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Method of change of variables

1.चर राशियों के परिवर्तन की विधि (Method of change of variables)-

चर राशियों के परिवर्तन  की विधि (Method of change of variables) से किसी अवकल समीकरण का हल ज्ञात करेंगे। कभी-कभी विशेष प्रतिस्थापन करने से उसका समानयन इन वर्णित मानक रूपों में से किसी एक में किया जा सकता है।इस विधि को प्रतिस्थापन की विधि अथवा स्वतन्त्र या आश्रित चर राशियों के परिवर्तन की विधि (Method of change of variables) भी कहते हैं।
इसके प्रयोग करने का कोई निश्चित नियम नहीं है।कुछ उपयोगी टिप्स के आधार पर अवकल समीकरण का हल ज्ञात कर सकते हैं।
(1.)यदि समीकरण का रूप \frac { dy }{ dx } =f\left( ax+by+c \right) हो तो w=ax+by+c प्रतिस्थापन समीकरण को मानक रूप में परिवर्तित कर देगा।
(2.)यदि समीकरण में (xdy-ydx) एक गुणनखण्ड हो तो w=\frac { y }{ x }
अथवा w=\left( \frac { x }{ y } \right) प्रतिस्थापन उपयोगी सिद्ध होता है।
(3.)यदि (xdx+ydy) एक गुणनखण्ड हो तो उचित प्रतिस्थापन w={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } हो सकता है।
(4.)यदि (xdx+ydy) तथा (xdy-ydx) दोनों गुणनखण्ड हो तो x=r.cos\theta ,y=r.sin\theta प्रतिस्थापन काम में लाया जा सकता है।
( 5.) कभी-कभी स्वतन्त्र तथा आश्रित चरों को आपस में बदलने से समीकरण मानक रूप में आ जाता है।
(6.) कभी-कभी आश्रित चर y के किसी फलन को एक नए आश्रित चर w में प्रतिस्थापन करने से मानक रूप प्राप्त होता है।
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2.चर राशियों के परिवर्तन की विधि (Method of change of variables) पर आधारित सवाल-

निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए (Solve the following differential equations)-
Question-1.\cos { \left( x+y \right) dy } =dx
Solution-\frac { dx }{ dy } =\cos { \left( x+y \right) }

put x+y=w\\ \frac { dx }{ dy } +1=\frac { dw }{ dy } \\ \Rightarrow \frac { dw }{ dy } -1=\cos { w } \\ \Rightarrow \frac { dw }{ dy } =1+\cos { w } \\ \Rightarrow \frac { dw }{ dy } =2\cos ^{ 2 }{ \frac { W }{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } \sec ^{ 2 }{ \left( \frac { w }{ 2 } \right) dw } =dy
समाकलन करने पर-

\frac { 1 }{ 2 } \int { \sec ^{ 2 }{ \left( \frac { w }{ 2 } \right) dw } } =\int { dy } \\ c+\tan { \left( \frac { w }{ 2 } \right) } =y\\ y=\tan { \left( \frac { x+y }{ 2 } \right) +c }

 

Question-2.\left( \frac { dy }{ dx } \right) =\sin { \left( x+y \right) +\cos { \left( x+y \right) } }
Solution-\left( \frac { dy }{ dx } \right) =\sin { \left( x+y \right) +\cos { \left( x+y \right) } }

putx+y=w\\ \Rightarrow 1+\frac { dy }{ dx } =\frac { dw }{ dx } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { dw }{ dx } -1\\ \Rightarrow \frac { dw }{ dx } -1=\sin { w+\cos { w } } \\ \Rightarrow \frac { dw }{ dx } =1+\sin { w+\cos { w } } \\ \Rightarrow \frac { dw }{ 1+\sin { w+\cos { w } } \\ } =dx
समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { \frac { dw }{ 1+\sin { w+\cos { w } } \\ } } =\int { dx } \\ \Rightarrow \int { \frac { dw }{ 1+\frac { 2\tan { \frac { w }{ 2 } } }{ 1+\tan ^{ 2 }{ \frac { w }{ 2 } } } +\frac { 1-\tan ^{ 2 }{ \frac { w }{ 2 } } }{ 1+\tan ^{ 2 }{ \frac { w }{ 2 } } } } } =\int { dx } \\ \Rightarrow \int { \frac { \left( 1+\tan ^{ 2 }{ \frac { w }{ 2 } } \right) }{ 1+\tan ^{ 2 }{ \frac { w }{ 2 } + } 2\tan { \frac { w }{ 2 } } +1-\tan ^{ 2 }{ \frac { w }{ 2 } } } dw=x } \\ \Rightarrow \int { \frac { \sec ^{ 2 }{ \frac { w }{ 2 } } }{ 1+2\tan { \frac { w }{ 2 } } } dw=x } \\ \Rightarrow 1+2\tan { \frac { w }{ 2 } =t } \\ \Rightarrow \sec ^{ 2 }{ \frac { w }{ 2 } dw=dt } \\ \Rightarrow \int { \frac { 1 }{ t } dt=x } \\ \Rightarrow \log { t+c=x } \\ \Rightarrow x=\log { \left( 1+2\tan { \frac { w }{ 2 } } \right) +c } \\ \Rightarrow x=\log { \left( 1+2\tan { \frac { x+y }{ 2 } } \right) } +c

Question-3.\left( \frac { x+y-a }{ x+y-b } \right) \frac { dy }{ dx } =\frac { x+y+a }{ x+y+b }
Solution-x+y=w\\ 1+\frac { dy }{ dx } =\frac { dw }{ dx } \\ \frac { dy }{ dx } =\frac { dw }{ dx } -1\\ \left( \frac { w-a }{ w-b } \right) \left( \frac { dw }{ dx } -1 \right) =\frac { w+a }{ w+b } \\ \Rightarrow \frac { dw }{ dx } -1=\frac { \left( w+a \right) \left( w-b \right) }{ \left( w-a \right) \left( w+b \right) } \\ \Rightarrow \frac { dw }{ dx } =\frac { { w }^{ 2 }-bw+aw-ab }{ \left( w-a \right) \left( w+b \right) } +1\\ \Rightarrow \frac { dw }{ dx } =\frac { { w }^{ 2 }-bw+aw-ab+{ w }^{ 2 }+bw-aw-ab }{ \left( w-a \right) \left( w+b \right) } \\ \Rightarrow \frac { dw }{ dx } =\frac { 2{ w }^{ 2 }-2ab }{ \left( w-a \right) \left( w+b \right) } \\ \Rightarrow \frac { { w }^{ 2 }+bw-aw-ab }{ { w }^{ 2 }-ab } dw=2dx\\ \Rightarrow \left[ 1+\frac { \left( b-a \right) w }{ { w }^{ 2 }-ab } \right] dw=2dx
समाकलन करने पर-

\int { 1dw+\left( b-a \right) } \int { \frac { w }{ { w }^{ 2 }-ab } dw=2\int { dx } } \\ \Rightarrow w+\frac { b-a }{ 2 } \log { \left( { w }^{ 2 }-ab \right) =2x+c } \\ \Rightarrow x+y+\frac { b-a }{ 2 } \log { \left[ \left( x+y \right) ^{ 2 }-ab \right] =2x+c } \\ \Rightarrow c+x-y=\frac { b-a }{ 2 } \log { \left[ \left( x+y \right) ^{ 2 }-ab \right] } \\ \Rightarrow \left( b-a \right) \log { \left\{ \left( x+y \right) ^{ 2 }-ab \right\} } =2\left( x-y \right) +{ c }_{ 1 }

Question-4.\left( \frac { dy }{ dx } \right) ={ \left( 4x+y+1 \right) }^{ 2 }
Solution-\frac { dy }{ dx } ={ \left( 4x+y+1 \right) }^{ 2 }

put 4x+y+1=w\\ 4+\frac { dy }{ dx } =\frac { dw }{ dx } \\ \frac { dy }{ dx } =\frac { dw }{ dx } -4\\ \Rightarrow \frac { dw }{ dx } -4={ w }^{ 2 }\\ \Rightarrow \frac { dw }{ dx } ={ w }^{ 2 }+4\\ \Rightarrow \frac { dw }{ { w }^{ 2 }+4 } =dx

समाकलन करने पर-

\int { \frac { dw }{ { w }^{ 2 }+4 } } =\int { dx } \\ \frac { 1 }{ 2 } \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { w }{ 2 } \right) } =x+c\\ \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { 4x+y+1 }{ 2 } \right) =2x } +{ c }_{ 1 }\\ 4x+y+1=2\tan { \left( 2x+{ c }_{ 1 } \right) }

Question-5.{ \left( x-y \right) }^{ 2 }\left( \frac { dy }{ dx } \right) ={ a }^{ 2 }
Solution-{ \left( x-y \right) }^{ 2 }\left( \frac { dy }{ dx } \right) ={ a }^{ 2 }
Put x-y=w\\ 1-\frac { dy }{ dx } =\frac { dw }{ dx } \\ \frac { dy }{ dx } =1-\frac { dw }{ dx } \\ \Rightarrow { w }^{ 2 }\left( 1-\frac { dw }{ dx } \right) ={ a }^{ 2 }\\ \Rightarrow 1-\frac { dw }{ dx } =\frac { { a }^{ 2 } }{ { w }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { dw }{ dx } =1-\frac { { a }^{ 2 } }{ { w }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { dw }{ dx } =\frac { { w }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } }{ { w }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { { w }^{ 2 } }{ { w }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } dw=dx
समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { \frac { { w }^{ 2 } }{ { w }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } dw } =\int { dx } \\ \Rightarrow \int { \left[ 1+\frac { { a }^{ 2 } }{ { w }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \right] dw } =\int { dx } \\ \Rightarrow \int { 1 } dw+{ a }^{ 2 }\int { \frac { 1 }{ { w }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } dw } =x\\ \Rightarrow w+\frac { a }{ 2 } \log { \left| \frac { w-a }{ w+a } \right| } =x+c\\ \Rightarrow x-y+\frac { a }{ 2 } \log { \left| \frac { x-y-a }{ x-y+a } \right| } =x+c\\ \Rightarrow c+y=\frac { a }{ 2 } \log { \left| \frac { x-y-a }{ x-y+a } \right| } \\ \Rightarrow 2y=a\log { \left| \frac { x-y-a }{ x-y+a } \right| } +{ c }_{ 1 }
उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा चर राशियों के परिवर्तन की विधि (Method of change of variables) को समझा जा सकता है।

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