Menu

Rectification in Integral Calculus

Contents hide

1.समाकलन गणित में चापकलन (Rectification in Integral Calculus),समतल वक्रों की लम्बाईयाँ (Lenghts of Plane Curves):

  • समाकलन गणित में चापकलन (Rectification in Integral Calculus) के इस आर्टिकल से पूर्व चापकलन के दो आर्टिकल ओर भी पोस्ट किए जा चुके हैं।अतः इसके सूत्रों को उन आर्टिकल से देख लेना चाहिए।इस आर्टिकल में जो सवाल नहीं है उनको भी उन आर्टिकल में देखना चाहिए।
    चापकलन परिभाषा (Definition of Rectification):
  • किसी समतल वक्र के दो बिन्दुओं के बीच चाप (arc) की लम्बाई ज्ञात करने की विधि को चापकलन (Rectification) कहते हैं।
  • आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:Lengths of Plane Curves

2.समाकलन गणित में चापकलन के साधित उदाहरण (Rectification in Integral Calculus Solved Examples):

Example:1.निम्नलिखित वक्रों के लूप की परिमाप ज्ञात कीजिए:
(Find the perimeter of the loop of the following curve):
(a)3ay^{2}=x\left(x-a\right)^{2}
(b)3ay^{2}=x^{2}\left(a-x\right)
Solution:(a)3ay^{2}=x\left(x-a\right)^{2} …(1)
सीमा ज्ञात करने हेतु y=0 रखने पर:
x\left(x-a\right)^{2}=0
\Rightarrow{x=0,a}
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
6ay\left(\frac{dy}{dx}\right)=\left(x-a\right)^{2}+2x(x-a)\\
\Rightarrow{\left(\frac{dy}{dx}\right)}=\frac{\left(x-a\right)^{2}+2x(x-a)}{6ay}\\
\Rightarrow{\left(\frac{dy}{dx}\right)}=\frac{\left(x-a\right)\left(3x-a\right)}{6ay}
अभीष्ट चाप की लम्बाई=2\int_{0}^{a}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}}{dx}
=2{\int_{0}^{a}}{\sqrt{1+\frac{\left(x-a\right)^{2}\left(3x-a\right)^{2}}{36a^{2}y^{2}}}}{dx}
=2{\int_{0}^{a}}{\sqrt{1+\frac{\left(x-a\right)^{2}\left(3x-a\right)^{2}}{36a^{2}\frac{x\left(x-a\right)^{2}}{3a}}}}{dx}
=2{\int_{0}^{a}}{\sqrt{1+\frac{\left(3x-a\right)^{2}}{12ax}}}{dx}
=2{\int_{0}^{a}}{\sqrt{\frac{12ax+\left(3x-a\right)^{2}}{12ax}}}{dx}
=2{\int_{0}^{a}}{\sqrt{\frac{\left(3x+a\right)^{2}}{12ax}}}{dx}
=\frac{1}{\sqrt{3a}}{\int_{0}^{a}}\frac{\left(3x+a\right)}{\sqrt{x}}{dx}
=\frac{1}{\sqrt{3a}}{\int_{0}^{a}}{\left(3x^{\frac{1}{2}}+ax^{\frac{-1}{2}}\right)}{dx}
=\frac{1}{\sqrt{3a}}\left[\frac{3x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+\frac{ax^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\right]_{0}^{a}

=\frac{1}{\sqrt{3a}}\left[{2x^{\frac{3}{2}}}+2ax^{\frac{1}{2}}\right]_{0}^{a}

=\frac{1}{\sqrt{3a}}\left[{2a^{\frac{3}{2}}}+2a^{\frac{1}{2}}\right]_{0}^{a}

=\frac{4a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{3a}} =\frac{4a}{\sqrt{3}}

Solution:(b)3ay^{2}=x^{2}\left(a-x\right)…(1) सीमा ज्ञात करने हेतु y=0 रखने पर:

x^{2}(a-x)=0 \Rightarrow{x=0,a}

समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

6ay\left(\frac{dy}{dx}\right)=2x\left(a-x\right)-x^{2}\\ \Rightarrow{\left(\frac{dy}{dx}\right)}=\frac{2x\left(a-x\right)-x^{2}}{6ay}\\ \Rightarrow{\left(\frac{dy}{dx}\right)}=\frac{x\left(2a-3x\right)}{6ay}

अभीष्ट चाप की लम्बाई=

2{\int{a}^{b}}{\sqrt{1+\frac{dy}{dx}}}{dx}

=2{\int_{0}^{a}}{\sqrt{1+\frac{x^{2}\left(2a-3x\right)^{2}}{36a^{2}y^{2}}}}{dx}
=2{\int_{0}^{a}}{\sqrt{1+\frac{x^{2}\left(2a-3x\right)^{2}}{36a^{2}.\frac{x^{2}\left(a-x\right)}{3a}}}}{dx}
=2{\int_{0}^{a}}{\sqrt{1+\frac{\left(2a-3x\right)^{2}}{12a\left(a-x\right)}}}{dx}
=2{\int_{0}^{a}}{\sqrt{\frac{12a^{2}-12ax+4a^{2}-12ax+9x^{2}}{12a\left(a-x\right)}}}{dx}
=2{\int_{0}^{a}}{\sqrt{\frac{16a^{2}-24ax+9x^{2}}{12a\left(a-x\right)}}}{dx}
=\frac{1}{\sqrt{3a}}{\int_{0}^{a}}{\sqrt{\left(4a-3x\right)^{2}}{\left(a-x\right)}}{dx}
=\frac{1}{\sqrt{3a}}{\int_{0}^{a}}{\frac{4a-3x}{\sqrt{\left(a-x\right)}}}{dx}
=\frac{1}{\sqrt{3a}}{\int_{0}^{a}}{\frac{3a-3x+a}{\sqrt{\left(a-x\right)}}}{dx}
=\frac{3}{\sqrt{3a}}{\int_{0}^{a}}{\frac{a-x}{\sqrt{\left(a-x\right)}}}{dx}+\frac{1}{\sqrt{3a}}{\int_{0}^{a}}{\frac{a}{\sqrt{\left(a-x\right)}}}{dx}
=\sqrt{\frac{3}{a}}{\int_{0}^{a}}{\sqrt{a-x}}{dx}+\frac{a}{\sqrt{3a}}{\int_{0}^{a}}{\left(a-x\right)^{\frac{-1}{2}}}{dx}
=\sqrt{\frac{3}{a}}\frac{-2}{3}\left[{a-x}^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{a}+\frac{a}{\sqrt{3a}} (-2)\left[\left(a-x\right)^{\frac{1}{2}}\right]_{0}^{a}

=\frac{2}{\sqrt{3a}}a^{\frac{3}{2}}+\frac{2a}{\sqrt{3a}}a^{\frac{1}{2}}
=\frac{2a}{\sqrt{3}}+\frac{2a}{\sqrt{3}}
=\frac{4a}{\sqrt{3}}
Example:2.वक्र x=e^{\theta}\sin{\theta},y=e^{\theta}\cos{\theta} को \theta{}=0\text{ से }\theta{}=\frac{\pi}{2} तक चाप की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
(Find the length of the arc of the curve x=e^{\theta}\sin{\theta},y=e^{\theta}\cos{\theta} from \theta{}=0\text{ to }\theta{}=\frac{\pi}{2})
Solution:x=e^{\theta}\sin{\theta}

\theta{} के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{dx}{d{\theta}}=e^{\theta}{\sin{\theta}}+e^{\theta}{\cos{\theta}}\\ \Rightarrow{\frac{dx}{d{\theta}}}=e^{\theta}\left(\sin{\theta}+\cos{\theta}\right)…(4)

अभीष्ट चाप की लम्बाई s=s=\int _{ { t }_{ 1 } }^{ { t }_{ 2 } }{ \sqrt { { \left( \frac { dx }{ dt } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { dy }{ dt } \right) }^{ 2 } } } dt

\int_{o}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)}^{2}+{\left(\frac{dy}{d\theta}\right)}^{2}}}{d\theta}

=\int_{o}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{{e^{2\theta}{\left(\sin{\theta}+\cos{\theta}\right)}^{2}}+{e^{2\theta}{\left(\cos{\theta}-\sin{\theta}\right)}^{2}}}}{d\theta}

={\int_{o}^{\frac{\pi}{2}}}{\sqrt{\left(\sin^{2}{\theta}+\cos^{2}{\theta}+2\sin{\theta}\cos{\theta}+\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}-2\sin{\theta}\cos{d\theta}\right)}}{d\theta}

={\int_{o}^{\frac{\pi}{2}}}{\sqrt{2}}{d\theta}

=\sqrt{2}\left[e^{\theta}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\

=\sqrt{2}\left(e^{\frac{\pi}{2}}-1\right)

Example:3.सिद्ध कीजिए कि किसी अन्य बिन्दु तक नापे गए वक्र x=a\left(\cos{\theta}+\theta{\sin{\theta}}\right),y=a\left(\sin{\theta}-\theta{\cos{\theta}}\right) के चाप की लम्बाई {a\frac{{\theta}^{2}}{2}} है। (Prove that the length of the arc of the curve x=a\left(\cos{\theta}+\theta{\sin{\theta}}\right),y=a\left(\sin{\theta}-\theta{\cos{\theta}}\right) measured form to any other point is {a\frac{{\theta}^{2}}{2}}.)

Solution:x=a\left(\cos{\theta}+\theta{\sin{\theta}}\right)

\theta{} के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{dx}{d\theta}=a\left(-\sin{\theta}+\sin{\theta}+{\theta}{\cos{\theta}}\right) \theta{} के सापेक्ष अवकलन करने पर:

y=a\left(\sin{\theta}-\theta{\cos{\theta}}\right)

\frac{dy}{d\theta}=a{\cos\theta-\cos\theta+\theta{\sin\theta}} \Rightarrow{\frac{dy}{d\theta}}=a\theta{\sin\theta}

अभीष्ट चाप की लम्बाई s=\int_{o}^{\theta}{\sqrt{{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)}^{2}+{\left(\frac{dy}{d\theta}\right)}^{2}}}{d\theta}

={\int_{o}^{\theta}}{\sqrt{\left(a^{2}{\theta}^{2}{\cos^{2}{\theta}}+a^{2}{\theta}^{2}{\sin^{2}{\theta}}\right)}}{d\theta}

={\int_{o}^{\theta}}{\theta}{\sqrt{\cos^{2}{\theta}}+\sin^{2}{\theta}}{d{\theta}} ={\int_{o}^{\theta}}{\theta}{d\theta}

=a\left[\frac{{\theta}^{2}}{2}\right]{0}^{\theta} =\frac{1}{2}a{\theta}^{2}

Example:4.निम्नलिखित वक्र की परिमाप ज्ञात कीजिए: (Find the perimeter of the following curve): r=a\cos{\theta}

Solution:r=a\cos{\theta} यह वृत्त की समीकरण है जो ध्रुव से गुजरता है तथा जिसका केन्द्र प्रारम्भिक रेखा पर ध्रुव से दूरी पर है। ऊपरी अर्धवृत्त 0 से \frac{\pi}{2} के बीच स्थित है।वृत्त प्रारम्भिक रेखा के प्रति सममित है।

\theta{} के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{dr}{d\theta}=-a\sin{\theta}

अतः अभीष्ट चाप की लम्बाई s=\int _{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \sqrt { { r }^{ 2 }+{ \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 } } } d\theta

=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{r^{2}+a^{2}\sin^{2}{\theta}}}{d\theta} =2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{a^{2}\cos^{2}{\theta}+a^{2}\sin^{2}{\theta}}}{d\theta} =2a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}}}{d\theta} =2a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{d\theta}

=2a\left[\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}

=2a × \frac{\pi}{2} ={\pi}{a}

Example:5.प्रदर्शित कीजिए कि वक्र r=a\left(1-\cos{\theta}\right) का ऊपरी-अर्ध चाप रेखा \theta{}=\frac{2{\pi}}{3} द्वारा विभाजित होता है। (Show that the arc of the upper half of the curve r=a\left(1-\cos{\theta}\right) is bisected by \theta{}=\frac{2{\pi}}{3}\\)

Solution:r=a\left(1-\cos{\theta}\right)

\theta{} के सापेक्ष अवकलन करने पर: \frac{dr}{d\theta}=a\sin{\theta} \theta{} का मान ऊपरी तल 0 से π तक परिवर्तित होता है।

सम्पूर्ण चाप की लम्बाई s=\int _{0}^{\pi}{ \sqrt { { r }^{ 2 }+{ \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 } } } d\theta

=2\int_{0}^{\pi}{\sqrt{a^{2}\left(1-\cos{\theta}\right)^{2}+a^{2}\sin^{2}{\theta}}}{d\theta}

=2a\int_{0}^{\pi}{\sqrt{1+\cos^{2}{\theta}-2\cos{\theta}+\sin^{2}{\theta}}}{d\theta}

=2a\int_{0}^{\pi}{\sqrt{2-2\cos{\theta}}}{d\theta}

=2a\int_{0}^{\pi}{\sqrt{4sin^{2}{\frac{\theta}{2}}}}{d\theta} =4a\int_{0}^{\pi}{\sin{\frac{\theta}{2}}}{d\theta}

= 8a\left[{-cos}{\frac{\theta}{2}}\right]{0}^{\pi} =8a(1)

=8a

ऊपरी अर्ध चाप की लम्बाई=4a

\theta{}=\frac{2{\pi}}{3} तक वक्र के चाप की लम्बाई 

s=\int _{0}^{\pi}{ \sqrt { { r }^{ 2 }+{ \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 } } } d\theta

=2\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}}{\sqrt{a^{2}\left(1-\cos{\theta}\right)^{2}+a^{2}\sin^{2}{\theta}}}{d\theta}

=2\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} 2a\sin{\frac{\theta}{2}}{d\theta}

=4a\left[{-cos}{\frac{\theta}{2}}\right]_{0}^{\frac{2\pi}{3}}

=4a\left[-cos{\frac{\pi}{3}}+\cos{0}\right)

=4a\left[\frac{-1}{2}+1\right]

=4a × \frac{1}{2}

=2a=ऊपरी अर्ध चाप की लम्बाई का आधा

Example:6.कार्डिआइड r=a\left(1-\cos{\theta}\right) के उन बिन्दुओं के बीच के चाप की लम्बाई ज्ञात कीजिए जिसके सदिश कोण \alpha{} एवं \beta{} है। (Find the length of the arc of the cardioid r=a\left(1-\cos{\theta}\right) between the points whose vertical angles \alpha{} are \beta{} and.)

Solution: \theta{} के सापेक्ष अवकलन करने पर:

अभीष्ट चाप की लम्बाई s=\int _{\alpha}^{\beta}{ \sqrt { { r }^{ 2 }+{ \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 } } } d\theta

=2\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{{a}^{2}{\left(1-\cos{\theta}\right)}^{2}+{a}^{2}\sin^{2}{\theta}}}d\theta
=2a\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{1+\cos^{2}{\theta}-2\cos{\theta}+\sin^{2}{\theta}}}{d\theta}
=2a\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{2-2\cos{\theta}}}{d\theta}
=2a\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{4sin^{2}{\frac{\theta}{2}}}}{d\theta}
=4a\int_{\alpha}^{\beta}{\sin{\frac{\theta}{2}}}{d\theta}
=

8a\left[{-cos}{\frac{\theta}{2}}\right]{\alpha}^{\beta}

=4a\left(\cos{\frac{\alpha}{2}}-\cos{\frac{\beta}{2}}\right)

Example:7.सिद्ध कीजिए कि सीमाओं r=b,r=c के बीच वक्र p^{2}\left(a^{4}+r^{4}\right)=a^{4}r^{2} के चाप की लम्बाई सीमाओं x=b,x=c के बीच अतिपरवलय xy=a^{2} के चाप की लम्बाई के बराबर है। (Show that the length of arc of the curve p^{2}\left(a^{4}+r^{4}\right)=a^{4}r^{2} between the limits r=b,r=c is equal to the length of the arc of the hyperbola xy=a^{2} between the limits x=b,x=c.)

Solution:अवकल गणित से:

\frac{dr}{ds}=\cos{\phi}

\Rightarrow{\frac{ds}{dr}}=\frac{1}{\cos{\phi}}=\frac{r}{r\cos{\phi}}

=\frac{r}{\sqrt{r^{2}-r^{2}{\sin^{2}{\phi}}}}

=\frac{r}{\sqrt{r^{2}-p^{2}}} \left[p=r\sin{\phi}\right]

ds=\frac{rdr}{\sqrt{r^{2}-p^{2}}}

समाकलन करने पर:

s=\int{\frac{rdr}{\sqrt{r^{2}-p^{2}}}} …(1)

वक्र की समीकरण:

p^{2}\left(a^{4}+r^{4}\right)=a^{4}r^{2}

p^{2}=\frac{a^{4}r^{2}}{a^{4}+r^{4}}…(2)

समीकरण (2) से समीकरण (1) में p^{2} का मान रखने पर:

=s=\int_{b}^{a}{\frac{rdr}{\sqrt{r^{2}-{\left(\frac{a^{4} r^{2}}{a^{4}+r^{4}}\right)}}}}

=\int_{b}^{a}{\frac{rdr}{\sqrt{\frac{a^{4}r^{2}+r^{6}-a^{4}r^{2}}{a^{4}+r^{4}}}}}
=\int_{b}^{a}{\frac{r\sqrt{a^{4}+r^{4}}dr}{\sqrt{r^{6}}}}

={\int_{b}^{a}}{\frac{r\sqrt{a^{4}+r^{4}}{dr}}{r^{3}}}
={\int_{b}^{a}}{\frac{\sqrt{a^{4}+r^{4}}{dr}}{r^{2}}} …(2)
वक्र xy=a^{2} से:
y=\frac{a^{2}}{x}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{dy}{dx}=-\frac{a^{2}}{x^{2}}

चाप की अभीष्ट लम्बाई s={\int_{b}^{c}}{\sqrt{1+\frac{dy}{dx}}}{dx}

={\int_{b}^{c}}{\frac{\sqrt{a^{4}+x^{4}}}{x^{2}}}
जो कि (3) के समान है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समाकलन गणित में चापकलन (Rectification in Integral Calculus),समतल वक्रों की लम्बाईयाँ (Lenghts of Plane Curves) को समझ सकते हैं।

Also Read This Article:Rectification

3.समाकलन गणित में चापकलन (Rectification in Integral Calculus),समतल वक्रों की लम्बाईयाँ (Lenghts of Plane Curves) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.चाप की लम्बाई का सूत्र कैसे प्राप्त होता है? (How to get the formula of length of the arc?):

उत्तर:अवकलन गणित में (Differential calculus) सिद्ध किए गए s के अवकल गुणा़ंक को व्यक्त करनेवाले किसी भी सूत्र का समाकलन करने पर s को ज्ञात करने का सूत्र प्राप्त होता है।

प्रश्न:2.वक्र के चाप की लम्बाई ज्ञात करने का सूत्र लिखो। (Write the formula to find the length of the arc of the curve):

उत्तर:(1.)कार्तीय समीकरणों के लिए वक्र की लम्बाई:
s=\int { \sqrt { 1+{ \left( \frac { dy }{ dx } \right) }^{ 2 } } } dx
(2.)प्राचलिक समीकरणों के लिए चाप की लम्बाई:
s=\int _{ { t }_{ 1 } }^{ { t }_{ 2 } }{ \sqrt { { \left( \frac { dx }{ dt } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { dy }{ dt } \right) }^{ 2 } } } dt
(3.)ध्रुवीय समीकरणों के लिए वक्र के चाप की लम्बाई:
s=\int { \sqrt { 1+{ r }^{ 2 }{ \left( \frac { d\theta }{ dr } \right) }^{ 2 } } } dr
s=\int { \sqrt { { r }^{ 2 }+{ \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 } } } d\theta
(4.)पदिक समीकरणों के लिए वक्र के चाप की लम्बाई:
s=\int _{ { r }_{ 1 } }^{ { r }_{ 2 } }{ \frac { rdr }{ \sqrt { { r }^{ 2 }-p^{ 2 } } } }

प्रश्न:3.समतल वक्रों पर चाप की लम्बाई ज्ञात करने की कौन-कौनसी स्थितियाँ हैं? (What are the different conditions for finding lengths on plane curves?):

उत्तर:(1.)कार्तीय समीकरणों के लिए चाप की लम्बाई
(2.)प्राचलिक समीकरणों के लिए चाप की लम्बाई
(3.)ध्रुवीय समीकरणों के लिए चाप की लम्बाई
(4.)पदिक समीकरणों के लिए चाप की लम्बाई

  • उपर्युक्त प्रश्नों के द्वारा समाकलन गणित में चापकलन (Rectification in Integral Calculus),समतल वक्रों की लम्बाईयाँ (Lenghts of Plane Curves) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

Rectification in Integral Calculus

समाकलन गणित में चापकलन
(Rectification in Integral Calculus)

Rectification in Integral Calculus

समाकलन गणित में चापकलन (Rectification in Integral Calculus) के इस आर्टिकल
से पूर्व चापकलन के दो आर्टिकल ओर भी पोस्ट किए जा चुके हैं।अतः इसके सूत्रों को उन
आर्टिकल से देख लेना चाहिए।इस आर्टिकल में जो सवाल नहीं है उनको भी उन आर्टिकल में देखना चाहिए।

No.Social MediaUrl
1.Facebookclick here
2.you tubeclick here
3.Instagramclick here
4.Linkedinclick here
5.Facebook Pageclick here
6.Twitterclick here

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *