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Logarithmic differentiation

1.लघुगणकीय अवकलन (Logarithmic differentiation)-

लघुगणकीय अवकलन (Logarithmic differentiation) में जब फलन रूप का हो,गुणनखण्ड या भागफल के रूप का हो तब ऐसे फलन का अवकलन ज्ञात करने के लिए सर्वप्रथम फलन के दोनों पक्षों का लघुगणक लेते हैं तथा इससे प्राप्त परिणाम का अवकलन करते हैं।

प्राप्त परिणाम का अवकलन अस्पष्ट फलनों का अवकलन करने की विधि से जिसमें ‌श्रृंखला नियम,भागफल नियम तथा गुणनफल नियम का प्रयोग कर अवकलन करते हैं।इसको लघुगणकीय अवकलन (Logarithmic differentiation) विधि कहते हैं।
फलन गुणनखण्ड तथा भागफल के रूप में हो तब भी यह विधि उपयोगी सिद्ध होती है।
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2.लघुगणकीय अवकलन ज्ञात करने की क्रियाविधि (Method of finding logarithmic differentiation)-

माना किy={ u }^{ v }[जहां u तथा v ,x के फलन हैं]
दोनों तरफ लघुगणक लेने पर

\log _{ e }{ y } =\log _{ e }{ { u }^{ v } } \\ \log _{ e }{ y } =v\log _{ e }{ { u } }

x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { 1 }{ y } \frac { dy }{ dx } =v.\frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } +\log _{ e }{ { u } } \frac { dv }{ dx } \\ \frac { dy }{ dx } =y\left\{ v.\frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } +\log _{ e }{ { u } } \frac { dv }{ dx } \right\} \\ \frac { dy }{ dx } ={ u }^{ v }\left\{ v.\frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } +\log _{ e }{ { u } } \frac { dv }{ dx } \right\}
निम्नलिखित फलनों से लघुगणकीय अवकलन ( Logarithmic differentiation) विधि से ज्ञात कीजिए-
Question-1.y=\sqrt { sinx+\sqrt { sinx+\sqrt { sinx+............\infty } } }
Solution-y=\sqrt { sinx+\sqrt { sinx+\sqrt { sinx+............\infty } } } \\ Let\quad y=\sqrt { sinx+y } .......(1)

दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर-

\log { y } =\frac { 1 }{ 2 } \log { \left\{ sinx+y \right\} }
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { 1 }{ y } \frac { dy }{ dx } =\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 1 }{ sinx+y } \left[ cosx\quad +\frac { dy }{ dx } \right] \\ \frac { 1 }{ y } \frac { dy }{ dx } -\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 1 }{ sinx+y } .\frac { dy }{ dx } =\frac { cosx }{ 2\left( sinx+y \right) } \\ \frac { dy }{ dx } \left[ \frac { 1 }{ y } -\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 1 }{ sinx+y } \right] =\frac { cosx }{ 2\left( sinx+y \right) } \\ \frac { dy }{ dx } \left[ \frac { 2sinx+2y-y }{ 2y\left( sinx+y \right) } \right] =\frac { cosx }{ 2\left( sinx+y \right) } \\ \frac { dy }{ dx } =\frac { cosx }{ 2sinx+y } \\ \frac { dy }{ dx } =\frac { y.cosx }{ \left[ 2\left( { y }^{ 2 }-y \right) +y \right] } \\ \frac { dy }{ dx } =\frac { y.cosx }{ 2{ y }^{ 2 }-y } \\ \frac { dy }{ dx } =\frac { y.cosx }{ y\left( 2y-1 \right) } \\ \frac { dy }{ dx } =\frac { cosx }{ \left( 2y-1 \right) } \\

Question-2.{ y }^{ x }+{ x }^{ y }+{ x }^{ x }={ a }^{ b }
Solution-{ y }^{ x }+{ x }^{ y }+{ x }^{ x }={ a }^{ b }..........(1)\\ माना \quad{ y }^{ x }=u\quad ,\quad { x }^{ y }=v\quad ,\quad { x }^{ x }=w

(1) में रखने पर

u+v+w={ a }^{ b }
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { du }{ dx } +\frac { dv }{ dx } +\frac { dw }{ dx } =0.........(2)\\ { y }^{ x }=u
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर-

x\log { y } =\log { u }
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { 1 }{ u } .\frac { du }{ dx } =\log { y } +\frac { x }{ y } .\frac { dy }{ dx } \\ \frac { du }{ dx } =u\left[ \log { y } +\frac { x }{ y } .\frac { dy }{ dx } \right] \\ \frac { du }{ dx } ={ y }^{ x }\left[ \log { y } +\frac { x }{ y } .\frac { dy }{ dx } \right] ..........(3)\\ v={ x }^{ y }
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर-

\log { v } =y\log { x }
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { 1 }{ v } .\frac { dv }{ dx } =\frac { y }{ x } +\log { x } .\frac { dy }{ dx } \\ \frac { dv }{ dx } =v\left[ \frac { y }{ x } +\log { x } .\frac { dy }{ dx } \right] \\ \frac { dv }{ dx } ={ x }^{ y }\left[ \frac { y }{ x } +\log { x } .\frac { dy }{ dx } \right] .........(4)\\ w={ x }^{ x }
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर-

\log { w } =x\log { x }
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { 1 }{ w } .\frac { dw }{ dx } =\frac { x }{ x } +\log { x } \\ \frac { dw }{ dx } =w\left[ \frac { x }{ x } +\log { x } \right] \\ \frac { dw }{ dx } ={ x }^{ x }\left[ \frac { x }{ x } +\log { x } \right] .........(5)
समीकरण (3),(4),(5) से समीकरण (2) में मान रखने पर-

{ y }^{ x }\left[ \log { y } +\frac { x }{ y } .\frac { dy }{ dx } \right] +{ x }^{ y }\left[ \frac { y }{ x } +\log { x } .\frac { dy }{ dx } \right] +{ x }^{ x }\left[ \frac { x }{ x } +\log { x } \right] =0\\ { y }^{ x }\log { y } +{ y }^{ x-1 }.x\frac { dy }{ dx } +{ x }^{ y-1 }.y+{ x }^{ y }.\log { x } .\frac { dy }{ dx } +{ x }^{ x }+{ x }^{ x }\log { x } =0\\ { y }^{ x-1 }.x\frac { dy }{ dx } +{ x }^{ y }.\log { x } .\frac { dy }{ dx } =-\left[ { y }^{ x }\log { y } +{ x }^{ y-1 }.y{ +x }^{ x }+{ x }^{ x }\log { x } \right] \\ \frac { dy }{ dx } \left[ { y }^{ x-1 }.x+{ x }^{ y }.\log { x } \right] =-\left[ { y }^{ x }\log { y } +{ x }^{ y-1 }.y{ +x }^{ x }+{ x }^{ x }\log { x } \right] \\ \frac { dy }{ dx } =\frac { -\left[ { y }^{ x }\log { y } +{ x }^{ y-1 }.y{ +x }^{ x }+{ x }^{ x }\log { x } \right] }{ \left[ { y }^{ x-1 }.x+{ x }^{ y }.\log { x } \right] }
इस प्रकार उपर्युक्त सवालों के द्वारा लघुगणकीय अवकलन (Logarithmic differentiation) को समझा जा सकता है।

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