Lagrange Equation in DE
1.अवकल समीकरण में लैग्रान्ज के समीकरण (Lagrange Equation in DE),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations of First Order But Not of First Degree):
अवकल समीकरण में लैग्रान्ज के समीकरण (Lagrange Equation in DE) y=xf(p)+F(p) रूप के अवकल समीकरण को लैग्रान्ज समीकरण कहते हैं।इस आर्टिकल में उक्त प्रकार के अवकल समीकरणों को हल करेंगे।
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2.अवकल समीकरण में लैग्रान्ज के समीकरण के उदाहरण (Lagrange Equation in DE Examples):
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:1. y=p x+\log p
Solution: y=p x+\log p \cdots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=p+x \frac{d p}{d x}+\frac{1}{p} \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow p=p+x \frac{d p}{d x}+\frac{1}{p} \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d p}{d x}\left(x+\frac{1}{p}\right)=0 \\ \Rightarrow \frac{d p}{d x}=0 \cdots(2) \\ \Rightarrow x+\frac{1}{p}=0 \cdots(3)
(2) से:p=c …… (4)
(1) और (4) से p का विलोपन करने पर:
y=c x+\log c
Example:2. x p^2-y p+2=0
Solution: x p^2-y p+2=0 \\ \Rightarrow y p=x p^2+2 \\ \Rightarrow y=x p+\frac{2}{p} \cdots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=p+x \frac{d p}{d x}-\frac{2}{p^2} \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow p=p+x \frac{d p}{d x}-\frac{2}{p^2} \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d p}{d x}\left(x-\frac{2}{p^2}\right)=0 \\ \Rightarrow \frac{d p}{d x}=0 \cdots(2) \\ x-\frac{2}{p^2}=0 \cdots(3)
(2) से:p=c …… (4)
(1) तथा (4) से p का विलोपन करने पर:
y=cx+\frac{2}{c}
Example:5. (y-px)(p-1)=p
Solution: (y-p x)(p-1)=p \cdots(1) \\ \Rightarrow y-p x=\frac{p}{p-1} \\ \Rightarrow y=p x+\frac{p}{p-1}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=p+x \frac{d p}{d x}+\frac{(p-1) \frac{d p}{d x}-p \frac{d p}{d x}}{(p-1)^2} \\ \Rightarrow p=p+x \frac{d p}{d x}+\frac{(p-1-p)}{(p-1)^2} \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow 0=x \frac{d p}{d x}-\frac{1}{(p-1)^2} \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d p}{d x}\left[x-\frac{1}{(p-1)^2}\right]=0 \\ \frac{d p}{d x}=0 \cdots(2) \\ x-\frac{1}{(p-1)^2}=0 \cdots(3)
(2) से:p=c ……. (4)
(1) तथा (4) से p का विलोपन करने पर:
(y-cx)(c-1)=c
Example:9. y=a p x+b p^3
Solution: y=a p x+b p^3 \cdots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=a p+a x \frac{d p}{d x}+3 b p^2 \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow p=a p+\left(a x+3 b p^2\right) \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow p-a p=\left(a x+3 b p^2\right) \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d x}{d p}=\frac{a x}{p-a p}+\frac{3 b p^2}{p-a p} \\ \Rightarrow \frac{d x}{d p}+\frac{a x}{p(a-1)} =\frac{3 b p}{1-a}
यह एक रैखिक समीकरण का व्यापक हल होगा:
I.F=\int \frac{a}{p(a-1) d p} \\ =e^{\frac{a}{a-1} \log p} \\ =e^{\log p^{\left(\frac{a}{a-1}\right)}} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=p^{\frac{a}{a-1}}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
x \cdot \text{I.F.}=\int \text{I.F.} Q(p) dp+c \\ x \cdot p^{\frac{a}{a-1}}=\int p^{\frac{a}{a-1}} \cdot \frac{3bp}{1-a} dp+c \\ =\frac{3 b}{1-a} \int p^{\frac{2 a-1}{a-1}} d p+c \\ =\frac{3 b}{1-a} \cdot \frac{p^{\frac{3 a-2}{a-1}}}{\frac{3 a-2}{a-1}}+c \\ =\frac{3 b}{1-a} \times \frac{a-1}{3 a-2} p^{\left(\frac{3 a-2}{a-1}\right)}+c \\ =-\frac{3 b}{3 a-2}p^{\left(\frac{3 a-2}{a-1}\right)}+c \\ =-\frac{3 b}{3 a-2}\left(\frac{3 a-2}{a-1}\right)+c \\ \Rightarrow x p^{\frac{a}{a-1}}+\frac{3 b}{3 a-2} p^{\left(\frac{3 a-2}{a-1}\right)}=c तथा y=a p x+b p^3
Example:10. y=p^2 x+p
Solution: y=p^2 x+p
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=p^2+2 p x \frac{d p}{d x}+\frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow p-p^2=(2 p x+1) \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d x}{d p}=\frac{2 p x}{p(1-p)}+\frac{1}{p(1-p)} \\ \Rightarrow \frac{dx}{d p}+\frac{2 x}{p-1} =\frac{1}{p(1-p)}
यह एक रैखिक अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:
I.F.=e^{\int \frac{2}{p-1} d p} \\ =e^{2 \log (p-1)} \\ =e^{\log (p-1)^2} \\ \Rightarrow \text{I.F.} =(p-1)^2
अत: दिए गए समीकरण का व्यापक हल होगा:
x \cdot \text{I.F.}=\int \text{I.F.} \cdot Q(p) dp+c \\ \Rightarrow x(p-1)^2 =\int(p-1)^2 \cdot \frac{1}{p(1-p)} d p+c \\ =-\int(p-1)^2 \cdot \frac{1}{p(p-1)} d p+c \\=-\int \frac{p-1}{p} d p+c \\ =-\int 1 \cdot d p+\int \frac{1}{p} d p+c \\ =-p+\log p+c \\ \Rightarrow x=\frac{c-p+\log p}{(p+1)^2} \\ \Rightarrow x=(c-p+\log p)(p-1)^{-2} तथा y=p^2 x+p
Example:11. y=2 p x+p^n
Solution: y=2 p x+p^x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=2 p+2 x \frac{d p}{d x}+n p^{n-1} \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow p=2 p+\left(2 x+n p^{n-1}\right) \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow(-p) \frac{d p}{d x}=2 x+n p^{n-1} \\ \Rightarrow \frac{d p}{d x}+\frac{2 x}{p}=-\frac{n p^{n-1}}{p} \\ \Rightarrow \frac{d p}{d x}+\frac{2 x}{b}=-n p^{n-2}
यह एक रैखिक अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:
\text{I.F.}=e^{\int \frac{2}{p} d p} \\ =e^{2 \log p} \\ =e^{\log p^2} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=p^2
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
\text{I.F.}=\int \text{I.F.} \cdot Q(p) d p+c \\ x p^2 =\int p^2\left(-n p^{n-2}\right) d p+c \\ x p^2 =-n \int p^n d p+c \\ =-n \frac{p^{n+1}}{n+1}+c \\ \Rightarrow x p^2 =-\frac{n}{n+1} p^{n+1}+c तथा y =2 p x+p^n
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरण में लैग्रान्ज के समीकरण (Lagrange Equation in DE),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations of First Order But Not of First Degree) को समझ सकते हैं।
3.अवकल समीकरण में लैग्रान्ज के समीकरण के सवाल (Lagrange Equation in DE Questions):
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
(1.) y=2 b x+p^4 x^2
(2.)y=2 p x-p^2
उत्तर (Answers): (1.) x=\frac{c}{p^2}, y=\frac{2 c}{b}+p^2
(2.) x=c b^{-2}+\frac{2}{3} p, y=2 c p^{-1}+\frac{1}{3} p^2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण में लैग्रान्ज के समीकरण (Lagrange Equation in DE),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations of First Order But Not of First Degree) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.अवकल समीकरण में लैग्रान्ज के समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Lagrange Equation in DE),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations of First Order But Not of First Degree) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.लैग्रांज के रूप के समीकरण को कैसे हल करते हैं? (How to Solve Equation of the Form of Lagrange?):
उत्तर: y=xf(p)+F(p) ….. (1)
रूप के अवकल समीकरण को लैग्रान्ज का समीकरण कहते हैं।इसको हल करने के लिए हम x के सापेक्ष अवकलन करते हैं,तब
p=f(p)+x f^{\prime}(p) \frac{d p}{d x}+F^{\prime}(p) \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow[p-f(p)]=\left[x f^{\prime}(p)+F^{\prime}(p)\right] \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d x}{d p}=\frac{x f^{\prime}(p)+F^{\prime}(p)}{p-f(p)} \\ \Rightarrow \frac{d x}{d p}-\frac{f^{\prime}(p)}{p-f^{\prime}(p)} x=\frac{F^{\prime}(p)}{p-f(p)}
यह x और p में रैखिक अवकल समीकरण है,इसको रैखिक अवकल समीकरण कहते हैं,इसको रैखिक अवकल समीकरण को हल करने की विधि द्वारा हल किया जा सकता है तथा इसका रूप होगा:
x=\phi(p, c) \cdots(2)
(1) तथा (2) में से p का विलोपन करने पर हमें अभीष्ट हल प्राप्त होता है।
यदि (1) तथा (2) में से p का विलोपन आसानी से नहीं किया जा सकता तब x का मान (2) से (1) में रखकर
y=\phi(p, c) f(p)+F(p) \cdots(3)
प्राप्त किया जा सकता है।इस स्थिति में (1) का अभीष्ट हल (1) तथा (3) दोनों देते हैं।
प्रश्न:2.क्लैरो का समीकरण का रूप क्या है? (What is the Form of Clairaut’s Equation?):
उत्तर:y=px+f(p) को क्लैरो का समीकरण कहते हैं,जहाँ f(p),p का कोई फलन है।यह लैग्रान्ज के समीकरण का एक विशेष रूप है।
प्रश्न:3.क्लैरो की समीकरण की मुख्य बातें लिखिए। (Write the Main Points of Clairaut’s Equation):
उत्तर:(1.)यदि y=px+f(p) तथा x+f'(p)=0 में से p का विलोपन करें तो हमको एक दूसरा हल मिलेगा,जिसमें कोई स्वेच्छ अचर नहीं है और ना ही वह व्यापक हल की कोई विशिष्ट स्थिति है।इस प्रकार के हल को हम अवकल समीकरण का विचित्र हल (singular solution) कहते हैं।
(2.)यह ध्यान देने योग्य है कि y=px+f(p) का p के सापेक्ष आंशिक अवकल करें तो हमको समीकरण x+f'(p)=0 प्राप्त होगा।यह विशेषता विचित्र हल (singular solution) निकालने की विधि में उपयोगी सिद्ध होगी।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा अवकल समीकरण में लैग्रान्ज के समीकरण (Lagrange Equation in DE),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations of First Order But Not of First Degree) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Lagrange Equation in DE
अवकल समीकरण में लैग्रान्ज के समीकरण
(Lagrange Equation in DE)
Lagrange Equation in DE
अवकल समीकरण में लैग्रान्ज के समीकरण (Lagrange Equation in DE) y=xf(p)+F(p)
रूप के अवकल समीकरण को लैग्रान्ज समीकरण कहते हैं।इस आर्टिकल में उक्त प्रकार
के अवकल समीकरणों को हल करेंगे।
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Lekhak Ke Baare Mein (About the Author)
**Satyam Narain Kumawat**
**Website Name:Satyam Mathematics**
*Owner:satyamcoachingcentre.in*
*Sthan:Manoharpur,Jaipur (Rajasthan)*
**Teaching Mathematics aur Anya Anubhav**
***Shiksha:**B.sc.,B.Ed.,(M.sc. star Ke Mathematics Ko Padhane ka Anubhav),B.com.,M.com. Ke vishayon Ko Padhane ka Anubhav,Philosophy,Psychology,Religious,sanskriti Mein Gahri Ruchi aur Adhyayan
***Anubhav:**phichale 23 varshon se M.sc.,M.com.,Angreji aur Vigyan Vishayon Mein Shikshaka Ka Lamba Anubhav
***Visheshagyata:*Maths,Adhyatma (spiritual),Yog vishayon ka vistrit Gyan*
****In Brief:I have read about M.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 23 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
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Satyam
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