन-गुणक (2) की सहायता से ज्ञात करके अवकल समीकरण का हल (3) अथवा (4) की सहायता से प्राप्त करें अर्थात् (1),(2),(3) तथा (4) एक रैखिक अवकल समीकरण के मानक परिणाम (standard results) है जिनको सदैव याद रखना चाहिए।
(2.)कभी-कभी ऐसा होता है कि दिया हुआ अवकल समीकरण y को स्वतन्त्र चर तथा x को आश्रित-चर मानने से रैखिक अवकल समीकरण बनता है ऐसी स्थिति में उपर्युक्त परिणामों में x और y अपना स्थान परिवर्तित कर लेंगे,तब रैखिक समीकरण का हल निम्न प्रकार से होगाः
x(\text{I.F.})=\int(\text{I.F.}) \quad Q dy+c
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा अवकल समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations in DE),रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Linear Differential Equations in DE

अवकल समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण
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समाकलन गुणक ज्ञात करके इसका हल ज्ञात करना उदाहरणों के द्वारा सीखेंगे।

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