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Double Integral in Polar Coordinates

1.ध्रुवीय निर्देशांकों में द्वि-समाकलन का परिचय (Introduction to Double Integral in Polar Coordinates)-

ध्रुवीय निर्देशांकों में द्वि-समाकलन (Double Integral in Polar Coordinates) को समझने के लिए ध्रुवीय निर्देशांक का समझना आवश्यक है।
(1.) ध्रुवीय निर्देशांक-
वह निर्देश-तंत्र जिसमें किसी बिन्दु का स्थिति निर्धारण किसी बिन्दु से उसकी नियत दूरी और इस नियत बिन्दु से दिए हुए बिन्दु को मिलाने वाली रेखा और किसी नियत रेखा (यानी ध्रुवी अक्ष) के बीच के कोण से किया जाता है।
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2.ध्रुवीय निर्देशांकों में द्वि-समाकलन (Double Integral in Polar Coordinates)-

यदि वक्र r={ f }_{ 1 }(\theta );r={ f }_{ 2 }(\theta ),\theta =\alpha तथा \theta =\beta से घिरा हुआ क्षेत्र A हो तो

\iint _{ A }{ f({ r }_{ 1 },\theta ) } dA=\iint _{ A }{ f({ r }_{ 1 },\theta ) } rd\theta dr\\ =\int _{ \alpha }^{ \beta }{ \{ \int _{ { f }_{ 1 }\theta }^{ { f }_{ 2 }\theta }{ \iint _{ A }{ f({ r }_{ 1 },\theta ) } .rdr } \} } d\theta
जहां \theta को अचर (constant) मान कर पहले r के सापेक्ष समाकलन किया जाता है।
(If the boundaries of the radial strips are r={ f }_{ 1 }(\theta ) and r={ f }_{ 2 }(\theta )  and the edges of the region are\theta =\alpha and \theta =\beta then

\iint _{ A }{ f({ r }_{ 1 },\theta ) } dA=\iint _{ A }{ f({ r }_{ 1 },\theta ) } rd\theta dr\\ =\int _{ \alpha }^{ \beta }{ \{ \int _{ { f }_{ 1 }\theta }^{ { f }_{ 2 }\theta }{ \iint _{ A }{ f({ r }_{ 1 },\theta ) } .rdr } \} } d\theta
Where first integration is being done w.r.t. r keeping \theta constant.)
क्षेत्र A को छोटे-छोटे उपक्षेत्रों (sub-regions) \delta { A }_{ 1 },\delta { A }_{ 2 },\delta { A }_{ 3 },.........\delta { A }_{ n } में विभाजित करो तथा योगफल

\sum _{ k=1 }^{ n }{ f({ r }_{ k },\theta _{ k }) } .\delta { A }_{ k }

बनाओ, जहां ({ r }_{ k },\theta _{ k }) उपक्षेत्र \delta { A }_{ k } में एक बिन्दु है।अब हम द्वि-समाकलन को निम्न प्रकार से परिभाषित कर सकते हैं:

\iint _{ A }{ f({ r }_{ 1 },\theta )dA } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum _{ k=1 }^{ n }{ f({ r }_{ k },\theta _{ k }) } .\delta { A }_{ k } } …..(1)

अब (1) के दाहिने हाथ की योग की सीमा ज्ञात करने के लिए ध्रुव (pole) को केन्द्र मानकर कई वृत्तीय चाप (Circular arcs) तथा ध्रुव में होकर ध्रुवान्तर रेखाएं (radical lines) खींचों।मान लो क्रमागत (consecutive) चापों की दूरी\delta r तथा दो क्रमागत ध्रुवान्तर रेखाओं के मध्य कोण \delta \theta है तो बिन्दु ({ r }_{ 1 },\theta ) पर उपक्षेत्र

\frac { 1 }{ 2 } { \left( r+\frac { 1 }{ 2 } \delta r \right) }^{ 2 }\delta \theta \quad -\frac { 1 }{ 2 } { \left( r-\frac { 1 }{ 2 } \delta r \right) }^{ 2 }\delta \theta =r\delta r\delta \theta
इन उपक्षेत्रों का योग दो प्रकार से ज्ञात किया जा सकता है।पहले ध्रुवान्तर पट्टी (radical strip) के सभी क्षेत्रों का योग जिनके लिए कोण { \theta }_{ i }समान है,ज्ञात करते हैं। इसके बाद क्षेत्र A में पहली से अन्तिम पट्टी तक सभी ध्रुवान्तर पट्टियों का योगफल ज्ञात करते हैं। अतः (1) निम्न प्रकार से लिखा जा सकता है।

\iint _{ A }{ f({ r }_{ 1 },\theta )dA } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum _{ k=1 }^{ n }{ f({ r }_{ k },\theta _{ k }) } .\delta r\delta \theta } \\ =\lim _{ \delta \theta \rightarrow 0 }{ \sum _{ k=1 }^{ n }{ \{ \lim _{ \delta r\rightarrow 0 }{ \sum _{ i=1 }^{ m }{ f({ r }_{ i },\theta _{ k }) } { r }_{ i }\delta r\} d\theta } } } …..(2)

\because n\rightarrow \infty \Rightarrow \delta r\rightarrow 0\quad तथा \delta \theta \rightarrow 0

जहां({ r }_{ i },\theta _{ k }),k की ध्रुवान्तर पट्टी के i वें उपक्षेत्र का एक बिन्दु है।k वीं पत्ते में कुल उपक्षेत्रों की संख्या m है तथा n कुल पट्टियां हैं। पहले कोष्ठक के अन्दर का योगफल ज्ञात किया जाता है।यह योगफल ज्ञात करते समय \theta _{ k } को अचर (constant) माना जाता है।
(2) में कोष्ठक के अन्दर के योग की सीमा लेने पर

\lim _{ \delta r\rightarrow 0 }{ \sum _{ i=1 }^{ m }{ f({ r }_{ i },\theta _{ k }) } { r }_{ i }\delta r } =\int _{ { r }_{ 1 } }^{ { r }_{ 2 } }{ f({ r },\theta _{ k })dr } ….(3)
जहां { r }_{ 1 }{ r }_{ 2 } ,k वीं ध्रुवान्तर पट्टी में r के चरम (extreme) मान है। चूंकि क्षेत्र A , नीचे तथा ऊपर क्रमशः वक्रों r={ f }_{ 1 }(\theta ) तथा  r={ f }_{ 2 }(\theta ) से घिरा हुआ है ,अतः हम r={ f }_{ 1 }(\theta _{ k }) तथा r={ f }_{ 2 }(\theta _{ k }) ले सकते हैं। अतः (3) को निम्न प्रकार से लिखा जा सकता है:

\lim _{ \delta r\rightarrow 0 }{ \sum _{ i=1 }^{ m }{ f({ r }_{ i },\theta _{ k }) } { r }_{ i }\delta r } =\int _{ { f }_{ 1 }(\theta _{ k }) }^{ { f }_{ 2 }(\theta _{ k }) }{ f({ r },\theta _{ k })rdr } \\ ={ f }_{ 1 }(\theta _{ k })\\ =F(\theta _{ k }) (मान लो)…(4)
तब (2) से

\iint _{ A }{ f({ r },\theta )dA } =\lim _{ \delta \theta \rightarrow 0 }{ \sum _{ r=1 }^{ n }{ F(\theta _{ k })\delta \theta } } =\int _{ \alpha }^{ \beta }{ F(\theta )d\theta } \\ =\int _{ \alpha }^{ \beta }{ \{ \int _{ { f }_{ 1 }(\theta ) }^{ { f }_{ 2 }(\theta ) }{ f(r,\theta ) } rdr\} d\theta } [पुनः (4) से ]….(5)
जहां \alpha   व \beta ,\theta के चरम (extreme) मान है।
साधारणतया कोष्ठकों का प्रयोग नहीं करते तथा (5)‌ को निम्न प्रकार से लिखते हैं:
\int _{ \alpha }^{ \beta }{ \int _{ { f }_{ 1 }(\theta ) }^{ { f }_{ 2 }(\theta ) }{ f(r,\theta ) } rd\theta dr }
या \int _{ \alpha }^{ \beta }{ d\theta \int _{ { f }_{ 1 }(\theta ) }^{ { f }_{ 2 }(\theta ) }{ f(r,\theta ) } rdr }

3.ध्रुवीय निर्देशांकों में द्वि-समाकलन (Double Integral in Polar Coordinates) पर आधारित सवाल double integral polar coordinates problems) –

निम्नलिखित द्वि-समाकलों के मान ज्ञात कीजिए-
(Evaluate the following double integrals:)
Question-1.\int _{ 0 }^{ \pi }{ \int _{ 0 }^{ a(1+\cos { \theta } ) }{ { r }^{ 2 }\cos { \theta } d\theta dr } }
Solution\int _{ 0 }^{ \pi }{ \int _{ 0 }^{ a(1+\cos { \theta } ) }{ { r }^{ 2 }\cos { \theta } drd\theta } } \\ \int _{ 0 }^{ \pi }{ \cos { \theta } { \left[ \frac { { r }^{ 3 } }{ 3 } \right] }_{ 0 }^{ a(1+\cos { \theta } ) }d\theta } \\ \int _{ 0 }^{ \pi }{ \cos { \theta } { [\frac { { { a }^{ 3 }(1+\cos { \theta } ) }^{ 3 } }{ 3 } ] }d\theta } \\ \frac { { a }^{ 3 } }{ 3 } \int _{ 0 }^{ \pi }{ \cos { \theta } { \left( 2\cos ^{ 2 }{ \frac { \theta }{ 2 } } \right) }^{ 3 } } d\theta \\ =\frac { 8{ a }^{ 3 } }{ 3 } \int _{ 0 }^{ \pi }{ (1-\cos ^{ 2 }{ \frac { \theta }{ 2 } } ){ \cos ^{ 6 }{ \frac { \theta }{ 2 } } } } d\theta

put \frac { \theta }{ 2 } =t\Rightarrow d\theta =2dt

When \theta =0 then t=0

When \theta =\pi thent=\frac { \pi }{ 2 }

=\frac { 8{ a }^{ 3 } }{ 3 } \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ (1-\cos ^{ 2 }{ t } ){ \cos ^{ 6 }{ t } .2 } } dt\\ =\frac { 16{ a }^{ 3 } }{ 3 } \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ { \cos ^{ 6 }{ t } } } dt-\frac { 32{ a }^{ 3 } }{ 3 } \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ { \cos ^{ 8 }{ t } } } dt\\ =\frac { 16{ a }^{ 3 } }{ 3 } \frac { \Gamma (\frac { 0+1 }{ 2 } )\Gamma (\frac { 6+1 }{ 2 } ) }{ 2\Gamma (\frac { 0+6+2 }{ 2 } ) } -\frac { 32{ a }^{ 3 } }{ 3 } \frac { \Gamma (\frac { 0+1 }{ 2 } )\Gamma (\frac { 8+1 }{ 2 } ) }{ 2\Gamma (\frac { 0+8+2 }{ 2 } ) } \\ =\frac { 8{ a }^{ 3 } }{ 3 } \frac { \sqrt { \pi } .\Gamma \frac { 7 }{ 2 } }{ \Gamma 4 } -\frac { 16{ a }^{ 3 } }{ 3 } \frac { \sqrt { \pi } .\Gamma \frac { 9 }{ 2 } }{ \Gamma 5 } \\ =\frac { 8{ a }^{ 3 } }{ 3 } \frac { \sqrt { \pi } .\frac { 5 }{ 2 } .\frac { 3 }{ 2 } .\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \pi } }{ 3! } -\frac { 16{ a }^{ 3 } }{ 3 } \frac { \sqrt { \pi } .\frac { 7 }{ 2 } .\frac { 5 }{ 2 } .\frac { 3 }{ 2 } .\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \pi } }{ 4! } \\ =\frac { 8{ a }^{ 3 } }{ 3 } .\frac { 15\pi }{ 8.3.2 } -\frac { 16{ a }^{ 3 } }{ 3 } \frac { 105\pi }{ 16.4.3.2 } \\ =\frac { 5\pi { a }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { 35\pi { a }^{ 3 } }{ 24 } \\ =\frac { 20\pi { a }^{ 3 }-35\pi { a }^{ 3 } }{ 24 } \\ =\frac { 15\pi { a }^{ 3 } }{ 24 } \\ =\frac { 5\pi { a }^{ 3 } }{ 8 }

Question-2.वृत्त r=a\cos { \theta } के क्षेत्र पर \iint { { r }^{ 2 }d\theta dr } का मान ज्ञात कीजिए।
(Evaluate \iint { { r }^{ 2 }d\theta dr } ,over the area of the circler=a\cos { \theta } )
Solution-\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \int _{ 0 }^{ a\cos { \theta } }{ { r }^{ 2 }drd\theta } } \\ 2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ { [\frac { { r }^{ 3 } }{ 3 } ] }_{ 0 }^{ a\cos { \theta } }d\theta } \\ \frac { 2 }{ 3 } \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ { a }^{ 3 }\cos { \theta } d\theta } \\ \frac { 2{ a }^{ 3 } }{ 3 } \frac { \Gamma (\frac { 0+1 }{ 2 } )\Gamma (\frac { 3+1 }{ 2 } ) }{ 2\Gamma (\frac { 0+3+2 }{ 2 } ) } \\ \frac { 2{ a }^{ 3 } }{ 6 } \frac { \sqrt { \pi } }{ \frac { 3 }{ 2 } \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \pi } } =\frac { 4{ a }^{ 3 } }{ 9 }

Question-3.कार्डिआयॅड r=a(1+\cos { \theta } ) के प्रारम्भिक रेखा से ऊपर वाले क्षेत्र पर { r }^{ 2 }\cos { \theta } का समाकलन कीजिए-
(Integrate { r }^{ 2 }\cos { \theta } over the area of the cardiodr=a(1+\cos { \theta } ) above the initial line.)
Solution-यहां समाकलन के क्षेत्र को ध्रुवान्तर पट्टियों से ढक सकते हैं जिनके सिरे r=0 तथा r=a(1+\cos { \theta } ) पर हैं।ध्रुवान्तर पट्टियां \theta =0 से प्रारम्भ होकर \theta =\pi   पर समाप्त होती है।

\iint _{ A }{ { r }^{ 2 }\cos { \theta } .dA } =\int _{ 0 }^{ \pi }{ \int _{ 0 }^{ a(1+\cos { \theta } ) }{ { r }^{ 2 }\cos { \theta } rd\theta dr } } \\ =\int _{ 0 }^{ \pi }{ \int _{ 0 }^{ a(1+\cos { \theta } ) }{ { r }^{ 3 }\cos { \theta } d\theta dr } } \\ =\int _{ 0 }^{ \pi }{ \cos { \theta } { [\frac { { r }^{ 4 } }{ 4 } ] }_{ 0 }^{ a(1+\cos { \theta } ) } } d\theta \\ =\frac { { a }^{ 4 } }{ 4 } \int _{ 0 }^{ \pi }{ (2\sin ^{ 2 }{ \frac { \theta }{ 2 } } -1){ (2\cos ^{ 2 }{ \frac { \theta }{ 2 } } ) }^{ 4 } } d\theta \\ =4{ a }^{ 4 }\int _{ 0 }^{ \pi }{ (2\sin ^{ 2 }{ \frac { \theta }{ 2 } } -1){ 2\cos ^{ 8 }{ \frac { \theta }{ 2 } } } } \\ =8{ a }^{ 4 }\int _{ 0 }^{ \pi }{ \sin ^{ 2 }{ \frac { \theta }{ 2 } } { \cos ^{ 8 }{ \frac { \theta }{ 2 } } } } d\theta -4{ a }^{ 4 }\int _{ 0 }^{ \pi }{ { \cos ^{ 8 }{ \frac { \theta }{ 2 } } } } d\theta

Put \frac { \theta }{ 2 } =t\quad \quad \Rightarrow d\theta =2dt

When\theta =0  then t=0

When\theta =\pi then t=\frac { \pi }{ 2 }

so \iint _{ A }{ { r }^{ 2 }\cos { \theta } .dA } =16{ a }^{ 4 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \sin ^{ 2 }{ t } { \cos ^{ 8 }{ tdt-8 } }{ a }^{ 4 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \cos ^{ 8 }{ tdt } } } \\ =\frac { 16{ a }^{ 4 } }{ 2 } \frac { \Gamma (\frac { 2+1 }{ 2 } )\Gamma (\frac { 8+1 }{ 2 } ) }{ 2\Gamma (\frac { 2+8+2 }{ 2 } ) } -\frac { 32{ a }^{ 4 } }{ 3 } \frac { \Gamma (\frac { 0+1 }{ 2 } )\Gamma (\frac { 8+1 }{ 2 } ) }{ 2\Gamma (\frac { 0+8+2 }{ 2 } ) } \\ =8{ a }^{ 4 }\frac { \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \pi } .\frac { 7 }{ 2 } .\frac { 5 }{ 2 } .\frac { 3 }{ 2 } .\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \pi } }{ 5! } \\ -\frac { 4{ a }^{ 4 }\sqrt { \pi } .\frac { 7 }{ 2 } .\frac { 5 }{ 2 } .\frac { 3 }{ 2 } .\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \pi } }{ 4! } \\ =\frac { 105\pi { a }^{ 4 } }{ 4.5.4.3.2.1 } -\frac { 105\pi { a }^{ 4 } }{ 4.4.3.2.1 } \\ =\frac { 7\pi { a }^{ 4 } }{ 32 } -\frac { 35\pi { a }^{ 4 } }{ 32 } \\ =\frac { 7\pi { a }^{ 4 }-35\pi { a }^{ 4 } }{ 32 } \\ =\frac { 28\pi { a }^{ 4 } }{ 32 } \\ =\frac { 7\pi { a }^{ 4 } }{ 8 }

Question-4.लैमिनीस्केट{ r }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\cos { 2\theta } की एक लूप पर \iint { \frac { rd\theta dr }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ r }^{ 2 } } } } का मान ज्ञात कीजिए।
(Evaluate{ r }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\cos { 2\theta } ,over the loop of the lemniscate \iint { \frac { rd\theta dr }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ r }^{ 2 } } } } )

Solution:-=2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ \int _{ 0 }^{ a\sqrt { \cos { 2\theta } } }{ \frac { rd\theta dr }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ r }^{ 2 } } } drd\theta } } \\ =2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ { [\sqrt { { a }^{ 2 }+{ r }^{ 2 } } ] }_{ 0 }^{ a\sqrt { \cos { 2\theta } } }d\theta } \\ =2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ { [a\sqrt { 1+\cos { 2\theta } } d\theta ] }_{ 0 }^{ a\sqrt { \cos { 2\theta } } }d\theta } -2a\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ d\theta } \\ =2a\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ \sqrt { 2 } } \cos { \theta } d\theta -2a{ [\theta ] }_{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 4 } }\\ =2\sqrt { 2 } a{ [\sin { \theta } ] }_{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 4 } }-2a.\frac { \pi }{ 4 } \\ =2\sqrt { 2 } a{ [\sin { \frac { \pi }{ 4 } } ] }-2a.\frac { \pi }{ 4 } \\ =2\sqrt { 2 } a.\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -\frac { \pi a }{ 2 } \\ =2a-\frac { \pi a }{ 2 } \\ =\frac { 4a-\pi a }{ 2 } \\ =\frac { a(4-\pi ) }{ 2 }

उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा ध्रुवीय निर्देशांकों में द्वि-समाकलन (Double Integral in Polar Coordinates) को समझा जा सकता है।

4.आप दोहरी अभिन्नताओं को ध्रुवीय निर्देशांक में कैसे परिवर्तित करते हैं? (How do you convert double integrals to polar coordinates?)-

Again, just as in section on Double Integrals over Rectangular Regions, the double integral over a polar rectangular region can be expressed as an iterated integral in polar coordinates. Hence, ∬Rf(r,θ)dA=∬Rf(r,θ)rdrdθ=∫θ=βθ=α∫r=br=af(r,θ)rdrdθ. ∬Rf(x,y)dA=∬Rf(rcosθ,rsinθ)rdrdθ

5.ध्रुवीय निर्देशांक में डीए क्या है? (What is dA in polar coordinates?)-

ध्रुवीय निर्देशांक में, dA=rdrdθ ,r और r+dr और θ और θ + dθ के बीच एक असीम क्षेत्र का क्षेत्र है।क्षेत्र का क्षेत्रफल θ दिशा में क्षेत्र की लंबाई और r दिशा में चौड़ाई का उत्पाद है।

6.आप ध्रुवीय निर्देशांक में कैसे परिवर्तित करते हैं? (How do you convert to polar coordinates?)-

कार्तीय निर्देशांक (x, y) से ध्रुवीय निर्देशांक (r, θ) में परिवर्तित करने के लिए निम्न सम्बन्धों का प्रयोग करते हैं।
r=\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \\ \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { y }{ x } \right) }

7.कार्तीय समाकल को ध्रुवीय समाकल में परिवर्तित करें (convert the cartesian integral into a polar integral,convert the cartesian integral into a polar integral)-

हम निम्न सम्बन्ध के द्वारा कार्तीय निर्देशांकों को ध्रुवीय निर्देशांकों तथा ध्रुवीय निर्देशांकों को कार्तीय निर्देशांकों में परिवर्तित कर सकते हैं।

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