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Homogeneous differential equation

समघात अवकल समीकरण का परिचय (Introduction to Homogeneous differential equation):

  • समघात अवकल समीकरण (Homogeneous differential equation):वह अवकल समीकरण जिसके प्रत्येक चर x,y,z,… को चर tx,ty,tz,… से प्रतिस्थापित कर दिए जाने पर फलन को \frac{dy}{dx}=\frac{t^{n}(x,y,...)}{(x,y,z..)} के रूप में निरूपित किया जा सकता है जहाँ n धनात्मक पूर्णांक है उनको समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equations) कहते हैं।
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समघात अवकल समीकरण (Homogeneous differential equation):

  • एक अवकल समीकरण जिसका रूप
    \frac{dy}{dx}=\frac{f_{1}(x,y)}{f_{2}(x,y)} …(1)
    का हो जहाँ f_{1}(x,y)\text{ तथा }f_{2}(x,y) दोनों x और y के एक ही घात के समघात फलन (Homogeneous Functions of the Same Degree) हो,उनको समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equations) कहते हैं।
    इस प्रकार के समीकरणों का हल ज्ञात करने के लिए हम
    y=vx… (2)
  • प्रतिस्थापित करते हैं जिससे y एक नये आश्रित चर (Dependent Variable) v में बदल जाता है।
    माना कि f_{1}\text{ तथा }f_{2} दोनों n घात के समघात फलन हैं,तब
    f_{1}(x,y)=x^{n}F_{1}\left(\frac{y}{x}\right) तथा f_{2}(x,y)=x^{n}F_{2}\left(\frac{y}{x}\right)….(3)
    और समीकरण (1) को हम लिखते हैं
    \frac{dy}{dx}=\frac{f_{1}(\frac{y}{x})}{f_{2}(\frac{y}{x})}… (4)
    अब चूँकि y=vx\Rightarrow{\frac{dy}{dx}}=v+x\frac{dv}{dx}….(5)
    इसलिए समीकरण (4) का नया रूप होगा:
    v+x\frac{dv}{dx}=\frac{F_{1}(v)}{F_{2}(v)}
    \Rightarrow{\frac{F_{2}(v)dv}{[F_{1}(v)-vF_{2}(v)]}}=\frac{dx}{c}….(6)
    जिसमें चर पृथक किए जा सकते हैं और इसका हल चर पृथक्करण में दी गई विधि से ज्ञात किया जा सकता है अर्थात्
    \int{\frac{F_{2}(v)dv}{[F_{1}(v)-vF_{2}(v)]}}=\int{\frac{dx}{c}+c}
    तत्पश्चात v के स्थान पर \frac{y}{x} विस्थापित करने पर समीकरण का अभीष्ट हल प्राप्त हो जाता है।
    (Equation of the first order and first degree)
  • उपर्युक्त आर्टिकल में समघात अवकल समीकरण (Homogeneous DE) के बारे में बताया गया है।
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