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Methods to Find particular Integral

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1 1.विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधियां (Methods to Find particular Integral),अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण का व्यापक हल (General Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients)-

1.विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधियां (Methods to Find particular Integral),अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण का व्यापक हल (General Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients)-

विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधियां (Methods to Find particular Integral),अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण का व्यापक हल (General Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients) में अथवा के विशेष रूप की विवेचना की जाएगी।इसमें a अचर है।
\frac{1}{f(D)} \sin a x एवं \frac{1}{f(D)} \cos a x ज्ञात करना।
(Evaluate \frac{1}{f(D)} \sin a x and \frac{1}{f(D)} \cos a x)
(1.)विशिष्ट समाकल की स्थितियां (particular integral cases)-
स्थिति I: f\left(-a^{2}\right) \neq 0
उत्तरोत्तर अवकलन (Successive differentiation) से हम जानते हैं कि

D(\sin a x)=a \cos a x \\ D^{2}(\sin a x)=\left(-a^{2}\right) \sin a x \\ D^{3}(\sin a x)=\left(-a^{3}\right) \cos a x \\ D^{4}(\sin a x)=a^{4} \sin a x=\left(-a^{2}\right)^{2} \sin a x \\ ...............
व्यापकत: D^{2 n}(\sin a x)=(-a^{2})^{n} \sin a x
अतः f\left(D^{2}\right) \sin a x=f\left(-a^{2}\right) \sin a x
दोनों पक्षों को \frac{1}{f\left(D^{2}\right)} से संक्रिया करने पर

\frac{1}{f\left(D^{2}\right)}[ f\left(D^{2}\right) \sin a x]=\frac{1}{f\left(D^{2}\right)}\left[f\left(-a^{2}\right) \sin a x\right]
या \sin a x=f\left(-a^{2}\right) \frac{1}{f\left(D^{2}\right)} \sin a x
अतः \frac{1}{f(D)^{2}} \sin a x=\frac{1}{f\left(-a^{2}\right)} \sin a x, f\left(-a^{2}\right) \neq 0
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि

\frac{1}{f(D)^{2}} \cos a x=\frac{1}{f\left(-a^{2}\right)} \cos a x, f\left(-a^{2}\right) \neq 0
स्थिति II:f\left(-a^{2}\right) = 0
जब f\left(-a^{2}\right) = 0 हो तो उपर्युक्त विधि असफल हो जाती है।ऐसी स्थिति में निम्नलिखित विधि का प्रयोग करते हैं।यूलर प्रमेय से हम जानते हैं कि

e^{i a x}=\cos a x+i \sin a x
इसलिए हम कह सकते हैं कि

\frac{1}{D^{2}+a^{2}} \sin a x=\frac{1}{D^{2}+a^{2}} e^{i a x} का कल्पित भाग (Imaginary Part) तथा \frac{1}{D^{2}+a^{2}} \cos a x=\frac{1}{D^{2}+a^{2}} e^{iax} का वास्तविक भाग (Real Part)
अब  \frac{1}{D^{2}+a^{2}} e^{i a x} =\frac{1}{(D-ia)(D+i a)} e^{i a x} \\ =\frac{1}{(D-i a)}\left[\frac{1}{2 i a} e^{i a x}\right] \\ =\frac{1}{2 i a}\left[\frac{1}{D-i a} e^{i a x}\right] \\ =\frac{1}{2 i a} e^{i a x} \int e^{i a x} \cdot e^{-i a x} d x \\ =\frac{1}{2 i a} e^{i a x} \int 1 d x \\ =\frac{1}{2 i a} x e^{i a x} \\ =\frac{1}{2 i a} x(\cos a x+i \sin a x) \\ =\frac{x}{2 a} \sin a x-i \frac{x}{2 a} \cos a x
वास्तविक व काल्पनिक भागों को बराबर करने पर

\frac{1}{D^{2}+a^{2}} \cos a x=\frac{x}{2a} \sin a x \\ \frac{1}{D^{2}+a^{2}} \sin a x=-\frac{x}{2 a} \cos a x
टिप्पणी 1:अधिक व्यापक रूप में हम लिख सकते हैं कि जब f\left(-a^{2}\right) \neq 0 \\ \frac{1}{f\left(D^{2}\right)} \sin (a x+b) =\frac{1}{f\left(D^{2}\right)}[\cos b \sin x+\sin b \cos a x] \\ =\cos b \frac{1}{f (D^{2})} \sin a x+\sin b \frac{1}{f\left(D^{2}\right)} \cos a x \\ =\cos b \frac{1}{f\left(-a^{2}\right)} \sin a x+\sin b \frac{1}{f\left(-a^{2}\right)} \cos a x \\ =\frac{1}{f(-a)^{2}} \cdot[\cos b \sin a x+\sin b \cos a x] \\ \frac{1}{f(D)^{2}} \cdot \sin (a x+b)=\frac{1}{f\left(-a^{2}\right)} \sin (a x+b)
इसी प्रकार \frac{1}{f\left(D^{2}\right)} \cos (a x+b)=\frac{1}{f\left(-a^{2}\right)} \cos (ax+b)
टिप्पणी 2:\frac{1}{f(D)} \sin (a x) (अथवा \cos a x) का मान ज्ञात करने के लिए हम D^{2} के स्थान पर -a^{2},D^{3}के स्थान पर -a^{2}Dआदि याद रखेंगे।ऐसा करने से अन्त में \frac{1}{f(D)} \sin a x का रूप \frac{1}{A+B D}(\sin a x) में आ जाएगा, जहां A और B अचर राशियां होंगी।अब चूंकि (A-BD) तथा \frac{1}{A-B D} एक दूसरे के प्रतिलोम संक्रिया हैं।

\frac{1}{A+B D} \sin a x =(A-B D) \frac{1}{(A-B D)} \left[\frac{1}{A+B D} \sin a x\right] \\ =(A-B D)\left[\frac{1}{A^{2}-B^{2} D^{2}} \sin a x\right] \\ =(A-B D)\left[\frac{1}{A^{2}+B^{2} a^{2} } \sin a x \right] \\ =\frac{1}{\left(A^{2}+a^{2} D^{2}\right)}(A-B D)\sin a x \\ =\frac{1}{\left(A^{2}+a^{2} D^{2}\right)}[A \sin a x-B a \cos a x]
इसी प्रकार 

A+B D \cos a x=\frac{1}{\left(A^{2}+a^{2} D^{2}\right)}[A \cos a x+B a \sin a x]
(2.)टिप्पणी 3: स्थिति (II) के परिणामों को याद रखने की सरल विधि,विशिष्ट समाकल सूत्र (Particular integral formula),sinax का विशिष्ट समाकल (Particular integral of sinax)-

(i) \frac{1}{\left(D^{2}+a^{2}\right)} \cos a x=\frac{x}{2} \int \cos a x d x=\frac{x}{2 a} \sin a x \\ (ii) \frac{1}{\left(D^{2}+a^{2}\right)} \sin a x=\frac{x}{2} \int \sin a x d x=-\frac{x}{2 a} \cos a x
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2.विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधियां के उदाहरण (Methods to Find particular Integral Examples),अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण का व्यापक हल के उदाहरण (General Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients Examples)-

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations)
Example-1.\frac{d^{3} y}{d x^{3}}+\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-\frac{d y}{d x}-y=\cos 2 x
Solution-\frac{d^{3} y}{d x^{3}}+\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-\frac{d y}{d x}-y=\cos 2 x
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A.E.) होगा-

\left(m^{3}+m^{2}-m-1\right)=0 \\ \Rightarrow m^{2}(m+1)-1(m+1)=0 \\ \Rightarrow(m+1)\left(m^{2}-1\right)=0 \\ \Rightarrow(m+1)(m+1)(m-1)=0 \\ \Rightarrow(m+1)^{2}(m-1)= 0 \\ \Rightarrow m=-1,-1,1
अतः पूरक फलन (C.F.)=\left(c_{1}+c_{2} x\right) e^{-x}+c_{3} e^{x}
पुनः विशिष्ट हल (P.I.)= \frac{1}{(D+1)^{2}(D-1)} \cos 2 x

=Real part of \frac{1}{(D+1)^{2}(D-1)} \cos 2 x  \\ =R.P.\frac{1}{(D+1)\left(D^{2}-1\right)} e^{i 2 x} \\ =R \cdot P \cdot \frac{1}{(D+1)\left[(2 i)^{2}-1\right]} e^{i 2 x} \\ =R \cdot P \cdot \frac{1}{(D+1)\left(4 i^{2}-1\right)} e^{i 2 x} \\ =R \cdot P \cdot\left(-\frac{1}{5}\right) \frac{1}{(D+1)} e^{i 2 x} \\ =R \cdot P \cdot\left(-\frac{1}{5}\right) \frac{1}{(2 i+1)} e^{i 2 n} \\ =R \cdot P \cdot\left(-\frac{1}{5}\right) \frac{(2 i-1)}{(2 i+1)(2 i-1)}(\cos 2 x+i \sin 2 x) \\ =R \cdot P \cdot\left(-\frac{1}{5}\right) \frac{(2 i-1)}{\left(4 i^{2}-1\right)}(\cos 2 x+i \sin 2 x) \\ =R \cdot P \cdot\left(\frac{1}{25}\right)[(-2 \sin 2 x-\cos 2 x)+i(\cos 2 x-\sin 2 x)] \\ =-\frac{1}{25}(2 \sin 2 x+\cos 2 x)
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा-

y=C.F.+P.I.

y=\left(c_{1}+c_{2} x\right) e^{-x}+c_{3} e^{x}-\frac{1}{25}\left(2 \sin 2 x+\cos 2 x\right)

उपर्युक्त उदाहरण द्वारा विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधियां (Methods to Find particular Integral),अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण का व्यापक हल (General Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients) को समझ सकते हैं।

Example-2.\left(D^{3}-3 D^{2}+4 D-2\right) y=e^{x}+\cos x
Solution-\left(D^{3}-3 D^{2}+4 D-2\right) y=e^{x}+\cos x \\ \Rightarrow\left[\left(D^{3}-2 D^{2}\right)-2 D^{2}+2 D+2 D-2\right] y=e^{x}+\cos x \\ \Rightarrow\left[D^{2}(D-1)-2 D(D-1)+2(D-1)\right] y=e^{X}+\cos x \\ \Rightarrow(D-1)\left(D^{2}-2 D+2\right) y=e^{x}+\cos x
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A.E.) होगा-

(m-1)\left(m^{2}-2 m+2\right)=0 \\ m=1, \quad m=\frac{2 \pm \sqrt{(-2)^{2}-4 \times 1 \times 2}}{2} \\ m=\frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2} \\ \Rightarrow m=\frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} \\ \Rightarrow m=1 \pm i \\ m=1,1 \pm i
अतः पूरक फलन (C.F.)=c_{1} e^{x}+e^{x}\left(c_{2} \cos x+c_{3} \sin x\right)
पुनः विशिष्ट हल (P.I.)=\frac{1}{(D-1)\left(D^{2}-2 D+2\right)}\left(e^{x}+\cos x\right) \\ =\frac{1}{(D-1)\left(D^{2}-2 D+2\right)} e^{x}+\frac{1}{(D-1)\left(D^{2}-2 D+2\right)} \cos x \\ =\frac{1}{(D-1)\left[1^{2}-2(1)+2\right]} e^{x}+R \cdot P \cdot of \frac{1}{(D-1)\left(D^{2}-2 D+2\right)} e^{i x} \\ =\frac{1}{(D-1)} e^{x}+R \cdot P \cdot o f \frac{1}{(D-1)\left[i^{2}-2 i+2\right]} e^{i x} \\ =\frac{1}{(-1)} e^{x}+R \cdot P \cdot o f \quad \frac{1}{(1-2 i)(D-1)} e^{i x} \\=\frac{x}{1!} e^{x}+R \cdot P \cdot o f \frac{1}{(1-2 i)(i-1)} e^{i x} \\ =x e^{x}+R \cdot P \cdot of \frac{1}{\left(i-2 i^{2}-1+2 i\right)} e^{i x} \\ =x e^{x}+R \cdot P \cdot o f \frac{1}{(3 i+1)} e^{i x} \\ =x e^{x}+R \cdot P \cdot o f \frac{(1-3 i)}{(1+3 i)(1-3 i)} e^{i x} \\ \Rightarrow P.I=x e^{x}+R \cdot P \cdot o f \frac{(1-3 i)(\cos x+i \sin x)}{\left(1-9 i^{2}\right)} \\ \Rightarrow P.I=x e^{x}+R \cdot P \cdot o f \left[\frac{(\cos x+3 \sin x)+i(\sin x-3 \cos x)}{10}\right]\\ \Rightarrow P.I=x e^{x}+\frac{1}{10}(\cos x+3 \sin x)
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा-

y=c_{1} e^{x}+e^{x}\left(c_{2} \cos x+c_{2} \sin x\right)+x e^{x}+\frac{1}{10} \cos x+\frac{3}{10} \sin x

उपर्युक्त उदाहरण द्वारा विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधियां (Methods to Find particular Integral),अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण का व्यापक हल (General Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients) को समझ सकते हैं।
Example-3.\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+4 y=\sin ^{2} x+4
Solution- \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+4 y=\sin ^{2} x+4 \\ \Rightarrow \left(D^{2}+4\right) y=\frac{1-\cos 2 x}{2}+4 \\ \Rightarrow \left(D^{2}+4\right) y=\frac{9}{2}-\frac{1}{2} \cos 2 x
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A.E.) होगा-

m^{2}+4 =0 \\ \Rightarrow m=\pm 2 i
अतः पूरक फलन (C.F.)=c_{1} \cos 2 x+c_{2} \sin 2 x
पुनः विशिष्ट हल (P.I.)=P \cdot I=\frac{1}{\left(D^{2}+4\right)}\left[\frac{9}{2}-\frac{1}{2} \cos 2 x \right] \\ =\left(\frac{1}{D^{2}+4}\right) \frac{9}{2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\left(D^{2}+4\right)} \cos 2 x \\ =\frac{9}{2} \frac{1}{\left(D^{2}+4\right)} \cdot e^{a x}-\frac{1}{2} \frac{x}{4} \sin 2 x
[सूत्र \frac{1}{D^{2}+a^{2}}(\cos a x)=\frac{x}{2 a} \sin ax से]

=\frac{9}{2} \frac{1}{(0+4)}-\frac{1}{8} x \sin 2 x \\ =\frac{9}{8}-\frac{1}{8} x \sin 2 x
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा-

y=C.F.+P.I

\Rightarrow y =c_{1} \cos 2 x+c_{2} \sin 2 x+\frac{9}{8}-\frac{1}{8} x \sin 2 x

उपर्युक्त उदाहरण द्वारा विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधियां (Methods to Find particular Integral),अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण का व्यापक हल (General Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients) को समझ सकते हैं।
Example-4.\frac{d^{3} y}{d x^{3}}+y=\sin 3 x-\cos ^{2}\left(\frac{x}{2}\right)
Solution-\frac{d^{3} y}{d x^{3}}+y=\sin 3 x-\cos ^{2}\left(\frac{x}{2}\right) \\ \Rightarrow \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+y=\sin 3 x-\left(\frac{1+\cos x}{2}\right) \\ \Rightarrow \left(D^{3}+1\right) y=-\frac{1}{2}+\sin 3 x-\frac{1}{2} \cos x
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A.E.) होगा-

\left(m^{3}+1\right)=0 \\ \Rightarrow(m+1)\left(m^{2}-m+1\right)=0 \\ \Rightarrow m=-1,m=\frac{1 \pm \sqrt{(-1)^{2}-4 \times 1 \times 1}}{2} \\ m=\frac{1 \pm \sqrt{3} i}{2} \\ m=-1, \frac{1 \pm \sqrt{3} i}{2}
अतः पूरक फलन (C.F.)=c_{1} e^{-x}+e^{\frac{x}{2}}\left[c_{2} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)+c_{3} \sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)\right]
पुनः विशिष्ट हल (P.I.)=\frac{1}{\left(D^{3}+1\right)}\left[-\frac{1}{2}+\sin 3 x-\frac{1}{2} \cos x\right] \\ =\frac{1}{\left(D^{3}+1\right)}\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{\left(D^{3}+1\right)} \sin 3 x-\frac{1}{2} \frac{1}{\left(D^{3}+1\right)} \cos x \\ =\left(-\frac{1}{2}\right) \frac{1}{(0+1)}+\text { Imaginary part of } \frac{1}{\left(D^{3}+1\right)} \cdot e^{3 x}-\frac{1}{2} \text {R.P } \frac{1}{\left(D^{3}+1\right)} e^{i x} \\ =-\frac{1}{2}+\text {I.P. of } \frac{e^{i 3 x}}{\left[(3 i)^{3}+1\right]}-\frac{1}{2} \text {R.P. of } \frac{ e^{i x}}{\left(i^{3}+1\right)} \\ =-\frac{1}{2}+\text {I.P. of } \frac{e^{i 3 x}}{\left[27(i)^{3}+1\right]}-\frac{1}{2} \text {R.P. of } \frac{ e^{i x}}{\left(1-i\right)} \\ =-\frac{1}{2}+\text {I.P. of } \frac{(1+27 i)(\cos 3 x+i \sin 3 x)}{(1-27 i)(1+27 i)}-\frac{1}{2} \text {R.P. of} \frac{(1+i)(\cos x+\sin x)}{(1-i)(1+i)} \\ =\frac{-1}{2}+\text {I.P. of } \frac{[(\cos 3 x-27 \sin 3 x)+i(\sin 3 x+27 \cos 3x)}{\left(1-729 i^{2}\right)}-\frac{1}{2} \text {R.P. of} \frac{(\cos x-\sin x)+i(\sin x+\cos x)}{\left(1-i^{2}\right)} \\ =-\frac{1}{2}+\frac{\sin 3 x+27 \cos x}{1+729}-\frac{1}{2} \frac{(\cos x-\sin x)}{1+1} \\=-\frac{1}{2}+\frac{1}{730}(\sin 3 x+27 \cos 3 x)-\frac{1}{4}(\cos x-\sin x)
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा-

y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=c_{1} e^{-x}+e^{x / 2}\left[c_{2} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)+c_{3} \sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \right]+\frac{1}{730}(\sin 3 x+27 \cos 3 x)-\frac{1}{4}(\cos x-\sin x)-\frac{1}{2}

उपर्युक्त उदाहरण द्वारा विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधियां (Methods to Find particular Integral),अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण का व्यापक हल (General Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients) को समझ सकते हैं।
Example-5.\left(D^{2}+D+1\right) y =(1+\sin x)^{2}
Solution-\left(D^{2}+D+1\right) y =(1+\sin x)^{2} \\ \left(D^{2}+D+1\right) y =1+2 \sin x+\sin ^{2} x \\ \left(D^{2}+D+i\right) y =1+2 \sin x+\frac{1-\cos 2 x}{2} \\\left(D^{2}+D+1\right) y =\frac{3}{2}+2 \sin x-\frac{1}{2} \cos 2 x
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A.E.) होगा-

m^{2}+m+1=0 \\ \Rightarrow m=\frac{-1 \pm \sqrt{(1)^{2}-4 \times 1 \times 1}}{2} \\ \Rightarrow m=\frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2}
अतः पूरक फलन (C.F.)= e^{x / 2}\left\{c_{1} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)+c_{2} \sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)\right \}
पुनः विशिष्ट हल (P.I.)=\frac{1}{\left(D^{2}+D+1\right)}\left(\frac{3}{2}+2 \sin x-\frac{1}{2} \cos 2 x\right) \\ =\frac{1}{D^{2}+D+1}\left(\frac{3}{2}\right)+2 \frac{1}{\left(D^{2}+D+1\right)} \sin x+\frac{1}{2\left(D^{2}+D+1\right)} \cos 2 x \\ =\frac{3}{2\left(D^{2}+D+1\right)} e^{0 . x}+ \text {2 I.M. of} \frac{1}{\left(D^{2}+D+1\right)} e^{ix} - \frac{1}{2} \text {R.P. of} \frac{1}{\left(D^{2}+D+1\right)} e^{i 2 x} \\ \frac{3}{2\left(0^{2}+0+1\right)} e^{0 . x}+ \text {2 I.M. of} \frac{1}{\left(i^{2}+i+1\right)} e^{ix} - \frac{1}{2} \text {R.P. of} \frac{1}{\left((2i)^{2}+2i+1\right)} e^{i 2 x} \\=\frac{3}{2}+\text {2 I.M. of} \frac{1}{i} e^{i x}-\frac{1}{2} \text {R.P. of} \frac{1}{\left(4 i^{2}+2 i+1\right)} e^{i 2 x} \\=\frac{3}{2}+\text {2 I.M. of} \frac{i}{(i)(i)}(\cos x+i \sin x)-\frac{1}{2} \text {R.P. of} \frac{(-3-2 i)(\cos 2 x+i \sin 2x)}{(-3+2 i)(-3+2 i)} \\ =\frac{3}{2}+\text {2 I.M. of}(\frac{i\cos x- \sin x}{i^{2}} )-\frac{1}{2} \text {R.P. of}\frac{(-3\cos 2 x+2 \sin x)+i(-3 \sin 2x-2\cos 2 x)}{(9-4i^{2})}] \\ =\frac{3}{2}-2\cos x-\frac{1}{2} \text {R.P. of}\frac{(-3\cos 2 x+2 \sin x)+i(-3 \sin 2x-2\cos 2 x)}{(9+4)}] \\ =\frac{3}{2}-2 \cos x-\frac{1}{26}(-3 \cos 2 x+2 \sin 2 x)
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा-

\Rightarrow y=\bar{e}^{x / 2}\left[c_{1} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)+c_{2} \sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)\right]+ \frac{3}{2}+\frac{1}{26}(3 \cos 2 x-2 \sin 2 x)-2 \cos x

Example-6.\left(D^{2}+a^{2}\right) y=\sin a x
Solution-\left(D^{2}+a^{2}\right) y=\sin a x
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A.E.) होगा-

\left(m^{2}+a^{2}\right)^{2}=0 \\ \Rightarrow m=\pm a i, \pm a i
अतः पूरक फलन (C.F.)=(c_{1}+c_{2} x) \cos ax + (c_{3}+c_{4} x) \sin a x
पुनः विशिष्ट हल (P.I.)=\frac{1}{\left(D^{2}+a^{2}\right)^{2}} \sin a x \\ =\frac{1}{[(D+i a)(D-i a)]^{2}} \sin a x \\ =\text {I.P. of} \frac{1}{(D-i a)^{2}(D+i a)^{2}} e^{ia x} \\ =\text {I.P. of} \frac{1}{(D-i a)^{2}}\left[\frac{1}{(D+i a)^{2}} e^{i a x}\right] \\=\text {I.P. of} \frac{1}{(1-i a)^{2}}\left[\frac{1}{(i a+i a)^{2}} e^{i a x}\right] \\ =\text {I.P. of} \frac{1}{(D-i a)^{2}} \frac{1}{(2 i a)^{2}} e^{i a x} \\=\text {I.P. of} \frac{1}{4 i^{2} a^{2}}\left[\frac{1}{(D-i a)^{2}} e^{i a x}\right]
[सूत्र \frac{1}{f(D)} e^{a x}=\frac{1}{\phi(a)} \cdot \frac{x^{r}}{r!} e^{a x}, \phi(a)\neq 0 से]

=\text {I.P. of} \left(\frac{-x^{2}}{8 a^{2}}\right)(\cos a x+i \sin a x) \\ P.I=-\frac{x^{2}}{8 a^{2}} \sin a x

अतः समीकरण का व्यापक हल होगा-

y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=\left(c_{1}+c_{2} x\right) \cos a x+\left(c_{3}+c_{4} x\right) \sin a x-\frac{x^{2}}{8 a^{2}} \sin a x

उपर्युक्त उदाहरण द्वारा विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधियां (Methods to Find particular Integral),अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण का व्यापक हल (General Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients) को समझ सकते हैं।
Example-7.\left(D^{2}+1\right)^{2} y=\cos x \cos 2 x
Solution-\left(D^{2}+1\right)^{2} y=\cos x \cos 2 x \\ \Rightarrow\left(D^{2}+1\right)^{2} y=\frac{1}{2}(2 \cos x \cos 2 x) \\ \Rightarrow\left(D^{2}+1\right)^{2} y=\frac{1}{2}[\cos 3 x+\cos x] \\ \Rightarrow\left(D^{2}+ 1\right)^{2} y=\frac{1}{2} \cos 3 x+\frac{1}{2} \cos x
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A.E.) होगा-

\left(m^{2}+1\right)^{2}=0 \Rightarrow m=\pm i_{1} \pm i
अतः पूरक फलन (C.F.)=\left(c_{1}+c_{2} x\right) \cos x+\left(c_{3}+c_{4} x\right) \sin x
पुनः विशिष्ट हल (P.I.)=\frac{1}{\left(D^{2}+1\right)^{2}}\left[\frac{1}{2} \cos 3 x+\frac{1}{2} \cos x\right] \\=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\left(D^{2}+1\right)^{2}} \cos 3 x+\frac{1}{2} \frac{1}{\left.(D^{2}+1\right)^{2}} \cos x \\=\frac{1}{2} \frac{1}{[(D+i)(D-i)]^{2}} \cos 3 x+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{[(D+i)(D-i)]^{2}} \cdot \cos x \\=\frac{1}{2} \text {R.P. of} \frac{1}{(D-i)^{2}}\left[\frac{1}{(D+i)^{2}} e^{i 3 x}\right]+\frac{1}{2} \text {R.P. of} \frac{1}{(D-i)^{2}}\left[\frac{1}{(D+i)^{2}} e^{i x}\right] \\ =\frac{1}{2} \text {R.P. of} \frac{1}{(3i-i)^{2}}\frac{1}{(3i+i)^{2}} e^{i 3 x}+\frac{1}{2} \text {R.P. of} \frac{1}{(D-i)^{2}}\frac{1}{(i+i)^{2}} e^{i x} \\ =\frac{1}{2} \frac{1}{(2 i)^{2}(4 i)^{2}} e^{i3 x}+\frac{1}{2} \text {R.P. of} \frac{1}{(2 i)^{2}} \frac{1}{(D-i)^{2}} e^{x} \\ =\frac{1}{2} \text {R.P. of} \frac{1}{(4 i)^{2}\left(16 i^{2}\right)}\left(\cos 3 x+i \sin 3 x\right)+\frac{1}{2} \text {R.P. of} \frac{1}{\left(4 i^{2}\right)} \cdot \frac{x^{2}}{2 !} e^{i x}
[सूत्र \frac{1}{f(D)} e^{a x}=\frac{1}{\phi(a)} \cdot \frac{x^{r}}{r!} e^{a x}, \phi(a)\neq 0 से]

=\frac{1}{2}\left(\frac{\cos 3 x}{64}\right)+\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4}\right) x^{2} \text {R.P. of}(\cos x+isin x) \\\Rightarrow P.I=+\frac{1}{128} \cos 3 x-\frac{1}{16} x^{2} \cos x
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा-

y=C.F.+P.I.

y=\left(c_{1}+c_{2} x\right) \cos x+\left(c_{3}+c_{4} x\right) \sin x+\frac{1}{28} \cos 3 x-\frac{1}{16} x^{2} \cos x
Example-8.\left(D^{2}+4\right)^{2}(D-2)^{2} y=\cos ^{2} x
Solution-\left(D^{2}+4\right)^{2}(D-2)^{2} y=\cos ^{2} x \\ \Rightarrow \left(D^{2}+4\right)^{2}(D-2)^{2} y=\frac{1+\cos 2x}{2}
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A.E.) होगा-

\left.m^{2}+4\right)^{2}(m-2)^{2}=0 \\ \Rightarrow m=2,2, \pm 2 i, \pm 2 i
अतः पूरक फलन (C.F.)=\left(c_{1}+c_{2} x\right) e^{2 x}+\left(c_{3}+c_{4} x\right) \cos 2 x+\left(c_{5}+c_{6} x\right) \sin 2 x
पुनः विशिष्ट हल (P.I.)=\frac{1}{\left(D^{2}+4\right)^{2}(D-2)^{2}}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos 2 x\right] \\=\frac{1}{\left(D^{2}+4\right)^{2}(D-2)^{2}}\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2} \text {R.P. of} \frac{1}{\left(D^{2}+4\right)^{2}(D-2)^{2}} e^{i 2 x} \\ =\frac{1}{2} \frac{1}{\left(D^{2}+4\right)^{2}(D-2)^{2}} e^{0 . x}+\frac{1}{2} \text {R.P. of} \frac{1}{(D+2 i)^{2}(D-2 i)^{2}(D-2)^{2}} e^{i2x} \\ =\frac{1}{2} \frac{1}{(0+4)^{2}(0-2)^{2}}+\frac{1}{2} \text {R.P. of} \frac{1}{(D-2 i)^{2}}\left[\frac{1}{(D+2 i)^{2}(D-2)^{2}} e^{i 2 x}\right] \\ =\frac{1}{128}+\frac{1}{2} \text {R.P. of} \frac{1}{(D-2 i)}\left[\frac{1}{(2 i+2 i)^{2}\left(2i-2\right)} e^{i 2 x}\right] \\ =\frac{1}{128}+\frac{1}{2} \text {R.P. of}\frac{1}{(4 i)^{2}\left(4 i^{2}-8 i+4\right)}\left[\frac{1}{(D-2 i)^{2}} e^{i 2 x}\right] \\ =\frac{1}{128}+\frac{1}{2} \text {R.P. of} \frac{1}{16 i^{2}(-4-8 i+4)} \frac{x^{2}}{2 !} e^{i 2 x}
[सूत्र \frac{1}{f(D)} e^{a x}=\frac{1}{\phi(a)} \cdot \frac{x^{r}}{r!} e^{a x}, \phi(a)\neq 0 से]

=\frac{1}{128}+\frac{1}{2} \text {R.P. of} \left(\frac{x^{2}}{2}\right) \frac{1}{(-16)(-8 i)}(\cos 2 x+i \sin 2 x) \\ =\frac{1}{128}+\frac{x^{2}}{4} \text {R.P. of} \frac{1}{128} \times \frac{i}{i}(\cos 2 x+i \sin 2 x) \\ =\frac{1}{128}+\frac{x^{2}}{4} \text {R.P. of} \frac{1}{128 i^{2}}(i\cos 2 x-\sin 2 x) \\ =\frac{1}{128}-\frac{x^{2}}{512}(-\sin 2 x) \\ =\frac{1}{128}+\frac{x^{2}}{512} \sin 2 x
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा-

y=C.F+P.I

\Rightarrow y=\left(c_{1}+c_{2} x\right) e^{2x}+\left(c_{3}+c_{4} x\right) \cos 2 x+\left(c_{5}+c_{6}x\right) \sin 2 x+\frac{1}{128}+\frac{x^{2}}{512} \sin 2 x

उपर्युक्त उदाहरण द्वारा विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधियां (Methods to Find particular Integral),अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण का व्यापक हल (General Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients) को समझ सकते हैं।
Example-9.\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 k \frac{d y}{d x}+k^{2} y=A \cos p x
Solution-\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 k \frac{d y}{d x}+k^{2} y=A \cos p x \\ \left(D^{2}+2 k D+k^{2}\right) y=A \cos p x
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A.E.) होगा-

m^{2}+2 k m+k^{2}=0 \\ \Rightarrow \quad(m+k)^{2}=0 \Rightarrow m=-k,-k
अतः पूरक फलन (C.F.)=\left(c_{1}+c_{2} x\right) e^{-k x}
पुनः विशिष्ट हल (P.I.)=\frac{1}{\left(D^{2}+2 k D+k^{2}\right)} A \cos p x \\ =\text {A R.P. of} \frac{1}{\left(D^{2}+2 K D+K^{2}\right)} e^{i p x} \\=\text {A R.P. of} \frac{1}{\left(ip)^{2}+2 k(i p)+k^{2}\right.} e^{i p x} \\=\text {A R.P. of} \frac{1}{i^{2}p^{2}+2 kpi+k^{2}} e^{i p x} \\ =\text {A R.P. of} \frac{\left(k^{2}-p^{2}-2kpi\right) (\cos p x+i \sin p x)}{\left(k^{2}-p^{2}+2kpi\right)\left(k^{2}-p^{2}-2kpi\right)} \\=\text {A R.P. of} \frac{[\left(k^{2}-p^{2}\right) \cos p x+2 k p \sin p x+i\left(k^{2}-p^{2}\right) \sin p x-2 k p \cos p x]}{\left(k^{2}-p^{2}\right)^{2}+4 k^{2} p^{2}i^{2}} \\=\text {A R.P. of} \frac{\left(k^{2}-p^{2}\right) \cos p x+2 k p \sin p x}{k^{4}+p^{4}-2 k^{2} p^{2}+4 k^{2} p^{2}} \\=\text {A R.P. of} \frac{\left(k^{2}-p^{2}\right) \cos p x+2 k p \sin p x}{k^{4}+p^{4}+2 k^{2} p^{2}} \\ =\frac{A}{\left(k^{2} + p^{2}\right)^{2}}\left[\left( k^{2}-p^{2}\right) \cos p x +2 k p \sin p x\right]

अतः समीकरण का व्यापक हल होगा-

y=C.F+P.I

\Rightarrow y=(c_{1}+c_{2} x) \bar{e}^{k x}+\frac{A}{\left(k^{2}+p^{2}\right)^{2}}\left[\left(k^{2}-p^{2}\right) \cos \rho x+2 k p \sin p x\right]
Example-10.\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+b^{2} x=k \cos b t,दिया हुआ है कि (given that) x=0 और (and) \frac{dx}{dt}=0,जबकि (when) t=0
Solution-\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+b^{2} x=k \cos b t \\ \Rightarrow \left(D^{2}+b^{2}\right) x=k \cos b t
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A.E.) होगा-

m^{2}+b^{2}=0 \Rightarrow m=\pm b i
अतः पूरक फलन (C.F.)=c_{1} \cos b t+c_{2} \sin b t
पुनः विशिष्ट हल (P.I.)=\frac{1}{\left(D^{2}+b^{2}\right)} k \cos b t \\ \frac{k t}{2 b} \sin b t
[सूत्र \frac{1}{\left(D^{2}+a^{2}\right)} \cos a x=\frac{x}{2a} \sin a x से]

\Rightarrow P.I.=\frac{kt}{2b} \sin b t
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा-

x=C.F+P.I

\Rightarrow x=c_{1} \cos b t+c_{2} \sin b t+\frac{k t}{2 b} \sin b t \cdots(1)
t के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{dx}{dt}=-c_{1}b \sin b t+c_{2}b \cos b t-\frac{k t}{2 b} \cos b t+\frac{k }{2 b} \sin b t...(2)
जब t=0 तो x=0, समीकरण (1) में रखने पर-

0=c_{1}\Rightarrow c_{1}=0

जब t=0 तो \frac{dx}{dt}=0, समीकरण (2) में रखने पर-

0=c_{2}b\Rightarrow c_{2}=0
c_{1}c_{2} का मान समीकरण (1) में रखने पर-

x=\frac{k t}{2 b} \sin b t

उपर्युक्त उदाहरण द्वारा विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधियां (Methods to Find particular Integral),अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण का व्यापक हल (General Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients) को समझ सकते हैं।
Example-11.\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x}+10 y+37 \sin 3 x=0,y का मान ज्ञात कीजिए जब x=\frac{\pi}{2},यदि यह दिया हुआ हो कि x=0 पर y=3 एवं \frac{dy}{dx}=0
(Find the value of y when,if it is given that y=3 and \frac{dy}{dx}=0,when x=0.)
Solution-\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x}+10 y+37 \sin 3 x=0 \\(D^{2}+2 D+10)y=-37 \sin 3 x
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A.E.) होगा-

m^{2}+2 m+10=0 \Rightarrow m=\frac{-2 \pm \sqrt{(2)^{2}-4 \times 1 \times 10}}{2} \\ \Rightarrow m=\frac{-2 \pm \sqrt{4-40}}{2} \Rightarrow m=\frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} \\ \Rightarrow m=\frac{-2 \pm 6 i}{2} \Rightarrow m=-1 \pm 3 i
अतः पूरक फलन (C.F.)=e^{-x}(c_{1}\cos 3x + c_{2}\sin 3x)
पुनः विशिष्ट हल (P.I.)=\frac{1}{\left(D^{2}+2 D+10\right)}(-37 \sin 3 x) \\ =-37 \text { I.P. of} \frac{1}{D^{2}+2 D+10} e^{i 3 x} \\=(-37) \text { I.P. of} \frac{1}{(3 i)^{2}+2(3 i)+10} e^{i 3 x} \\=(-37) \text { I.P. of} \frac{1}{9 i^{2}+6 i+10}e^{i 3 x} \\ =(-37) \text { I.P. of} \frac{1}{9 i^{2}+6 i+10}(\cos 3 x + i\sin 3 x) \\ =(-37) \text { I.P. of} \frac{1-6 i}{(1+6 i)(1-6 i)}(\cos 3 x+i \sin 3 x) \\=(-37) \text { I.P. of} \frac{(\cos 3 x+6 \sin 3 x)+i(\sin 3 x-6 \cos 3 x)}{(1-36i^{2})} \\ =(-37) \frac{(\sin 3 x-6 \cos 3 x)}{(1+36)} \\= \frac{-37(\sin 3 x-6 \cos 3 x)}{37}

अतः समीकरण का व्यापक हल होगा-

y=C.F+P.I

\Rightarrow y=e^{-x}(c_{1}\cos 3x + c_{2}\sin 3x)-\sin 3x+6 \cos3x ...(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{dy}{dx}=-e^{-x}(c_{1}\cos 3x + c_{2}\sin 3x)+e^{-x}(-3c_{1}\sin 3x +3 c_{2}\cos 3x)-3\cos 3x-18\sin 3x...(2)

जब x=\frac{\pi}{2} तब y=3, समीकरण (1) में रखने पर-

3=e^{-\pi}c_{1}+6\Rightarrow c_{1}=-3e^{\pi}
जब \frac{dy}{dx}=0 तब x=0, समीकरण (2) में रखने पर-

0=c_{1}+3c_{2}-3\Rightarrow c_{2}=3(1+e^{\pi})
c_{1}c_{2} का मान समीकरण (1) में रखने पर-
y=e^{-x}[-3e^{\pi}\cos 3x + 3(1+e^{\pi})\sin 3x]-\sin 3x+6 \cos3x
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधियां (Methods to Find particular Integral),अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण का व्यापक हल (General Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients) को समझ सकते हैं।

3.विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधियों की समस्याएं (Methods to Find particular Integral Problems),अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण का व्यापक हल की समस्याएं (General Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients Problems),विशिष्ट समाकल के सवाल और उत्तर (particular integral questions and answers)-

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations)

(1.) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-4 \frac{d y}{d x}+4 y=e^{2 x}+\sin 2 x \\ (2) \left(D^{2}+a^{2}\right) y=\cos a x \\ (3.)\left(D^{2}-5 D+6\right) y=\sin 3 x \\ (4.) \left(D^{2}+4\right) y=e^{x}+\sin 2 x \\ (5.) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+9 y=\cos 2 x+\sin 2 x \\(6) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-8 \frac{d y}{d x}+9 y=40 \sin 5 x
उत्तर (Answer)-(1) y=\left(c_{1}+c_{2} x\right) e^{2 x}+\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x}+\left(\frac{1}{8}\right) \cos 2 x \\ (2) y=c_{1} \cos a x+c_{2} \sin a x+\left(\frac{x}{2 a}\right) \sin a x \\(3) y=c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{3 x}+\frac{1}{234}(15 \cos 3 x-3 \sin 3 x) \\ (4) y=c_{1} \cos 2 x+c_{2} \sin 2 x+\frac{1}{5} e^{x}-\left(\frac{x}{4}\right) \cos 2 x \\ (5) y=c_{1} \cos \left(3 x+c_{2}\right)+\frac{1}{5}(\cos 2 x+\sin 2 x) \\ (6) y=c_{1} e^{4 x} \cos \left(\sqrt{7} x+c_{2}\right)+\left(\frac{25}{29}\right) \cos 5 x-\frac{10}{29} \sin 5 x
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधियां (Methods to Find particular Integral),अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण का व्यापक हल (General Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल क्या है? (What is particular integral of differential equation?)-

जब y = f (x) + cg (x) एक ODE का समाधान होता है, तो f को विशेष इंटीग्रल (P.I.) कहा जाता है और g को पूरक फ़ंक्शन (C.F.) कहा जाता है।यदि हम देखते हैं कि ODE को हल करने में मदद करने के लिए हम विशिष्ट समाकल और पूरक फलनों का उपयोग कर सकते हैं: विशिष्ट इंटीग्रल (f) गैर-समरूप ODE का कोई समाधान है।

5.विशेष समाकल से क्या अभिप्राय है? (What is meant by particular integral?), विशिष्ट समाकल का अर्थ (Particular integral meaning)-

विशिष्ट समाकल(Particular Integral) (बहुवचन Particular Integrals) (गणित) किसी अवकल समीकरण का कोई हल।
स्पष्ट फलनों के साथ f और g।परिभाषा जब y = f (x) + cg (x) एक ODE का समाधान होता है,तो f को विशिष्ट इंटीग्रल (P.I) कहा जाता है और g को पूरक फलन (C.F.) कहा जाता है।

6.क्या विशिष्ट समाकल अद्वितीय है? (Is particular integral unique?)-

फ़ंक्शन e^{2x} समघात समीकरण का एक समाधान है। “विशिष्ट समाधान” अद्वितीय नहीं हैं: जैसा कि आपका उदाहरण दिखाता है,यदि आप एक विशेष समाधान के समघात समाधान को जोड़ते हैं, तो आपको एक और विशेष समाधान मिलता है।

7.अवकल समीकरण में CF और PI क्या है? (What is CF and PI in differential equation?)-

सुपरपोजिशन सिद्धांत एक असमघात समीकरण को काफी सरल रूप से हल करता है।अंतिम समाधान पूरक फ़ंक्शन व विशिष्ट समाकल के समाधान का योग है और f(x) के कारण समाधान, विशिष्ट समाकल (P.I.) कहा जाता है।व्यापक हल समाधान = C.F. + P.I.।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर, उदाहरणों तथा सवालों को हल करके विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधियां (Methods to Find particular Integral),अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण का व्यापक हल (General Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients) को भली-भांति समझ सकते हैं।

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