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Finding Volume of Solids of Revolution

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1.परिक्रमण ठोसों का आयतन ज्ञात करना (Finding Volume of Solids of Revolution),परिक्रमण ठोसों का आयतन (Volume of Solids of Revolution):

  • परिक्रमण ठोसों का आयतन ज्ञात करना (Finding Volume of Solids of Revolution) कि जब एक समतल क्षेत्र (Plane Area) इसके समतल में स्थित एक स्थिर रेखा के सापेक्ष परिक्रमा करता है तो यह ठोस का जनन (Generate) करता है।उदाहरणार्थ जब एक अर्धवृत्ताकार पटल (Semi-Circular Lamina) इसके सीमक अक्ष (bounding diameter) के सापेक्ष (परित:) परिक्रमा करता है तो यह ठोस गोले (Solid Sphere) का जनन करता है।
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2.परिक्रमण ठोसों का आयतन ज्ञात करना पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Finding Volume of Solids of Revolution):

Example:1.प्रदर्शित कीजिए कि त्रिज्या r के गोले का आयतन {\frac{4}{3}}{\pi} r^{3} होता है।
(Show that the volume of a sphere of radius r is {\frac{4}{3}}{\pi} r^{3}.)
Solution:x अक्ष के परित वृत्त को घुमाने पर गोला जनित होता है।अतः
x^{2}+y^{2}=r^{2}
\Rightarrow{y^{2}}=r^{2}-x^{2}
अतः अभीष्ट आयतन=2{\pi}{\int_{0}^{r}}y^{2}{dx}
=2{\pi}{\int_{0}^{r}}\left(r^{2}-x^{2}\right)dx
=2{\pi}\left[r^{2}x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{r}

=2{\pi}\left[r^{3}-\frac{r^{3}}{3}\right]

=2{\pi}\left[\frac{{2}{\pi}^{3}}{3}\right] ={\frac{4}{3}}{\pi} r^{3}

Example:2.ऊँचाई h के उस गोलीय खण्ड का आयतन ज्ञात कीजिए जो त्रिज्या a के गोले से काटा गया है। (Find the volume of a spherical cap of height h cutt off from a sphere of radius a)

Solution:गोले की सीमाएं x=a-h,x=a

अतः अभीष्ट आयतन=

{\pi}{\int_{a-h}^{a}}y^{2}dx

={\pi}{\int_{a-h}^{a}}\left(a^{2}-x^{2}\right)dx
=\left[a^{2}x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{a-h}^{a}

={\pi}\left[a^{3}-\frac{a^{3}}{3}-a^{2}\left(a-h\right)+\frac{\left(a-h\right)^{3}}{3}\right]\\ ={\pi}\left[a^{3}-\frac{a^{3}}{3}-a^{3}+a^{2}h+\left(\frac{a^{3}}{3}-\frac{3a^{2}}{3}+\frac{3ah^{2}}{3}-h^{3}\right)\right]

={\pi}\left[-\frac{a^{3}}{3}+a^{2}h+\frac{a^{3}}{3}-\frac{3a^{2}h}{3}+\frac{3ah^{2}}{3}-\frac{h^{3}}{3}\right]

={\pi}\left[ah^{2}-\frac{h^{3}}{3}\right]

={\pi}h^{2}{\left(a-\frac{h}{3}\right)}

Example:3.परवलय y^{2}=4ax को x=0 से x=h तक x-अक्ष के सापेक्ष घुमाने पर जनित परवलयज का आयतन ज्ञात कीजिए। (Find the volume of a paraboloid generated by revolution about z-axis of the parabola y^{2}=4ax from x=0 to x=h)

Solution:परवलय y^{2}=4ax को x=0 से x=h तक x-अक्ष के परित घुमाने पर जनित परवलयज का अभीष्ट आयतन =

{\pi}{\int_{a}^{b}}y^{2}dx

={\pi}{\int_{0}^{h}}\left(4ax\right)dx
={\pi}4a\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{h}

=2{\pi}ah^{2}

Example:4.परवलय y^{2}=4ax का नाभिलम्ब द्वारा घिरा हुआ भाग नाभिलम्ब के सापेक्ष घूमता है।इस प्रकार बने ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। (The part of parabola y^{2}=4ax bounded by latus rectum revolves about the latus rectum.Find the volume of the solid thus formed.)

Solution:नाभिलम्ब की समीकरण=x-a तथा सीमाएं y=0,y=2a नाभिलम्ब x-अक्ष के प्रति सममित है।

अतः अभीष्ट आयतन=

2{\pi}\int_{0}^{2a}{\left(x-a\right)}^{2}dy

=2{\pi}{\int_{0}^{2a}}\left(x^{2}-2ax+a^{2}\right)dy
=2{\pi}{\int_{0}^{2a}}\left(\frac{y^{4}}{16a^{2}}-\frac{2ay^{2}}{4a}+a^{2}\right)dy
=2{\pi}{\int_{0}^{2a}}\left(\frac{y^{4}}{16a^{2}}-\frac{y^{2}}{2}+a^{2}\right)dy
=2{\pi}\left[\frac{y^{5}}{80a^{2}}-\frac{y^{3}}{6}+a^{2}y\right]_{0}^{2a}

=2{\pi}\left[\frac{32a^{5}}{80a^{2}}-\frac{8a^{3}}{6}+2a^{3}\right]

=2{\pi}\left[\frac{2a^{3}}{5}-\frac{4a^{3}}{3}+2a^{3}\right]

=2{\pi}\left[\frac{6a^{3}-20a^{3}+30a^{3}}{15}\right]

=2{\pi}×\frac{16a^{3}}{15}

={\frac{32}{15}}{\pi}a^{3}

Example:5.कैटिनरी y=\cosh\left(\frac{x}{c}\right) के एक चाप को x-अक्ष के चारों ओर घुमाने से बने ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। (Find the volume generated by the revolution of the catenary y=\cosh\left(\frac{x}{c}\right) about z-axis)

Solution:y=\cosh\left(\frac{x}{c}\right)

y^{2}=c^{2}\cosh^{2}{\frac{x}{c}}
y^{2}=c^{2}\left[1+\cosh{\frac{2x}{c}}\right]
\left[\cosh^{2}{\frac{x}{c}}=\frac{1+\cosh{\frac{2x}{c}}}{2}\right]

अभीष्ट आयतन=

\int_{0}^{x}{\pi}y^{2}

=\frac{{\pi}c^{2}}{2}{\int_{0}^{x}}\left[1+\cosh{\frac{2x}{c}}\right]dx
=\frac{{\pi}c^{2}}{2}{\left[x+\frac{c}{2}\sinh\left(\frac{2x}{c}\right)\right]}_{0}^{x}

=\frac{{\pi}c^{2}}{2}{\left[x+\frac{c}{2}\sinh\left(\frac{2x}{c}\right)\right]}

Example:6.वक्र x=t^{2},y={\frac{1}{3}}t^{3} के लूप को x-अक्ष के सापेक्ष घुमाने से जनित ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। (Find the volume generated by the revolution of the curve x=t^{2},y={\frac{1}{3}}t^{3} about x-axis)

Solution:x=t^{2},y={\frac{1}{3}}t^{3} सीमाएं ज्ञात करनेवाले हेतु y=0

t-{\frac{1}{3}}t^{3}=0
\Rightarrow{t=0,\sqrt{3}}
\frac{dx}{dt}=2t

अभीष्ट आयतन=

\int_{t=0}^{\sqrt{3}}{\pi}y^{2}dx

=\int_{0}^{\sqrt{3}}{\pi}y^{2}\left(\frac{dx}{dt}\right).dt
=\int_{0}^{\sqrt{3}}{\pi}\left(t-{\frac{1}{3}}t^{3}\right)^{2}.2t dt
=2{\pi}\int_{0}^{\sqrt{3}}\left[t^{2}-{\frac{2}{3}}t^{4}+{\frac{1}{9}}t^{6}\right]tdt
=2{\pi}\int_{0}^{\sqrt{3}}\left[t^{3}-{\frac{2}{3}}t^{5}+{\frac{1}{9}}t^{7}\right]dt
=2{\pi}\left[\frac{t^{4}}{4}-{\frac{1}{9}}t^6+{\frac{1}{72}}t^{8}\right]_{0}^{\sqrt{3}}

=2{\pi}\left[\frac{9}{4}-\frac{3}{1}+\frac{9}{8}\right]

=2{\pi}\left[\frac{18-24+9}{8}\right]

=\frac{3\pi}{4}

Example:7.प्रदर्शित कीजिए कि साइक्लाॅइड x=a\left({\theta}+\sin{\theta}\right),y=a\left(1-\cos{\theta}\right),0\leq{\theta}\leq{\pi} को y-अक्ष के सापेक्ष घुमाने से जनित ठोस का आयतन {\pi}a^{3}\left({\frac{3}{2}}{\pi^{2}}-\frac{8}{3}\right) है। (Show that volume of the solid generated by the revolution of the cycloid x=a\left({\theta}+\sin{\theta}\right),y=a\left(1-\cos{\theta}\right),0\leq{\theta}\leq{\pi} about the y-axis is {\pi}a^{3}\left({\frac{3}{2}}{\pi^{2}}-\frac{8}{3}\right))

Solution:x=a\left({\theta}+\sin{\theta}\right) …(1)

y=a\left(1-\cos{\theta}\right) …(2)

समीकरण (2) का \theta{} के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{dy}{\theta}=a\sin{\theta}

y-अक्ष के परित घुमाने पर जनित अभीष्ट आयतन=

\int_{0}^{\pi}{\pi}x^{2}dy

={\pi}\int_{0}^{\pi} x^{2}{\frac{dy}{d\theta}}{d\theta}
={\pi}{\int_{0}^{\pi}}a^{2}\left({\theta}+\sin{\theta}\right)^{2}a\sin{\theta}{d\theta}
{\pi}a^{3}{\int_{0}^{\pi}}\left[{\theta}^{2}\sin{\theta}+2{\theta}\sin^{2}{\theta}+\sin^{3}{\theta}\right]{d\theta}
={\pi}a^{3}{\int_{0}^{\pi}}\left[{\theta}^{2}\sin{\theta}+2{\theta}\frac{\left(1-\cos{2\theta}\right)}{2}+\frac{\left(3\sin{\theta}-\sin{3\theta}\right)}{4}\right]{d\theta}
={\pi}a^{3}{\int_{0}^{\pi}}{\theta}^{2}\sin{\theta}{d\theta}+{\pi}a^{3}{\int_{0}^{\pi}}{\theta}{d\theta}-{\pi}a^3{\int_{0}^{\pi}}{\theta}\cos{2\theta}{d\theta}+{\frac{3}{4}}{\pi}a^{3}{\int_{0}^{\pi}}\sin{\theta}{d\theta}-{\frac{1}{4}}{\pi}a^{3}{\int_{0}^{\pi}}\sin{3\theta}{d\theta}
={\pi}a^{3}{\left[-{\theta}^{2}\cos{\theta}+2{\theta}\sin{\theta}+2\cos{\theta}\right]}_{0}^{\pi}+{\frac{{\pi}a^{3}}{2}}\left[{\theta}^{2}\right]_{0}^{\pi}-{\pi}a^{3} \left[\frac{\theta}{2}\sin{2\theta}+\frac{1}{4}\cos{2\theta}\right]_{0}^{\pi}+{\frac{3}{4}}{\pi}a^{3} \left[-\cos{\theta}\right]_{0}^{\pi}-{\frac{1}{4}}{\pi}{a^{3}}\left[-\frac{\cos{3\theta}}{3}\right]_{0}^{\pi}

={\pi}a^{3} \left({\pi}^{2}-4\right){\frac{1}{2}}{\pi}a^{3} \left({\pi}^{2}\right)+{\frac{3}{4}}{\pi}a^{3}\left(2\right)+{\frac{1}{12}}{\pi}a^{3}\left(-2\right)

={\pi}a^{3}{\left[{\pi}^{2}-4+\frac{{\pi}^{2}}{2}+\frac{3}{2}-\frac{1}{6}\right]}

={\pi}a^{3}\left({\frac{3}{2}}{\pi^{2}}-\frac{8}{3}\right)

Example:8.साइक्लाॅइड x=a\left({\theta}+\sin{\theta}\right),y=a\left(1-\cos{\theta}\right) को शीर्ष पर स्पर्श रेखा के सापेक्ष घुमाने से बनी रील का आयतन है। (Show that the volume of the reel formed by the revolution of the cycloid x=a\left({\theta}+\sin{\theta}\right),y=a\left(1-\cos{\theta}\right) about the tangent at the vertex is.)

Solution:x=a\left({\theta}+\sin{\theta}\right) …(1)

y=a\left(1-\cos{\theta}\right) …(2)

समीकरण (1) का \theta{} के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{dx}{d\theta}=a\left(1+\cos{\theta}\right)
अभीष्ट आयतन=
2\int_{0}^{\pi}{\pi}y^{2}dx

=2\int_{0}^{\pi}{\pi}y^{2}\left(\frac{dx}{d\theta}\right){d\theta}
=2\int_{0}^{\pi}{\pi}a^{2}\left(1-\cos{\theta}\right)^{2}.a\left(1+\cos{\theta}\right){d\theta}
=2{\pi}a^{3}\int_{0}^{\pi}\left(1-\cos{\theta}\right)^{2}.\left(1+\cos{\theta}\right){d\theta}
=2{\pi}a^{3}\int_{0}^{\pi}4\left[\sin^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)\right]^{2}.2\cos^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right){d\theta}
=16{\pi}a^{3}\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right){d\theta}
put {\frac{\theta}{2}}=\phi{}
\Rightarrow{d\theta}=2{d\phi}
\text{ जब }\theta{}=0  \text{ तो }\phi{}=0
\text{ जब }\theta{}=\pi{} \text{ तो } \phi{}=\frac{\pi}{2}
=16{\pi}a^{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin^{4}{\phi}\cos^{2}{\phi}\right)2{d\phi}
=32{\pi}a^{3}\frac{{\Gamma{\frac{5}{2}}}{\Gamma{\frac{3}{2}}}}{2{\Gamma{4}}}
=32{\pi}a^{3}\frac{\left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\sqrt{\pi}\left(\frac{1}{2}\right)\sqrt{\pi}}{2.3.2.1}
={\pi}^{2}a^{3}
निम्नलिखित वक्रों की लूपों को x-अक्ष के सापेक्ष घुमाने से बने ठोसों का आयतन ज्ञात कीजिए:
(Find the volume of solids formed by revolution of the loop of the following curves about x-axis):
Example:9(a).y^{2}\left(a-x\right)=x^{2}\left(a+x\right)

Solution:y^{2}\left(a-x\right)=x^{2}\left(a+x\right)
सीमा के लिए y=0\Rightarrow x^{2}\left(a+x\right)=0
\Rightarrow x=0,a
अभीष्ट आयतन=\int_{-a}^{0}{\pi}y^{2}dx
={\pi}\int_{-a}^{0}{\frac{x^{2}\left(a+x\right)}{a-x}}dx
={\pi}\int_{-a}^{0}\left[-x^{2}-2ax-2a^{2}+\frac{2a^{3}}{a-x}\right]dx
={\pi}\left[-\frac{1}{3}x^{3}-2a{\frac{1}{2}}x^{2}-2a^{2}x-2a^{3}\log{\left(a-x\right)}\right]_{-a}^{0}
=
{\pi}\left[\left(-2a^{3}\log{a}\right)-\left\{{\frac{1}{3}}a^{3}-a^{3}+2a^{3}-2a^{3}\log{\left(2a\right)}\right\}\right]
=
{\pi}a^{3}\left[2\left(\log{2a}-\log{a}\right)-\left(\frac{4}{3}\right)\right]
=
2{\pi}a^{3}\left[\log{2}-\left(\frac{2}{3}\right)\right]
Example:9(b).
y^{2}\left(a+x\right)=x^{2}\left(3a-x\right)


Solution:y^{2}\left(a+x\right)=x^{2}\left(3a-x\right)
सीमा के लिए
y=0
\Rightarrow x^{2}\left(3a-x\right)=0
\Rightarrow x=0,3a
अभीष्ट आयतन=
\int_{0}^{3a}{\pi}y^{2}dx

=\int_{0}^{3a}\frac{x^{2}\left(3a-x\right)}{\left(a+x\right)}dx
=[{\pi}\int_{0}^{3a}\left[x^{2}+4ax-4a^{2}+\frac{4a^{3}}{x+a}\right]dx
={\pi}\left[-\frac{1}{3}x^{3}+2ax^{2}-4a^{2}x+4a^{3}\log\left(x+a\right)\right]_{0}^{3a}
=
{\pi}\left[-9a^{2}+18a^{3}-12a^{3}+4a^{3}\log{\left(4a\right)}-4a^{3}\log{a}\right]

={\pi}\left[4a^{3}\left\{\left(\log\left(4a\right)\right)-\log{a}\right\}-3a^{3}\right]

={\pi}a^{3}\left(4\log{4}-3\right)

={\pi}a^{3}\left(8\log{2}-3\right)

Exameple:9(c).y^{2}=x^{2}\left(a-x\right)

Solution:y^{2}=x^{2}\left(a-x\right) सीमा के लिए y=0 अतः x=0,a अभीष्ट आयतन=

\int_{0}^{a}{\pi}y^{2}dx

={\pi}\int_{0}^{a}x^{2}\left(a-x\right)dx
={\pi}\int_{0}^{a}x^{2}\left(a-x\right)dx
={\pi}\left[{\frac{1}{3}}ax^{3}-{\frac{1}{4}}x^{4}\right]_{0}^{a}

={\pi}\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right]a^{4}

{\frac{\pi}{12}}a^{4}

Example:10.वक्र y\left(x^{2}+a^{2}\right)=a^{3} को इसकी अनन्तस्पर्शी के सापेक्ष घुमाने से जनित ठोसों का आयतन ज्ञात कीजिए। (Find the volume of generated by the revolution of the curve y\left(x^{2}+a^{2}\right)=a^{3} about its asymptote.)

Solution:y\left(x^{2}+a^{2}\right)=a^{3}

y=\frac{a^{3}}{\left(x^{2}+a^{2}\right)}

अभीष्ट आयतन=

\int_{-\infin{}}^{\infin{}}{\pi}y^{2}dx

={\pi}a^{6}\int_{-\infin{}}^{\infin{}}\frac{dx}{\left(a^{2}+x^{2}\right)}^{2}
=2{\pi}a^{6}\int_{0}^{\infin{}}\frac{dx}{\left(a^{2}+x^{2}\right)}^{2}
=2{\pi}a^{6}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\sec^{2}{\theta}{d\theta}}{a^{4}\left(1+\tan^{2}{\theta}\right)^{2}}
[On putting x=a\tan{\theta}]
=2{\pi}a^{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}{\theta}
=2{\pi}a^{3}{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}{\pi}
={\frac{1}{2}}{\pi}^{2}a^{3}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा परिक्रमण ठोसों का आयतन ज्ञात करना (Finding Volume of Solids of Revolution),परिक्रमण ठोसों का आयतन (Volume of Solids of Revolution) को समझ सकते हैं।

Also Read This Article:Lengths of Plane Curves

3.परिक्रमण ठोसों का आयतन ज्ञात करना (Finding Volume of Solids of Revolution),परिक्रमण ठोसों का आयतन (Volume of Solids of Revolution) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.परिक्रमण ठोसो के आयतन ज्ञात करने के सूत्र लिखो।(Write down the formula to find the Volume of Solids of Revolution):

उत्तर:निम्नलिखित सूत्रों के द्वारा परिक्रमण ठोसों के आयतन ज्ञात किए जा सकते हैं।
(1.)यदि वक्र y=f(x),x-अक्ष के परित: परिक्रमा करता है,तो परिक्रमण ठोस का आयतन (Volume) होता है।
\int _{ a }^{ b }{ \pi { y }^{ 2 }dx }
जहां f(x) अन्तराल (a,b) में एक सीमित,एक-मानीय तथा सतत् फलन है तथा घूर्णन-अक्ष अर्थात् x-अक्ष को अन्तराल (a,b) में नहीं काटता।
(If the area bounded by the curve y=f(x) ,x-axis and the ordinates x=a,x=b revolves about x-axis,the Volume of the solid generated is given by \int _{ a }^{ b }{ \pi { y }^{ 2 }dx } ,it being given that f(x) is finite single valued and continuous in the interval (a,b),y=f(x) does not cross the x-axis in the interval.)
(2.)वक्र x=f(y) ,y-अक्ष एवं भुजों y=c ,y=d के मध्य घिरे क्षेत्रफल द्वारा y-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण-ठोस का आयतन होगा।
\int _{ c }^{ d }{ \pi { x }^{ 2 }dy }
(3.)यदि वक्र का समीकरण ध्रुवीय रूप में अर्थात् r=f\left( \theta \right) और यदि वक्र प्रारम्भिक रेखा (Initial line) के सापेक्ष परिक्रमा करे,तब इस प्रकार जनित ठोस का आयतन होगा।
\int _{ a }^{ b }{ \pi { y }^{ 2 }dx } =\int _{ \alpha }^{ \beta }{ \pi { y }^{ 2 }(\frac { dx }{ d\theta } ) } d\theta
जहां \theta =\alpha जब x=a और\theta =\beta जब x=b
परन्तु x=r\cos { \theta } ,y=r\sin { \theta }
आयतन=\int _{ \alpha }^{ \beta }{ \pi { (r\cos { \theta } ) }^{ 2 }\frac { d(r\cos { \theta } ) }{ d\theta } } d\theta
(4.) यदि वक्र का समीकरण प्राचलिक रूप में हो, अर्थात्
x=f\left( t \right) ,y=\phi (t)
हो,तो वक्र x-अक्ष एवं कोटियों x=a तथा x=b के बीच घिरे क्षेत्रफल द्वारा x-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण-ठोस का आयतन होगा।
\int _{ a }^{ b }{ \pi { y }^{ 2 }dx } =\int _{ m }^{ n }{ \pi { y }^{ 2 }\frac { dx }{ dt } . } dt
या \int _{ a }^{ b }{ \pi { y }^{ 2 }dx } =\int _{ m }^{ n }{ \pi { [\phi (t)] }^{ 2 }f^{ \prime }\left( t \right) } dt
जहां t=m,जब x=a और t=n जब x=b
(5.)यदि वक्र AB,निर्देश-अक्षों के अलावा किसी अन्य रेखा OE (मानलो) के सापेक्ष परिक्रमा करता है,तो परिक्रमण ठोस का आयतन होगा।
\int _{ OC }^{ OD }{ \pi { (PL) }^{ 2 }d(OL) }
जहां O, घूर्णन-अक्ष OE पर एक स्थिर बिन्दु (fixed point) है तथा PL वक्र पर किसी बिन्दु P से घूर्णन-अक्ष पर लम्ब (Perpendicular) है।
(6.)यदि वक्र y=f(x),x-अक्ष के बजाय इसके समान्तर किसी रेखा y=c (मानलो) के सापेक्ष परिक्रमण करता है,तो परिक्रमण ठोस का आयतन होगा।
\int _{ a }^{ b }{ { (y-c) }^{ 2 }dx }
क्योंकि यहां वक्र के किसी बिन्दु की घूर्णन अक्ष से लाम्बिक दूरी (perpendicular distance) y-c होगी।
इसी प्रकार यदि वक्र x=f(y),y-अक्ष के बजाए इसके समान्तर किसी रेखा x=a (मानलो) के सापेक्ष परिक्रमा करता है, तो परिक्रमण ठोस का आयतन होगा।
\int _{ c }^{ d }{ { \pi (x-a) }^{ 2 }dy }

प्रश्न:2.परिक्रमण ठोसो के आयतन ज्ञात करने का एक उदाहरण दो।(Give an example to find the Volume of Solids of Revolution):

उत्तर:Exameple:9(c).y^{2}=x^{2}\left(a-x\right)
Solution:y^{2}=x^{2}\left(a-x\right) सीमा के लिए y=0 अतः x=0,a अभीष्ट आयतन=
\int_{0}^{a}{\pi}y^{2}dx
={\pi}\int_{0}^{a}x^{2}\left(a-x\right)dx
={\pi}\int_{0}^{a}x^{2}\left(a-x\right)dx
={\pi}\left[{\frac{1}{3}}ax^{3}-{\frac{1}{4}}x^{4}\right]_{0}^{a}
={\pi}\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right]a^{4}
{\frac{\pi}{12}}a^{4}

प्रश्न:3.दीर्घवृत्त को दीर्घअक्ष तथा लघुअक्ष के परित घुमाने पर कौनसे ठोस का जनित करता है? (Which solid is formed when the ellipse is rotated along the major axis and the minor axis?):

उत्तर:(i)दीर्घवृत्त को दीर्घअक्ष (major axis) के सापेक्ष घुमाने से बने ठोसो को दीर्घाक्ष-गोलाभ (prolate spheroid) कहते हैं।
(ii)दीर्घवृत्त को लघु-अक्ष (minor axis) के सापेक्ष घुमाने से बने ठोस को लध्वक्ष गोलाभ (oblate spheroid) कहते हैं।

  • उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा परिक्रमण ठोसों का आयतन ज्ञात करना (Finding Volume of Solids of Revolution),परिक्रमण ठोसों का आयतन (Volume of Solids of Revolution) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

Finding Volume of Solids of Revolution

परिक्रमण ठोसों का आयतन ज्ञात करना
(Finding Volume of Solids of Revolution)

Finding Volume of Solids of Revolution

परिक्रमण ठोसों का आयतन ज्ञात करना (Finding Volume of Solids of Revolution)
कि जब एक समतल क्षेत्र (Plane Area) इसके समतल में स्थित एक स्थिर रेखा के सापेक्ष
परिक्रमा करता है तो यह ठोस का जनन (Generate) करता है।उदाहरणार्थ जब एक
अर्धवृत्ताकार पटल (Semi-Circular Lamina) इसके सीमक अक्ष (bounding diameter)
के सापेक्ष (परित:) परिक्रमा करता है तो यह ठोस गोले (Solid Sphere) का जनन करता है।

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