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Volume of Solid of Revolution Examples

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1.परिक्रमण ठोस का आयतन के उदाहरण का परिचय (Introduction to Volume of Solid of Revolution Examples),परिक्रमण ठोसों का आयतन (Volume of Solids of Revolution):

  • परिक्रमण ठोस का आयतन के उदाहरणों (Volume of Solid of Revolution Examples) द्वारा आयतन ज्ञात करेंगे।परिक्रमण ठोसों का आयतन ज्ञात करने हेतु पूर्व में आर्टिकल पोस्ट कर चुके हैं।अतः आपको उनको भी देखना चाहिए।
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2.परिक्रमण ठोस का आयतन के उदाहरण (Volume of Solid of Revolution Examples):

Example:1.त्रिज्या a के वृत्त के चतुर्थांश को उसकी जीवा के सापेक्ष घुमाया गया है।
(A quadrant of a circle of radius a revolves about its chord.)
प्रदर्शित कीजिए कि इस प्रकार जनित तुर्क का आयतन
(Show that the volume of the spindle is \frac{{\pi}a^{3}}{6\sqrt{2}}) है।

Solution:माना वृत्त पर P(x,y) बिन्दु है।
वृत्त का समीकरण x^{2}+y^{2}=a^{2} …(1)
जीवा AB पर P से PN लम्ब डाला
जीवा AB की समीकरण A(a,0) तथा B(0,a) से होगी:
\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1
\Rightarrow x+y-a=0
PN=P से AB पर लम्ब
=\frac{x+y-a}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}
\text{AN}^{2}=\text{AP}^{2}-\text{PN}^{2}
=\left[\left(x-a\right)^{2}+\left(y-0\right)^{2}\right]-\left[\left(\frac{x+y-a}{\sqrt{2}}\right)\right]^{2}
=\frac{1}{2}\left[2\left(x-2a\right)^{2}+y^{2}-\left(x+y-a\right)^{2}\right]
=\frac{1}{2}\left[2x^{2}-4ax+2a^{2}+y^{2}-x^{2}-y^{2}-a^{2}-2xy+2ay+2ax\right]
=\frac{1}{2}\left[\left(x-y-a\right)^{2}\right]
=\frac{\left(x-y-a\right)}{\sqrt{2}}
\text{AN}=\frac{x-\sqrt{a^{2}-x^{2}}-a}{\sqrt{2}}
\frac{d}{dx}\text{AN}=\frac{d}{dx}\left[\frac{x-\sqrt{a^{2}-x^{2}}-a}{\sqrt{2}}\right]
=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[1+\frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\right]
अभीष्ट आयतन=\int_{x=0}^{a}{\pi}\text{PN}^{2}{d\left(\text{AN}\right)}
={\pi}\int_{0}^{a}\text{PN}^{2}.\frac{d\left(\text{AN}\right)}{dx}.\text{dx}
={\pi}\int_{0}^{a}\left(\frac{x+y-a}{\sqrt{2}}\right)^{2}.\frac{1}{\sqrt{2}}\left[1+\frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\right]dx
=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\int_{0}^{a}\left(x+\sqrt{a^{2}-x{2}}-a\right)^{2}\left(1+\frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\right)dx
=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\int_{0}^{a}[\left(a-x\right)^{2}-\frac{a^{2}x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}-\frac{ax^{2}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}+x\sqrt{a^{2}-x^{2}}-a\sqrt{a^{2}-x^{2}}]dx

=\frac{\pi}{\sqrt{2}}[\int_{0}^{a}\left(a-x\right)^{2}dx+\int_{0}^{a}\frac{a^{2}x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx-\int_{0}^{a}\frac{ax^{2}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx\\+\int_{0}^{a}x\sqrt{a^{2}-x^{2}} dx-\int_{0}^{a}a\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx]
\text{Integration of }\int_{0}^{a}\frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx
\text{ put }x=a\sin{\theta}
dx=a\sin{\theta}
\text{ जब } x=0 \text{ तो }{\theta}=0
\text{ जब } x=a \text{ तो }{\theta}=\frac{\pi}{2}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\left(a^{2}\sin^{2}{\theta}.a\cos{\theta}{d\theta}\right)}{\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}{\theta}}}
=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a^{2}\sin^{2}{\theta}{d\theta}
=a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1-\cos{2\theta}}{2}\right){d\theta}
=\frac{a^{2}}{2}\left[{\theta}-\frac{\sin{2\theta}}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}

=\frac{a^{2}}{2}\frac{\pi}{2}

Now Integrate (2):

=\frac{\pi}{\sqrt{2}}[\left[-\frac{1}{3}\left(a-x\right)^{3}\right]_{0}^{a}-a^{2}\left[\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right]_{0}^{a}-\frac{{\pi}a^{3}}{4}-\frac{1}{3}\left[\left(a^{2}-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{a}\\-a\left[\frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\\+\frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right]_{0}^{a}]

=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\left[\frac{1}{3}a^{3}+a^{3}-\frac{{\pi}a^{3}}{4}+\frac{a^{3}}{3}-\frac{{\pi}a^{3}}{4}\right]

=\frac{{\pi}a^{3}}{\sqrt{2}}\left[\frac{4+12-3{\pi}+4-3{\pi}}{12}\right]

=\frac{{\pi}a^{3}}{12\sqrt{2}}\left(20-6{\pi}\right)

=\frac{{\pi}a^{3}}{6\sqrt{2}}\left(10-3{\pi}\right)

Example:2.दीर्घवृत्त b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2} रेखा \frac{1}{2}a द्वारा दो भागों में विभाजित होता है और लघुत्तर भाग इस रेखा के सापेक्ष चार समकोण घुमाया जाता है।सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार जनित आयतन (The ellipse b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2} is divided into two parts by the line \frac{1}{2}a and the smaller part is roated through four right angles about the line.Prove that the volume generated is {\pi}a^{2}b\left(\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{3}\right) है।

Solution:CDC \frac{1}{2}a रेखा है जिसके परित क्षेत्र CDC’AD परिक्रमण करता है।दीर्घवृत्त (क्षेत्र CAC’) पर कोई बिन्दु लिया p\left(a\cos{\phi},b\sin{\phi}\right)।P से PN,CC’ पर लम्ब डाला PN=O’K-OP=\frac{1}{2}a =\left(a\cos{\phi}-\frac{1}{2}a\right) C पर x=\frac{1}{2}a

\Rightarrow a\cos{\phi}=\frac{1}{2}a \Rightarrow {\cos{\phi}}=\frac{1}{2} \Rightarrow{\phi}=\frac{\pi}{2}

A किसी बिन्दु पर y=0\Rightarrow{b\sin{\phi}}=0

\Rightarrow{\phi}=0

अतः A से C तक 0 से \frac{\pi}{3} परिवर्तित होता है।

अभीष्ट आयतन=

\int{{\phi}=0}^{\frac{\pi}{3}}{\pi}\left(\text{PN}\right)^{2}d\left(\text{PN}\right)

=2{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\left[a\cos{\phi}-\frac{1}{2}a\right]^{2}d\left(b\sin{\phi}\right)
\left[\because{\text{DN}}=\text{PK}=b\sin{\phi}\right]
=\frac{2{\pi}a^{2}}{4}\int_ {0}^{\frac{\pi}{3}}\left(2\cos{\phi}-1\right)^{2}b\cos{\phi}{d\phi}
=\frac{{\pi}a^{2}b}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\left(4\cos^{3}{\phi}-4\cos^{2}{\phi}+\cos{\phi}\right){d\phi}
=\frac{{\pi}a^{2}b}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\left[\left(\cos{3\phi}+-3\cos{\phi}\right)-2\left(1+\cos{2\phi}\right)+\cos{\phi}\right]{d\phi}
=\frac{{\pi}a^{2}b}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\left[\cos{3\phi}-2\cos{2\phi}+4\cos{\phi}-2\right]{d\phi}
=\frac{{\pi}a^{2}b}{2}\left[\frac{1}{3}\sin{3\phi}-\sin{2\phi}+4\sin{\phi}-{2\phi}\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}

=\frac{1}{2}{\pi}a^{2}b\left[-\sin{\left(\frac{2}{3}{\pi}\right)}+4\sin{\left(\frac{1}{3}{\pi}\right)}-\frac{2}{3}{\pi}\right]

=\frac{1}{2}{\pi}a^{2}b\left[-\frac{1}{2}\sqrt{3}+4 × \frac{1}{2}.\sqrt{3}-\frac{2}{3}{\pi}\right]

=\frac{1}{2}{\pi}a^{2}b\left[\left(\frac{3}{2}\right).\sqrt{3}-\frac{4}{3}{\pi}\right]

={\pi}a^{2}b\left[\frac{3}{4}\sqrt{3}-\frac{1}{2}{\pi}\right]

Example:3.दीर्घवृत्त \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 को दीर्घाक्ष के सापेक्ष घुमाने से बने ठोस गोलाभ (spheroid) में एक वृत्ताकार परिच्छेद (Circular Section) का बेलनाकार छेद किया गया है जिसकी अक्ष दीर्घाक्ष है।सिद्ध कीजिए कि शेष ठोस का आयतन \frac{4{\pi}b^{2}l^{3}}{3a^{2}} है,जहाँ 2l छेद की लम्बाई है। (A solid spheroid formed by the revolution of the ellipse \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 about the major axis as axis drilled through it.Prove that the volume of the solid which remains is \frac{4{\pi}b^{2}l^{3}}{3a^{2}} where 2l is the length of the hole.)

Solution:वक्र की समीकरण:b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2} ADKD’A’E’LEA भाग गोलाभ से हटाया गया है जो दीर्घवृत्त को दीर्घअक्ष के परित परिक्रमण से जनित होता है।यह भाग बेलनाकार भाग है जिसकी लम्बाई 2l है और चाप DA द्वारा x-अक्ष के परित परिक्रमण से दुगुना आयतन जनित करता है। बेलन के आधार की त्रिज्या=DC=

y{1} तब \left(l,y_{1}\right)

वक्र (1) पर है।
\therefore{y_{1}^{2}}=\left(\frac{b^{2}}{a^{2}}\right)\left(a^{2}-l^{2}\right)
बेलन का आयतन={\pi}\left(\text{DC}\right)^{2}.\left(\text{DD'}\right)
={\pi}y_{1}^{2}\left(2l\right)
=\frac{2{\pi}b^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)}{a^{2}}…(2)
चाप DA द्वारा परिक्रमण से जनित आयतन=\int_{x=l}^{a}{\pi}y^{2}dx
={\pi}\int_{l}^{a}\frac{b^{2}}{a^{2}}\left(a^{2}-x^{2}\right) dx[(1) से]

=\frac{{\pi}b^{2}}{a^{2}}\left[a^{2}x-\frac{1}{3}x^{3}\right]_{l}^{a}

=\frac{{\pi}b^{2}}{a^{2}}\left(\frac{2a^{3}}{3}-a^{2}l+\frac{1}{3}l^{3}\right)
=\frac{1}{3}{\pi}\left(\frac{b^{2}}{a^{2}}\right)\left(2a^{3}-3a^{2}l+l^{3}\right)...(3)

दीर्घवृत्त को दीर्घाक्ष के परित घुमाने पर जनित आयतन=

=\frac{4}{3}{\pi}ab^{2} ...(4)

अभीष्ट आयतन= गोलाभ का आयतन -(बेलन का आयतन)-2 (चाप DA के परिक्रमण से जनित आयतन) =\left[\left(\frac{4}{3}\right){\pi}ab^{2}-\frac{2}{3}{\pi}\left(\frac{b^{2}l}{a^{2}}\right)\left(a^{2}-l^{2}\right)-\frac{2}{3}{\pi}\left(\frac{b^{2}}{a^{2}}\right)\left(2a^{3}-3a^{2}l+l^{3}\right)\right] [(2),(3),(4) से]

=\frac{4}{3}{\pi}ab^{2}-\frac{2}{3}{\pi}\left(\frac{b^{2}}{a^{2}}\right)\left(3la^{2}-3l^{3}+2a^{3}-3a^{2}l+l^{3}\right)

=\left(\frac{4}{3}\right){\pi}ab^{2}-\left(\frac{4}{3}\right){\pi}\left(\frac{b^{2}}{a^{2}}\right)\left(a^{3}-l^{3}\right)

=\left(\frac{4}{3}\right)\frac{{\pi}b^{2}l^{3}}{a^{2}}

Example:4.सिद्ध कीजिए कि ट्रैक्टरी x=a\cos{t}+\frac{1}{2}a\log{\left(\tan^{2}{\frac{1}{2}{t}}\right)},y=a\sin{t} का इसकी अनन्त स्पर्शी के सापेक्ष परिक्रमण से बने ठोस का पृष्ठ एवं आयतन क्रमशः त्रिज्या a के गोले के पृष्ठ के बराबर तथा आयतन के आधे के बराबर है। (Prove that the surface and volume generated by the revolution of the tractrix x=a\cos{t}+\frac{1}{2}a\log{\left(\tan^{2}{\frac{1}{2}{t}}\right)},y=a\sin{t} about its asymptote are respectively equal to the surface and half the volume of the sphere of radius a.)

Solution:x=a\cos{t}+\frac{1}{2}a\log{\left(\tan^{2}{\frac{1}{2}{t}}\right)} …(1)

\frac{dx}{dt}=-a\sin{t}+\frac{1}{2}a\left(\frac{1}{\tan^{2}{\frac{t}{2}}}\right)2\tan{\left(\frac{t}{2}\right)}\sec^{2}\left(\frac{t}{2}\right).\frac{1}{2}

=-a\sin{t}+\frac{a}{2\sin{\left(\frac{t}{2}\right)}\cos{\left(\frac{t}{2}\right)}}

=-\sin{t}+\frac{a}{\sin{t}}

\Rightarrow{\frac{dx}{dt}}=\frac{a\left(1-\sin^{2}{t}\right)}{\sin{t}}

=\frac{a\cos^{2}{t}}{\sin{t}} तथा \frac{dy}{dt}=a\cos{t}

\frac{ds}{dt}=\sqrt{\left[\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}\right]}

=a\sqrt{\left(\frac{\cos^{4}{t}}{\sin^{2}{t}}+\cos^{2}{t}\right)}[katex] =[katex]a\cos{t}\sqrt{\left[\frac{cos^{2}{t}+\sin^{2}{t}}{\sin^{2}{t}}\right]}

=\frac{a\cos{t}}{\sin{t}}

वक्र की अनन्तस्पर्शी x-अक्ष है।अतः अभीष्ट क्षेत्रफल=

2×2{\pi}\int{t=0}^{\frac{\pi}{2}}y ds

=4{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a\sin{t}\frac{ds}{dt}.{dt}
=4{\pi}a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{t}\left(\frac{\cos{t}}{\sin{t}}\right)dt
=4{\pi}a^{2}\left[\sin{t}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}

=4{\pi}a^{2}=गोले का क्षेत्रफल

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}.\frac{dt}{dx}

=a\cos{t} × \frac{\sin{t}}{\cos^{2}{t}} =\tan{t}

अतः अनन्तस्पर्शी x-अक्ष के परित परिक्रमण से जनित आयतन=

2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\pi}y^{2}dx

=2{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}y^{2}\frac{dx}{dt}.{dt}
=2{\pi}\int_{0}^{\pi}a^{2}\sin^{2}{t}.\frac{a\cos^{2}{t}}{\sin{t}}.dt
2{\pi}a^{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{t}\cos^{2}{t}dt
=2{\pi}a^{3}\frac{\Gamma{1}\Gamma{\left(\frac{3}{2}\right)}}{2\Gamma{\left(\frac{5}{2}\right)}}
=\frac{2{\pi}a^{3}}{3}
जो कि गोले के आयतन का आधा है।
Example:5.वक्र 27ay^{2}=4\left(x-2a\right)^{3},x-अक्ष और परवलय y^{2}=4ax के बीच घिरे क्षेत्रफल को x-अक्ष के सापेक्ष घुमाने से ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
(Find the volume of the solid obtained by revolving the area enclosed by the curve 27ay^{2}=4\left(x-2a\right)^{3}, x-axis and parabola y^{2}=4ax about z-axis.)

Solution:अभीष्ट आयतन= क्षेत्र OBCO को x-अक्ष के परित: परिक्रमण से जनित आयतन
=क्षेत्र OCAO के परिक्रमण से जनित आयतन-x-अक्ष के परित: BCAB के परिक्रमण सेत्र जनित आयतन …(1)
वक्र 27ay^{2}=4\left(x-2a\right)^{3},x-अक्ष पर मिलता है अतः y=0 से B(2a,0) तथा परवलय x-अक्ष पर x=8a पर मिलता है।
(1) से अभीष्ट आयतन=\left[\int_{x=0}^{8a}{\pi}y^{2} dx\text{ for }y^{2}=4ax\right]-\left[\int_{x=2a}^{8a}{\pi}y^{2} dx \text{ for }27ay^{2}=4\left(x-2a\right)^{3}\right]
={\pi}\int_{0}^{8a}4ax dx-{\pi}\int_{2a}^{8a}\frac{4\left(x-2a\right)^{3}}{27a} dx
=2{\pi}a\left[x^{2}\right]_{0}^{8a}-\frac{4{\pi}}{27a}\left[\frac{1}{4}\left(x-2a\right)^{4}\right]_{2a}^{8a}

=128{\pi}a^{3}-\left(\frac{1}{27}\right)\left(\frac{\pi}{a}\right)\left[1296a^{4}\right]
=128{\pi}a^{3}-48{\pi}a^{3}
=80{\pi}a^{3}
Example:6.प्रदर्शित कीजिए कि यदि कार्डिआइड r=2a\left(1+\cos{\theta}\right) के अन्दर एवं परवलय r\left(1+\cos{\theta}\right)=2a के बाहर स्थित क्षेत्रफल प्रारम्भिक रेखा के सापेक्ष परिक्रमा करे तो इस प्रकार जनित ठोस का आयतन 18{\pi}a^{3} है।
(Show that if area lying within the cardiod r=2a\left(1+\cos{\theta}\right) and without the parabola r\left(1+\cos{\theta}\right)=2a revolves about initial line, the volume generated is 18{\pi}a^{3})

Solution:ऊपरी अर्धतल का अछायांकित भाग को घुमाने से अभीष्ट आयतन जनित होता है।
r=2a\left(1+\cos{\theta}\right) …(1)
r\left(1+\cos{\theta}\right)=2a …(2)
(1) व (2) से:
2a\left(1+\cos{\theta}\right)=\frac{2a}{\left(1+\cos{\theta}\right)}
\Rightarrow{\left(1+\cos{\theta}\right)}^{2}=1
\Rightarrow{1+\cos{\theta}}=1
\Rightarrow{\cos{\theta}}=0
\Rightarrow{\theta}=\pm{\frac{\pi}{2}}
दोनों वक्र {\theta}=\pm{\frac{\pi}{2}} पर मिलते हैं।
अभीष्ट आयतन=कार्डिआइड द्वारा ऊपरी अर्धतल में जनित आयतन OB के दायीं ओर- परवलय का क्षेत्र OACBO द्वारा जनित आयतन
=\left[\int_{{\theta}=0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2}{3}{\pi}r^{3}\sin{\theta}{d\theta}\text{ for cardioid}\right]-\left[\int_{{\theta}=0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2}{3}{\pi}r^{3}\sin{\theta}{d\theta}\text{ for parabola }\right]
=\frac{2}{3}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[2a\left(1+\cos{\theta}\right)\right]^{3}\sin{\theta}{d\theta}-\frac{2}{3}{\pi}\int_{{\theta}=0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{2a}{1+\cos{\theta}}\right]^{3}\sin{\theta}{d\theta}
=\frac{16{\pi}a^{2}}{3}\left[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\cos{\theta}\right)^{3}\sin{\theta}{d\theta}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{\theta}}{\left(1+\cos{\theta}\right)^{3}}^{d\theta}\right]
=\frac{16{\pi}a^{3}}{3}\left[\left\{-\frac{1}{4}\left(1+\cos{\theta}\right)^{4}\right\}_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\left\{\frac{1}{2}\left(1+\cos{\theta}\right)^{-2}\right\}_{0}^{\frac{\pi}{2}}\right]
=\left(\frac{16}{3}\right){\pi}a^{3}\left[\left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}.{16}\right)-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\frac{1}{4}\right)\right]
=18{\pi}a^{3}
Example:7.सिद्ध कीजिए कि वक्रों xy^{2}=a^{2}\left(a-x\right) और \left(a-x\right)y^{2}=a^{2}x के अन्तर्गत क्षेत्रफल को x=\frac{1}{2}{a} के सापेक्ष घुमाने से बने ठोस का आयतन \frac{{\pi}a^{3}\left(4-{\pi}\right)}{4} है।
(Prove that the volume of the solid formed by revolving the area enclosed between the curves xy^{2}=a^{2}\left(a-x\right) and \left(a-x\right)y^{2}=a^{2}x about x=\frac{1}{2}{a} is \frac{{\pi}a^{3}\left(4-{\pi}\right)}{4})
Solution:xy^{2}=a^{2}\left(a-x\right) …(1)
\left(a-x\right)y^{2}=a^{2}x …(2)
समीकरण (1) व (2) का प्रतिच्छेद बिन्दु हेतु :
(1) से:x=\frac{a^{3}}{a^{2}+y^{2}} …(3)
(2) से:x=\frac{ay^{2}}{a^{2}+y^{2}} …(4)
\frac{a^{3}}{a^{2}+y^{2}}=\frac{ay^{2}}{a^{2}+y^{2}}
\Rightarrow{a^{3}}=ay^{2}

\Rightarrow{y}=\pm{a}

y का मान समीकरण (3) में रखने पर:

x=\frac{a^{3}}{2a^{2}}

\Rightarrow{x}=\frac{1}{2}{a}

अतः प्रतिच्छेद बिन्दु: \left(\frac{1}{2}{a},a\right),\left(\frac{1}{2}{a},-a\right)

अतः x=\frac{1}{2}{a} के परित: समीकरण (1) का आयतन=

=2\int_{0}^{\frac{a}{2}}{\pi}\left(\frac{1}{2}a-x\right)^{2}dy

=2\int_{0}^{\frac{a}{2}}\left[\frac{1}{2}a-\frac{a^{3}}{a^{2}+y^{2}}\right]^{2}dy
=2{\pi}\int_{0}^{\frac{a}{2}}\left[\frac{a^{3}+ay^{2}-2a^{3}}{2\left(a^{2}+y^{2}\right)}\right]^{2}dy
=2{\pi}\int_{0}^{\frac{a}{2}}\left[\frac{ay^{2}-a^{3}}{2\left(a^{2}+y^{2}\right)}\right]^{2}dy
=\frac{{\pi}a^{2}}{2}\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{\left(y^{2}-a^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+y^{2}\right)^{2}}dy
=\frac{{\pi}a^{2}}{2}\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{y^{4}-2a^{2}y^{2}+a^{4}}{a^{4}+2a^{2}y^{2}+y^{4}}dy
=\frac{{\pi}a^{2}}{2}\int_{0}^{\frac{a}{2}}\left[1-\frac{4a^{2}y^{2}}{\left(a^{2}+y^{2}\right)^{2}}\right]dy
=\frac{{\pi}a^{2}}{2}\left[\int_{0}^{\frac{a}{2}}.1.dy-\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{4a^{2}y^{2}}{\left(a^{2}+y^{2}\right)^{2}}dy\right]
\text{ Put }y=a\tan{\theta}
\Rightarrow{dy}=a\sec^{2}{\theta}{d\theta}
\text{ जब }y=0 \text{ तो }{\theta}=0
\text{ जब }y=\frac{a}{2} \text{ तो }{\theta}=\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)
=\frac{{\pi}a^{2}}{2}\left[\left\{y\right\}_{0}^{\frac{a}{2}}-\int_{0}^{\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)}\frac{4a^{2}.a^{2}\tan^{2}{\theta}}{\left(a^{2}+a^{2}\tan^{2}{\theta}\right)^{2}}a\sec^{2}{\theta}{d\theta}\right]
={\pi}a^{2}\left[\frac{a}{2}-\int_{0}^{\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)}\frac{4a^{4}\tan^{2}{\theta}}{a^{4}\sec^{4}{\theta}}.a\sec^{2}{\theta}{d\theta}\right]
={\pi}a^{2}\left[\frac{a}{2}-\int_{0}^{\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)}4a\sin^{2}{\theta}{d\theta}\right]
={\pi}a^{2}\left[\frac{a}{2}-2a\int_{0}^{\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)}\left(1-\cos{2\theta}\right){d\theta}\right]
={\pi}a^{2}\left[\frac{a}{2}-2a\left\{{\theta}-\frac{\sin{2\theta}}{2}\right\}_{0}^{\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)}\right]
={\pi}a^{2}\left[\frac{a}{2}-2a\left\{\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}-\left(\sin{\theta}\cos{\theta}\right)_{0}^{\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}}\right\}\right]

={\pi}a^{2}\left[\frac{a}{2}-2a\left\{\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}-\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{2}{\sqrt{3}}\right\}\right]

={\pi}a^{2}\left[\frac{a}{2}-2a\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}+\frac{4a}{3}\right]

={\pi}a^{2}\left[\frac{11a}{6}-2a\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\right]…(5)

इसी प्रकार: =2\int{\frac{a}{2}}^{a}{\pi}\left(\frac{1}{2}a-x\right)^{2}dy

=2\int_{\frac{a}{2}}^{a}\left[\frac{1}{2}a-\frac{ay^{2}}{a^{2}+y^{2}}\right]^{2}dy
=2{\pi}\int_{\frac{a}{2}}^{a}\left[\frac{a^{3}+ay^{2}-2ay^{2}}{2\left(a^{2}+y^{2}\right)}\right]^{2}dy

=2{\pi}\int_{\frac{a}{2}}^{a}\left[\frac{a^{3}+ay^{2}-2ay^{2}}{2\left(a^{2}+y^{2}\right)}\right]^{2}dy
=\frac{{\pi}a^{2}}{2}\int_{\frac{a}{2}}^{a}\frac{\left(a^{2}-y^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+y^{2}\right)^{2}}dy
=\frac{{\pi}a^{2}}{2}\int_{\frac{a}{2}}^{a}\left[1-\frac{4a^{2}y^{2}}{\left(a^{2}+y^{2}\right)^{2}}\right]dy
=\frac{{\pi}a^{2}}{2}\left[\int_{\frac{a}{2}}^{a}.1.dy-\int_{\frac{a}{2}}^{a}\frac{4a^{2}y^{2}}{\left(a^{2}+y^{2}\right)^{2}}\right]dy
\text{ Put }y=a\tan{\theta}
\Rightarrow{dy}=a\sec^{2}{\theta}{d\theta}
\text{ जब }y=\frac{a}{2} \text{ तो }{\theta}=\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)
\text{ जब }y={a} \text{ तो }{\theta}=\frac{\pi}{4}
=\frac{{\pi}a^{2}}{2}\left[\left(a-\frac{a}{2}\right)-2a\left\{{\theta}-\frac{\sin{2\theta}}{2}\right\}_{\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{\pi}{4}}\right]
=\frac{{\pi}a^{2}}{2}\left[\frac{a}{2}-2a\left\{\frac{\pi}{4}-\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)-\left\{\sin{\theta}\cos{\theta}\right\}_{\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{\pi}{4}}\right\}\right]
=\frac{{\pi}a^{2}}{2}\left[\frac{a}{2}-\frac{{\pi}a}{2}+2a\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+2a × \left\{\frac{1}{\sqrt{2}} × \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}} × \frac{2}{\sqrt{3}}\right\}\right]
=\frac{{\pi}a^{2}}{2}\left[\frac{a}{2}-\frac{{\pi}a}{2}+2a\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+2a × \left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right)\right]
=\frac{{\pi}a^{2}}{2}\left[\frac{a}{2}-\frac{{\pi}a}{2}+2a\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{a}{3}\right]
=\frac{{\pi}a^{2}}{2}\left[\frac{a}{6}-\frac{{\pi}a}{2}+2a\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right] …(6)
(5) व (6) को जोड़ने पर:
अभीष्ट आयतन=
={\pi}a^{2}\left[\frac{11a}{6}-2a\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\right]+\frac{{\pi}a^{2}}{2}\left[\frac{a}{6}-\frac{{\pi}a}{2}+2a\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right]
={\pi}a^{2}\left[\frac{11a+a}{6}-\frac{{\pi}a}{2}\right]
={\pi}a^{2}\left[\frac{12a}{6}-\frac{{\pi}a}{2}\right]
={\pi}a^{2}\left[2a-\frac{{\pi}a}{2}\right]
=\frac{{\pi}a^{3}\left(4-{\pi}\right)}{4}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा परिक्रमण ठोस का आयतन के उदाहरण (Volume of Solid of Revolution Examples),परिक्रमण ठोसों का आयतन (Volume of Solids of Revolution) को समझ सकते हैं।

Also Read This Article:Volume of Solids of Revolution

3.परिक्रमण ठोस का आयतन के उदाहरण (Volume of Solid of Revolution Examples),परिक्रमण ठोसों का आयतन (Volume of Solids of Revolution) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.किसी सममित अक्ष के परित: आयतन से क्या तात्पर्य है? (What is meant by volume about symmetric axis?):

उत्तर:यदि वक्र घूर्णन-अक्ष के सापेक्ष सममित (symmetrical) है तो घूर्णन अक्ष के एक तरफ के क्षेत्रफल द्वारा परिक्रमण ठोस का आयतन वही होगा जो इसके दूसरी तरफ के क्षेत्रफल द्वारा परिक्रमण ठोस का आयतन होगा।
(i)पूर्ण क्षेत्रफल द्वारा परिक्रमण ठोस का आयतन= घूर्णन अक्ष के एक तरफ के क्षेत्रफल द्वारा परिक्रमण ठोस का आयतन
(ii)यदि वक्र किसी एक रेखा के लम्बवत् है, के सापेक्ष परिक्रमा करता है तब परिक्रमण ठोस का आयतन = 2 (पहली रेखा के एक तरफ के क्षेत्रफल द्वारा परिक्रमण ठोस का आयतन)।

प्रश्न:2.घूर्णन अक्ष से क्या तात्पर्य है? (What is meant by axis of rotation?):

उत्तर:जब एक समतल क्षेत्र (plane area) इसके समतल में स्थित एक स्थिर रेखा के सापेक्ष परिक्रमा करता है तो यह ठोस (solid) का जनन (generate) करता है।इस स्थिर रेखा को घूर्णन अक्ष (axis of rotation) कहते हैं।

प्रश्न:3.परिक्रमण ठोसों का आयतन ज्ञात करने के सूत्र लिखो। (Write down the formulas to find the volume of the rotation solids):

उत्तर:प्रश्न:1.परिक्रमण ठोसो के आयतन ज्ञात करने के सूत्र लिखो।(Write down the formula to find the Volume of Solids of Revolution):
उत्तर:निम्नलिखित सूत्रों के द्वारा परिक्रमण ठोसों के आयतन ज्ञात किए जा सकते हैं।
(1.)यदि वक्र y=f(x),x-अक्ष के परित: परिक्रमा करता है,तो परिक्रमण ठोस का आयतन (Volume) होता है।
\int _{ a }^{ b }{ \pi { y }^{ 2 }dx }
जहां f(x) अन्तराल (a,b) में एक सीमित,एक-मानीय तथा सतत् फलन है तथा घूर्णन-अक्ष अर्थात् x-अक्ष को अन्तराल (a,b) में नहीं काटता।
(If the area bounded by the curve y=f(x) ,x-axis and the ordinates x=a,x=b revolves about x-axis,the Volume of the solid generated is given by \int _{ a }^{ b }{ \pi { y }^{ 2 }dx } ,it being given that f(x) is finite single valued and continuous in the interval (a,b),y=f(x) does not cross the x-axis in the interval.)
(2.)वक्र x=f(y) ,y-अक्ष एवं भुजों y=c ,y=d के मध्य घिरे क्षेत्रफल द्वारा y-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण-ठोस का आयतन होगा।
\int _{ c }^{ d }{ \pi { x }^{ 2 }dy }
(3.)यदि वक्र का समीकरण ध्रुवीय रूप में अर्थात् r=f\left( \theta \right) और यदि वक्र प्रारम्भिक रेखा (Initial line) के सापेक्ष परिक्रमा करे,तब इस प्रकार जनित ठोस का आयतन होगा।
\int _{ a }^{ b }{ \pi { y }^{ 2 }dx } =\int _{ \alpha }^{ \beta }{ \pi { y }^{ 2 }(\frac { dx }{ d\theta } ) } d\theta
जहां \theta =\alpha जब x=a और\theta =\beta जब x=b
परन्तु x=r\cos { \theta } ,y=r\sin { \theta }
आयतन=\int _{ \alpha }^{ \beta }{ \pi { (r\cos { \theta } ) }^{ 2 }\frac { d(r\cos { \theta } ) }{ d\theta } } d\theta
(4.) यदि वक्र का समीकरण प्राचलिक रूप में हो, अर्थात्
x=f\left( t \right) ,y=\phi (t)
हो,तो वक्र x-अक्ष एवं कोटियों x=a तथा x=b के बीच घिरे क्षेत्रफल द्वारा x-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण-ठोस का आयतन होगा।
\int _{ a }^{ b }{ \pi { y }^{ 2 }dx } =\int _{ m }^{ n }{ \pi { y }^{ 2 }\frac { dx }{ dt } . } dt
या \int _{ a }^{ b }{ \pi { y }^{ 2 }dx } =\int _{ m }^{ n }{ \pi { [\phi (t)] }^{ 2 }f^{ \prime }\left( t \right) } dt
जहां t=m,जब x=a और t=n जब x=b
(5.)यदि वक्र AB,निर्देश-अक्षों के अलावा किसी अन्य रेखा OE (मानलो) के सापेक्ष परिक्रमा करता है,तो परिक्रमण ठोस का आयतन होगा।
\int _{ OC }^{ OD }{ \pi { (PL) }^{ 2 }d(OL) }
जहां O, घूर्णन-अक्ष OE पर एक स्थिर बिन्दु (fixed point) है तथा PL वक्र पर किसी बिन्दु P से घूर्णन-अक्ष पर लम्ब (Perpendicular) है।
(6.)यदि वक्र y=f(x),x-अक्ष के बजाय इसके समान्तर किसी रेखा y=c (मानलो) के सापेक्ष परिक्रमण करता है,तो परिक्रमण ठोस का आयतन होगा।
\int _{ a }^{ b }{ { (y-c) }^{ 2 }dx }
क्योंकि यहां वक्र के किसी बिन्दु की घूर्णन अक्ष से लाम्बिक दूरी (perpendicular distance) y-c होगी।
इसी प्रकार यदि वक्र x=f(y),y-अक्ष के बजाए इसके समान्तर किसी रेखा x=a (मानलो) के सापेक्ष परिक्रमा करता है, तो परिक्रमण ठोस का आयतन होगा।
\int _{ c }^{ d }{ { \pi (x-a) }^{ 2 }dy }

  • उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा परिक्रमण ठोस का आयतन के उदाहरण (Volume of Solid of Revolution Examples),परिक्रमण ठोसों का आयतन (Volume of Solids of Revolution) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

Volume of Solid of Revolution Examples

परिक्रमण ठोस का आयतन के उदाहरण
(Volume of Solid of Revolution Examples)

Volume of Solid of Revolution Examples

परिक्रमण ठोस का आयतन के उदाहरणों (Volume of Solid of Revolution Examples) द्वारा आयतन ज्ञात करेंगे।
परिक्रमण ठोसों का आयतन ज्ञात करने हेतु पूर्व में आर्टिकल पोस्ट कर चुके हैं।अतः आपको उनको भी देखना चाहिए।

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