Continuity Class 12
1.सांतत्य कक्षा 12 (Continuity Class 12),कक्षा 12 में सांतत्य (Continuity in Class 12):
सांतत्य कक्षा 12 (Continuity Class 12) की संकल्पना का बोध कराने के लिए फलन की बायीं व दायीं सीमा व फलन का मान ज्ञात करना कुछ उदाहरणों के द्वारा समझेंगे।
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2.सांतत्य कक्षा 12 के उदाहरण (Continuity Class 12 Examples):
Example:1.सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=5x-3,x=0,x=-3 तथा x=5 पर संतत है।
Solution:f(x)=5x-3
x=0 पर फलन का मान f(0)=5×0-3=-3
x=0 पर L.H.L.
\underset{h \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(0-h)=\underset{h \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 5(0-h)-3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (-5 h-3) \\ \Rightarrow \underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) =-3
x=0 पर R.H.L.
\underset{h \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 5(0+h)-3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(5 h-3) \\ \Rightarrow \underset{h \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) =-3 \\ \underset{h \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=f(0)
अतः फलन x=0 पर संतत है।
x=-3 पर फलन का मान f(-3)=5×-3-3=-15-3=-18
x=-3 पर L.H.L.
\underset{h \rightarrow -3^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(-3-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 5(-3-h)-3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(-15-5 h-3) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(-18-5 h) \\ \Rightarrow \underset{h \rightarrow -3^{-}}{\lim} f(x)=-18
x=-3 पर R.H.L.
\underset{h \rightarrow -3^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(-3+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 5(-3+h)-3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (-15+5 h-3) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (-18+5 h) \\ \Rightarrow \underset{h \rightarrow -3^{+}}{\lim} f(x)=-18 \\ \underset{h \rightarrow -3^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow -3^{+}}{\lim} f(x)=f(-3)
अतः फलन x=-3 पर संतत है।
x=5 पर फलन का मान f(5)=5×5-3=25-3=22
x=5 पर L.H.L.
\underset{h \rightarrow 5^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(5-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 5(5-h)-3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(25-5 h-3) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(22-5 h) \\ \Rightarrow \underset{h \rightarrow 5^{-}}{\lim} f(x) =22
x=5 पर R.H.L.
\underset{h \rightarrow 5^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(5+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 5(5+h)-3 \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(25+5 h-3) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(22+5 h) \\ \Rightarrow \underset{h \rightarrow 5^{+}}{\lim} f(x) =22 \\ \underset{h \rightarrow 5^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 5^{+}}{\lim} f(x)=f(5)
अतः फलन x=5 पर संतत है।
Example:2.x=3 पर फलन f(x)=2 x^2-1 के सांतत्य की जाँच कीजिए।
Solution: f(x)=2 x^2-1
x=3 पर फलन का मान f(3)=2 \times 3^2-1=18-1=17
x=3 पर L.H.L.
\underset{h \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(3-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 2(3-h)^2-1 \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 2\left(9-6 h+h^2\right)-1 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(18-12 h+2 h^2-1\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(17-12 h+2 h^2\right) \\ \Rightarrow \underset{h \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)=17
x=3 पर R.H.L.
\underset{h \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(3+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 2(3+h)^2-1 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 2\left(9+6 h+h^2\right)-1 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\left(18+12 h+2 h^2-1\right) \\=\lim _{h \rightarrow 0}\left(17+2 h+2 h^2\right) \\ \Rightarrow \underset{h \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x) =17 \\ \underset{h \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x)=f(3)
अतः फलन x=3 पर संतत है।
Example:3.निम्नलिखित फलनों के सांतत्य की जाँच कीजिए:
Example:3(a).f(x)=x-5
Solution:f(x)=x-5
x=c पर फलन का मान f(c)=c-5 \\ \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow c}{\lim}(x-5) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x) =c-5 \\ \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x)=f(c)
अतः फलन f(x) सर्वत्र संतत है जहाँ x \in R
Example:3(b). f(x)=\frac{1}{x-5}, x \neq 5
Solution: f(x)=\frac{1}{x-5}, x \neq 5
x=c पर फलन का मान
f(c)=\frac{1}{c-5}, c \neq 5 \\ \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow c}{\lim} \frac{1}{x-5} \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x)=\frac{1}{c-5} \\ \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x)=f(c)
अतः फलन प्रान्त x \in R-\{5\} में सर्वत्र संतत है।
Example:3(c). f(x)=\frac{x^2-25}{x+5}, x \neq-5
Solution: f(x)=\frac{x^2-25}{x+5}, x \neq-5 \\ f(x) =\frac{(x-5 x+5)}{(x+5)} \\ \Rightarrow f(x)=x-5
x=c पर फलन का मान f(c)=c-5
\underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow c}{\lim} (x-5) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x)=c-5 \\ \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x)=f(c)
अतः फलन प्रान्त R-\{-5\} में सर्वत्र संतत है।
Example:3(d). f(x)=|x-5|
Solution: f(x)=|x-5|
x=5 पर फलन का मान f(5)=|5-5|=0 \\ \underset{x \rightarrow 5}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 5}{\lim}|x-5| \\ =|5-5| \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 5}{\lim} f(x)=0 \\ \underset{x \rightarrow 5}{\lim} f(x) =f(5)
अतः फलन x=5 पर संतत है।
x=c>5 \\ f(c)=|c-5|=c-5 \\ \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow c}{\lim}|x-5| \\ =|c-5| \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x)=c-5
अतः फलन x=c>5 पर संतत है।
x=c<5 पर फलन का मान
f(c)=|-(5-c)| \\ \Rightarrow f(c)=5-c \\ \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow c}{\lim}|x-5| \\ =|-(5-c)| \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x) =5-c \\ \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x) =f(c)
अतः फलन x=c<5 पर संतत है।
फलतः फलन सर्वत्र संतत है।
Example:4.सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=x^n ,x=n पर संतत है,जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
Solution: f(x)=x^n
x=n पर फलन का मान
f(n)=n^n \\ \underset{x \rightarrow n}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow n}{\lim} x^n \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow n}{\lim} f(x)=n^n \\ \underset{x \rightarrow n}{\lim} f(x)=f(n)
अतः फलन सर्वत्र संतत है।
Example:5.क्या f(x)=\left\{\begin{array}{l} x, \text { यदि } x \leq 1 \\ 5, \text { यदि } x>1 \end{array}\right. द्वारा परिभाषित फलन f
x=0,x=1 तथा x=2 संतत है?
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l} x, \text { यदि } x \leq 1 \\ 5, \text { यदि } x>1 \end{array}\right.
x=0 पर फलन का मान f(0)=0
x=0 पर L.H.L.
\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(0-h) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=0
x=0 पर R.H.L.
\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(0+h) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=0 \\ \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=f(0)
अतः फलन x=0 पर संतत है।
x=1 पर फलन का मान f(1)=1
x=1 पर L.H.L.
\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(1-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(1-h) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=1
x=1 पर R.H.L.
\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(1+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(5) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x) =5 \\ \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x) \neq \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=f(1)
अतः x=1 पर फलन संतत नहीं है।
x=2 पर फलन का मान f(2)=5
x=2 पर L.H.L.
\underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(2-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(5) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} f(x) =5
x=2 पर R.H.L.
\underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(2+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (5) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x)=5 \\ \underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x)=f(2)
अतः फलन x=2 पर संतत है।
f के सभी असांतत्य के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए,जबकि f निम्नांकित प्रकार से परिभाषित है:
Example:6. f(x)=\left\{\begin{array}{l} 2 x+3, \text { यदि } x \leq 2 \\ 2 x-3 , \text { यदि } x>2 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l} 2 x+3, \text { यदि } x \leq 2 \\ 2 x-3 , \text { यदि } x>2 \end{array}\right.
x=2 पर फलन का मान
f(2)=2×2+3=4+3=7
x=2 पर L.H.L.
\underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(2-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 2(2-h)+3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(4-2 h+3) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} f(x) =7
x=2 पर R.H.L.
\underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(2+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 2(2+h)-3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(4+2 h-3) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x)=1 \\ \underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x) \neq \underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} f(x)=f(2)
अतः फलन x=2 पर संतत नहीं है फलतः x=2 फलन का असांतत्य बिन्दु है।
Example:7. f(x)=\left\{\begin{array}{l} |x|+3, \text { यदि } x \leq-3 \\ -2 x, \text { यदि }-3<x \leq 3 \\ 6 x+2, \text { याद } x \geq 3 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l} |x|+3, \text { यदि } x \leq-3 \\ -2 x, \text { यदि }-3<x \leq 3 \\ 6 x+2, \text { याद } x \geq 3 \end{array}\right.
x=-3 पर फलन का मान
f(-3)=|-3|+3=3+3=6
x=-3 पर L.H.L.
\underset{x \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(-3-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}|-3-h|+3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(3+h+3) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(6+h) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x) =6
x=-3 पर R.H.L.
\underset{x \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(-3+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}|-3+h|+3 \\ = \underset{h \rightarrow 0}{\lim} |-(3-h)|+3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 3-h+3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 6-h \\ \underset{x \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x)=6 \\ \underset{x \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x)=f(-3)
अतः फलन x=-3 पर संतत है।
x=3 पर फलन का मान
f(3)=6(3)+2=18+2=20
x=3 पर L.H.L.
\underset{x \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(3-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} -2(3-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} -6+2 h \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)=-6
x=3 पर R.H.L.
\underset{x \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(3+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 6(3+h)+2 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 18+6 h+2 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x)=18 \\ \underset{x \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x)=f(3) \neq \underset{x \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)
अतः फलन x=3 पर संतत नहीं है फलतः x=3 फलन का असांतत्य बिन्दु है।
Example:8. f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{|x|}{x}, & \text { यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text { यदि } x=0 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{|x|}{x}, & \text { यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text { यदि } x=0 \end{array}\right.
x=0 पर फलन का मान f(0)=0
x=0 पर L.H.L.
\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{|0-h|}{0-h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{h}{-h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(-1) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=-1
x=0 पर R.H.L.
\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{|0+h|}{0+h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{h}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(1) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=1 \\ \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(0) \neq \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(0) \neq f(0)
अतः फलन x=0 पर संतत नहीं है फलतः x=0 फलन का असांतत्य बिन्दु है।
Example:9. f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x}{|x|}, & \text { यदि } x<0 \\ -1, & \text { यदि } x \geq 0 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x}{|x|}, & \text { यदि } x<0 \\ -1, & \text { यदि } x \geq 0 \end{array}\right.
x=0 पर फलन का मान f(0)=-1
x=0 पर L.H.L.
\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{0-h}{|0-h|} \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{-h}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(-1) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=-1
x=0 पर R.H.L.
\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(-1) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=-1
अतः फलन x=0 पर संतत है फलतः फलन का कोई असांतत्य बिन्दु नहीं है।
Example:10. f(x)=\left\{\begin{array}{l} x+1, \text { यदि } x \geq 1 \\ x^2+1, \text { यदि } x<1 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l} x+1, \text { यदि } x \geq 1 \\ x^2+1, \text { यदि } x<1 \end{array}\right.
x=1 पर फलन का मान f(1)=1+1=2
x=1 पर L.H.L.
\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(1-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(1-h)^2+1 \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\left(1-2 h+h^2+1\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\left(2-2 h+h^2\right) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=2
x=1 पर R.H.L.
\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(1+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 1+h+1 \\ \Rightarrow \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=2 \\ \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x) =\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x) =f(1)
अतः फलन x=1 पर संतत है फलतः फलन का कोई असांतत्य का बिन्दु नहीं है।
Example:11. f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^3-3, \text { यदि } x \leq 2 \\ x^2+1, \text { यदि } x>2 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^3-3, \text { यदि } x \leq 2 \\ x^2+1, \text { यदि } x>2 \end{array}\right.
x=2 पर फलन का मान
f(2)=2^3-3=8-3=5
x=2 पर L.H.L.
\underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(2-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(2-h)^3-3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(8-12 h+6 h^2-h^3-3\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(5-12 h+6 h^2-h^3\right) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} f(x)=5
x=2 पर R.H.L.
\underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(2+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (2+h)^2+1 \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(4+4 h+h^2+1\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(5+4 h+h^2\right) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x)=5 \\ \underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x)=f(2)
अतः फलन x=2 पर संतत है फलतः फलन का कोई असांतत्य बिन्दु नहीं है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांतत्य कक्षा 12 (Continuity Class 12),कक्षा 12 में सांतत्य (Continuity in Class 12) को समझ सकते हैं।
3.सांतत्य कक्षा 12 पर आधारित सवाल (Questions Based on Continuity Class 12):
(1.) f(x)=\left\{\begin{array}{l}1+x, x \leq 3 \\ 7-x, x>3,\end{array}\right. , x=3 पर
(2.) f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0,\end{array}\right. , x=0पर
उत्तर (Answers):(1.)संतत (2.)संतत
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांतत्य कक्षा 12 (Continuity Class 12),कक्षा 12 में सांतत्य (Continuity in Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।
Also Read This Article:- Determinants in Class 12
4.सांतत्य कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Continuity Class 12),कक्षा 12 में सांतत्य (Continuity in Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.संतत फलन की परिभाषा दीजिए। (Give the Definition of Continuous Function):
उत्तर:कोसी (Cauchy’s) के अनुसार “एक फलन f(x) इसके प्रान्त के किसी बिन्दु x=a पर संतत कहलाता है यदि एक छोटी से छोटी धनात्मक संख्या के लिए एक ऐसी धनात्मक संख्या \delta ज्ञात की जा सके कि |f(x)-f(a)|<\varepsilon जब 0<|x-a|<\delta अर्थात् अन्तराल (a-\delta, a+\delta) के किसी बिन्दु x पर फलन f(x) तथा f(a) का धनात्मक अन्तर एक पूर्व कल्पित छोटी से छोटी धनात्मक राशि \varepsilon से कम हो तो फलन f(x) को x=a पर संतत कहते हैं।
प्रश्न:2.फलन के एक बिन्दु पर संतत होने की क्या शर्त है? (What is the Condition of Continuous at One Point of the Function?):
उत्तर:फलन f(x) अपने प्रान्त के किसी बिन्दु x=a पर संतत होता है,यदि \underset{x \rightarrow a}{\lim} f(x)=f(a) विद्यमान हो अर्थात् यदि \underset{h \rightarrow a-0}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow a+0}{\lim} f(x)=f(a)
अर्थात् यदि f(a-0)=f(a+0)=f(a)
प्रश्न:3.संतत फलनों के कुछ उदाहरण दो। (Give Some Examples of Continuous Functions):
उत्तर:यदि कोई फलन अपने प्रान्त के प्रत्येक बिन्दु पर संतत है तो उसे संतत फलन कहते हैं।कुछ संतत फलनों के उदाहरण निम्न हैं:
(1.)f(x)=x (तत्समक फलन) (Identity function)
(2.)f(x)=c (अचर फलन) (Constant function)
(3.) f(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+a_2 x^{n-2}+\cdots+a_n (बहुपद फलन) (Polynomial function)
(4.) f(x)=\sin x, \cos x (त्रिकोणमितीय फलन) (Trigonometric function)
(5.) f(x)=a^x, a>0 (चरघातांकी फलन) (Exponential function)
(6.) f(x)=\log_e x (लघुगणकीय फलन) (Logarithmic function)
(7.) f(x)=\sinh x, \cosh x, \tanh x (अतिपरवलय फलन) (Hyperbolic function)
(8.) f(x)=|x|, x+|x|, x-|x|, x|x| (निरपेक्ष मान फलन) (Absolute value function)
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सांतत्य कक्षा 12 (Continuity Class 12),कक्षा 12 में सांतत्य (Continuity in Class 12) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Satyam
Lekhak Ke Baare Mein (About the Author) **Satyam Narain Kumawat** **Website Name:Satyam Mathematics** *Owner:satyamcoachingcentre.in* *Sthan:Manoharpur,Jaipur (Rajasthan)* **Teaching Mathematics aur Anya Anubhav** ***Shiksha:**B.sc.,B.Ed.,(M.sc. star Ke Mathematics Ko Padhane ka Anubhav),B.com.,M.com. Ke vishayon Ko Padhane ka Anubhav,Philosophy,Psychology,Religious,sanskriti Mein Gahri Ruchi aur Adhyayan ***Anubhav:**phichale 23 varshon se M.sc.,M.com.,Angreji aur Vigyan Vishayon Mein Shikshaka Ka Lamba Anubhav ***Visheshagyata:*Maths,Adhyatma (spiritual),Yog vishayon ka vistrit Gyan* ****In Brief:I have read about M.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 23 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
