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Length of plane curves (Rectification)

1.समतल वक्रों की लम्बाई (चापकलन) का परिचय [Introduction to Length of plane curves (Rectification)]-

समतल वक्रों की लम्बाई (चापकलन) [ Length of plane curves (Rectification)]के बारे में बताया गया है।अवकलन गणित में s के अवकलन गुणांक का किन्हीं सीमाओं के मध्य समाकलन करने पर s अर्थात् समतल वक्रों की लम्बाई (चापकलन) [Length of plane curves (Rectification)] प्राप्त होता है।
सीमाओं के अन्तर्गत अवकलन गुणांक का समाकलन निश्चित समाकलन होता है।
चापकलन की परिभाषा ( Definition of Rectification)-
समतल वक्र के दो बिन्दुओं के बीच चाप की लम्बाई ज्ञात करने की विधि चापकलन कहलाती है।
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2.समतल वक्रों की लम्बाई (चापकलन)[Length of plane curves (Rectification)]-

 

(1.)कार्तीय समीकरणों के लिए (For Cartesian equations)-

यदि कोई वक्र y=f(x) के रूप का हो तो इस वक्र के किसी बिन्दु A ,जिसके लिए x=a है,से वक्र पर स्थित किसी अन्य बिन्दु P(x,y) तक के चाप की लम्बाई s हो तो अवकलन गणित से हम लिख सकते हैं कि

\frac { ds }{ dx } =\left\{ 1+{ \left( \frac { dy }{ dx } \right) }^{ 2 } \right\}
उपर्युक्त अवकल गुणांक का सीमाओं a से x के मध्य समाकलन करने पर

\int _{ a }^{ x }{ \frac { ds }{ dx } } dx=\int _{ a }^{ x }{ \sqrt { 1+{ \left( \frac { dy }{ dx } \right) }^{ 2 } } } dx\\ s=\int _{ a }^{ x }{ \sqrt { 1+{ \left( \frac { dy }{ dx } \right) }^{ 2 } } } dx
अतः वक्र पर स्थित दो बिन्दुओं A तथा B के भुज (abscissae) क्रमशः a तथा b हो तो चाप AB की लम्बाई निम्न प्रकार ज्ञात की जा सकती है-

s=\int _{ a }^{ b }{ \sqrt { 1+{ \left( \frac { dy }{ dx } \right) }^{ 2 } } } dx

(2.) कार्तीय समीकरण का दूसरा रूप (Another form of Cartesian equation)-

यदि कार्तीय समीकरण x=f(y) के रूप का हो तो इस स्थिति में समतल वक्रों की लम्बाई (चापकलन) [Length of plane curves (Rectification)] निम्न प्रकार ज्ञात की जा सकती है-

\frac { ds }{ dy } =\sqrt { 1+{ \left( \frac { dx }{ dy } \right) }^{ 2 } }

यदि वक्र पर स्थित दो बिन्दुओं A तथा B की कोटियां क्रमशः c व d हो तो चाप AB की लम्बाई इन सीमाओं के मध्य समाकलन करके ज्ञात की जा सकती है।

s=\int _{ c }^{ d }{ \sqrt { 1+{ \left( \frac { dx }{ dy } \right) }^{ 2 } } } dy

(3.)प्राचलिक समीकरणों के लिए (For parametric equations)-

यदि x तथा y को किसी प्राचल के पदों में व्यक्त किया गया हो तो समतल वक्रों की लम्बाई (चापकलन) [Length of plane curves (Rectification)] निम्न प्रकार ज्ञात की जा सकती है (प्राचलिक समीकरण x=f(t),

\frac { ds }{ dt } =\sqrt { { \left( \frac { dx }{ dt } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { dy }{ dt } \right) }^{ 2 } }

अतः वक्र पर स्थित दो बिन्दुओं A तथा B के लिए प्राचल t के मान क्रमशः { t }_{ 1 } तथा{ t }_{ 2 } हो तो चाप AB की लम्बाई होगी-

s=\int _{ { t }_{ 1 } }^{ { t }_{ 2 } }{ \sqrt { { \left( \frac { dx }{ dt } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { dy }{ dt } \right) }^{ 2 } } } dt

(4.)ध्रुवीय समीकरणों के लिए (For polar equations)-

यदि ध्रुवीय समीकरण r=f\left( \theta \right) के रूप का हो तो समतल वक्रों की लम्बाई (चापकलन) [ Length of plane curves (Rectification)] निम्न प्रकार ज्ञात की जा सकती है-

\frac { ds }{ dt } =\sqrt { { r }^{ 2 }+{ \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 } }

यदि वक्र पर स्थित दो बिन्दुओं A तथा B के सदिश कोण क्रमशः \alpha तथा\beta हो तो चाप AB की लम्बाई होगी-

s=\int _{ \alpha }^{ \beta }{ \sqrt { { r }^{ 2 }+{ \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 } } } d\theta

(5.) ध्रुवीय समीकरण का दूसरा रूप (Another form of polar equation)-

यदि ध्रुवीय समीकरण \theta =f\left( r \right) के रूप का हो तो समतल वक्रों की लम्बाई (चापकलन)[Length of plane curves (Rectification)] निम्न प्रकार ज्ञात की जा सकती है-

\frac { ds }{ dr } =\sqrt { 1+{ r }^{ 2 }{ \left( \frac { d\theta }{ dr } \right) }^{ 2 } }
अतः यदि वक्र पर स्थित दो बिन्दुओं A तथा B के ध्रुवान्तर क्रमशः { r }_{ 1 } तथा { r }_{ 2 } हो तो AB की लम्बाई होगी-

s=\int _{ { r }_{ 1 } }^{ { r }_{ 2 } }{ \sqrt { 1+{ r }^{ 2 }{ \left( \frac { d\theta }{ dr } \right) }^{ 2 } } } dr

(6.)पदिक समीकरण के लिए (For the pedal equation)-

पदिक समीकरण के रूप का हो तथा वक्र पर स्थित दो बिन्दुओं A तथा B के ध्रुवान्तर (radius vectors) क्रमशः { r }_{ 1 } तथा { r }_{ 2 } हो तो AB चाप की लम्बाई होगी

s=\int _{ { r }_{ 1 } }^{ { r }_{ 2 } }{ \frac { rdr }{ \sqrt { { r }^{ 2 }-p^{ 2 } } } }

Question-1. प्रथम पाद में परवलय { y }^{ 2 }-4y+2x=0 के चाप की लम्बाई ज्ञात कीजिए।(Find the length of the arc of the parabola { y }^{ 2 }-4y+2x=0which lies in the first quadrant).
Solution-

{ y }^{ 2 }-4y+2x=0
y के सापेक्ष अवकलन करने पर-

2y-4+2\frac { dx }{ dy } =0\\ \frac { dx }{ dy } =2-y
चाप की लम्बाई के लिए सीमा ज्ञात करने हेतु x=0 रखने पर

{ y }^{ 2 }-4y=0\\ y\left( y-4 \right) =0\\ y=0,y=4
अतः चाप की लम्बाई s=\int _{ 0 }^{ 4 }{ \sqrt { 1+{ \left( \frac { dx }{ dy } \right) }^{ 2 } } } dy\\ s=\int _{ 0 }^{ 4 }{ \sqrt { 1+{ \left( 2-y \right) }^{ 2 } } } dy\\ s=\int _{ 0 }^{ 4 }{ \sqrt { 1+{ \left( y-2 \right) }^{ 2 } } } dy\\ s={ { \left[ \frac { y-2 }{ 2 } \sqrt { 1+{ \left( y-2 \right) }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } \log { \left\{ y-2+\sqrt { 1+{ \left( y-2 \right) }^{ 2 } } \right\} } \right] }^{ 4 } }_{ 0 }\\ s=\sqrt { 5 } +\frac { 1 }{ 2 } \log { \left\{ 2+\sqrt { 5 } \right\} } +\sqrt { 5 } -\frac { 1 }{ 2 } \log { \left\{ \sqrt { 5 } -2 \right\} } \\ s=2\sqrt { 5 } +\frac { 1 }{ 2 } \log { \left\{ \frac { 2+\sqrt { 5 } }{ \sqrt { 5 } -2 } \right\} } \\ s=2\sqrt { 5 } +\frac { 1 }{ 2 } \log { { \left( \sqrt { 5 } +2 \right) }^{ 2 } } \\ s=2\sqrt { 5 } +\log { \left( \sqrt { 5 } +2 \right) }

Question-2.सिद्ध कीजिए कि साइक्लाइड x=a\left( \theta -sin\theta \right) \quad \quad \quad \quad \quad \quad ,y=a\left( 1-cos\theta \right) के महराब की लम्बाई 8a है।( Prove that the length of an arc of the cycloid x=a\left( \theta -sin\theta \right) \quad \quad \quad \quad \quad \quad ,y=a\left( 1-cos\theta \right) is 8a.)
Solution-

x=a\left( \theta -sin\theta \right) \quad \quad \quad \quad \quad \quad ,y=a\left( 1-cos\theta \right) \\ \frac { dx }{ d\theta } =a\left( 1-cos\theta \right) \quad \quad \quad ,\frac { dy }{ d\theta } =a\quad sin\theta

चाप की लम्बाई के लिए सीमाएं y=0 रखने पर ज्ञात की जा सकती है-

a\left( 1-cos\theta \right) =0\\ cos\theta =1\\ \theta =\pi
अतः चाप की लम्बाई=2× चाप की लम्बाई

s=2\times \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sqrt { { \left( \frac { dx }{ d\theta } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { dy }{ d\theta } \right) }^{ 2 } } } d\theta \\ s=2\times \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sqrt { { \left\{ a\left( 1-cos\theta \right) \right\} }^{ 2 }+{ \left\{ a\quad sin\theta \right\} }^{ 2 } } } d\theta \\ s=2\times \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sqrt { { { a }^{ 2 }\left( 1-cos\theta \right) }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }{ sin }^{ 2 }\theta } } d\theta \\ s=2a\times \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sqrt { 1-2cos\theta +cos^{ 2 }\theta +{ sin }^{ 2 }\theta } } d\theta \\ s=2a\times \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sqrt { 2-2cos\theta } } d\theta \\ s=2\sqrt { 2 } a\times \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sqrt { 1-cos\theta } } d\theta \\ s=2\sqrt { 2 } a\times \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sqrt { 2{ sin }^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } } } d\theta \\ s=2\sqrt { 2 } a\times \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sqrt { 2 } sin\frac { \theta }{ 2 } } d\theta \\ s=4a\times \int _{ 0 }^{ \pi }{ sin\frac { \theta }{ 2 } } d\theta \\ s=8a\times { \left[ -2\quad cos\frac { \theta }{ 2 } \right] }_{ 0 }^{ \pi }\\ s=8a\times \left[ -2\quad cos\frac { \pi }{ 2 } +2\quad cos0 \right] \\ s=8a
Question-3.निम्नलिखित वक्र का परिमाप ज्ञात कीजिए।(Find the perimeter of the following curve.)

r=a\left( 1-cos\theta \right)
Solution-

r=a\left( 1-cos\theta \right) \\ \frac { dr }{ d\theta } =a\quad sin\theta
परिमाप=2\int _{ 0 }^{ \pi }{ \sqrt { \left[ { r }^{ 2 }+{ \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 } \right] } } d\theta \\ =2\int _{ 0 }^{ \pi }{ \sqrt { \left[ { { a }^{ 2 }\left( 1-cos\theta \right) }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }sin^{ 2 }\theta \right] } } d\theta \\ =2\int _{ 0 }^{ \pi }{ \sqrt { 1-2cos\theta +cos^{ 2 }\theta +{ sin }^{ 2 }\theta } } d\theta \\ =2a\times \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sqrt { 1-2cos\theta +cos^{ 2 }\theta +{ sin }^{ 2 }\theta } } d\theta \\ =2\sqrt { 2 } a\times \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sqrt { 1-cos\theta } } d\theta
उपर्युक्त उदाहरणों की सहायता से समतल वक्रों की लम्बाई (चापकलन) [ Length of plane curves (Rectification)]को समझा जा सकता है।

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