1.अवकल समीकरण में लैग्रान्ज के समीकरण (Lagrange Equation in DE),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations of First Order But Not of First Degree):

Lagrange Equation in DE

अवकल समीकरण में लैग्रान्ज के समीकरण (Lagrange Equation in DE) y=xf(p)+F(p) रूप के अवकल समीकरण को लैग्रान्ज समीकरण कहते हैं।इस आर्टिकल में उक्त प्रकार के अवकल समीकरणों को हल करेंगे।
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2.अवकल समीकरण में लैग्रान्ज के समीकरण के उदाहरण (Lagrange Equation in DE Examples):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:1. y=p x+\log p
Solution: y=p x+\log p \cdots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=p+x \frac{d p}{d x}+\frac{1}{p} \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow p=p+x \frac{d p}{d x}+\frac{1}{p} \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d p}{d x}\left(x+\frac{1}{p}\right)=0 \\ \Rightarrow \frac{d p}{d x}=0 \cdots(2) \\ \Rightarrow x+\frac{1}{p}=0 \cdots(3)
(2) से:p=c  …… (4)
(1) और (4) से p का विलोपन करने पर:

y=c x+\log c
Example:2. x p^2-y p+2=0
Solution: x p^2-y p+2=0 \\ \Rightarrow y p=x p^2+2 \\ \Rightarrow y=x p+\frac{2}{p} \cdots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=p+x \frac{d p}{d x}-\frac{2}{p^2} \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow p=p+x \frac{d p}{d x}-\frac{2}{p^2} \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d p}{d x}\left(x-\frac{2}{p^2}\right)=0 \\ \Rightarrow \frac{d p}{d x}=0 \cdots(2) \\ x-\frac{2}{p^2}=0 \cdots(3)
(2) से:p=c  …… (4)
(1) तथा (4) से p का विलोपन करने पर:

y=cx+\frac{2}{c}
Example:5. (y-px)(p-1)=p
Solution: (y-p x)(p-1)=p \cdots(1) \\ \Rightarrow y-p x=\frac{p}{p-1} \\ \Rightarrow y=p x+\frac{p}{p-1}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=p+x \frac{d p}{d x}+\frac{(p-1) \frac{d p}{d x}-p \frac{d p}{d x}}{(p-1)^2} \\ \Rightarrow p=p+x \frac{d p}{d x}+\frac{(p-1-p)}{(p-1)^2} \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow 0=x \frac{d p}{d x}-\frac{1}{(p-1)^2} \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d p}{d x}\left[x-\frac{1}{(p-1)^2}\right]=0 \\ \frac{d p}{d x}=0 \cdots(2) \\ x-\frac{1}{(p-1)^2}=0 \cdots(3)
(2) से:p=c  ……. (4)
(1) तथा (4) से p का विलोपन करने पर:
(y-cx)(c-1)=c

Lagrange Equation in DE

Example:9. y=a p x+b p^3
Solution: y=a p x+b p^3 \cdots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=a p+a x \frac{d p}{d x}+3 b p^2 \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow p=a p+\left(a x+3 b p^2\right) \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow p-a p=\left(a x+3 b p^2\right) \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d x}{d p}=\frac{a x}{p-a p}+\frac{3 b p^2}{p-a p} \\ \Rightarrow \frac{d x}{d p}+\frac{a x}{p(a-1)} =\frac{3 b p}{1-a}
यह एक रैखिक समीकरण का व्यापक हल होगा:

I.F=\int \frac{a}{p(a-1) d p} \\ =e^{\frac{a}{a-1} \log p} \\ =e^{\log p^{\left(\frac{a}{a-1}\right)}} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=p^{\frac{a}{a-1}}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
x \cdot \text{I.F.}=\int \text{I.F.} Q(p) dp+c \\ x \cdot p^{\frac{a}{a-1}}=\int p^{\frac{a}{a-1}} \cdot \frac{3bp}{1-a} dp+c \\ =\frac{3 b}{1-a} \int p^{\frac{2 a-1}{a-1}} d p+c \\ =\frac{3 b}{1-a} \cdot \frac{p^{\frac{3 a-2}{a-1}}}{\frac{3 a-2}{a-1}}+c \\ =\frac{3 b}{1-a} \times \frac{a-1}{3 a-2} p^{\left(\frac{3 a-2}{a-1}\right)}+c \\ =-\frac{3 b}{3 a-2}p^{\left(\frac{3 a-2}{a-1}\right)}+c \\ =-\frac{3 b}{3 a-2}\left(\frac{3 a-2}{a-1}\right)+c \\ \Rightarrow x p^{\frac{a}{a-1}}+\frac{3 b}{3 a-2} p^{\left(\frac{3 a-2}{a-1}\right)}=c  तथा y=a p x+b p^3
Example:10. y=p^2 x+p
Solution: y=p^2 x+p
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=p^2+2 p x \frac{d p}{d x}+\frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow p-p^2=(2 p x+1) \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d x}{d p}=\frac{2 p x}{p(1-p)}+\frac{1}{p(1-p)} \\ \Rightarrow \frac{dx}{d p}+\frac{2 x}{p-1} =\frac{1}{p(1-p)}
यह एक रैखिक अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:

I.F.=e^{\int \frac{2}{p-1} d p} \\ =e^{2 \log (p-1)} \\ =e^{\log (p-1)^2} \\ \Rightarrow \text{I.F.} =(p-1)^2
अत: दिए गए समीकरण का व्यापक हल होगा:
x \cdot \text{I.F.}=\int \text{I.F.} \cdot Q(p) dp+c \\ \Rightarrow x(p-1)^2 =\int(p-1)^2 \cdot \frac{1}{p(1-p)} d p+c \\ =-\int(p-1)^2 \cdot \frac{1}{p(p-1)} d p+c \\=-\int \frac{p-1}{p} d p+c \\ =-\int 1 \cdot d p+\int \frac{1}{p} d p+c \\ =-p+\log p+c \\ \Rightarrow x=\frac{c-p+\log p}{(p+1)^2} \\ \Rightarrow x=(c-p+\log p)(p-1)^{-2} तथा y=p^2 x+p 
Example:11. y=2 p x+p^n
Solution: y=2 p x+p^x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=2 p+2 x \frac{d p}{d x}+n p^{n-1} \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow p=2 p+\left(2 x+n p^{n-1}\right) \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow(-p) \frac{d p}{d x}=2 x+n p^{n-1} \\ \Rightarrow \frac{d p}{d x}+\frac{2 x}{p}=-\frac{n p^{n-1}}{p} \\ \Rightarrow \frac{d p}{d x}+\frac{2 x}{b}=-n p^{n-2}
यह एक रैखिक अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:

\text{I.F.}=e^{\int \frac{2}{p} d p} \\ =e^{2 \log p} \\ =e^{\log p^2} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=p^2
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
\text{I.F.}=\int \text{I.F.} \cdot Q(p) d p+c \\ x p^2 =\int p^2\left(-n p^{n-2}\right) d p+c \\ x p^2 =-n \int p^n d p+c \\ =-n \frac{p^{n+1}}{n+1}+c \\ \Rightarrow x p^2 =-\frac{n}{n+1} p^{n+1}+c तथा y =2 p x+p^n
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरण में लैग्रान्ज के समीकरण (Lagrange Equation in DE),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations of First Order But Not of First Degree) को समझ सकते हैं।

3.अवकल समीकरण में लैग्रान्ज के समीकरण के सवाल (Lagrange Equation in DE Questions):

Lagrange Equation in DE

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):

(1.) y=2 b x+p^4 x^2
(2.)y=2 p x-p^2
उत्तर (Answers): (1.) x=\frac{c}{p^2}, y=\frac{2 c}{b}+p^2
(2.) x=c b^{-2}+\frac{2}{3} p, y=2 c p^{-1}+\frac{1}{3} p^2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण में लैग्रान्ज के समीकरण (Lagrange Equation in DE),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations of First Order But Not of First Degree) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अवकल समीकरण में लैग्रान्ज के समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Lagrange Equation in DE),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations of First Order But Not of First Degree) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अवकल समीकरण में लैग्रान्ज के समीकरण (Lagrange Equation in DE) y=xf(p)+F(p)
रूप के अवकल समीकरण को लैग्रान्ज समीकरण कहते हैं।इस आर्टिकल में उक्त प्रकार
के अवकल समीकरणों को हल करेंगे।