1.दो सदिशों का गुणनफल कक्षा 12 (Product of Two Vectors Class 12),कक्षा 12 में दो सदिशों का गुणनफल (Product of Two Vectors in Class 12):

Product of Two Vectors Class 12

दो सदिशों का गुणनफल कक्षा 12 (Product of Two Vectors Class 12) अर्थात् दो सदिशों का अदिश गुणनफल,एक सदिश का किसी रेखा पर प्रक्षेप आदि पर आधारित सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.दो सदिशों का गुणनफल कक्षा 12 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Product of Two Vectors Class 12):

Example:1.दो सदिशों \vec{a} तथा \vec{b} के परिणाम क्रमशः \sqrt{3} एवं 2 हैं और \vec{a} \cdot \vec{b}=\sqrt{6}  है तो \vec{a} तथा \vec{b} के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Solution: \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ |\vec{a}| =\sqrt{3},|\vec{b}|=2, \vec{a} \cdot \vec{b}=\sqrt{6} रखने पर:
\Rightarrow \sqrt{6}=(\sqrt{3})(2) \cos \theta \\ \Rightarrow \cos \theta=\frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{3}} \\ \Rightarrow \cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \cos \theta=\cos \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}
Example:2.सदिशों \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k} और 3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k} के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Solution:माना \vec{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}
तथा \vec{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k} \\ |\vec{a}|=|\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}| \\ =\sqrt{(1)^2+(-2)^2+(3)^2} \\ \sqrt{1+4+9} \\ \Rightarrow|\vec{a}|=\sqrt{14} \\ |\vec{b}|=|3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}| \\ =\sqrt{(3)^2+(-2)^2+(1)^2} \\ =\sqrt{9+4+1} \\ \Rightarrow |\vec{b}|=\sqrt{14} \\ \vec{a} \cdot \vec{b}=(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) \cdot(3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}) \\ =3+4+3 [\because \hat{i} \cdot \hat{i}=\hat{j} \cdot \hat{j}=\hat{k} \cdot \hat{k}=1 \text { तथा } \hat{i} \cdot \hat{j}=\hat{i} \cdot \hat{k}=\hat{j} \cdot \hat{k}=0] \\ \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}=10 \\ \vec{a} \cdot \vec{b}= |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ \Rightarrow 10=(\sqrt{14})(\sqrt{4}) \cos \theta \\ \Rightarrow \cos \theta=\frac{10}{14} \\ \Rightarrow \theta=\cos^{-1} \left(\frac{5}{7}\right)
Example:3.सदिश \hat{i}+\hat{j} पर सदिश \hat{i}-\hat{j} का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
Solution:माना \vec{a}=\hat{i}+\hat{j} तथा \vec{b}=\hat{i}-\hat{j}
\vec{a} का \vec{b} पर प्रक्षेप=\frac{\vec{a} \cdot\vec{b}}{|\vec{b}|} \\ = \frac{(i+\hat{j}) \cdot(\hat{i}-\hat{j})}{|\hat{i}-\hat{j}|} \\=\frac{1-1}{\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} \\ =0
Example:4.सदिश \hat{i}+3 \hat{j}+7 \hat{k} का,सदिश 7 \hat{i}-\hat{j}+8 \hat{k} पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
Solution:माना \vec{a}=\hat{i}+3 \hat{j}+7 \hat{k}  तथा \vec{b}=7 \hat{i}-\hat{j}+8 \hat{k}
\vec{a} का \vec{b} पर प्रक्षेप=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \\ = \frac{(\vec{i}+3 \hat{j}+7 \hat{k}) \cdot(7 \hat{i}-\hat{j}+8 \hat{k})}{|7 \hat{j}-\hat{j}+8 \hat{k}|} \\ =\frac{7-3+56}{\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(8)^2}} \\ =\frac{60}{\sqrt{49+1+64}} \\ =\frac{60}{\sqrt{14}}
Example:5.दर्शाइए कि दिए हुए निम्नलिखित तीन सदिशों में से प्रत्येक मात्रक सदिश है,
\frac{1}{7}(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}), \frac{1}{7}(3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k}), \frac{1}{7}(6 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})
यह भी दर्शाइए कि ये सदिश परस्पर एक-दूसरे के लम्बवत हैं।
Solution: माना \vec{a}=\frac{1}{7}(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k})
तथा \vec{b}=\frac{1}{7}(3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k})
और \vec{C}=\frac{1}{7}(6 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) \\ |\vec{a}|=\left|\frac{2}{7} \hat{i}+\frac{3}{7} \hat{j}+\frac{6}{7} \hat{k}\right| \\ =\sqrt{\left(\frac{2}{7}\right)^2+\left(\frac{3}{7}\right)^2+\left(\frac{6}{7}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{4}{49}+\frac{9}{49}+\frac{36}{49}} \\ =\sqrt{\frac{49}{49}} \\ \Rightarrow |\vec{a}|=1 \\ |\vec{b}| =\left|\frac{3}{7} \hat{i}-\frac{6}{7} \hat{j}+\frac{2}{7} \hat{k}\right| \\ =\sqrt{\left(\frac{3}{7}\right)^2+\left(-\frac{6}{7}\right)^2+\left(\frac{2}{7}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{49}{49}+\frac{36}{49}+\frac{4}{49}} \\ =\sqrt{\frac{49}{49}} \\ \Rightarrow|\vec{b}| =1 \\ |\vec{c}| =\left|\frac{6}{7} \hat{i}+\frac{2}{7} \hat{j}-\frac{3}{7} \hat{k}\right| \\ =\sqrt{\left(\frac{6}{7}\right)^2+\left(\frac{2}{7}\right)^2+\left(-\frac{3}{7}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{36}{49}+\frac{4}{49}+\frac{9}{49}} \\ =\sqrt{\frac{49}{49}} \\ \Rightarrow|\vec{c}|=1
\vec{a}, \vec{b} और \vec{c} का परिणाम 1 है अतः मात्रक सदिश है।
\vec{a} \cdot \vec{b}=\left(\frac{2}{7} \hat{i}+\frac{3}{7} \hat{j}+\frac{6}{7} \hat{k}\right) \cdot\left(\frac{3}{7} \hat{i}-\frac{6}{7} \hat{j}+\frac{2}{7} \hat{k}\right) \\ =\frac{6}{49}-\frac{18}{48}+\frac{12}{49} \\ \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}=0
अतः \vec{a} तथा \vec{b} सदिश आपस में लम्बवत सदिश हैं।
\vec{b} \cdot \vec{c} =\left(\frac{3}{7} \hat{i}-\frac{6}{7} \hat{j}+\frac{2}{7} \hat{k}\right) \cdot\left(\frac{6}{7} \hat{i}+\frac{2}{7} \hat{j}-\frac{3}{7} \hat{k}\right) \\ =\frac{18}{49}-\frac{12}{49}-\frac{6}{49} \\ \Rightarrow \vec{b} \cdot \vec{c}=0
अतः \vec{b} तथा \vec{c} आपस में लम्बवत सदिश हैं।
\vec{a} \cdot\vec{c}=\left(\frac{2}{7} \hat{i}+\frac{3}{7} \hat{j}+\frac{6}{7} \hat{k}\right) \cdot\left(\frac{6}{7} \hat{i}+\frac{2}{7} \hat{j}-\frac{3}{7} \hat{k}\right) \\ =\frac{12}{49}+\frac{6}{49}-\frac{18}{49} \\ \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{c}=0
अतः \vec{a} तथा \vec{c} सदिश आपस में लम्बवत सदिश हैं।
Example:6.यदि (\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=8 और |\vec{a}|=8|\vec{b}| हो तो |\vec{a}| एवं |\vec{b}| ज्ञात कीजिए।
Solution: (\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=8 \\ \Rightarrow|\vec{a}|^2+\vec{b} \cdot \vec{a}-\vec{a} \cdot \vec{b}-|\vec{b}|^2=8 \\ \Rightarrow (8)^2|\vec{b}|^2-|\vec{b}|^2=8[\because \vec{a} =8|\vec{b}|] \\ \Rightarrow 64 |\vec{b}|^2-|\vec{b}|^2=8 \\ \Rightarrow 63|\vec{b}|^2=8 \\ \Rightarrow |\vec{b}|^2= \frac{8}{63} \\ \Rightarrow |\vec{b}|=\sqrt{\frac{8}{63}} \\ \Rightarrow |\vec{b}|=\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{7}} \\ |\vec{a}|=8|\vec{b}| \\ =8 \times \frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{7}} \\ \Rightarrow |\vec{a}|=\frac{16 \sqrt{2}}{3 \sqrt{7}},|\vec{b}|=\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{7}}
Example:7. (3 \vec{a}-5 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}+7 \vec{b}) का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: (3 \vec{a}-5 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a}+7 \vec{b}) \\ =6 \vec{a} \cdot \vec{a}+21 \vec{a} \cdot \vec{b}-10 \vec{b} \cdot \vec{a}-35 \vec{b} \cdot \vec{b} \\ =6|\vec{a}|^2+11(\vec{a} \cdot \vec{b}) -35|\vec{b}|^2 \\ \left[ \because \vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{a} \right]
Example:8.दो सदिशों \vec{a} और \vec{b} के परिणाम ज्ञात कीजिए,यदि इनके परिमाण समान है और इनके बीच का कोण 60° है तथा इनका अदिश गुणनफल \frac{1}{2} है।
Solution: \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ \Rightarrow \frac{1}{2}= |\vec{a}||\vec{a}| \cos 60^{\circ} \left[ \because \vec{a} \cdot \vec{b}=\frac{1}{2} \text { तथा } |\vec{a}|=|\vec{b}| \right] \\ \Rightarrow \quad \frac{1}{2}=|\vec{a}|^2 \times \frac{1}{2} \\ \Rightarrow |\vec{a}|=1 \\ \Rightarrow अतः |\vec{a}|=|\vec{b}|=1
Example:9.यदि एक मात्रक सदिश,के लिए (\vec{x}-\vec{a}) \cdot(\vec{x}+\vec{a})=12 हो तो |\vec{x}| ज्ञात कीजिए।
Solution: |\vec{a}|=1 \\ (\vec{x}-\vec{a}) \cdot(\vec{x}+\vec{a})=12 \\ \Rightarrow \vec{x} \cdot \vec{x}+\vec{x} \cdot \vec{a}-\vec{a} \cdot \vec{x}-\vec{a} \cdot \vec{a}=12 \\ \Rightarrow |\vec{x}|^2-|\vec{a}|^2=12 \quad[\because \vec{x} \cdot \vec{a}=\vec{a} \cdot \vec{x}] \\ \Rightarrow |\vec{x}|^2-1=12 \quad[\because|\vec{a}|=1] \\ \Rightarrow |\vec{x}|^2=13 \\ \Rightarrow |\vec{x}|=\sqrt{13}

Product of Two Vectors Class 12

Example:10.यदि \vec{a}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k} , \vec{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k} और \vec{c}=3 \hat{i}+\hat{j} इस प्रकार है कि, \vec{a}+\lambda \vec{b} , \vec{c} पर लम्ब है,तो \lambda का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: \vec{a}+\lambda \vec{b}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}+\lambda (-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) \\ \Rightarrow \vec{a}+\lambda \vec{b}=(2-\lambda) \hat{i}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(3+\lambda) \hat{k} \\ \vec{a}+\lambda \vec{b} सदिश पर \vec{c} लम्ब है अतः
(\vec{a}+\lambda \vec{b}) \cdot \vec{c}=0 \\ \Rightarrow[(2-\lambda) \hat{i}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(3+\lambda) \hat{k}] \cdot(3 \hat{i}+\hat{j})=0 \\ \Rightarrow 3(2-\lambda)+(2+2 \lambda)=0 \\ \left[ \because \hat{i} \cdot \hat{i}=\hat{j} \cdot \hat{j}=\hat{k} \cdot \hat{k}=1 \text{ तथा } \hat{i} \cdot \hat{j}=\hat{i} \cdot \hat{k}=\hat{j} \cdot \hat{k}=0 \right] \\ \Rightarrow 6-3 \lambda+2+2 \lambda=0 \\ \Rightarrow-\lambda+8=0 \\ \Rightarrow \lambda=8
Example:11.दर्शाइए कि दो शून्येतर सदिशों \vec{a} और \vec{b} के लिए |\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a} , |\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a} पर लम्ब है।
Solution: (|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}) \cdot(|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}) \\ =|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-|\vec{a}||\vec{b}| \vec{b} \cdot \vec{a}+|\vec{a}| \mid \vec{b} \mid \vec{a} \cdot \vec{b} -|\vec{b}|^2|\vec{a}|^2 \\ = 0{[\because \vec{b} \cdot \vec{a}=\vec{a} \cdot \vec{b}] }
अतः |\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a} तथा |\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a} परस्पर लम्बवत सदिश हैं।
Example:12.यदि \vec{a} \cdot \vec{a}=0 और \vec{a} \cdot \vec{b}=0 , तो सदिश \vec{b} के बारे में क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?
Solution: \vec{a} \cdot \vec{a}=0 \Rightarrow|\vec{a}|^2=0
अतः \vec{a} शून्य सदिश है तथा
\vec{a} \cdot \vec{b}=0 \\ \Rightarrow |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta=0
अतः सदिश \vec{b} कोई भी सदिश हो सकता है।
Example:13.यदि \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} मात्रक सदिश इस प्रकार है कि \vec{a}+ \vec{b}+ \vec{c}=\vec{0} तो \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+ \vec{c} \cdot \vec{a} का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=\vec{0} \cdot \vec{0} \\ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+2 \vec{b} \cdot \vec{c}+2 \vec{c} \cdot \vec{a}=0 \\ \Rightarrow 1+1+1+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})=0 \quad [\because |\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1 \text { मात्रक सदिश हैं } ] \\ \Rightarrow 3+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})=0 \\ \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}=-\frac{3}{2}
Example:14.यदि \vec{a}=\vec{0} अथवा \vec{b}=\vec{0} , तब \vec{a} \cdot \vec{b}=0 परन्तु विलोम का सत्य होना आवश्यक नहीं है।एक उदाहरण द्वारा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
Solution:माना \vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j} \Rightarrow |\vec{a}|=\sqrt{5}
तथा \vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k} \Rightarrow |\vec{b}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}
दोनों के बीच कोण \theta=90^{\circ} हो तो
\vec{a} \cdot \vec{b} =\mid \vec{a} \mid |\vec{b}| \cos \theta \\ =(\sqrt{5})(\sqrt{14}) \cos 90^{\circ} \\ \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} =0
अतः स्पष्ट है कि \vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{0}
परन्तु |\vec{a}| \neq 0 तथा |\vec{b}| \neq 0
Example:15.यदि किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A,B,C क्रमशः (1,2,3),(-1,0,0),(0,1,2) हैं तो \angle ABC ज्ञात कीजिए। \angle ABC ,सदिशों \overrightarrow{B A} एवं \overrightarrow{B C} के बीच का कोण है।
Solution: \overrightarrow{B A}=\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B} \\ =(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})-(-\hat{i}+0 \cdot \hat{j}+0 \cdot \hat{k}) \\ \Rightarrow \overrightarrow{B A}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k} \\ \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B} \\ =0 \cdot \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}-(-\hat{i}+0 \cdot \hat{j}+0 \cdot \hat{k}) \\ \Rightarrow \overrightarrow{B C}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k} \\ |\overrightarrow{B A}|=\sqrt{(2)^2+(2)^2+(3)^2} \\ \Rightarrow|\overrightarrow{B A}| =\sqrt{4+4+9}=\sqrt{17} \\ |\overrightarrow{B C}|=|\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}| \\ =\sqrt{(1)^2+(1)^2+(2)^2} \\ \Rightarrow=\sqrt{1+1+4} \\ \Rightarrow|\overrightarrow{B C}|=\sqrt{6} \\ \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=|\overrightarrow{B A}||\overrightarrow{B C}| \cos \theta \\ \Rightarrow(2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) \cdot(\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})=(\sqrt{17})(\sqrt{6}) \cos \theta \\ \Rightarrow 2+2+6=\sqrt{102} \cos \theta \\ \Rightarrow \cos \theta=\frac{10}{\sqrt{102}} \\ = \theta=\cos^{-1} \left(\frac{10}{\sqrt{102}}\right) \\ \angle A B C=\cos ^{-1}\left(\frac{10}{\sqrt{102}}\right)[\because \theta= \angle A B C]
Example:16.दर्शाइए कि बिन्दु A(1,2,7),B(2,6,3) और C(3,10,-1) संरेख है।
Solution: \overrightarrow{A B} =\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A} \\ =(2 \hat{i}+6 \hat{j}+3 \hat{k})-(\hat{i}+2 \hat{j}+7 \hat{k}) \\ \Rightarrow \overrightarrow{A B} =\hat{i}+4 \hat{j}-4 \hat{k} \\ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} \\ =3 \hat{i}+10 \hat{j}-\hat{k}-(2 \hat{i}+6 \hat{j}+3 \hat{k}) \\ \Rightarrow \overrightarrow{B C}=\hat{i}+4 \hat{j}-4 \hat{k}
अतः \overrightarrow{A B} व \overrightarrow{BC} एक ही सदिश को प्रकट करते हैं।A,B,C एक ही सदिश पर स्थित हैं।फलतः A,B तथा C संरेख हैं।
Example:17.दर्शाइए कि सदिश 2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k} और 3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k} एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों की रचना करते हैं।
Solution:A का स्थिति सदिश \overrightarrow{OA}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}
B का स्थिति सदिश \overrightarrow{O B}=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}
C का स्थिति सदिश \overrightarrow{O C}=3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k} \\ \overrightarrow{A B} =\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A} \\ =\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}-(2 \hat{i}- \hat{j}+\hat{k}) \\ \Rightarrow \overrightarrow{A B} =-\hat{i}-2 \hat{j}-6 \hat{k} \\ |\overrightarrow{A B}| =\mid-\hat{i}-2 \hat{j}-6 \hat{k} \mid \\ =\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+(-6)^2} \\ =\sqrt{1+4+36} \\\Rightarrow |\overrightarrow{A B}| =\sqrt{41} \\ \overrightarrow{B C} =\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{OB} \\ =3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}-(\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}) \\ \Rightarrow \overrightarrow{B C}=2 \hat{i}-\hat{i}+\hat{k} \\ |\overrightarrow{B C}|=\mid 2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k} \mid \\ =\sqrt{(2)^2+(-1)^2+(1)^2} \\ \Rightarrow |\overrightarrow{B C}|=\sqrt{4+1+1} \\ \Rightarrow|\overrightarrow{B C}|=\sqrt{6} \\ \overrightarrow{C A}=\overrightarrow{O A}- \overrightarrow{OC} \\=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}-(3\hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}) \\ \Rightarrow \overrightarrow{C A} =-\hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k} \\ |\overrightarrow{C A}| =|-i+3 \hat{j}+5 \hat{k}| \\ =\sqrt{(-1)^2+(3)^2+(5)^2} \\ =\sqrt{1+9+25} \\ \Rightarrow |\overrightarrow{C A}| =\sqrt{35} \\ (\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{C A})=(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \cdot(-i+3 \hat{j}+5 \hat{k}) \\ =-2-3+5=0 \\ \left[\because \hat{i} \cdot \hat{i}=\hat{j} \cdot \hat{j}=\hat{k} \cdot \hat{k}=1 \text{ तथा } \hat{i} \cdot \hat{j}=\hat{j} \cdot \hat{k}=\hat{k} \cdot \hat{i}=0\right] \\ \Rightarrow \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{C A}=0,|\overrightarrow{B C}|^2+|\overrightarrow{C A}|^2=|\overrightarrow{A B}|^2
अतः \overrightarrow{B C} व \overrightarrow{C A} सदिश लम्बवत हैं।
फलतः \triangle ABC एक समकोण त्रिभुज है।
इसे द्वारा भी सिद्ध किया जा सकता है।
Example:18.यदि शून्येतर सदिश का परिणाम ‘a’ है और \lambda एक शून्येतर अदिश है तो \lambda \vec{a} एक मात्रक सदिश है यदि
(A) \lambda=1 (B) \lambda=-1 (C) a=| \lambda | (D) a=\frac{1}{|\lambda|}
Solution: \lambda \vec{a} मात्रक सदिश है अतः
|\lambda \vec{a}| =1 \\ \Rightarrow|\lambda||\vec{a}|=1 \\ \Rightarrow |\lambda| a=1 \quad[ \because |\vec{a}|=a] \\ \Rightarrow a=\frac{1}{|\lambda|}
अतः विकल्प (D) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा दो सदिशों का गुणनफल कक्षा 12 (Product of Two Vectors Class 12),कक्षा 12 में दो सदिशों का गुणनफल (Product of Two Vectors in Class 12) को समझ सकते हैं।

3.दो सदिशों का गुणनफल कक्षा 12 आधारित समस्याएँ (Problems Based on Product of Two Vectors Class 12):

Product of Two Vectors Class 12

(1.)सिद्ध कीजिए कि तीन बिन्दु A(-2,3,5),B(1,2,3) तथा C(7,0,-1) संरेख है।
(2.)एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A,B तथा C क्रमशः 7 \hat{j}+10 \hat{k},-\hat{i}+6 \hat{j}+6 \hat{k}  तथा -4 \hat{j}+9 \hat{j}+6 \hat{k} हैं।सिद्ध कीजिए कि यह समद्विबाहु एवं समकोण त्रिभुज है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर दो सदिशों का गुणनफल कक्षा 12 (Product of Two Vectors Class 12),कक्षा 12 में दो सदिशों का गुणनफल (Product of Two Vectors in Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.दो सदिशों का गुणनफल कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Product of Two Vectors Class 12),कक्षा 12 में दो सदिशों का गुणनफल (Product of Two Vectors in Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

दो सदिशों का गुणनफल कक्षा 12 (Product of Two Vectors Class 12) अर्थात् दो सदिशों
का अदिश गुणनफल,एक सदिश का किसी रेखा पर प्रक्षेप आदि पर आधारित सवालों को
हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।