1.त्रिकोणमितीय अपवर्तक कोण (Trigonometrical Sub-Multiple Angles),अपवर्तक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios of Sub-Multiple Angles):

Trigonometrical Sub-Multiple Angles

त्रिकोणमितीय अपवर्तक कोण (Trigonometrical Sub-Multiple Angles) के इस आर्टिकल में त्रिकोणमितीय ऐसे सवालों को हल करेंगे जिनको अपवर्तक कोणों के सूत्रों द्वारा हल किया जा सके।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Trigonometry Ratio of Compound Angles

2.त्रिकोणमितीय अपवर्तक कोण के उदाहरण (Trigonometrical Sub-Multiple Angles Illustrations):

सिद्ध कीजिए [प्रश्न 1 से 8 व 10 से 13]
Illustration:1. \sin ^2\left(\frac{\pi}{8}+\frac{A}{2}\right)-\sin ^2\left(\frac{\pi}{8}-\frac{A}{2}\right) =\frac{1}{\sqrt{2}} \sin A
Solution: \sin ^2\left(\frac{\pi}{8}+\frac{A}{2}\right)-\sin ^2\left(\frac{\pi}{8}-\frac{A}{2}\right) =\frac{1}{\sqrt{2}} \sin A \\ \text { L.H.S. } \sin ^2\left(\frac{\pi}{8}+\frac{A}{2}\right)-\sin ^2\left(\frac{\pi}{8}-\frac{A}{2}\right) \\ =\sin \left(\frac{\pi}{8}+\frac{A}{2}+\frac{\pi}{8}-\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{\pi}{8}+\frac{A}{2}-\frac{\pi}{8}+\frac{A}{2}\right)
[सूत्र \sin (A+B) \sin (A-B)=\sin ^2 A-\sin ^2 B से]
=\sin \frac{\pi}{4} \sin (A) \\ =\frac{1}{\sqrt{2}} \sin A=R.H.S.
Illustration:2. 2\cot A=\cot \frac{A}{2}-\tan \frac{A}{2}
Solution: 2\cot A=\cot \frac{A}{2}-\tan \frac{A}{2} \\ \text {R.H.S. } \cot \frac{A}{2}-\tan \frac{A}{2} \\ =\frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}-\frac{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}{\cos \left(\frac{A}{2}\right)} \\ =\frac{\cos ^2 \frac{A}{2}-\sin ^2 \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} \\ =\frac{\cos A}{\sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} \left[\because \cos^2 A-\sin ^2 A=\cos 2 A \text{ सूत्र से }\right] \\ =\frac{2 \cos A}{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} =2\frac{\cos A}{\sin A}\left[\because2 \sin A \cos A=\sin 2 A \text{ सूत्र से } \right] \\ =2\cot A=L.H.S.
Illustration:3. \frac{1+\sin A-\cos A}{1+\sin A+\cos A}=\tan \frac{A}{2}
Solution: \frac{1+\sin A-\cos A}{1+\sin A+\cos A}=\tan \frac{A}{2} \\ \text { L.H.S. } \frac{1+\sin A-\cos A}{1+\sin A+\cos A} \\ =\frac{1+2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}-\left(1-2 \sin ^2 \frac{A}{2}\right)}{1+2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}+2 \cos ^2 \frac{A}{2}-1}
[\because \cos 2 A=2 \cos ^2 A-1=1-2 \sin 2 A तथा \sin 2 A=2 \sin A \cos A सूत्र से]
=\frac{1+2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}-1+2 \sin^2 \frac{A}{2}}{2 \cos \frac{A}{2}(\sin \frac{A}{2}+\cos \frac{A}{2})} \\ =\frac{2 \sin \frac{A}{2}(\sin \frac{A}{2}+\cos \frac{A}{2})}{2 \cos \frac{A}{2}(\sin \frac{A}{2}+\cos \frac{A}{2})} \\ =\tan \frac{A}{2}=R.H.S. 
Illustration:4. \cot \left(A+15^{\circ}\right)-\tan \left(A-15^{\circ}\right) =\frac{4 \cos 2 A}{1+2 \sin 2 A}
Solution: \cot \left(A+15^{\circ}\right)-\tan \left(A-15^{\circ}\right) =\frac{4 \cos 2 A}{1+2 \sin 2 A} \\ \text{L.H.S. } \cot \left(A+15^{\circ}\right)-\tan \left(A-15^{\circ} \right) \\ =\frac{\cos \left(A+15^{\circ} \right)}{\sin \left(A+15^{\circ}\right)}-\frac{\sin \left(A-15^{\circ}\right)}{\cos \left(A-15^{\circ}\right)} \\ =\frac{\cos \left(A+15^{\circ}\right) \cos \left(A-15^{\circ}\right)-\sin \left(A+15^{\circ}\right) \sin \left(A-15^{\circ}\right)}{\sin \left(A+15^{\circ}\right) \cos \left(A-15^{\circ}\right)} \\ =\frac{2 \cos \left(A+ 15^{\circ}+A-15^{\circ}\right)}{2 \sin \left(A+15^{\circ}\right) \cos \left(A-15^{\circ}\right)} \\ =\frac{2 \cos 2 A}{\sin \left(A+15^{\circ}+A-15^{\circ}\right)+\sin \left(A+15^{\circ}-A+15^{\circ}\right)}
[ \because 2 \sin A \cos B=\sin (A+B)+\sin (A-B) सूत्र से ]
=\frac{2 \cos 2 A}{\sin 2 A+\sin 30^{\circ}} \\ =\frac{2 \cos 2 A}{\sin 2 A+\frac{1}{2}} \\ =\frac{4 \cos 2 A}{1+2 \sin 2 A}=R.H.S.
Illustration:5. \operatorname{cosec} A+2 \operatorname{cosec} 2 A=\sec A \cot \frac{A}{2}
Solution: \operatorname{cosec} A+2 \operatorname{cosec} 2 A=\sec A \cot \frac{A}{2} \\ \text { L.H.S. } \operatorname{cosec} A+2 \operatorname{cosec} 2 A \\ = \frac{1}{\sin A}+\frac{2}{\sin 2 A} \\ =\frac{\sin 2 A+2 \sin A}{\sin A \sin 2 A} \\ =\frac{2 \sin A \cos A+2 \sin A}{2 \sin A \cos A \sin A}
[\sin 2 A=2 \sin A \cos A सूत्र से ]
=\frac{2 \sin A(1+\cos A)}{2 \sin^2 A \cos A} \\ =\frac{1+\cos A}{\sin A \cos A} \\ =\sec A \left( \frac{1+ \cos A}{\sin A}\right)\left[\because \frac{1}{\cos A}=\sec A\right] \\ =\sec A\left(\frac{1+2 \cos ^2 \frac{A}{2}-1}{ 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} }\right) 
[\because \cos A=2 \cos ^2 A-1  तथा  \sin 2A=2 \sin A \cos A सूत्र से ]
=\sec A\left(\frac{2 \cos ^2 \frac{A}{2}}{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}\right) \\ =\sec A \cot \frac{A}{2}=R.H.S.
Illustration:6. \frac{\sin \frac{A}{2}-\sqrt{1+\sin A}}{\cos \frac{A}{2}-\sqrt{1+\sin A}}=\cot \frac{A}{2}
Solution: \frac{\sin \frac{A}{2}-\sqrt{1+\sin A}}{\cos \frac{A}{2}-\sqrt{1+\sin A}}=\cot \frac{A}{2} \\ \text {L.H.S. } \frac{\sin \frac{A}{2}-\sqrt{1+\sin A}}{\cos \frac{A}{2}-\sqrt{1+\sin A}} \\ =\frac{\sin \frac{A}{2}-\sqrt{\sin ^2 \frac{A}{2}+\cos ^2 \frac{A}{2}+2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}}{\cos \frac{A}{2}-\sqrt{\sin ^2 \frac{A}{2}+\cos ^2 \frac{A}{2}+2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}}
[\because 1=\sin ^2 \frac{A}{2}+\cos ^2 \frac{A}{2} तथा  \sin A=2 \sin \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{A}{2} सूत्र से ]
= \frac{\sin \frac{A}{2}-\sqrt{\left(\sin \frac{A}{2}+\cos \frac{A}{2}\right)^2}}{\cos \frac{A}{2}-\sqrt{\left(\sin \frac{A}{2}+\cos \frac{A}{2}\right)^2}} \\= \frac{\sin \frac{A}{2}-\left(\sin \frac{A}{2}+\cos \frac{A}{2}\right)}{\cos \frac{A}{2}-\left(\sin \frac{A}{2}+\cos \frac{A}{2}\right)} \\ =\frac{\sin \frac{A}{2}-\sin \frac{A}{2}-\cos \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}-\sin \frac{A}{2}-\cos \frac{A}{2}} \\ =\frac{-\cos \frac{A}{2}}{-\sin \frac{A}{2}} \\ =\cot \frac{A}{2}=R.H.S 
Illustration:7. \cos ^4 \frac{\pi}{8}+\cos ^4 \frac{3 \pi}{8}+\cos ^4 \frac{5 \pi}{8} + \cos ^4 \frac{7 \pi}{8}=\frac{3}{2}
Solution: \cos ^4 \frac{\pi}{8}+\cos ^4 \frac{3 \pi}{8}+\cos ^4 \frac{5 \pi}{8} + \cos ^4 \frac{7 \pi}{8}=\frac{3}{2} \\ \text { L.H.S. } \cos ^4 \frac{\pi}{8}+\cos ^4 \frac{3 \pi}{8}+\cos ^4 \frac{5 \pi}{8}+\cos ^4 \frac{7 \pi}{8} \\ =\left(\frac{1+\cos \frac{\pi}{4}}{2}\right)^2+\left(\frac{1+\cos \frac{3 \pi}{4}}{2}\right)^2 +\left(\frac{1+\cos \frac{5 \pi}{4}}{2}\right)^2+\left(\frac{1+\cos \frac{7 \pi}{4}}{2}\right)^2 \\ \left[\because \cos ^2 A=\frac{1+\cos 2 A}{2}\right] \\ =\left(\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}\right)^2+\left(\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}\right)^2+\left(\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}\right)^2 \\ =\frac{1+\frac{1}{2}+\sqrt{2}+1+\frac{1}{2}-\sqrt{2}+1+\frac{1}{2}-\sqrt{2}+1 +\frac{1}{2}+\sqrt{2}}{4} \Rightarrow\\ =\frac{6}{4}=\frac{3}{2}= R.H.S. 

Trigonometrical Sub-Multiple Angles

Illustration:8. \left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{5 \pi}{8}\right) \left(1+\cos \frac{7 \pi}{8}\right)=\frac{1}{8}
Solution: \left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{5 \pi}{8}\right) \left(1+\cos \frac{7 \pi}{8}\right)=\frac{1}{8}\\ \text { L.H.S. }\left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right) \left(1+\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{5 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{7 \pi }{8}\right) \\ =8\left(\frac{1+\cos \frac{\pi}{8}}{2}\right)\left(\frac{1+\cos \frac{3 \pi}{8}}{2}\right)\left(\frac{1+\cos \frac{5 \pi}{8}}{2}\right)\left(\frac{1+\cos \frac{\pi}{8}}{2}\right) \\=8 \cos ^2 \frac{\pi}{16} \cos ^2 \frac{3 \pi}{16} \cos ^2 \frac{5 \pi}{16} \cos ^2 \frac{7 \pi}{16} \\ =\left(2 \cos \frac{\pi}{16} \cos \frac{3 \pi}{16}\right)^2 \left(2 \cos \frac{5 \pi}{16} \cos \frac{7 \pi}{16}\right)^2\\=\left[\cos \left(\frac{\pi}{16}+\frac{3 \pi}{16}\right)+\cos \left(\frac{\pi}{16}-\frac{3 \pi}{16}\right)\right]^2\left[\cos \left(\frac{5 \pi}{16}+\frac{7 \pi}{16}\right)+\cos \left(\frac{5 \pi}{16}-\frac{7 \pi}{16}\right)\right]^2 \\ =\left(\cos \frac{\pi}{4}+\cos \frac{\pi}{8}\right)^2\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+\cos \frac{\pi}{8}\right)^2 \\=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\cos \frac{\pi}{8}\right)^2\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\cos \frac{\pi}{8}\right)^2 \\ = \left(-\frac{1}{2}+\cos ^2 \frac{\pi}{8}\right)^2 \\=\left(-\frac{1}{2}+\frac{1+\cos \frac{\pi}{4}}{2}\right)^2 \\=\left(\frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{4}\right)^2 \\=\left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{1}{8}=R.H.S. 
Illustration:9.यदि \cos A=\frac{3}{5} तथा \cos B=\frac{4}{5} हो,तो \cos \frac{1}{2}(A-B) का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: \cos A=\frac{3}{5} \\ 2 \cos ^2 \frac{A}{2}-1=\frac{3}{5} \\ 2 \cos ^2 \frac{A}{2}=1+\frac{3}{5} \\\Rightarrow \cos ^2 \frac{A}{2}=\frac{4}{5} \Rightarrow \cos \frac{A}{2}=\frac{2}{\sqrt{5}} \\ \sin ^2 \frac{A}{2}=1-\cos ^2 \frac{A}{2}=1-\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2=1-\frac{4}{5} \\ \Rightarrow \sin ^2 \frac{A}{2}=\frac{1}{5} \Rightarrow \sin \left(\frac{A}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{5}} \\ \cos B=\frac{4}{5} \\ 2 \cos ^2 \frac{B}{2}-1=\frac{4}{5} \\ \Rightarrow 2 \cos ^2 \frac{B}{2} =1+\frac{4}{5} \\ \Rightarrow 2 \cos ^2 \frac{B}{2} =\frac{9}{5} \\ \Rightarrow \cos ^2 \frac{B}{2} =\frac{9}{10} \\ \Rightarrow \cos \frac{B}{2} =\frac{3}{\sqrt{10}} \\ \sin ^2 \frac{B}{2} =1-\cos ^2 \frac{B}{2}\\ =1-\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 \\ =1-\frac{9}{10}=\frac{1}{10} \\ \Rightarrow \sin \frac{B}{2} =\sqrt{\frac{1}{10}} \\ \cos \left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)=\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2}+\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \\ =\frac{2}{\sqrt{5}} \times \frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{1}{\sqrt{5}} \times \sqrt{\frac{7}{10}} \\ =\frac{6}{5 \sqrt{2}}+\frac{1}{5 \sqrt{2}} \\ =\frac{7}{5 \sqrt{2}} \\ \Rightarrow \cos \left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)=\frac{7}{5 \sqrt{2}}
Illustration:10. \frac{2 \sin A-\sin 2 A}{2 \sin A+\sin 2 A}=\tan ^2 \frac{A}{2}
Solution: \frac{2 \sin A-\sin 2 A}{2 \sin A+\sin 2 A}=\tan ^2 \frac{A}{2}\\ \text { L.H.S. } \frac{2 \sin A-\sin 2 A}{2 \sin A+\sin 2 A} \\ = \frac{2 \sin A-2 \sin A \cos A}{2 \sin A+2 \sin A \cos A}
[\sin 2 A=2 \sin A \cos A सूत्र से]
=\frac{2 \sin A(1-\cos A)}{2 \sin A(1+\cos A)} \\ =\frac{1-\cos A}{1+\cos A}=\frac{1-\left(1-2 \sin ^2 \frac{A}{2}\right)}{1+2 \cos ^2 \frac{A}{2}-1}
[\cos A=2 \cos ^2 \frac{A}{2}-1=1-2 \sin ^2 \frac{A}{2} सूत्र से ]
=\frac{2 \sin ^2 \frac{A}{2}}{2 \cos ^2 \frac{A}{2}}=\tan ^2 \frac{A}{2}=R.H.S. 
Illustration:11. \cos 4 A=1-8 \cos ^2 A+8 \cos ^2 A
Solution: \cos 4 A=1-8 \cos ^2 A+8 \cos ^4 A \\ \text { L.H.S } \cos 4 A =2 \cos ^2 2 A-1 \\ =2\left(\frac{2 \cos ^2 A-1}{2}\right)^2-1 \\ =2\left(4 \cos ^4 A+1-4 \cos ^2 A\right)-1 \\ =2-8 \cos ^2 A+8 \cos ^4 A-1 \\ =1-8 \cos ^2 A+8 \cos ^4 A=R.H.S.
Illustration:12. (\cos A+\cos B)^2+(\sin A+\sin B)^2=4 \cos ^2\left(\frac{A-B}{2}\right)
Solution: (\cos A+\cos B)^2+(\sin A+\sin B)^2=4 \cos ^2\left(\frac{A-B}{2}\right) \\ \text{L.H.S.} (\cos A+\cos B)^2+(\sin A+\sin B)^2 \\ =\cos ^2 A+\cos ^2 B+2 \cos A \cos B+\sin ^2 A+\sin ^2 B+2 \sin A \sin B \\ =\left(\cos ^2 A+\sin ^2 A\right)+\left(\sin ^2 B+\cos ^2 B\right)+2(\cos A \cos B+\sin A \sin B) \\ =1+1+2 \cos (A-B) \\ =2[1+\cos (A-B)] \\ =2\left[1+2 \cos ^2\left(\frac{A-B}{2}\right)-1\right] \\ =4 \cos ^2\left(\frac{A-B}{2}\right)=R.H.S. 
Illustration:13. \tan 3 A \tan 2 A \tan A=\tan 3 A-\tan 2 A-\tan A
Solution: \tan 3 A \tan 2 A \tan A=\tan 3 A-\tan 2 A-\tan A \\ 3 A=2 A+A \\ \Rightarrow \tan 3 A=\tan (2 A+A) \\ \Rightarrow \tan 3 A=\frac{\tan A+\tan 2 A}{1-\tan A \tan 2 A} \\ \Rightarrow \tan 3 A(1-\tan A \tan 2 A)=\tan A+\tan 2 A \\ \Rightarrow \tan 3 A-\tan A \tan 2 A \tan 3 A=\tan A+\tan 2 A \\ \Rightarrow \tan 3 A \tan 2 A \tan A=\tan 3 A-\tan 2 A-\tan A
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिकोणमितीय अपवर्तक कोण (Trigonometrical Sub-Multiple Angles),अपवर्तक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios of Sub-Multiple Angles) को समझ सकते हैं।

3.त्रिकोणमितीय अपवर्तक कोण पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Trigonometrical Sub-Multiple Angles):

Trigonometrical Sub-Multiple Angles

(1.)सिद्ध कीजिए कि
\frac{2 \cos 2 A+1}{2 \cos 2 A-1}=\tan \left(60^{\circ}+A\right) \tan \left(60^{\circ}-A\right)
(2.) \cos 5 A का मान cos A के पदों में व्यक्त कीजिए।
उत्तर (Answers): (2.) \cos 5 A=16 \cos ^5 A-2 0\cos ^3 A+5 \cos A
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिकोणमितीय अपवर्तक कोण (Trigonometrical Sub-Multiple Angles),अपवर्तक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios of Sub-Multiple Angles) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Trigonometric Ratio of Multiple Angles

4.त्रिकोणमितीय अपवर्तक कोण (Frequently Asked Questions Related to Trigonometrical Sub-Multiple Angles),अपवर्तक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios of Sub-Multiple Angles) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

त्रिकोणमितीय अपवर्तक कोण (Trigonometrical Sub-Multiple Angles) के इस आर्टिकल में
त्रिकोणमितीय ऐसे सवालों को हल करेंगे जिनको अपवर्तक कोणों के सूत्रों द्वारा हल किया जा सके।