1.रैखिक समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equation in DE),अचर-गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations with Constant Coefficients):

Linear Differential Equation in DE

रैखिक समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equation in DE) के इस आर्टिकल में अचर-गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरणों का पूरक फलन तथा विशिष्ट समाकल ज्ञात करके व्यापक हल ज्ञात करना सीखेंगे।
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2.रैखिक समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण के उदाहरण (Linear Differential Equation in DE Illustration):
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:

(Solve the following differential equations):
Illustration:1. \left(D^4-m^4\right) y=\cos m x+\cosh m x
Solution: \left(D^4-m^4\right) y=\cos m x+\cosh m x
इसका सहायक समीकरण होगा:

M^4-m^4=0 \Rightarrow\left(M^2-m^2\right)\left(M^2+m^2\right)=0 \\ \Rightarrow (M-m)(M+m)\left(M^2+m^2\right)=0 \\ \Rightarrow M=m,-m, \pm m i
अतः C.F.=c_1 e^{m x}+c_2 e^{-m x}+c_3 \cos m x+c_4 \sin m x
पुनः P.I.=\frac{1}{\left(D^4-m^4\right)}(\cos mx+\cosh mx) \\ =\frac{1}{\left(D^4-m^4\right)} \cos m x+\frac{1}{D^4-m^4} \cosh m x \\ =\frac{1}{\left(D^2-m^2\right)\left(D^2+m^2\right)} \cos mx+\frac{1}{\left(D^4-m^4\right)}\left(\frac{e^{m x}+e^{-m x}}{2}\right) \\=\frac{1}{(i m)^2-m^2} \frac{1}{\left(D^2+m^2\right)} e^{i m x}(\text { Real part })+\frac{1}{(D-m)(D+m)\left(D^2+m^2\right)} \frac{e^{m x}}{2}+\frac{1}{(D-m)(D+m)\left(D^2+m^2\right)} \frac{e^{-m x}}{2} \\ = \frac{1}{-2 m^2} \frac{1}{(D+i m)(D-i m)} e^{i m x}(\text { Real part) }+ \frac{1}{(D-m)(m+m)\left(m^2+m^2\right)} \frac{e^{m x}}{2}+\frac{1}{(D+m)(-2 m)\left(2 m^2\right) }\frac{e^{-m x}}{2} \\ =\left(\frac{1}{-2 m^2}\right) \frac{1}{2 i m} \frac{x e^{i m x}}{1!}(\text { Real part })+\frac{1}{4 m^3} \cdot \frac{x}{1 !} \cdot \frac{e^{m x}}{2}-\frac{1}{4 m^3} \cdot \frac{x}{1!} \frac{e^{-m x}}{2} \\ =\text{R.P.} \left(-\frac{x}{4i m^3}\right) (\cos m x+i \sin m x)+\frac{x}{4 m^3}\left(\frac{e^{m x}-e^{-m x}}{2}\right) \\ =\text{R.P.} \left(-\frac{i}{4 i^2 m^3}\right) x(\cos m x+i \sin m x)+\frac{x}{4 m^3} \sinh (mx) \\ =\text{R.P.} \left(\frac{x}{4 m^3}\right)(i \cos m x- \sin m x) +\frac{x}{4 m^3} \sinh (mx) \\ =\left(\frac{x}{4 m^3}\right)(- \sin m x) +\frac{x}{4 m^3} \sinh (mx) \\ \text {P.I.}=-\frac{x}{4 m^3}\left(\sin mx\right) +\frac{x}{4 m^3} \sinh (m x) \\ \Rightarrow \text {P.I.}=-\frac{x}{4 m^3} \sin m x+\frac{x}{4 m^3} \sinh (mx)
अतः अवकल समीकरण का व्यापक हल है:

y=C.F.+P.I.
y=c_1 e^{m x}+c_2 e^{-m x}+c_3 \cos mx+c_4 \sin m x-\frac{x}{4 m^3}(\sin m x-\sinh (m x))
Illustration:2. \left(D^4-4 D^3+3 D^2+4 D-4\right) y=e^{2x}
Solution: \left(D^4-4 D^3+3 D^2+4 D-4\right) y=e^{2x}
इसका सहायक समीकरण होगा:

m^4-4 m^3+3 m^2+4 m-4=0 \\ \Rightarrow m^4-m^3-3 m^3+3 m^2+4 m-4=0 \\ \Rightarrow m^3(m-1)-3 m^2(m-1)+4(m-1)=0 \\ \Rightarrow (m-1)\left(m^3-3 m^2+4\right)=0 \\ \Rightarrow (m-1)\left[m^3+m^2-4 m^2-4 m+4 m+4\right]=0 \\ \Rightarrow (m-1)\left[m^2(m+1)-4 m(m+1) +4(m+1)\right]=0 \\ \Rightarrow (m-1)(m+1)\left(m^2-4 m+4\right)=0 \\ \Rightarrow (m-1)(m+1)(m-2)^2=0 \\ \Rightarrow m=1,-1,2,2
अतः C.F.=c_1 e^x+c_2 e^{-x}+\left(c_3+c_4 x\right) e^{2 x}
पुनः P.I.=\frac{1}{D^4-4 D^3+3 D^2+4 D-4} e^{2 x} \\ =\frac{1}{(D-1)(D+1)(D-2)^2} e^{2 x} \\ =\frac{1}{(2-1)(2+1)(D-2)^2} e^{2 x} \\ =\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{(D-2)^2} e^{2 x} \\ =\frac{1}{3} \cdot \frac{x^2}{2 !} e^{2 x} \\ \Rightarrow \text{P.I.} =\frac{1}{6} x^2 e^{2 x}
अतः अवकल समीकरण का व्यापक हल है:

y=C.F.+P.I.
\Rightarrow y=c_1 e^x+c_2 e^{-x}+\left(c_3+c_4 x\right) e^{2 x}+\frac{1}{6} x^2 e^{2 x}
Illustration:3. \left[(D-1)\left(D^2+1\right)^2\right] y=\cos x
Solution: \left[(D-1)\left(D^2+1\right)^2\right] y=\cos x
इसका सहायक समीकरण होगा:

(m-1)\left(m^2+1\right)^2=0 \\ \Rightarrow m=1, \pm i, \pm i
अतः C.F=c_1 e^x+\left(c_2+c_3 x\right) \cos x+\left(c_4+c_5 x\right) \sin x
पुनः P.I.=\frac{1}{(D-1)\left(D^2+1\right)^2} \cos x \\ = \text { Real part of } \frac{1}{(D-1)\left(D^2 +1 \right)^2} e^{i x} \\ = \text { Real part of } \frac{1}{(D-1)(D+i)^2(D-i)^2} e^{i x} \\ =\text { Real part of } \frac{1}{(i-1)(i+i)^2} \cdot \frac{x^2}{2 !} e^{i x} \\ =\text { Real part of } \frac{i+1}{\left(i^2-1\right)} \cdot \frac{1}{(2 i)^2} \cdot \frac{x}{2} e^{i x} \\ =\text { Real part of } \frac{x(i+1)}{(-2)(-4)(2)}(\cos x+i \sin x) \\ = \text{Real part of} \left(\frac{x}{16}\right)(-\sin x+\cos x+i \cos x+i \sin x) \\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{x}{16} \left(\cos x-\sin x\right)
अतः अवकल समीकरण का व्यापक हल है:

y=C.F.+P.I.
\Rightarrow y=c_1 e^x+\left(c_2+c_3 x\right) \cos x+\left(c_4+c_5 x\right) \sin x +\frac{x}{16}(\cos x-\sin x)
Illustration:4. \left(D^4-a^4\right) y=x^2+\sin b x
Solution: \left(D^4-a^4\right) y=x^2+\sin b x
इसका सहायक समीकरण होगा:

m^4-a^4=0 \Rightarrow(m-a)(m+a)\left(m^2+a^2\right)=0 \\ \Rightarrow m=a,-a, \pm a i
अतः C.F=c_1 e^{a x}+c_2 e^{-a x}+c_3 \cos a x+c_4 \sin a x
पुनः P.I=\frac{1}{\left(D^4-a^4\right)}\left(x^2+\sin b x\right) \\ =\frac{1}{D^4-a^4} x^2+\frac{1}{D^4-a^4} \sin b x \\ =\frac{1}{-a^4\left(1-\frac{D^4}{a^4}\right)} x^2+\frac{\sin bx }{(i b)^4-a^4} \\ =-\frac{1}{a^4}\left(1-\frac{D^4}{a^4}\right)^{-1} x^2+\frac{\sin b x}{i^4 b^4-a^4} \\ =-\frac{1}{a^4} \left(1+ \frac{D^4}{a^4}+\frac{D^8}{a^8}+\cdots\right) x^2+\frac{\sin b x}{b^4-a^4} \\ =-\frac{x^2}{a^4} +\frac{\sin b x}{b^4-a^4} \\ \Rightarrow \text{P.I.}=-\frac{x^2}{a^4}+\frac{\sin b x}{b^4-a^4}
अतः अवकल समीकरण का व्यापक हल है:

y=C.F+P.I
\Rightarrow y=c_1 e^{a x}+c_2 e^{-a x}+c_3 \cos a x+c_4 \sin a x-\frac{x^2}{a^4} +\left(\frac{1}{b^4-a^4}\right) \sin b x
Illustration:5. \left(D^4+D^2+1\right) y=e^{-\frac{x}{2}} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)
Solution: \left(D^4+D^2+1\right) y=e^{-\frac{x}{2}} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)
इसका सहायक समीकरण होगा:
m^4+m^2+1=0 \\ \Rightarrow m^4+2 m^2+1-m^2=0 \\ \Rightarrow \left(m^2+1\right)^2-m^2=0 \\ \Rightarrow \left(m^2-m+1\right)\left(m^2+m+1\right)=0 \\ m^2-m+1=0, m^2+m+1=0 \\ m=\frac{1 \pm \sqrt{1-4 \times 1 \times 1}}{2 \times 1} \\ m=\frac{1 \pm \sqrt{3} i}{2} तथा  m=\frac{-1 \pm \sqrt{1-4 \times 1 \times i}}{2 \times 1} \\ \Rightarrow m=\frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2} \\ \Rightarrow m=\frac{1 \pm \sqrt{3} i}{2}, \frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2}
अतः C.F=e^{\frac{x}{2}}\left(c_1 \cos \frac{\sqrt{3}}{2} x+c_2 \sin \frac{\sqrt{3} x}{2}\right) +e^{-\frac{x}{2}}\left(c_3 \cos \frac{\sqrt{3}}{2} x+c_4 \sin \frac{\sqrt{3}}{2} x\right)
पुनः P.I=\frac{1}{\left(D^4+D^2+1\right)} e^{-\frac{x}{2}} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \\ =e^{-\frac{x}{2}} \frac{1}{\left(D-\frac{1}{2}\right)^4+(D-\frac{1}{2})^2+1} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \\ =e^{-\frac{x}{2}} \frac{1}{D^4-2 D^3+\frac{3}{2} D^2-\frac{1}{2} D+\frac{1}{16}+D^2-D+\frac{1}{4}+1} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \\ =e^{-\frac{x}{2}} \frac{1}{D^4-2 D^3+\frac{5}{2} D^2-\frac{3}{2} D+ \frac{21}{16}} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \\ =e^{-\frac{x}{2}} \frac{1}{\left(D^2+\frac{3}{4}\right)\left(D^2-2 D+\frac{7}{4}\right)} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \\ =\frac{e^{-\frac{x}{2}}}{\left(D^2+\frac{3}{4}\right)} \frac{1}{\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^2-2 D+\frac{7}{4}\right]} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \\ =\frac{e^{-\frac{x}{2}}}{\left(D^2+\frac{3}{4}\right)} \frac{1}{\left(-\frac{3}{4}-2 D+\frac{7}{4}\right)} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \\ =e^{-\frac{x}{2}}\left(\frac{-1}{D^2+\frac{3}{4}}\right) \frac{2 D+1}{(2 D-1)(2 D+1)} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \\ =e^{-\frac{x}{2}}\left(\frac{-1}{D^2+\frac{3}{4}}\right) \frac{2 D+1}{\left(4 D^2-1\right)} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \\ =e^{-\frac{x}{2}} \frac{-1}{\left(D^2+\frac{3}{4}\right)} \frac{\left(-2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \frac{\sqrt{3}}{2} x+\cos \frac{\sqrt{3}}{2} x\right)}{4\left(\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^2-1} \\ =-e^{-\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\left(D^2+\frac{3}{4}\right)} \frac{\left(-\sqrt{3} \sin \frac{\sqrt{3}}{2} x+\cos \frac{\sqrt{3}}{2} x\right)}{(-3-1) } \\ =\frac{1}{4} e^{-\frac{x}{2}} \frac{1}{D^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\left(-\sqrt{3} \sin \frac{\sqrt{3}}{2} x+4 \cos \frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \\ =\frac{1}{4} e^{-\frac{x}{2}}\left(-\sqrt{3} \times -\frac{x}{2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} \cos \frac{\sqrt{3}}{2} x+\frac{x}{2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} \sin \frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \\ \left[ \text { सूत्र } \frac{1}{D^2+a^2} \cos a x=\frac{x}{2 a} \sin a x \text { तथा } \frac{1}{D^2+a^2} \sin a x=\frac{-x}{2 a} \cos a x \text{से } \right] \\ =\frac{x}{4} e^{-\frac{x}{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{3}} \sin \frac{\sqrt{3}}{2} x+\cos \frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \\ \Rightarrow \text{P.I}=\frac{x}{4} e^{-\frac{x}{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{3}} \sin \frac{\sqrt{3}}{2} x+\cos \frac{\sqrt{3} x}{2}\right)
अतः अवकल समीकरण का व्यापक हल है:

Linear Differential Equation in DE

Illustration:6. \left(D^2+2 D+D\right) y=\frac{e^{-x}}{x+2}
Solution: \left(D^2+2 D+D\right) y=\frac{e^{-x}}{x+2}
इसका सहायक समीकरण होगा:

m^2+2 m+1=0 \\ \Rightarrow(m+1)^2=0 \\ \Rightarrow m=-1,-1
अतः C.F.=\left(c_1+c_2 x\right) e^{-x}
पुनः P.I.=\frac{1}{(D+1)^2} \cdot \frac{e^{-x}}{x+2} \\ =e^{-x} \frac{1}{(D-1+1)^2} \cdot \frac{1}{x+2} \\ =e^{-x} \cdot \frac{1}{D^2}\left(\frac{1}{x+2}\right) \\ =e^{-x} \frac{1}{D} \cdot\left[\frac{1}{D} \left(\frac{1}{x+2}\right)\right] \\ =e^{-x}\left[\frac{1}{D} \log (x+2)\right] \\ =e^{-x}\left[\log (x+2) \int 1 d x-\int \left(\frac{d}{d x} \log (x+2) \int 1 d x\right) d x\right] \\ =e^{-x}\left[\log (x+2) \cdot x-\int \frac{1}{x+2} \cdot x d x\right] \\ =e^{-x}\left[x \log (x+2)-\int \frac{x+2-2}{x+2} d x\right] \\ =e^{-x}\left[x \log (x+2)-\int\left(1-\frac{2}{x+2}\right) d x\right] \\ \\ =e^{-x}[x \log (x+2)-x+2 \log (x+2)]
अतः अवकल समीकरण का व्यापक हल है:

y=C.F.+P.I.
\Rightarrow y=\left(C_1+c_2 x\right) e^{-x}+e^{-x}[x \log (x+2)-x+2 \log (x+2)]
Illustration:7. \left(D^2+1\right)\left(D^2+4\right) y=\cos \frac{x}{2} \cos \frac{3 x}{2}
Solution: \left(D^2+1\right)\left(D^2+4\right) y=\cos \frac{x}{2} \cos \frac{3 x}{2}
इसका सहायक समीकरण होगा:

\left(m^2+1\right)\left(m^2+4\right)=0 \\ \Rightarrow m= \pm i, \pm 2 i
अतः C.F.=c_1 \cos x+c_2 \sin x+c_3 \cos 2 x+c_4 \sin 2 x
पुनः P.I.=\frac{1}{\left(D^2+1\right)\left(D^2+4\right)} \cos \frac{2 x}{2} \cos \frac{3 x}{2} \\ =\frac{1}{2\left(D^2+1\right)\left(D^2+4\right)} \left(2 \cos \frac{x}{2} \cos \frac{3 x}{2}\right) \\ =\frac{1}{2\left(D^2+1\right)\left(D^2+4\right)}(\cos 2 x+\cos x) \\ \left [ \because 2 \cos A \cos B=\cos (A+B)+\cos (A-B) \right ] \\ =\frac{1}{2\left(D^2+1\right)\left(D^2+4\right)} \cos x+\frac{1}{2\left(D^2 +1\right)\left(D^2+4\right)} \cos 2 x \\ =\frac{1}{2\left(D^2+1\right) \left(D^2+4\right)} +\frac{1}{\left.2\left[(D^2+1\right)\left( D^2+4 \right)\right]} \cos 2 x \\ =\frac{1}{2 \times 3} \cdot \frac{x}{2} \sin x+\frac{1}{2 \times-3} \frac{x}{2 \times 2} \sin 2 x
[सूत्र से \frac{1}{D^2+a^2} \cos ax=\frac{x}{2 a} \sin ax  ]

=\frac{1}{12} x \sin x-\frac{x}{24} x \sin 2 x \\ \text{P.I.}=\frac{x}{12}\left(\sin x-\frac{1}{2} \sin 2 x\right)
अतः अवकल समीकरण का व्यापक हल है:

y=C.F.+P.I.
\Rightarrow y=c_1 \cos x+c_2 \sin x+c_3 \cos 2 x+ c_4 \sin 2 x+\left(\frac{x}{12}\right)\left(\sin x-\frac{1}{2} \sin 2 x\right)
Illustration:8. \left(D^2+9\right) y=\sin 2 x \cos x
Solution: \left(D^2+9\right) y=\sin 2 x \cos x
इसका सहायक समीकरण होगा:

m^2+9=0 \Rightarrow m= \pm 3 i
अतः C.F=c_1 \cos 3 x+c_2 \sin 3 x
पुनः P.I=\frac{1}{D^2+9} \sin 2 x \cos x \\ =\frac{1}{2\left(D^2+9\right)}(2 \sin 2 x \cos x) \\=\frac{1}{2\left(D^2+9\right)}(\sin 3 x+\sin x)
[सूत्र से 2 \sin A \cos B=\sin (A+B)+\sin (A-B) ]

=\frac{1}{2\left(D^2+9\right)} \sin 3 x+\frac{1}{2\left(D^2+9\right)} \sin x \\ =\frac{1}{2} \cdot\left(-\frac{x}{2 \times 3}\right) \cos 3 x+\frac{1}{2\left(i^2+9\right)} \sin x \\ \left[\text { सूत्र से } \frac{1}{D^2+a^2} \sin a x=-\frac{x}{2 a} \cos a x \text { से }\right] \\ =-\frac{x}{12} \cos 3 x+\frac{1}{16} \sin x \\ \Rightarrow \text { P.I. }=\frac{1}{16} \sin x-\frac{1}{12} x \cos 3 x
अतः अवकल समीकरण का व्यापक हल है:

y=C.F.+P.I.
\Rightarrow y =c_1 \cos 3 x+c_2 \sin 3 x+\frac{1}{16} \sin x-\frac{x}{12} \cos 3 x
Illustration:9. \left(D^2+1\right) y=x^2 \sin 2 x
Solution: \left(D^2+1\right) y=x^2 \sin 2 x
इसका सहायक समीकरण होगा:

m^2+1=0 \Rightarrow m= \pm i
अतः C.F=c_1 \cos x+c_2 \sin x
पुनः P.I=\frac{1}{\left(D^2+1\right)} x^2 \cdot \sin 2 x \\ =\text{I.P. } e^{i 2 x} \frac{1}{(D+2 i)^2+1} x^2 \\ =\text{I.P. } e^{i 2 x} \frac{1}{\left(D^2+4 D i+4 i^2+1\right)} x^2 \\ =\text{I.P. } e^{i 2 x} \frac{1}{\left(D^2+4 D i-3\right)} x^2 \\ =\text{I.P. } \left(\frac{-e^{i 2 x}}{3}\right)\left(1-\frac{D^2+4 D i}{3}\right)^{-1} x^2 \\ =\text{I.P. } \left(-\frac{e^{i 2 x}}{3}\right)\left(1+\frac{D^2+4 D i}{3}+ \left(\frac{D^2 +4 D i}{3}\right)^2+ \cdots \right)x^2 \\ =\text{I.P. } \left(-\frac{e^{i 2 x}}{3}\right) \left(1+\frac{D^2}{3}+\frac{4}{3} D i+\frac{D^4}{9}+\frac{8 D^3 i}{9}-\frac{16}{9} D^2+\cdots \right)x^2 \\ =\text{I.P. } \left(-\frac{e^{i 2 x}}{3}\right)\left(1-\frac{13}{9} D^2+\frac{4}{3} D i+\cdots\right) x^2 \\ =\text{I.P. }\left(-\frac{e^{i 2 x}}{3}\right)\left[\left(x^2-\frac{26}{9}\right) + \frac{8}{3} x i\right] \\ =-\frac{\text{I.P. }}{3}[\cos 2 x+i \sin 2 x)\left[\left(x^2-\frac{26}{9}\right)+\frac{8}{3} x i\right] \\ =-\frac{1}{3}\left[\left(x^2-\frac{26}{9}\right) \sin 2 x+\frac{8}{3} x \cos 2 x\right) \\ \Rightarrow \text{P.I.}=-\frac{1}{3}\left[\left(x^2-\frac{26}{9}\right) \sin 2 x+\frac{8}{3} x \cos 2 x\right]
अतः अवकल समीकरण का व्यापक हल है:

y=C.F.+P.I.
\Rightarrow y=c_1 \cos x+c_2 \sin x-\frac{1}{3}\left[\left(x^2-\frac{26}{9}\right) \sin 2 x +\frac{8}{3} x \cos 2 x\right]
Illustration:10. (D-1)^2\left(D^2+1\right)^2 y=\sin ^2\left(\frac{x}{2}\right)+e^x+x
Solution: (D-1)^2\left(D^2+1\right)^2 y=\sin ^2\left(\frac{x}{2}\right)+e^x+x
इसका सहायक समीकरण होगा:

(m-1)^2\left(m^2+1\right)^2=0 \\ \Rightarrow m=1,1, \pm i
अतः C.F=\left(C_1+c_2 x\right) e^x+\left(c_3+c_4 x\right) \cos x +\left(c_5+c_6 x\right) \sin x
पुनः P.I=\frac{1}{(D-1)^2\left(D^2+1\right)^2}\left(\sin ^2 \frac{x}{2}+e^x+x\right) \\ =\frac{1}{(D-1)^2\left(D^2+1\right)^2}\left[\frac{1-\cos x}{2}+e^x+x\right] \\ =\frac{1}{2} \frac{1}{(0-1)^2\left(0^2+ 1\right)^2}-\frac{\text{R.P}}{2} \frac{1}{(D-1)^2} \frac{e^{i x}}{\left(D+i\right)^2(D-i)^2} +\frac{1}{(0-1)^2 \left(1^2+1\right)^2} e^x+\frac{1}{\left(D^6-2 D^5+3 D^4-4 D^3+3 D^2-2 D+1\right)} x \\ =\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \text{R.P.} \frac{1}{(D-1)^2} \frac{1}{(i+i)^2} \frac{1}{(D-i)^2} e^{ix} +\frac{1}{4} \cdot \frac{x^2}{2 !} e^x+\left(1+D^6-2 D^5+3 D^4-4 D^3+3 D^2-2 D\right)^{-1} x \\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{8} \text{R.P.} \frac{1}{(D-1)^2(D-i)^2} e^{ix}+\frac{x^2}{8} e^x+(x+2) \\=\frac{1}{8} x^2 e^x+\frac{1}{8} \text{R.P. } \frac{1}{(D-1)^2} \cdot \frac{x^2}{2 !} e^{i x}+x+\frac{5}{2}
[सूत्र \frac{1}{(D-a)^r} e^{a x}=\frac{x}{r !} e^{a x} से  ]

=\frac{1}{8} x^2 e^x+\frac{1}{16} \text { R.P. } e^{ix} \frac{1}{(D+i-1)^2} x^2+x+\frac{5}{2} \\ =\frac{1}{8} x^2 e^x+\frac{1}{16} \text { R.P. } \frac{e^{i x}}{(i-1)^2}\left(1+\frac{D}{i-1}\right)^{-2} x^2 +x+\frac{5}{2} \\ =\frac{1}{8} x^2 e^x+\frac{1}{16} \text { R.P. } \frac{e^{i x}}{(-2 i)}\left(1-\frac{2 D}{i-1}+ \frac{3 D^2}{(i-1)^2}\right) x^2 +x+\frac{5}{2} \\ =\frac{1}{8} x^2 e^x+\frac{1}{32} \text { R.P. } i e^{i x} \left(x^2-\frac{4 x}{i-1}+\frac{6}{-2 i}\right) +x+\frac{5}{2} \\ =\frac{1}{8} x^2 e^x+\frac{1}{32} \text { R.P. } i e^{i x}\left(x^2-\frac{4 x(i+1)}{i^2-1}-3 i\right)+x+\frac{5}{2} \\ =\frac{1}{8} x^2 e^x+\frac{1}{32} \text { R.P. } i e^{i x}\left(x^2+2 x i+2 x-3i \right)+x+\frac{5}{2} \\ =\frac{1}{8} x^2 e^x+\frac{1}{32} \text { R.P. } e^{i x}\left[\left(x^2+2 x\right) i-(2 x-3)\right] +x+\frac{5}{2} \\ =\frac{1}{8} x^2 e^x+\frac{1}{32} \text { R.P. }(\cos x+i \sin x)\left[\left(x^2+2 x\right) i -(2 x-3)\right]+x+\frac{5}{2} \\ =\frac{1}{8} x^2 e^x+\left[\frac{-\left(x^2+2 x\right) \sin x-(2 x-3) \cos x}{32}\right] +x+\frac{5}{2} \\ \Rightarrow \text { P.I. }=\frac{1}{8} x^2 e^x-\frac{1}{32}\left[\left(x^2+2 x\right) \sin x+(2 x-3) \cos x\right]+x+\frac{5}{2}

2 x \sin x तथा (2 x-3) \cos x का पद पूरक फलन में शामिल है अतः इन्हें व्यापक हल में शामिल नहीं करेंगे :
अतः अवकल समीकरण का व्यापक हल है:

y=C.F.+P.I.
\Rightarrow y=\left(c_1+c_2 x\right) e^x+\left(c_3+c_4 x\right) \cos x+\left(c_5+c_6 x\right) \sin x+\frac{1}{8} x^2 e^x-\frac{1}{32} x^2 \sin x +x+\frac{5}{2}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रैखिक समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equation in DE),अचर-गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations with Constant Coefficients) को समझ सकते हैं।

3.रैखिक समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण की समस्याएँ (Linear Differential Equation in DE Problems):

Linear Differential Equation in DE

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):

(1.) \frac{d^4 y}{d x^4}-y=x \sin x
(2.) \frac{d^2 y}{d x^2}+4 y=x \sin x
उत्तर (Answers): (1.) \frac{1}{8} x^2 \cos x-\frac{3}{2} x \sin x
(2.) \frac{1}{9}(3 x \sin x-2 \cos x)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रैखिक समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equation in DE),अचर-गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations with Constant Coefficients) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.रैखिक समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Linear Differential Equation in DE),अचर-गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations with Constant Coefficients) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

रैखिक समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equation in DE)
के इस आर्टिकल में अचर-गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरणों का पूरक फलन तथा
विशिष्ट समाकल ज्ञात करके व्यापक हल ज्ञात करना सीखेंगे।