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Rolle’s Theorem in BSc Maths Exercise

November 14, 2026 Real Analysis No Comments
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1 1.रोल प्रमेय बीएससी मेथ्स एक्सरसाइज का परिचय (Imtroduction to Rolle’s Theorem in BSc Maths Exercise):
1.1 2.रोल प्रमेय बीएससी मेथ्स एक्सरसाइज (Rolle’s Theorem in BSc Maths Exercise):
1.2 3.रोल प्रमेय बीएससी मेथ्स एक्सरसाइज के क्वेश्चंस (Practice Questions of Rolle’s Theorem in BSc Maths Exercise for Students):
1.2.1 4.रोल प्रमेय बीएससी मेथ्स एक्सरसाइज (Frequently Asked Questions Related to Rolle’s Theorem in BSc Maths Exercise) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
1.2.2 Q:1.रोल प्रमेय पर टिप्पणी लिखो। (Write a Note on Rolle’s Theorem):
1.2.3 प्रश्न:2.रोल प्रमेय के बीजीय अर्थ से क्या आशय है? (What is Algebraic Interpretation of Rolle’s Theorem?):
1.2.4 प्रश्न:3.रोल प्रमेय के ज्यामितीय अर्थ का क्या आशय है? (What is Geometrical Interpretation of Rolle’s Theorem?):
1.2.5 5.छात्र-छात्राओं से आज का प्रश्न (Today’s Question to Students):

1.रोल प्रमेय बीएससी मेथ्स एक्सरसाइज का परिचय (Imtroduction to Rolle’s Theorem in BSc Maths Exercise):

रोल प्रमेय बीएससी मेथ्स एक्सरसाइज (Imtroduction to Rolle’s Theorem in BSc Maths Exercise) के इस आर्टिकल में हम प्रश्नावली के सवालों को रोल प्रमेय के आधार पर सत्यापित करने का प्रयास करेंगे।

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2.रोल प्रमेय बीएससी मेथ्स एक्सरसाइज (Rolle’s Theorem in BSc Maths Exercise):

  • Illustration: 2. रोल प्रमेय का सत्यापन कीजिए (Verify the Rolle’s theorem)
    Illustration: 2 (i). f(x) = 8x - x^2 , x \in [2, 6]
    Solution: f(x) = 8x - x^2
    चूंकि f(x), x का परिमेय फलन है, अतः यह सतत x के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए, सतत और अवकलनीय है। इस प्रकार यह रोल प्रमेय की दो प्रथम शर्तों का पालन करता है:
    f(2) = 8 \times 2 - (2)^2 = 16 - 4 = 12
    f(6) = 8 \times 6 - (6)^2 = 48 - 36 = 12
    \Rightarrow f(2) = f(6)
    f'(x) = 8 - 2x
    f'(c) = 0 से:
    8 - 2c = 0 \Rightarrow c = 4
    4 \in (2, 6)
    अतः फलन रोल प्रमेय की तीनों शर्तों का पालन करता है, फलतः रोल प्रमेय सत्यापित होती है.
    Illustration: 2 (ii). f(x) = e^x (\sin x - \cos x) , x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]
    Solution: f(x) = e^x (\sin x - \cos x)
    f\left(\frac{\pi}{4}\right) = e^{\frac{\pi}{4}} \left(\sin\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{4}\right)
    = e^{\frac{\pi}{4}} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 0
    \Rightarrow f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0
    f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = e^{\frac{5 \pi}{4}} \left(\sin\frac{5\pi}{4} - \cos\frac{5\pi}{4}\right)
    f'(x) = e^x(\cos x + \sin x) + e^x(\sin x - \cos x) = 2e^x \sin x
    Rf'(x) = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
    = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{2e^{x+h}\sin(x+h) - 2e^x\sin x}{h}
    Rf'(x) = 2e^{x}(\cos x + \sin x)
    Lf'(x) = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(x - h) - f(x)}{-h}
    = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{2e^{x+h}\sin(x+h) - 2e^x\sin x}{-h}
    = \underset{h \to 0}{\lim} 2e^x(\cos x + \sin x)
    \Rightarrow Lf'(x) = 2e^x(\cos x + \sin x)
    \Rightarrow Rf'(x) = Lf'(x)
    f'(x) = 2e^x \sin x
    f'(c) = 2e^c \sin c
    f'(c) = 0 \Rightarrow 2e^c \sin c = 0
    \Rightarrow \sin c = 0 \Rightarrow \sin c = \sin\pi
    \Rightarrow c = \pi \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right)
    अतः रोल प्रमेय की तीनों शर्ते संतुष्ट होती हैं। फलतः रोल प्रमेय सत्यापित होती है.
    Illustration: 2 (iv). f(x) = x^3 - x^2 + 2x, x \in [0, 2]
    Solution: f(x) = x^3 - x^2 + 2x
    बहुपद फलन से वास्तविक संख्याओं के लिए सर्वत्र सतत और अवकलनीय है.
    f(x) = x^3 - x^2 + 2x
    f(0) = 0^3 - 0^2 + 2(0) = 0
    f(2) = 2^3 - 2^2 + 2 \times 2 = 8 - 4 + 4 = 8
    f(0) \neq f(2)
    अतः, रोल प्रमेय तीसरी शर्त को संतुष्ट नहीं करता है। फलतः रोल प्रमेय सत्यापित नहीं होती है.
  • Illustration: 3. यदि (If) f(x) = \begin{vmatrix} \sin x & \sin\alpha & \sin\beta \\ \cos x & \cos\alpha & \cos\beta \\ \tan x & \tan\alpha & \tan\beta \end{vmatrix}
    जहाँ (where) 0 < \alpha < \beta < \frac{\pi}{2},
    प्रदर्शित कीजिए (show that)
    f'(\xi) = 0, जहाँ (where) \alpha < \xi < \beta
    Solution:
    f(x) = \begin{vmatrix} \sin x & \sin\alpha & \sin\beta \\ \cos x & \cos\alpha & \cos\beta \\ \tan x & \tan\alpha & \tan\beta \end{vmatrix}
    We have
    f(x) = (\cos\alpha \cdot \tan\beta - \cos\beta \cdot \tan\alpha)\sin x - (\sin\alpha \cdot \tan\beta - \sin\beta \cdot \tan\alpha)\cos x + (\sin\alpha \cdot \cos\beta - \sin\beta \cdot \cos\alpha)\tan x
    f(x) का \left(0, \frac{\pi}{2}\right) के प्रत्येक बिन्दु पर अस्तित्व है अतः f(x) संतत है.
    0 < \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}, अतः f(x), [\alpha, \beta] में सतत और अवकलनीय है.
    f(\alpha) = \begin{vmatrix} \sin\alpha & \sin\alpha & \sin\beta \\ \cos\alpha & \cos\alpha & \cos\beta \\ \tan\alpha & \tan\alpha & \tan\beta \end{vmatrix} = 0
    तथा f(\beta) = \begin{vmatrix} \sin\beta & \sin\alpha & \sin\beta \\ \cos\beta & \cos\alpha & \cos\beta \\ \tan\beta & \tan\alpha & \tan\beta \end{vmatrix} = 0
    \therefore f(\alpha) = f(\beta)
    इस प्रकार f(x) रोल प्रमेय [\alpha, \beta] अन्तराल में तीनों शर्तों का पालन करता है। इस प्रकार f का कम से कम एक मान का अन्तराल (\alpha, \beta) में अस्तित्व है जहाँ f'(\xi) = 0.
    \therefore f'(\xi) = 0 जहाँ \alpha < \xi < \beta.
    Illustration: 4. प्रदर्शित कीजिए, कि e^x \cos x = 1 के दो मूलों के मध्य समीकरण e^x \sin x - 1 = 0 का कम से कम एक मूल विद्यमान है। (Show that between any two roots of e^x \cos x = 1 there exists at least one root of e^x \sin x - 1 = 0)
    [Raj. 2003;2010, Udaipur 91;Jodhpur 200]
    Solution: माना x = a तथा x = b, e^x \cos x = 1 के दो भिन्न मूल हैं, तब e^a \cos a = 1 तथा e^b \cos b = 1.
    माना फलन f(x) निम्न प्रकार परिभाषित है:
    f(x) = e^{-x}-\cos x \cdots(1)
    रोल प्रमेय से:
    (1) f(x) अन्तराल [a, b] में सतत है यदि e^{-x} और \cos x सतत हैं.
    (2) f'(x) =-e^x + \sin x जिसका x \in (a, b) में सर्वत्र अस्तित्व है। इसलिए f(x), (a, b) में अवकलनीय है.
    (3) f(a) = e^{-a} - \cos a = e^{-a} - e^{-a} = 0 [(1) से ]
    f(b) = e^{-b} - \cos b = e^{-b} - e^{-b} = 0 [(1) से ]
    \therefore f(a) = f(b)
    इस प्रकार रोल प्रमेय के अन्तराल [a, b] में f(x) तीनों शर्तों को संतुष्ट करता है। अतः रोल प्रमेय का एक मान ग्रहण रखता है जहाँ e^x \sin x - 1 = 0
    उपर्युक्त उदाहरणों के हल द्वारा रोल प्रमेय बीएससी मेथ्स एक्सरसाइज (Rolle’s Theorem in BSc Maths Exercise) को समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Rolle’s Theorem Examples in BSc Mathematics

3.रोल प्रमेय बीएससी मेथ्स एक्सरसाइज के क्वेश्चंस (Practice Questions of Rolle’s Theorem in BSc Maths Exercise for Students):

  • फलनों के लिए रोल प्रमेय का सत्यापन कीजिए
    (Verify Rolle’s Theorem for the function)
    (1.) f(x) = 2x^3 + x^2 - 4x - 2
    (2.) f(x) = 5x^4 - 8x^3 + 3x^2
    उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रोल प्रमेय बीएससी मेथ्स एक्सरसाइज (Rolle’s Theorem in BSc Maths Exercise) को अच्छी तरह से समझ सकते हैं क्योंकि स्वयं प्रैक्टिकल रूप से सवालों को हल करने पर कांसेप्ट अच्छी तरह समझ में आती है।
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Also Read This Article:- Rolle’s Theorem in Hindi: Algebraic and Geometrical Interpretation

4.रोल प्रमेय बीएससी मेथ्स एक्सरसाइज (Frequently Asked Questions Related to Rolle’s Theorem in BSc Maths Exercise) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Q:1.रोल प्रमेय पर टिप्पणी लिखो। (Write a Note on Rolle’s Theorem):

उत्तर:(1.)यदि फलन f रोल प्रमेय के सभी प्रतिबन्धों को सन्तुष्ट करे तो अन्तराल (a,b) में एक से अधिक बिन्दुओं के लिए f'(c)=0 होने की संभावना है।
(2.)रोल प्रमेय की सत्यता के लिए प्रतिबन्ध (3) का परम्परागत रूप f(a)=f(b)=0 है।
(3.)रोल प्रमेय में फलन f का संवृत्त अन्तराल [a,b] में सांतत्य की विशेषता का प्रयोग किया गया है।
(4.)रोल प्रमेय का विलोम सत्य नहीं है अर्थात् इस प्रमेय में दिए हुए प्रतिबन्ध पर्याप्त नहीं है परन्तु आवश्यक नहीं है।

प्रश्न:2.रोल प्रमेय के बीजीय अर्थ से क्या आशय है? (What is Algebraic Interpretation of Rolle’s Theorem?):

उत्तर:यदि f(x),x में बहुपद है तथा x=a और x=b समीकरण f(x)=0 के दो मूल हों,तो समीकरण f'(x)=0 का कम से कम एक मूल a तथा b के मध्य विद्यमान होगा।

प्रश्न:3.रोल प्रमेय के ज्यामितीय अर्थ का क्या आशय है? (What is Geometrical Interpretation of Rolle’s Theorem?):

उत्तर:यदि वक्र के प्रत्येक बिन्दु पर स्पर्श रेखा विद्यमान है तथा इसके सिरों पर A तथा B पर कोटि समान हैं,तो आरेख पर बिन्दुओं A तथा B को छोड़कर कम से कम एक बिन्दु P विद्यमान होगा जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष के समान्तर होगी।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा रोल प्रमेय बीएससी मेथ्स एक्सरसाइज (Rolle’s Theorem in BSc Maths Exercise) की प्राइमरी टर्म्स के बारे में जान सकते हैं।

5.छात्र-छात्राओं से आज का प्रश्न (Today’s Question to Students):

  • 🎯 विनर्स कॉर्नर:क्या आप इस सवाल का सही जवाब दे सकते हैं?अपने नाम के साथ नीचे कमेंट करें!सही जवाब देने वाले Top Students के नाम हमारी आगे post/is article ke update में Photo ya Special Mention के साथ publish की जाएगी।अपना जवाब अभी दर्ज करें!👇
    *”(‘MATRICULATE’ शब्द से अंग्रेजी के कितने स्वतन्त्र शब्द बनाए जा सकते हैं,जिनसे अक्षरों का क्रम भी न बदले तथा एक अक्षर एक ही बार प्रयोग हो?)
    *How many independent English words can be formed from the word ‘MATRICULATE’, so that the order of the letters does not change and one letter is used only once?*
    *पिछली प्रश्नोत्तरी का हल)”*
    \frac{3 \times 16 + 20 \div 4}{6 \times 8 - 16 \div 2} = ?
    ? = \frac{48 + 5}{48 - 8} = \frac{53}{40} = 1\frac{13}{40}
    *Previous Quiz Solution*
    \frac{3 \times 16 + 20 \div 4}{6 \times 8 - 16 \div 2} = ?
    ? = \frac{48 + 5}{48 - 8} = \frac{53}{40} = 1\frac{13}{40}
    *”यह आर्टिकल **Satyam Mathematics** ब्लॉग पर **Satyam Coaching Centre** के द्वारा तैयार किया गया है।”*

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Sanjay Kumawat

(1.)**Satyam Narain Kumawat** **Website Name:Satyam Mathematics** *Owner:satyamcoachingcentre.in* *Sthan:Manoharpur,Jaipur (Rajasthan)* **Teaching Mathematics aur Anya Anubhav** ***Shiksha:**B.sc.,B.Ed.,(M.sc. star Ke Mathematics Ko Padhane ka Anubhav),B.com.,M.com. Ke vishayon Ko Padhane ka Anubhav,Philosophy,Psychology,Religious,sanskriti Mein Gahri Ruchi aur Adhyayan ***Anubhav:**phichale 23 varshon se M.sc.,M.com.,Angreji aur Vigyan Vishayon Mein Shikshaka Ka Lamba Anubhav ***Visheshagyata:*Maths,Adhyatma (spiritual),Yog vishayon ka vistrit Gyan* ****In Brief:I have read about M.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.A dedicated math expert with 23+ years of teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.After guiding thousands of students through Satyam Coaching Center,now share Mathematics,Trigonometry (Upto M.sc) and Educational Strategies in simple language on this blog from December 2018.* (2.)**(Technical Expert & Co-Admin):** ***Name:Sanjay Kumawat* *Qualification:Graduate in Mechanical Engineering (B.Tec) in 2013* *Profession:Physics Lecturer* *Teaching Experience:15 Years and Teaching to NEET,JEE Students* *Technical Experience:5 Years Coding and Article Editing,Classic Photo Editing by Laptop in Satyam Coaching Centre Blog* *A school lecturer and digital content strategist.On this blog,he handles all the responsibility of coding,image editing,SEO, and technical management,so that the mathematical content reaches the readers in a very accurate and beautiful form.* Updated on 15.06.2026

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