1.द्वितीय कोटि के अवकल समीकरण (Differential Equations of Second Order),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations of Second Order):

Differential Equations of Second Order

द्वितीय कोटि के अवकल समीकरण (Differential Equations of Second Order) का पूर्ण हल ज्ञात करेंगे जबकि पूरक-फलन में विद्यमान एक समाकल ज्ञात हो।यदि पूर्व में दी गई विधियों से हल ज्ञात नहीं किया जा सके तो इस आर्टिकल में दी गई विधियों का प्रयोग करते हैं।
अवकल समीकरण का निम्न मानक रूप (Standard Form)

\frac{d^2 y}{d x^2}+p \frac{d y}{d x}+Q y=R \cdots(1)
यदि समीकरण (1) के पूरक फलन में विद्यमान एक समाकल ज्ञात हो या निरीक्षण द्वारा (By Inspection) या और किसी विधि से ज्ञात किया जा सके तो इस समीकरण को प्रथम कोटि (First Order) के समीकरण में परिवर्तित कर इसका सम्पूर्ण हल निम्न प्रकार से प्राप्त किया जा सकता है।
मान लो y=u समीकरण (1) के पूरक-फलन (C.F.) का एक भाग है अर्थात् यदि (1) का दायां पक्ष शून्य लिया जाए तो y=u इसका एक हल होगा तब

\frac{d^2 y}{d x^2}+P \frac{d y}{d x}+Q y=0 \\ \frac{d^2 u}{d x^2}+P \frac{d u}{d x}+Q u=0 \cdots(2)
माना कि y=uv समीकरण (1) का पूर्ण हल है तब
\frac{d y}{d x}=u \frac{d v}{d x}+v \frac{d u}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2}=u \frac{d^{2} v}{d x^2}+2 \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d u}{d x}+v \frac{d^2 u}{d x^2}
अब y,\frac{d y}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2} का मान समीकरण (1) में रखने परः

\left(u \frac{d^2 v}{d x^2}+2 \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d u}{d x}+v \frac{d^2 u}{d x^2}\right) +P\left(\frac{d v}{d x}+v \frac{d v}{d x}\right) +Q(u v)=R \\ \Rightarrow u \frac{d^2 v}{d x^2}+\frac{d v}{d x}\left(2 \frac{d u}{d x}+P u\right)+v\left(\frac{d^2 u}{d x^2}+p \frac{d u}{d x}+Q u\right)=R \cdots(3)
अब (3) में (2) का प्रयोग करने परः

u \frac{d^2 v}{d x^2}+\frac{d v}{d x}\left(2 \frac{d u}{d x}+p u\right)=R\\ \Rightarrow \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(p+\frac{2}{u}\frac{ d u}{d x}\right) \cdot \frac{d v}{d x}=\frac{R}{u} \cdots(4)
पुनः (4) में यदि \frac{d v}{d x}=P तथा \frac{d^2 v}{d x^2}=\frac{d p}{d x} रखें तब

\frac{d p}{d x}+\left(p+\frac{2}{u} \frac{d u}{d x}\right) p=\frac{R}{u} \cdots(5)
जो कि p में एक रैखिक समीकरण है।इसका
समाकलन गुणक (I.F.)=\exp \left[\int\left(P+\frac{2}{u}\frac{du}{dx} \right) d x\right] \\ =\exp \left[\int p d x+\int \frac{2}{u} d u\right] \\ =\exp \left[\int p d x+2 \log u\right] \\ =u^2 e^{\int p dx}
समीकरण (5) का हल होगाः

p \cdot u^2 \cdot e^{\int p d x}=\int\left(\frac{R}{u} u^2 e^{\int p d x}\right) d x+c_{1} \\ \Rightarrow p=\frac{1}{u^2} e^{-\int P d x} \int\left(R u \cdot e^{\int p d x}\right) d x+\frac{c_{1}}{u^{2}} e^{-\int p d x} \cdots(6)
समीकरण (6) से हमें p=\frac{d v}{d x} का मान प्राप्त होता है जिसका समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है कि

v=\int p d x + c_1
v के इस मान से सम्बन्ध y=uv की सहायता से y का मान प्राप्त कर सकते हैं।y का यह मान समीकरण (1) का पूर्ण हल होगा,इस हल में दो स्वेच्छ अचर विद्यमान है।
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2.द्वितीय कोटि के अवकल समीकरण के साधित उदाहरण (Differential Equations of Second Order Solved Examples):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिएः
(Solve the following differential equations):
Example:1. (3-x) \frac{d^2 y}{d x^2}-(9-4 x) \frac{d y}{d x}+(6-3 x)y=0

Solution:- (3-x) \frac{d^2 y}{d x^2}-(9-4 x) \frac{d y}{d x}+(6-3 x)y=0 \\ \frac{d^2 y}{d x^2}-\left(\frac{9-4 x}{3-x}\right) \frac{d y}{d x}+\left(\frac{6-3 x}{3-x}\right) y=0 \cdots(1)
यहाँ P=-\left(\frac{9-4 x}{3-x}\right) तथा Q=\frac{6-3 x}{3-x}
निरीक्षण द्वारा स्पष्ट है कि 1+P+Q=0

1-\frac{9-4 x}{3-x}+\frac{6-3 x}{3-x} \\ = \frac{3-x-9+4 x+6-3 x}{3-x}=0
अतः y=e^x पूरक-फलन (C.F.) का एक भाग है।
अब माना कि y=v e^x \\ \frac{d y}{d x}=v e^x+e^{x} \frac{d v}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2}=v e^x+2 e^x \frac{d v}{d x}+e^x \frac{d^2 v}{d x^2}
अब y,\frac{d y}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2} के मान (1) में प्रतिस्थापित करने परः

v e^x+2 e^x \frac{d v}{d x}+e^x \frac{d^2 v}{d x^2}-\left(\frac{9-4 x}{3-x}\right)\left(v e^x+e^x \frac{d v}{d x}\right)+\left(\frac{6-3 x}{3-x}\right) v e^x=0 \\ \Rightarrow e^x \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(2 e^x-e^x \frac{(9-4 x)}{3-x}\right) \frac{d v}{d x}+\left(v e^x-v e^x\frac{(9-4 x)}{3-x}+\left(\frac{6-3 x}{3-x}\right) v e^x\right)=0 \\ \Rightarrow e^x \frac{d^2 v}{d x^2}+e^x\left(\frac{6-2 x-9+4 x}{3-x}\right) \frac{d v}{d x}+v e^{x}\left(\frac{3-x-9+4 x+6-3 x}{3-x}\right)=0\\ \Rightarrow e^x \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(\frac{2 x-3}{3-x}\right) e^x \frac{d v}{d x}=0\\ \Rightarrow \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(\frac{2 x-3}{3-x}\right) \frac{d v}{d x}=0 \cdots(2)
पुनः माना कि \frac{d v}{d x}=p अब \frac{d^2 v}{d x^2}=\frac{d p}{d x}
(2) सेः

\frac{d p}{d x}+\left(\frac{2 x-3}{3-x}\right) p=0 \\ \Rightarrow \frac{d p}{p}=\left(\frac{3-2 x}{3-x}\right) d x
समाकलन करने परः

\Rightarrow \frac{d p}{p} =\int\left(\frac{3-2 x}{3-x}\right) d x \\ \Rightarrow \log p =\int\left( \frac{3-2x}{3-x}\right) d x \\ =\int 2 d x-3 \int \frac{1}{3-x} d x \\ \Rightarrow \log p =2 x+3 \log (3-x)+\log c_{1} \\ \Rightarrow p=c_1(3-x)^3 e^{2 x} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=c_{1} (3-x)^3 e^{2 x} \\ \Rightarrow d v=c_{1}(3-x)^3 e^{2 x} d x
पुनः समाकलन करने परः

\int d v=\int c_{1}(3-x)^3 e^{2 x} d x \\ v=\frac{c_{1}}{2}(3-x)^3 e^{2 x}+\frac{3}{2} \int(3-x)^2 e^{2 x} d x \\ =\frac{c_1}{2}(3-x)^3 e^{2 x}+\frac{3}{4}(3-x)^2 e^{2 x}+\frac{3}{2} \int(3-x) e^{2 x} d x \\ =c_1\left[(3-x)^3 e^{2 x}+\frac{3}{4}(3-x)^2 e^{2 x}+\frac{3}{4}(3-x) e^{2x}+\frac{3}{8} e^{2 x}\right]+c_2\\ \Rightarrow v =\frac{c_1 e^{2 x}}{8}\left(183-150 x+42 x^2-4 x^3\right)+c_2
अतः दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल निम्न हैः

y=v e^x \\ y=\frac{c_{1}}{8} e^{3 x}\left(180-150 x+42 x^2-4 x^3\right)+c_2 e^x
Example:2. x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}-2 x(1+x) \frac{d y}{d x}+2(1+x) y=x^3
Solution:x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}-2 x(1+x) \frac{d y}{d x}+2(1+x) y=x^3
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में लिखने परः

\frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{-2 x-2 x^2}{x^2}\right) \frac{d y}{d x}+\left(\frac{2+2 x}{x^2}\right) y=x \cdots(1)
यहाँ P=\frac{-2 x-2 x^2}{x^2}, Q=\frac{2+2 x}{x^2}
निरीक्षण द्वारा स्पष्ट है कि P+Qx=0

\Rightarrow \frac{-2 x-2 x^2}{x^2}+\frac{2 x+2 x^2}{x^2}=0
अतः y=x पूरक-फलन (C.F.) का एक भाग है।
माना कि y=vx समीकरण (1) का पूर्ण हल है।
y=vx का अवकलन करने परः
\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2}=2 \frac{d v}{d x}+x \frac{d^2 v}{d x^2}
अब y, \frac{d y}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2} के मान (1) में प्रतिस्थापित करने परः

2 \frac{d v}{d x}+x \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(\frac{-2 x-2 x^2}{x^2}\right)\left(v+x \frac{d v}{d x}\right)+ \left(\frac{2+2 x}{x^2}\right) v x=x \\ \Rightarrow x \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(2+\frac{-2 x-2 x^2}{x}\right) \frac{d v}{d x}+\left(\frac{-2-2 x}{x}+\frac{2+2 x}{x}\right) v=x \\ \Rightarrow x \frac{d^2 v}{d x^2}+ \left(\frac{2 x-2 x-2 x^2}{x}\right) \frac{d v}{d x}=x \\ \Rightarrow x \frac{d^2 }{d x^2}-2 x \frac{d v}{d x}=x \\ \Rightarrow \frac{d^2 v}{d x^2}-2 \frac{d v}{d x}=1 \cdots(2)
पुनः माना कि \frac{d v}{d x}=p तब \frac{d^2 v}{d x^2}=\frac{d p}{d x}

(2) सेः \frac{d p}{d x}-2 p=1\\ \frac{d p}{1+2 p}=d x
समाकलन करने परः

\log (1+2 p)=2 x+\log c_{1} \\ 1+2 p=c_{1} e^{2 x} \\ \Rightarrow p=\frac{c_{1}}{2} e^{2 x}-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=\frac{c_{1}}{2} e^{2 x}-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow d v=\frac{c_{1}}{2} \cdot e^{2x}-\frac{1}{2}
पुनः समाकलन करने परः

\int d v=\frac{c_1}{2} \int e^{2 x} d x-\frac{1}{2} \int 1 \cdot d x+c_2 \\ \Rightarrow v=\frac{c_1}{4} e^{2 x}-\frac{x}{2}+c_2
अतः दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल निम्न हैः
y =v x \\ \Rightarrow y =\frac{c_{1}}{4} x e^{2 x}-\frac{1}{2} x^2+c_2
Example:3. x \frac{d^2 y}{d x^2}-2(x+1) \frac{d y}{d x}+(x+2) y=(x-2) e^x
Solution:x \frac{d^2 y}{d x^2}-2(x+1) \frac{d y}{d x}+(x+2) y=(x-2) e^x
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में लिखने परः

\frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{-2 x-2}{x}\right) \frac{d y}{d x}+\left(\frac{x+2}{x}\right) y=\left(\frac{x-2}{x}\right) e^x \cdots(1)
यहाँ P=\frac{-2 x-2}{x} तथा Q=\frac{x+2}{x}
निरीक्षण द्वारा स्पष्ट है कि 1+P+Q=0

1-\frac{2 x-2}{x}+\frac{x+2}{x}=0 \\ \frac{x-2 x-2+x+2}{x}=0
अतः y=e^x पूरक-फलन (C.F.) का एक भाग है।
अब माना कि y=v e^x \\ \frac{d y}{d x}=v e^x+e^x \frac{d v}{d x}
तथा \frac{d^2 y}{d x^2}=v e^x+2 e^x \frac{d v}{d x}+e^x \frac{d^2 v}{d x^2}
अब y, \frac{d y}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2} के मान (1) में प्रतिस्थापित करने परः

v e^x+2 e^x \frac{d v}{d x}+e^x \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(\frac{-2 x-2}{x}\right)\left(v e^x +e^{2 x} \frac{dv}{dx}\right)+\left(\frac{x+2}{x}\right)\left(v e^x\right)=\left(\frac{x-2}{x}\right) e^x \\ \Rightarrow e^x \frac{d^2 v}{d x^2}+e^x\left(2+\frac{(-2 x-2)}{x}\right) \frac{d v}{d x}+v e^x \left(1+\frac{(-2 x-2)}{x}+\frac{x+2}{x}\right)=\left(\frac{x-2}{x}\right) e^x\\ \Rightarrow e^x \frac{d^{2} v}{d x^{2}}+e^x \left(\frac{2 x-2 x-2}{x}\right) \frac{d v}{d x}+v e^x \left(\frac{x-2 x-2+x+2}{x}\right)=\left(\frac{x-2}{x}\right) e^x \\ \Rightarrow \frac{d^2 v}{d x^2}-\frac{2}{x} \frac{d v}{d x}=\frac{x-2}{x} \ldots (2)
पुनः माना कि \frac{d v}{d x}=p तब \frac{d^2 v}{d x^2}=\frac{d p}{d x}
(2) सेः \frac{d p}{d x}-\frac{2}{x} p=\frac{x-2}{x} \cdots(3)
जो कि p में प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है जिसका
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int- \frac{2}{x} d x} \\ =e^{-2 \log x}=\frac{1}{x^2}
अतः (3) का हल होगाः

p \cdot \frac{1}{x^2}=\int \frac{1}{x^2} \cdot \frac{x-2}{x} d x+c_{1} \\ \Rightarrow \frac{p}{x^2}=\int \frac{1}{x^2} d x-\int \frac{2}{x^3} d x+c_{1} \\ \Rightarrow \frac{p}{x^2}=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+c_{1} \\ \Rightarrow p=-x+1+c_{1} x^2 \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=-x+1+c_{1} x^2 \\ \Rightarrow d v=\left(-x+1+c_{1} x^2\right) d x
पुनः समाकलन करने परः

\int d v=-\int x d x+\int 1 \cdot d x+c_{1} \int x^2 d x+c_{2} \\ \Rightarrow v=-\frac{1}{2} x^2+x+\frac{c_1}{3} x^3+c_2
अतः दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल निम्न है।

y=v e^x \\ \Rightarrow y=\left(\frac{1}{3} c_{1} x^3-\frac{1}{2} x^2+x+c_2\right) e^x
Example:4. \frac{d^2 y}{d x^2}-x^2 \frac{d y}{d x}+x y=x
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-x^2 \frac{d y}{d x}+x y=x \cdots(1)
यहाँ p=-x^2 तथा Q=x
निरीक्षण से स्पष्ट है कि P+Qx=0

-x^2+x^2=0
अतः y=x पूरक-फलन (C.F.) का एक भाग है।
माना कि y=vx समीकरण (1) का पूर्ण हल है।y=vx का अवकलन करने परः
\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2}=2 \frac{d v}{d x}+x \frac{d^2 v}{d x^2}
अब y, \frac{d y}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2} के मान (1) में प्रतिस्थापित करने परः

2 \frac{d v}{d x}+x \frac{d^2 v}{d x^2}-x^2\left(v+x \frac{d v}{d x}\right)+x \cdot v x=x \\ \Rightarrow x \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(2-x^3\right) \frac{d v}{d x}-v x^2+v x^2=x \\ \Rightarrow x \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(2-x^3\right) \frac{d v}{d x}=x \\ \Rightarrow \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(\frac{2-x^3}{x}\right) \frac{d v}{d x}=1 \cdots(2)
पुनः माना कि \frac{d v}{d x}=p तब \frac{d^2 v}{d x^2}=\frac{d p}{d x}
(2) सेः \frac{d p}{d x}+\left(\frac{2-x^3}{x}\right) p=1 \cdots(3)
जो कि p में प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है जिसका
समाकलन गुणक (I.F.)=\exp \left\{\int \frac{2-x^3}{x} dx\right\} \\ =\exp \left\{2 \log x-\frac{1}{3} x^3\right\} \\ =x^2 e^{-\frac{1}{3} x^3}
अब (3) का हल होगाः

p \cdot x^2 e^{-\frac{1}{3} x^3}=\int 1 \cdot x^2 e^{-\frac{1}{3} x^3} d x+c_{1} \\ \Rightarrow p x^2 e^{-\frac{1}{3} x^3}=-e^{-\frac{1}{3} x^3}+c_{1} \\ \Rightarrow p=-x^{-2}+c_{1} x^{-2} e^{\frac{1}{3} x^3} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=-x^{-2}+c_{1} x^{-2} e^{\frac{1}{3} x^3} \\ \Rightarrow dv=\left(-x^{-2}+c_{1} x^{-2} e^{\frac{1}{3}} x^3\right) d x
पुनः समाकलन करने परः

\int d v=-\int x^{-2} d x+c_{1} \int x^{-2} e^{\frac{1}{3} x^{3}} d x+c_{2} \\ \Rightarrow v=\frac{1}{x}+c_{1} \int x^{-2} e^{\frac{1}{3}} x^3 d x+c_{2}
अतः दिए हु समीकरण का पूर्ण हल निम्न हैः
y=vx \\ \Rightarrow y=\left(\frac{1}{x}+c_{1} \int x^{-2} e^{\frac{1}{3} x^{3}} d x+c_{2}\right) x \\ \Rightarrow y=1+c_{1} x \int x^{-2} e^{\frac{1}{3} x^{3}} d x+c_{2} x

Differential Equations of Second Order

Example:5. x \frac{d^2 y}{d x^2}+(1-x) \frac{d y}{d x}-y=e^x

Solution:- x \frac{d^2 y}{d x^2}+(1-x) \frac{d y}{d x}-y=e^x
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में लिखने परः

\frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{1-x}{x}\right) \frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}=x^{-1} e^x \ldots(1)
यहाँ P=\frac{1-x}{x} तथा Q=-\frac{1}{x}
निरीक्षण द्वारा स्पष्ट है कि 1+P+Q=0

1+\frac{1-x}{x}-\frac{1}{x}=\frac{x+1-x-1}{x}=0
अतः y=e^x पूरक-फलन (C.F.) का एक भाग है।
अब माना कि y=v e^x \\ \frac{d y}{d x}=v e^x+e^x \frac{d v}{d x}
तथा \frac{d^2 y}{d x^2}=v e^x+2 e^x \frac{d v}{d x}+e^{x} \frac{d^2 v}{d x^2}
अब y, \frac{d y}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2} के मान (1) में प्रतिस्थापित करने परः

v e^x+2 e^x \frac{d v}{d x}+e^x \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(\frac{1-x}{x}\right)\left(v e^x+e^x \frac{d r}{d x}\right) -\frac{v e^x}{x}=x^{-1} e^x \\ \Rightarrow e^x \frac{d^2 v}{d x^2}+e^x\left(2+\frac{1-x}{x}\right) \frac{d v}{d x}+v e^x\left(1+\frac{1-x}{x}-\frac{1}{x}\right)=x^{-1}-e^x \\ \Rightarrow \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(\frac{1+x}{x}\right) \frac{d v}{d x}=x^{-1} \ldots(2)
पुनः माना कि \frac{d v}{d x}=p तब \frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{d p}{d x}
(2) सेः \frac{d p}{d x}+\left(\frac{1+x}{x}\right) p=x^{-1} \cdots(3)
जो कि p में प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है जिसका
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int \frac{1+x}{x} d x} \\ e^{\log x+x}=x e^x
अब (3) का हल होगाः

p \cdot x e^x=\int x^{-1} \cdot x e^x d x+c_{1} \\ \Rightarrow p x e^x=\int e^x d x+c_{1} \\ \Rightarrow p x e^x=e^x+c_{1} \\ \Rightarrow p=\frac{1}{x}+c_{1} x^{-1} e^x \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=\frac{1}{x}+c_{1} x^{-1} e^x \\ \Rightarrow d v=\left(\frac{1}{x}+c_{1} x^{-1}e^{x}\right) d x
पुनः समाकलन करने परः

\int d v=\int \frac{1}{x} d x+c_{1} \int x^{-1} e^x d x+c_2 \\ \Rightarrow v=\log x+c_{1} \int x^{-1} e^x d x+c_{2}
अतः दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल निम्न हैः

y =v e^x \\ \Rightarrow y =e^x \log x+c_{1} e^x \int x^{-1} e^x d x+c_{2} e^x
Example:6. (x+1) \frac{d^2 y}{d x^2}-2(x+3) \frac{d y}{d x}+(x+5) y=e^x
Solution: (x+1) \frac{d^2 y}{d x^2}-2(x+3) \frac{d y}{d x}+(x+5) y=e^x
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में लिखने परः

यहाँ P=\frac{-2 x-6}{x+1} तथा Q=\frac{x+5}{x+1}
निरीक्षण द्वारा यह स्पष्ट है कि 1+P+Q=0

1-\frac{2 x-6}{x+1}+\frac{x+5}{x+1}=\frac{x+1-2 x-6+x+5}{x+1}=0
अतःy=e^x पूरक-फलन (C.F.) का एक भाग है।
अब माना कि y=v e^x
\frac{d y}{d x}=v e^x+e^x \frac{d v}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2}=v e^x+2 e^x \frac{d v}{d x}+e^x \frac{d^2 v}{d x^2}
अब y, \frac{d y}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2} के मान (1) में प्रतिस्थापित करने परः

v e^x+2 e^x \frac{d v}{d x}+e^x \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(\frac{-2 x-6}{x+1}\right)\left(v e^x+e^x \frac{d v}{d x}\right) +\left(\frac{x+5}{x+1}\right) v e^x=\frac{e^x}{x+1} \\ \Rightarrow e^x \frac{d^2 v}{d x^2}+e^x\left(2+\frac{-2 x-6}{x+1}\right) \frac{d v}{d x}+v e^x\left(1+\frac{-2 x-6}{x+1}+\frac{x+5}{x+1}\right)=\frac{e^x}{x+1} \\ \Rightarrow e^x \frac{d^2 v}{d x^2}+e^x\left(-\frac{u}{x+1}\right) \frac{d v}{d x}=\frac{e^x}{x+1} \\ \Rightarrow \frac{d^2 v}{d x^2}-\frac{u}{x+1} \frac{d v}{d x}=\frac{1}{x+1} \cdots(2)
पुनः माना कि \frac{d v}{d x}=p तब \frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{d p}{d x}
(2) सेः \frac{d p}{d x}-\frac{4}{x+1} p=\frac{1}{x+1} \cdots(3)
जो कि p में प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है जिसका
समाकलन गुणक (I.F)=e^{\int \frac{-4}{x+1} d x}= e^{-4 \log (x+1)} \\ =\frac{1}{(x+1)^4}
अतः (3) का हल होगाः

p \cdot \frac{1}{(x+1)^4}=\int \frac{1}{x+1} \cdot \frac{1}{(x+1)^4} d x+c_{1} \\ \Rightarrow p \frac{1}{(x+1)^4}=-\frac{1}{4(x+1)^4}+c_{1} \\ \Rightarrow p=-\frac{1}{4}+c_{1}(x+1)^4 \\ \Rightarrow \frac{dv}{dx}=-\frac{1}{4}+c_{1}(x+1)^4 \\ \Rightarrow d v=\left(-\frac{1}{4}+c_{1}(x+1)^4\right) d x
पुनः समाकलन करने परः

\int d v=-\int \frac{1}{4} d x+c_1 \int(x+1)^4 d x+c_2 \\ \Rightarrow v=-\frac{x}{4}+\frac{c_{1}}{5}\left(x+1\right)^5+c_2
अतः दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल निम्न हैः

y=\frac{1}{5} c_1 e^x(x+1)^5+c_2 e^x-\frac{1}{4} x e^x
Example:7. \frac{d^2 y}{d x^2}-(1+x) \frac{d y}{d x}+x y=x
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-(1+x) \frac{d y}{d x}+x y=x  \cdots(1)
यहाँ P=-(1+x) तथा Q=x
निरीक्षण द्वारा यह स्पष्ट है कि 1+P+Q=0
1-(1+x)+x=0
अतः y=e^x पूरक-फलन (C.F.) का एक भाग है।
अब माना कि y=v e^x \\ \frac{d y}{d x}=v e^x+e^x \frac{d v}{d x}
तथा \frac{d^2 y}{d x^2}=v e^x+2 e^x \frac{d v}{d x}+e^x \frac{d^2 v}{d x^2}
अब y, \frac{d y}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2} के मान (1) में प्रतिस्थापित करने परः

v e^x+2 e^x \frac{d v}{d x}+e^x \frac{d^2 v}{d x^2}+(-1-x)\left(v e^x+e^x \frac{d v}{d x}\right)+x \cdot v e^x=x \\ \Rightarrow e^x \frac{d^2 v}{d x^2}+e^x(2-1-x) \frac{d v}{d x}+v e^x(1-1-x+x)=x \\ \Rightarrow \frac{d^2 v}{d x^2}+(1-x) \frac{d v}{d x}=x e^{-x} \cdots(2)
पुनः माना कि \frac{d v}{d x}=p तब \frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{d p}{d x}
(2) सेः \frac{d p}{d x}+(1-x) p=x \cdots(3)
जो कि p में प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है जिसका
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int(1-x) d x} \\ = e^{x-\frac{x^{2}}{2}}
अब (3) का हल होगाः

p \cdot e^{x-\frac{x^2}{2}}=\int x e^{-x} e^{x-\frac{x^2}{2}} d x+c_{1} \\= \int x e^{-\frac{x^2}{2}} d x+c_{1} \\ \Rightarrow p e^{x-\frac{x^2}{2}}=-e^{-\frac{x^2}{2}}+c_{1} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=-e^{-x}+c_{1} e^{\frac{x^2}{2}-x} \\ \Rightarrow d v=-\left(-e^{-x}+c_{1} e^{\frac{x^2}{2}-x}\right) d x
पुनः समाकलन करने परः

\int d v=-\int e^{-x} d x+c_{1} \int e^{\frac{x^2}{2}-x} d x+c_{2}\\ \Rightarrow v=e^{-x}+c_1 \int e^{\frac{x^2}{2}-x} d x+c_2
अतः दिए हु समीकरण का पूर्ण हल निम्न हैः

y=v e^x \\ \Rightarrow y =\left(e^{-x}+c_{1} \int e^{\frac{x^2}{2}-x} d x+c_2\right) e^x \\ \Rightarrow y =1+c_{1} e^x \int e^{\frac{x^2}{2}-x} d x+c_2 e^x
Example:8. x \frac{d y}{d x}-y=(x-1)\left(\frac{d^2 y}{d x}-x+1\right)
Solution: x \frac{d y}{d x}-y=(x-1)\left(\frac{d^2 y}{d x}-x+1\right)
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में लिखने परः

\frac{d^2 y}{d x^2}-\left(\frac{x}{x-1}\right) \cdot \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x-1}=x-1 \quad \cdots(1)
यहाँ P=-\frac{x}{x-1} तथा Q=\frac{1}{x-1}
निरीक्षण द्वारा यह स्पष्ट है कि P+Qx=0

-\frac{x}{x-1}+\frac{x}{x-1}=0
अतः y=x पूरक-फलन (C.F.) का एक भाग है।
माना कि y=vx समीकरण (1) का पूर्ण हल है।y=vx का अवकलन करने परः
\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2}=2 \frac{d v}{d x}+x \frac{d^{2} v}{d x^2}

अब y,\frac{d y}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2} के मान (1) में प्रतिस्थापित करने परः

2 \frac{d v}{d x}+x \frac{d^2 v}{d x^{2}}+\left(-\frac{x}{x-1}\right)\left(v+x \frac{d v}{d x}\right)+ \frac{v x}{x-1}=x-1 \\ \Rightarrow x \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(2-\frac{x^2}{x-1}\right) \frac{d v}{d x}+ \left(\frac{-x}{x-1}+\frac{x}{x-1}\right) v=x-1 \\ \Rightarrow \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(\frac{2 x-2-x^2}{x(x-1)}\right) \frac{d v}{d x}=\frac{x-1}{x} \\ \Rightarrow \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(\frac{2}{x}-\frac{x}{x-1}\right) \frac{d v}{d x}=\frac{x-1}{x} \cdots(2)
पुनः माना कि \frac{d v}{d x}=p तब \frac{d^2 v}{d x^{2}}=\frac{d p}{d x} \\ \frac{d p}{d x}+\left(\frac{2}{x}-\frac{x}{x-1}\right) p=\frac{x-1}{x} \cdots(3)
(2) सेः
जो कि p में प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है जिसका
समाकलन गुणक (I.F.) =e^{\int\left(\frac{2}{x}-\frac{x}{x-1}\right) d x} \\ =e^{\int \left(\frac{2}{x}-1-\frac{1}{x-1}\right) d x } \\ =e^{2 \log x-x-\log (x-1)} \\ =e^{\log \left(\frac{x^2}{x-1}\right)-x} \\ \Rightarrow \text{I.F.} =\frac{x^2}{x-1} e^{-x}
अब (3) का हल होगाः

p \frac{x^2}{x-1} e^{-x}=\int \frac{x-1}{x} \cdot \frac{x^2}{x-1} e^{-x} d x+c_{1} \\ \Rightarrow p\left(\frac{x^2}{x-1}\right) e^{-x}=\int x e^{-x} d x+c_{1} \\ \Rightarrow p\left(\frac{x^2}{x-1}\right) e^{-x}=-x e^{-x}-e^{-x}+c_{1} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=-\frac{x-1}{x}-\frac{x-1}{x^2}+c_{1} \frac{x-1}{x^2} e^{x}
पुनः समाकलन करने परः

\int dv=\int c_1 \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right) e^x dx- \int\left(1-\frac{1}{x^2}\right) d x+c_{2} \\ \Rightarrow v=c_{1} \frac{1}{x} e^x-x-\frac{1}{x}+c_2
अतः दिए हु समीकरण का पूर्ण हल निम्न हैः
y =v x \\ \Rightarrow y =c_{1} e^x-\left(x^2+1\right)+c_{2} x
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा द्वितीय कोटि के अवकल समीकरण (Differential Equations of Second Order),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations of Second Order) को समझ सकते हैं।

3.द्वितीय कोटि के अवकल समीकरण के सवाल (Differential Equations of Second Order Questions):

Differential Equations of Second Order

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिएः
(Solve the following differential equations):

(1.) x y_2-(2 x+1) y_1+(x+1) y+(x+1) y=\left(x^2+x-1\right) e^{2 x}
(2.) x y_2-(2 x-1) y_1+(x-1) y=0
उत्तर (Answers):(1.) y e^{-x}=c_{2}+c_{2} x^2+x e^x या y=c_2 e^x+c_2 x^2 e^x+x e^{2 x}
(2.) y=\left(c_2+c_1 \log x\right) e^x
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर द्वितीय कोटि के अवकल समीकरण (Differential Equations of Second Order),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations of Second Order) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.द्वितीय कोटि के अवकल समीकरण (Differential Equations of Second Order),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations of Second Order) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

द्वितीय कोटि के अवकल समीकरण (Differential Equations of Second Order) का
पूर्ण हल ज्ञात करेंगे जबकि पूरक-फलन में विद्यमान एक समाकल ज्ञात हो।