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Surface Area of Solid of Revolution

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1.परिक्रमण ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solid of Revolution),समाकलन गणित में परिक्रमण ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solid of Revolution in Integral Calculus):

  • परिक्रमण ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solid of Revolution) ज्ञात करने की विभिन्न स्थितियाँ हैं।जैसे x-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण,y-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण,वक्र के ध्रुवीय रूप में परिक्रमण ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल, प्राचलिक रूप में परिक्रमण ठोस का आयतन तथा किसी रेखा के सापेक्ष परिक्रमण से जनित ठोस का आयतन।
    (i)x-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण से जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल:
    यदि वक्र y=f(x),x-अक्ष एवं कोटियों x=a,x=b के बीच में अन्त:खण्ड चाप,x-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण से जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area) होता है:
    \int_{a}^{b}2{\pi}y ds
    जहाँ s वक्र के चाप की लम्बाई x=a से वक्र पर स्वेच्छित बिन्दु (x,y) तक है और f(x) अन्तराल (a,b) में एक सीमित एकमानीय तथा सतत फलन है तथा घूर्णन अक्ष अर्थात् x-अक्ष को अन्तराल (a,b) में नहीं काटता है।
    (If the arc of a curve y=f(x) intercepted by the ordinates x=a and x=b revolves about x-axis, the curved surface of the solid generated is given by \int_{a}^{b}2{\pi}y ds, where s is the length of the arc of the curve measured from x=a to any arbitrary point (x,y) on the curve and further it being assumed that f(x) is finite, single valued and continuous in the interval (a,b).)
    मानलो कि वक्र AB का समीकरण y=f(x) है और AD तथा BC क्रमशः x=a तथा y=b पर कोटियाँ (ordinates) है।
    वक्र पर कोई बिन्दु P(x,y) लो और मानलो इसकी कोटि PM है।पुनः वक्र पर P से अति निकट एक दूसरा बिन्दु Q\left(x+\delta{x},y+\delta{y}\right) लो और मानलो कि इसकी कोटि QN है।
    मानलो चाप AP=s तथा चाप AQ=s+\delta{s} तब चाप PQ=\delta{s}.
    पुनः मानलो चापों AP तथा AQ द्वारा x-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण ठोस के पृष्ठ (surface) क्रमशः S तथा S+\delta{S} है।तब स्पष्टतया चाप PQ द्वारा x-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण ठोस का पृष्ठ \delta{S} होगा।
  • यदि PQ दिए हुए वक्र की जीवा (chord) है तब
    जैसें Q\longrightarrow{P} \frac{\text{ जीवा }\text{ PQ }}{\delta{s}}\rightarrow{1}
    अतएव अभीष्ट पृष्ठ ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिखित स्वयं सिद्धि (aixms) मानेंगे:
    \lim_{Q\rightarrow{P}}\left(\text{ चाप PQ द्वारा जनित पृष्ठ }\right)=\lim_{Q\rightarrow{P}}\left(\text{ जीवा PQ द्वारा जनित पृष्ठ }\right)
    अब x-अक्ष के सापेक्ष, जीवा PQ द्वारा जनित पृष्ठ, एक शंकु का छिन्नक (frustum of a conic) है जिसकी प्रवणित ऊँचाई (तिर्यक ऊँचाई) (slant height) PQ है तथा ठोस के वृत्तीय आधारों की त्रिज्याएँ (radii) PM तथा QN है।
    इस छिन्नक (frustum) के पृष्ठ का क्षेत्रफल:
    \delta{S}={\pi}\left(\text{PM}+\text{QN}\right)={\pi}\left(y+y+\delta{y}\right)\text{PQ}
    \lim_{\delta{x}\rightarrow{0}} \frac{\delta{S}}{\delta{x}} =\lim_{\delta{x}\rightarrow{0}}\frac{{\pi} \left(y+y+\delta{y}\right)\text{ जीवा }\text{ PQ }}{\delta{x}}
    \because \text{ जैसे }Q\rightarrow{P},\delta{x}\rightarrow{0}
    =\lim_{\delta{x}\rightarrow{0}}{\pi}\left(2y+{\delta{y}}\right).\frac{\text{ जीवा }}{\text{ PQ }}{\delta{x}}.\frac{\delta{s}}{\delta{x}}
    \frac{dS}{dx}=\lim_{\delta{x}\rightarrow{0}}{\pi}\left(2y+{\delta{y}}\right). \lim_{\delta{x} \rightarrow{0}}\frac{\text{ जीवा }\text{ PQ }}{\delta{s}}.\lim_{\delta{x}\rightarrow{0}}\frac{\delta{s}}{\delta{x}}
    =2{\pi}y.1.\frac{ds}{dx} \because \text{ जैसे }{\delta{x}\rightarrow{0}},{\delta{y}\rightarrow{0}}
    अब x=a तथा x=b सीमाओं के बीच समाकलन करने पर:
    \int_{a}^{b}2{\pi}y\frac{ds}{dx}{dx}=\int_{a}^{b}\frac{dS}{dx}{dx}
  • \Rightarrow{\int_{a}^{b}2{\pi}y ds}=\int_{a}^{b}dS=\left[S\right]_{a}^{b}
  • =(S का मान जब x=b)-(S का मान जब x=a) =चाप AB,x-अक्ष एवं कोटियों x=a तथा x=b से घिरे क्षेत्रफल द्वारा x-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area) टिप्पणी:उपर्युक्त सूत्र में ds का मान निम्न परिणाम द्वारा ज्ञात किया जा सकता है: ds=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}dx
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Also Read This Article:Volume of Solid of Revolution Examples

2.परिक्रमण ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल पर आधारित सवाल (Examples Based on Surface Area of Solid of Revolution):

Example:1.a त्रिज्या के गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (Find the surface area of a sphere of radius a.) Solution:अर्द्ध वृत्त का समीकरण:

x^{2}+y^{2}=a^{2}

x के सापेक्ष अवकलन करने:

=2x+2y\left(\frac{dy}{dx}\right)\\

\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\\

\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}

=\sqrt{1+\left(\frac{x^{2}}{y^{2}}\right)^{2}}

=\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{y^{2}}}

=\sqrt{\frac{a^{2}}{y^{2}}}

=\frac{a}{y}\\

\Rightarrow{\frac{ds}{dx}}=\frac{a}{y}\\

\Rightarrow{yds}=adx

अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल=

2{\pi}\int_{-a}^{a}yds

=2{\pi}\int_{-a}^{a}adx
=2{\pi}a\left[x\right]_{-a}^{a}

=2{\pi}a\left[a+a\right]

=4{\pi}a^{3}

Example:2.त्रिज्या a और ऊँचाई h के गोलीय खण्ड का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (Find the surface area of the segment of a sphere of radius a and height h.)

Solution:अर्द्धवृत्त का समीकरण:

x^{2}+y^{2}=a^{2}

x के सापेक्ष अवकलन करने:

2x+2y\left(\frac{dy}{dx}\right)

\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}

\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}

=\sqrt{1+\left(\frac{x^{2}}{y^{2}}\right)^{2}}

\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{y^{2}}}

\sqrt{\frac{a^{2}}{y^{2}}}

\frac{a}{y} \Rightarrow{\frac{ds}{dx}}=\frac{a}{y} \Rightarrow{yds}=adx

अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल=

2{\pi}\int_{0}^{h}yds

=2{\pi}\int_{0}{h}adx
=2{\pi}a\left[x\right]_{0}^{h}

=2{\pi}a\left[h+0\right]

=2{\pi}ah

Example:3.परवलय y^{2}=4ax का नाभिलम्ब द्वारा परिबद्ध भाग शीर्ष पर स्पर्शरेखा के सापेक्ष परिक्रमा करता है।इस प्रकार जनित रील का वक्र पृष्ठ ज्ञात कीजिए। (The part of the parabola y^{2}=4ax bounded by the latus rectum revolves about the tangent at the vertex.Find the area of the curved surface of the reel thus generated.)

Solution:माना परवलय की समीकरण:y^{2}=4ax

x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{dy}{dx}=\frac{2a}{y}

\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}

=\sqrt{1+\frac{4a^{2}}{y^{2}}}

=\sqrt{1+\frac{4a^{2}}{4ax}}

=\sqrt{\left(1+\frac{a}{x}\right)}

=\sqrt{\frac{x+a}{x}}

चाप AL (जहाँ LSL’ नाभिलम्ब है) x ,0 से a तक परिवर्तित होता है।यहाँ AL,y-अक्ष के परित: परिक्रमा करता है।y-अक्ष पर PN लम्ब डाला। अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल= 2 × AL द्वारा परिक्रमा करने पर जनित पृष्ठ=

=2\int_{x=0}^{a}2{\pi}xds

4{\pi}\int_{x=0}^{a}x\frac{ds}{dx}.{dx}
=4{\pi}\int_{0}^{a}x\sqrt{\frac{x+a}{x}} dx
=4{\pi}\int_{0}^{a}\sqrt{\left(x^{2}+ax\right)}
=4{\pi}\int_{0}^{a}\sqrt{\left\{\left(x+\frac{a}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\right\}} dx
=4{\pi}\left[\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}a\right){\left(x+\frac{a}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}\right]_{0}^{a}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}a\right)^{2}\log{\left[\left(x+\frac{1}{2}a\right)+\sqrt{\left(x+\frac{a}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}\right]_{0}^{a}}

=4{\pi}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)a\sqrt{\left(2a^{2}\right)}-\frac{1}{8}a^{2}\log{\left\{\left(\frac{3a}{2}\right)+\sqrt{\left(2a\right)^{2}}\right\}}+\frac{1}{8}a^{2}\log{\left(\frac{1}{2}{a}\right)}\right]

=4{\pi}\left[\frac{3}{4}\sqrt{2a^{2}}-\frac{1}{8}a^{2}\log{\left(3a+\frac{2\sqrt{2}a}{2}\right)}\right]

{\pi}a^{2}\left[3\sqrt{2}-\frac{1}{2}\log{\left(3+2\sqrt{2}\right)}\right]

={\pi}a^{2}\left[3\sqrt{2}-\frac{1}{2}\log{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}\right]

={\pi}a^{2}\left[3\sqrt{2}-\log{\left(\sqrt{2}+1\right)}\right]

Example:4.परवलय y^{2}=4ax के नाभिलम्ब द्वारा घिरे हुए चाप को x-अक्ष के सापेक्ष घुमाने पर जनित ठोस का पृष्ठ ज्ञात कीजिए। (Find the surface of the solid generated by revolving the arc of the parabola y^{2}=4ax bounded by its latus rectum about the x-axis.)

Solution:माना परवलय की समीकरण:

y^{2}=4ax

x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{dy}{dx}=\frac{2a}{y}

\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}

=\sqrt{1+\frac{4a^{2}}{y^{2}}}

=\sqrt{1+\frac{4a^{2}}{4ax}}

=\sqrt{\left(1+\frac{a}{x}\right)}

=\sqrt{\frac{x+a}{x}}

चाप AL,x 0 से a तक परिवर्तित होता है। अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल=

2{\pi}\int_{x=0}^{a}yds

=2{\pi}\int_{0}^{2}\sqrt{4ax}\frac{ds}{dx}.{dx}
=4{\pi}\sqrt{a}\int_{0}^{a}\sqrt{x}\sqrt{\left(\frac{x+a}{x}\right)} dx
=4{\pi}\sqrt{a}\int_{0}^{a}\sqrt{\left(x+a\right)} dx
=\frac{8{\pi}}{3}\sqrt{a}\left[\left(x+a\right)^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{a}

=\frac{8{\pi}a^{2}}{3}\left[2\sqrt{2}-1\right]

Example:5.उस ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो दीर्घवृत्त x^{2}+4y^{2}=16 को (i)लघुअक्ष के सापेक्ष घुमाने से बनता है। (ii)दीर्घअक्ष के सापेक्ष घुमाने से बनता है। (Find the area of the surface formed by the revolution of ellipse x^{2}+4y^{2}=16 about (i) its minor axis (ii)it major axis

Solution:(i)x^{2}+4y^{2}=16 x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

2x+8y\frac{dy}{dx}=0 \Rightarrow{\frac{dy}{dx}}=-\frac{x}{4y} \frac{ds}{dy}=\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}}

=\sqrt{1+\left(\frac{4y}{x}\right)^{2}} =\sqrt{1+\frac{16y^{2}}{x^{2}}}

\frac{ds}{dy}=\sqrt{\frac{x^{2}+16y^{2}}{x^{2}}}

=\sqrt{\frac{16-4y^{2}+16y^{2}}{x^{2}}}

=\sqrt{\frac{16+12y^{2}}{x^{2}}}

\Rightarrow{\frac{ds}{dy}}=\frac{2\sqrt{4+3y^{2}}}{x}

=2\int_{0}^{2}2{\pi}x ds

=2\int_{0}^{2}2{\pi}x\frac{ds}{dy}.{dy}
=2\int_{0}^{2}2{\pi}x.\frac{2\sqrt{4+3y^{2}}}{x} dy
=8{\pi}\int_{0}^{2}\sqrt{4+3y^{2}}dy
=8\sqrt{3}{\pi}\int_{0}^{2}\sqrt{\frac{4}{3}+y^{2}} dy
=8\sqrt{3}{\pi}\left[\frac{y}{2}\sqrt{\frac{4}{3}+y^{2}}+\frac{4}{6}\log{\left(\frac{y+\sqrt{\frac{4}{3}+y^{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}}\right)}\right]_{0}^{2}
=8\sqrt{3}{\pi}\left[\sqrt{\frac{4}{3}+4}+\frac{2}{3}\log{\left(\frac{2+\sqrt{\frac{4}{3}+4}}{\frac{2}{\sqrt{3}}}\right)}\right]
=8\sqrt{3}{\pi}\left[\frac{4}{\sqrt{3}}+\frac{2}{3}\log{\left(\frac{2\sqrt{3}+4}{2}\right)}\right]
=8\sqrt{3}{\pi} × \frac{4}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{2}{3} × \frac{\sqrt{3}}{4}\log{\left(2+\sqrt{3}\right)}\right]
=32{\pi}\left[1+\frac{1}{2\sqrt{3}}\log{\left(2+\sqrt{3}\right)}\right]
=32{\pi}\left[1+\frac{1}{2\sqrt{3}}\log{\left(2+\sqrt{3}\right)}\right]
लघुअक्ष के परित अर्थात् y-अक्ष के परित: परिक्रमण करने पर अभीष्ट क्षेत्रफल

Solution:(ii)\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)}
=\sqrt{1+\frac{x^{2}}{16y^{2}}}
=\frac{\sqrt{16y^{2}+x^{2}}}{4y}
=\frac{\sqrt{4\left(16-x^{2}\right)+x^{2}}}{4y}
=\frac{\sqrt{64-3x^{2}}}{4y}
=\sqrt{3}\frac{\sqrt{\frac{64}{3}-x^{2}}}{4y}
\Rightarrow{\frac{ds}{dx}}\sqrt{3}\frac{\sqrt{\frac{64}{3}-x^{2}}}{4y}
अभीष्ट क्षेत्रफल=2\int_{0}^{4}2{\pi}y\frac{ds}{dx}.{dx}
=4\sqrt{3}{\pi}\int_{0}^{4}y\frac{\sqrt{\frac{64}{3}-x^{2}}}{4y} dx
\sqrt{3}{\pi}\int_{0}^{4}\sqrt{\frac{64}{3}-x^{2}}{4y} dx
=\sqrt{3}{\pi}\left[\frac{x}{2}\sqrt{\frac{64}{3}-x^{2}}+\frac{64}{6}\sin^{-1}\left(\frac{x}{\frac{8}{\sqrt{3}}}\right)\right]_{0}^{4}
=\sqrt{3}{\pi}\left[2\sqrt{\frac{64}{3}-16}+\frac{32}{3}\sin^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2}{4y}\right]
=\sqrt{3}{\pi}\left[2×\frac{4}{\sqrt{3}}+\frac{32}{3}×\frac{\pi}{3}\right]
=\sqrt{3}{\pi}\left[\frac{8}{\sqrt{3}}+\frac{32\pi}{9}\right]
=8{\pi}\left[1+\frac{4\pi}{3\sqrt{3}}\right]
Example:6.दीर्घवृत्त \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 को लघुअक्ष के सापेक्ष घुमाने से बने लध्वक्ष गोलाभ (oblate spheroid) का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(Find the surface area of the oblate spheroid which is formed by the revolution of the ellipse \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 about the minor axis.)
Solution:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{2x}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=0
\Rightarrow{\frac{dy}{dx}}=-\frac{b^{2}x}{a^{2}}
\frac{ds}{dy}=\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}}
\frac{ds}{dy}=\sqrt{1+\left(\frac{a^{4}y^{2}}{b^{4}x^{2}}\right)^{2}}
=\sqrt{\frac{b^{4}x^{2}+a^{4}y^{2}}{b^{4}x^{2}}}
=\frac{\sqrt{b^{4}x^{2}+a^{4}y^{2}}}{b^{2}x}
\text{ Put } b^{2}=a^{2}\left(1-e^{2}\right)
\Rightarrow{b^{2}}=a^{2}-a^{2}e^{2}
\frac{ds}{dy}=\frac{\sqrt{b^{4}x^{2}+a^{4}y^{2}}}{a^2\left(1-e^{2}\right)x}
=\frac{\sqrt{b^{4}\frac{a^{2}}{b^{2}}\left(b^{2}-y^{2}\right)+y^{2}a^{4}}}{a^{2}\left(1-e^{2}\right)x}
=\frac{a\sqrt{b^{4}-b^{2}y^{2}+a^{2}y^{2}}}{a^{2}\left(1-e^{2}\right)x}
=\frac{\sqrt{a^{4}\left(1-e^{2}\right)^{2}-a^{2}\left(1-e^{2}\right)y^{2}+a^{2}y^{2}}}{a\left(1-e^{2}\right)x}
=\frac{a\sqrt{a^{2}\left(1-e^{2}\right)^{2}-\left(1-e^{2}\right)y^{2}+y^{2}}}{a\left(1-e^{2}\right)x}
=\frac{\sqrt{a^{2}\left(1-e^{2}\right)^{2}+e^{2}y^{2}}}{\left(1-e^{2}\right)x}
=\frac{e}{x\left(1-e^{2}\right)}\sqrt{\frac{a^{2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}{e^{2}}+y^{2}}
अभीष्ट क्षेत्रफल=2\int_{0}^{b}2{\pi}x.\frac{e}{x\left(1-e^{2}\right)}\sqrt{\left(\frac{a\left(1-e^{2}\right)}{e}\right)^{2}+y^{2}}dy
=\frac{4{\pi}e}{\left(1-e^{2}\right)}\int_{0}^{b}\sqrt{\left(\frac{a\left(1-e^{2}\right)}{e}\right)^{2}+y^{2}}dy
=\frac{4{\pi}e}{\left(1-e^{2}\right)} \left[ \frac{y}{2}\sqrt{\frac{a^{2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}{e^{2}}+y^{2}}+\frac{a^{2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}{2e^{2}} \log \left[\frac{y+\sqrt{\left(\frac{a\left(1-e^{2}\right)}{e}\right)^{2}+y^{2}}}{\frac{a\left(1-e^{2}\right)}{e}} \right]\right]_{0}^{b}
=\frac{4{\pi}e}{\left(1-e^{2}\right)}\left[ \frac{b}{2}\sqrt{\frac{a^{2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}{e^{2}}+b^{2}}+\frac{a^{2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}{2e^{2}} \log \left[\frac{b+\sqrt{\frac{a^{2}\left(1-e^{2}\right)}{e^{2}}+b^{2}}}{\frac{a\left(1-e^{2}\right)}{e}}\right]\right]
= \frac{4{\pi}e}{\left(1-e^{2}\right)} [\frac{a\sqrt{1-e^{2}}}{2} \sqrt{\frac{a^{2}\left(1-e^{2}\right)}{e^{2}}+a^{2}\left(1-e^{2}\right)} +\\ \frac{a^{2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}{2e^{2}} \log \left [ \frac{a\sqrt{1-e^{2}}+\sqrt{\frac{a^{2}\left(1-e^{2}\right)}{e^{2}}+a^{2}\left(1-e^{2}\right)}}{\frac{a\left(1-e^{2}\right)}{e}} \right ]]
=\frac{4{\pi}e}{\left(1-e^{2}\right)} \left[\frac{a^{2}\left(1-e^{2}\right)}{2e}+\frac{a^{2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}{2e^{2}} \log{\left(\frac{1+\frac{1}{e}}{\frac{\sqrt{1-e^{2}}}{e}}\right)}\right]
=\frac{4{\pi}e}{\left(1-e^{2}\right)}\left[\frac{a^{2}\left(1-e^{2}\right)}{2e}+\frac{a^{2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}{2e^{2}}\log{\left(\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\right)}\right]
=2{\pi}a^{2}\left[1+\frac{\left(1-e^{2}\right)}{2e}\log{\left(\frac{1+e}{1-e}\right)}\right]
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा परिक्रमण ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solid of Revolution),समाकलन गणित में परिक्रमण ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solid of Revolution in Integral Calculus) को समझ सकते हैं।

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3.परिक्रमण ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solid of Revolution),समाकलन गणित में परिक्रमण ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solid of Revolution in Integral Calculus) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.परिक्रमण ठोसों के पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र लिखो। (Write the formula to find the surface area of the revolution solids):

उत्तर:(1.)x-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण से जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल=\int_{a}^{b}2{\pi}y dx
ds=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}} dx
(2.)y-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण से जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल=\int_{c}^{d}2{\pi}y dx
(3.)यदि वक्र का समीकरण ध्रुवीय रूप में हो तो वक्र को प्रारम्भिक (Initial line) के सापेक्ष परिक्रमण से जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल=
\int_{\alpha}^{\beta}2{\pi}r\sqrt{r^{2}+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}{d\theta}
(4.)यदि वक्र का समीकरण प्राचलिक रूप में हो तथा वक्र x-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण करें तो जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल=
\int_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}2{\pi}y\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}dt
(5.)यदि वक्र AB रेखा OE के सापेक्ष परिक्रमण करता है तो जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल=
\int_{\text{OC}}^{\text{OD}}2{\pi}\left(\text{PL}\right)ds

प्रश्न:2.परिक्रमण ठोस से क्या तात्पर्य है? (What is meant by The revolution of solid?):

उत्तर:किसी ठोस को किसी रेखा या किसी अक्ष के सापेक्ष घुमाने से जो ठोस जनित होता है उसे परिक्रमण ठोस कहते हैं।
प्रश्न:3.परिक्रमण ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने की स्थितियाँ लिखो। (Write down the different conditions for finding the surface area of the revolution solids):
उत्तर:(1.)x-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण से जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल
(2.)y-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण से जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल
(3.)यदि वक्र का समीकरण ध्रुवीय रूप में हो तो वक्र को प्रारम्भिक (Initial line) के सापेक्ष परिक्रमण से जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल
(4.)यदि वक्र का समीकरण प्राचलिक रूप में हो तथा वक्र x-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण करें तो जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल
(5.)यदि वक्र AB रेखा OE के सापेक्ष परिक्रमण करता है तो जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल

प्रश्न:3.परिक्रमण ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने की स्थितियाँ लिखो। (Write down the different conditions for finding the surface area of the revolution solids):

उत्तर:(1.)x-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण से जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल
(2.)y-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण से जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल
(3.)यदि वक्र का समीकरण ध्रुवीय रूप में हो तो वक्र को प्रारम्भिक (Initial line) के सापेक्ष परिक्रमण से जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल
(4.)यदि वक्र का समीकरण प्राचलिक रूप में हो तथा वक्र x-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण करें तो जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल
(5.)यदि वक्र AB रेखा OE के सापेक्ष परिक्रमण करता है तो जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल

  • उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा परिक्रमण ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solid of Revolution),समाकलन गणित में परिक्रमण ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solid of Revolution in Integral Calculus) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

Surface Area of Solid of Revolution

परिक्रमण ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल
(Surface Area of Solid of Revolution)

Surface Area of Solid of Revolution

परिक्रमण ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solid of Revolution) ज्ञात करने की विभिन्न स्थितियाँ हैं।
जैसे x-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण,y-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण,वक्र के ध्रुवीय रूप में परिक्रमण ठोस का
पृष्ठीय क्षेत्रफल, प्राचलिक रूप में परिक्रमण ठोस का आयतन तथा किसी रेखा के सापेक्ष परिक्रमण से जनित ठोस का आयतन।

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