1.समतल का समीकरण कक्षा 12 (Equation of Plane Class 12),कक्षा 12 में समतल का समीकरण (Equation of Plane in Class 12):

Equation of Plane Class 12

समतल का समीकरण कक्षा 12 (Equation of Plane Class 12) के इस आर्टिकल में अभिलम्ब रूप में समतल का समीकरण,एक दिए हुए सदिश के अनुलम्ब तथा दिए गए बिन्दु से होकर जाने वाले समतल का समीकरण,तीन असंरेखीय बिन्दु से होकर जाने वाले समतल का समीकरण आदि पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.समतल का समीकरण कक्षा 12 पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Equation of Plane Class 12):

Illustration:1.निम्नलिखित प्रश्नों में से प्रत्येक में समतल के अभिलम्ब की दिक्-कोसाइन और मूल बिन्दु से दूरी ज्ञात कीजिए
Illustration:1(a).z=2
Solution:z=2
lx+my+nz=d से तुलना करने परः
l=\cos 90^{\circ}=0, m=\cos 90^{\circ}=0, n=\cos 0^{\circ}=1
तथा मूलबिन्दु से दूरी d=2
Illustration:(b).x+y+z=1
Solution:x+y+z=1
समतल के अभिलम्ब के दिक् अनुपात=1,1,1
समतल के अभिलम्ब के दिक्-कोसाइन
=\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} , \frac{1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} , \frac{1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} \\ =\frac{1}{\sqrt{3}} , \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}
समतल के समीकरण  में \sqrt{3} का भाग देने पर:
\frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{y}{\sqrt{3}}+\frac{z}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}
अतः मूलबिन्दु से समतल की दूरी=\frac{1}{\sqrt{3}}
Illustration:1(c).2x+3y-z=5
Solution:2x+3y-z=5
समतल के अभिलम्ब के दिक् अनुपात=2,3,-1
समतल के अभिलम्ब के दिक् कोसाइन
=\frac{2}{\sqrt{(2)^2+(3)^2+(-1)^2}}, \frac{3}{\sqrt{(2)^2+(3)^2+(-1)^2}}, \frac{-1}{\sqrt{(2)^2+(3)^2+(-1)^2}} \\ =\frac{2}{\sqrt{4+9+1}} , \frac{3}{\sqrt{4+9+1}} , \frac{-1}{\sqrt{4+9+1}} \\ =\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}, \frac{-1}{\sqrt{14}}
समतल के समीकरण में \sqrt{14} का भाग देने पर:
\frac{2 x}{\sqrt{14}}+\frac{3}{\sqrt{14}} y-\frac{z}{\sqrt{14}}=\frac{5}{\sqrt{14}}
अतः मूल बिन्दु से समतल की दूरी=\frac{5}{\sqrt{14}}
Illustration:1(d).5y+8=0
Solution:5y+8=0
0 \cdot x+y+0 \cdot z=-\frac{8}{5}
समतल के अभिलम्ब के दिक्-कोसाइन
l=\cos 90^{\circ}=0, m=\cos 0^{\circ}=1, n=\cos 90^{\circ}=0
अतः 0,1,0 दिक्कोसाइन हैं।
मूल बिन्दु से समतल की दूरी=-\frac{8}{5} \\ =\left|-\frac{8}{5}\right|=\frac{8}{5}
Illustration:2.उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए,जो मूल बिन्दु से 7 मात्रक दूरी पर है,और सदिश 3 \hat{i}+5 \hat{j}-6 \hat{k} पर अभिलम्ब है।
Solution: \vec{n}=3 \hat{i}+5 \hat{j}-6 \hat{k}\\ \Rightarrow \hat{n} =\frac{3 \hat{i}+5 \hat{j}-6 \hat{k}}{\sqrt{(3)^2+(5)^2+(-6)^2}} \\ =\frac{3 \hat{i}+5 \hat{j}-6 \hat{k}}{\sqrt{9+25+36}} \\ \Rightarrow \hat{n} =\frac{3 \hat{i}+5 \hat{j}-6 \hat{k}}{\sqrt{70}}
समतल का सदिश समीकरण \vec{r} \cdot \hat{n}=d \\ \Rightarrow \vec{r} \cdot\left(\frac{3 \hat{i}+5 \hat{j}-6 \hat{k}}{\sqrt{70}}\right)=7
Illustration:3.निम्नलिखित समतलों का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए:
Illustration:3(a). \vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=2
Solution: \vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=2\\ \vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} रखने परः
(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}) \cdot(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=2 \\ \Rightarrow x+y-z=2
Illustration:3(b). \vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k})=1
Solution: \vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k})=1 \\ \vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} रखने परः
(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}) \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k})=1 \\ \Rightarrow 2 x+3 y-4 k=1
Illustration:3(c). \vec{r} \cdot[(s-2 t) \hat{i}+(3-t) \hat{j} +(2 s+t) \hat{k}]=15
Solution: \vec{r} \cdot[(s-2 t) \hat{i}+(3-t) \hat{j}+(2 s+t) \hat{i}]=15\\ \vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} रखने परः
(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}) \cdot[(s-2 t) \hat{i}+(3-t) \hat{j}+(2 s+t) \hat{k}]=15 \\ \Rightarrow x(s-2 t)+y(3-t)+z(2 s+t)=15 \\ \Rightarrow(s-2 t) x+(3-t) y+(2 s+t) z=15
Illustration:4.निम्नलिखित स्थितियों में,मूल बिन्दु से खींचे गए लम्बपाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Illustration:4(a).2x+3y+4z-12=0
Solution:2x+3y+4z-12=0
समतल की समीकरण को अभिलम्ब रूप में लिखने परः
\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29} \\ \frac{2 x}{\sqrt{29}}+\frac{3 y}{\sqrt{29}}+\frac{4 z}{\sqrt{29}}=\frac{12}{\sqrt{29}}
माना लम्ब के पाद P के निर्देशांक \left(x_1, y_1, z_1\right) हैं:
OP रेखा के दिक् अनुपात x_1-0, y_1-0, z_1-0 \\ =x_1, y_1, z_1
एक रेखा के दिक् कोसाइन और दिक् अनुपात समानुपाती होते हैं।अतः
\frac{x_1}{\frac{2}{\sqrt{29}}}=\frac{y_1}{\frac{3}{\sqrt{29}}}=\frac{z_1}{\frac{4}{\sqrt{29}}}=k
अर्थात् x_1=\frac{2}{\sqrt{29}} k, y_1=\frac{3}{\sqrt{29}} k , z_1=\frac{4}{\sqrt{29}} k
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर:
\frac{2}{\sqrt{29}} \times \frac{2k}{\sqrt{29}} +\frac{3}{\sqrt{29}} \times \frac{3 k}{\sqrt{25}}+\frac{4 }{\sqrt{29}} \times\frac{4 k}{\sqrt{29}}=\frac{12}{\sqrt{29}} \\ 4 k+9 k+16 k=\frac{12}{\sqrt{29}} \times 29 \\ 29 k=\frac{12}{\sqrt{29}} \times 29 \\ k=\frac{12}{\sqrt{29}}
अतः लम्ब के पाद के निर्देशांक x_1=\frac{2}{\sqrt{29}} \times \frac{12}{\sqrt{29}}=\frac{24}{29}, y_1=\frac{3 k}{\sqrt{29}}=\frac{3}{\sqrt{29}} \times \frac{12}{\sqrt{29}}=\frac{36}{29} \\ z_1=\frac{4k}{\sqrt{29}} =\frac{4}{\sqrt{29}} \times \frac{12}{\sqrt{29}}=\frac{48}{29} \\ =\left(\frac{24}{29}, \frac{36}{29}, \frac{48}{29}\right)
Illustration:4(b).3y+4z-6=0
Solution:3y+4z-6=0
समतल की समीकरण को अभिलम्ब रूप में लिखने परः
\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=5 \\ \frac{0 \cdot x}{5}+\frac{3 y}{5}+\frac{4}{5} z=\frac{6}{5}
माना लम्ब के पाद P के निर्देशांक \left(x_1, y_1, z_1\right) हैं:
OP रेखा के दिक् अनुपात=x_1-0, y_1-0, z_1-0 \\=x_1, y_1, z_1
एक रेखा के दिक्-कोसाइन और दिक्-अनुपात समानुपाती होते हैं।अतः
\frac{x_1}{\frac{0}{5}}=\frac{y_1}{\frac{3}{5}}=\frac{z_1}{\frac{4}{5}}=k \\ x_1=0 , y_1=\frac{3}{5} k, z_1=\frac{4}{5} k
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर:
\frac{0}{5} \cdot(0)+\frac{3}{5} \times \frac{3}{5} k+\frac{4}{5} \times \frac{4}{5} k=\frac{6}{5} \\ \Rightarrow \frac{9}{25} k+\frac{16}{25} k=\frac{6}{5} \\ \Rightarrow \frac{25 k}{25}=\frac{6}{5} \Rightarrow k=\frac{6}{5}
अतः लम्ब के पाद के निर्देशांक: x_1=0, y_1=\frac{3}{5} k=\frac{3}{5} \times \frac{6}{5}=\frac{18}{25}, z_1=\frac{4}{5} k=\frac{4}{5} \times \frac{6}{5}=\frac{24}{25} \\ \left(0, \frac{18}{25}, \frac{24}{25}\right)
Illustration:4(c).x+y+z=1
Solution:x+y+z=1
समतल की समीकरण को अभिलम्ब रूप में लिखने पर:
\sqrt{(1)^2+(1)^2+(1)^2}=\sqrt{3} \\ \frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{y}{\sqrt{3}}+\frac{z}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}
माना लम्ब के पाद P के निर्देशांक \left(x_1, y_1, z_1\right) हैं:
OP रेखा के दिक्-अनुपात:=x_1-0, y_1-0, z_1-0 \\ =x_1, y_1, z_1
एक रेखा के दिक्-कोसाइन और दिक्-अनुपात समानुपाती होते हैं।अतः
\frac{x_1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{y_1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{z_1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=k \\ \Rightarrow x_1=\frac{1}{\sqrt{3}} k, y_1=\frac{1}{\sqrt{3}} k, z_1=\frac{1}{\sqrt{3}} k
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर:
\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}} k+\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}} k+\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}} k=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow \frac{3 k}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow k=\frac{1}{\sqrt{3}}
अतः लम्ब के पाद के निर्देशांक: x_1=\frac{1}{\sqrt{3}} k=\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}, y_1=\frac{1}{\sqrt{3}} k=\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3} \\ z_1=\frac{1}{\sqrt{3}} k=\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3} \\ \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)
Illustration:4(d).5y+8=0
Solution:5y+8=0
समतल की समीकरण को अभिलम्ब रूप में रखने पर:
\sqrt{(1)^2}=1 \\ 0 \cdot x+1 \cdot y+0 . z =-\frac{8}{5}
माना लम्ब के पाद P के निर्देशांक \left(x_1, y_1, z_1\right) हैं।
OP रेखा के दिक्-अनुपात:=x_1-0, y_1-0, z_1-0 \\ =x_1, y_1, z_1
एक रेखा के दिक्-कोसाइन और दिक्-अनुपात समानुपाती होते हैं।अतः
\frac{x_1}{0}=\frac{y_1}{1}=\frac{z_1}{0}=k \\ \Rightarrow x_1=0, y_1=k, z_1=0
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर:
0 \times 0+1 \times k+0 \times 0=-\frac{8}{5} \\ k=-\frac{8}{5}
अतः लम्ब पाद के निर्देशांक=
x_1=0, y_1=k=-\frac{8}{5}, z_1=0\\ \left(0,-\frac{8}{5}, 0\right)
Illustration:5.निम्नलिखित प्रतिबन्धों के अन्तर्गत समतलों का सदिश एवं कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो:
Illustration:5(a).बिन्दु (1,0,-2) से जाता हो और \hat{i}+\hat{j}-\hat{k} समतल पर अभिलम्ब है।
Solution:माना \vec{a}=\hat{i}-2 \hat{k}, \vec{n}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}
समतल का सदिश समीकरण:
(\vec{r}-\vec{a}) \cdot \vec{n}=0 \\ \Rightarrow[x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}-(\hat{i}-2 \hat{k})] \cdot(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=0 \\ \Rightarrow r \cdot(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})-(\hat{i}-2 \hat{k}) \cdot(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=0 \\ \Rightarrow r \cdot(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})-(1+2)=0 \\ \Rightarrow r \cdot(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})-3=0
समतल (1,0,-2) से गुजरता है और लम्ब के दिक्-अनुपात (1,1,-1) हैं:
अतः समतल का कार्तीय समीकरण:
a\left(x-x_1\right)+b\left(y-y_1\right)+c\left(z-z_1\right)=0 \\ \Rightarrow 1 \cdot\left(x-x_1\right) +1 \cdot\left(y-y_1\right)-1\left(z-z_1\right)=0 \\ \Rightarrow(x-1)+(y-0)-(z+2)=0 \\ \Rightarrow x+y-z-3=0
Illustration:5(b).बिन्दु (1,4,6) से जाता हो और \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k} समतल पर अभिलम्ब सदिश है।
Solution: \vec{a}=\hat{i}+4 \hat{j}+6 \hat{k}, \vec{n}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}
समतल का सदिश समीकरण:
(\vec{r}-\vec{a}) \cdot \vec{n}=0 \\ \Rightarrow[\vec{r}-(\hat{i}+4 \hat{j}+6 \hat{k})] \cdot(\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})=0 \\ \Rightarrow \vec{r} \cdot(\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})-(\hat{i}+4 \hat{j}+6 \hat{k}) \cdot(\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})=0 \\ \Rightarrow \vec{r} \cdot(\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})-(1-8+6)=0 \\ \Rightarrow \vec{r} \cdot(\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})+1=0
कार्तीय समीकरण:
(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}) \cdot(\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})+1=0 \\ \Rightarrow x-2 y+z+1=0
Illustration:6.उन समतलों का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित तीन बिन्दुओं से गुजरता है।
Illustration:6(a).(1,1,-1),(6,4,-5),(-4,-2,3)
Solution:(1,1,-1),(6,4,-5),(-4,-2,3)
\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, \vec{b}=6 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}, \vec{c}=-4 \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k} \\ \Rightarrow(\vec{r}-\vec{a}) \cdot[(\vec{b}-\vec{a}) \times(\vec{c}-\vec{a})]=0 \\ \Rightarrow [\vec{r}-\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})][(6 \hat{i}+4 \hat{i}-5 \hat{k}-\hat{i}-\hat{j} +\hat{k}) \times \\ (-4 \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}-\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})]=0 \\ \Rightarrow[\vec{r}-(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})][(5 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}) \times(-5 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k})]=0 \\ \Rightarrow[\vec{r}-(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})] \cdot(-15 \hat{k}-20 \hat{j}+15 \hat{k}+12 \hat{i}+20 \hat{j}-12 \hat{i})=0 \\ \Rightarrow[\vec{r}-(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})] \cdot(\overrightarrow{0})=0
अतः दिए हुए बिन्दुओं से गुजरने वाले अनन्त समतल हो सकते हैं।
Illustration:6(b).(1,1,0),(1,2,1),(-2,2,-1)
Solution:(1,1,0),(1,2,1),(-2,2,-1)
(1,1,0) से गुजरने वाले समतल का समीकरण:
a(x-1)+b(y-1)+c(z-0)=0 \\ \Rightarrow a(x-1)+b(y-1)+c z=0 \cdots(1)
यह (1,2,1),(-2,2,-1) से गुजरता है अतः
a(1-1)+b(2-1)+c=0
0.a+b+c=0  ….. (2)
a(-2-1)+b(2-1)-c=0
\Rightarrow -3a+b-c=0   ….. (3)
समीकरण (2) और (3) को हल करने परः
\frac{a}{-1-1}=\frac{b}{-3-0}=\frac{c}{+3+0} \\ \Rightarrow \frac{a}{-2}=\frac{b}{-3}=\frac{c}{-3} \Rightarrow \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{-3}
a,b,c के मान समीकरण (1) में रखने परः
2(x-1)+3(y-1)-3z=0
\Rightarrow 2x+3y-3z=5

Equation of Plane Class 12

Illustration:7.समतल 2x+y-z=5 द्वारा काटे गए अंतःखण्डों को ज्ञात कीजिए:
Solution: 2 x+y-z=5\\ \Rightarrow \frac{2}{5} x+\frac{y}{5}-\frac{z}{5}=1 \\ \Rightarrow \frac{x}{\frac{5}{2}}+\frac{y}{\frac{5}{1}}+\frac{z}{-5}=1
अतः x,y,z अक्षों पर काटे गए अन्तःखण्ड \frac{5}{2},5,-5
Illustration:8.उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका y-अक्ष पर अन्तःखण्ड 3 और जो तल ZOX तल के समान्तर समतल के समीकरण का अन्तःखण्ड रूपः
Solution:ZOX तल के समान्तर समतल के समीकरण का अन्तःखण्ड रूप:
\frac{x}{0}+\frac{y}{3}+\frac{z}{0}=1 \Rightarrow y=3
Illustration:9.उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों 3x-y+2z-4=0 और x+y+z-2=0 के प्रतिच्छेदन तथा बिन्दु (2,2,1) से होकर जाता है।
Solution:समतलों 3x-y+2z-4=0 तथा x+y+z-2=0 के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण:
3 x-y+2 z-4+\lambda(x+y+z-2)=0 \cdots(1)
यह (2,2,1) से गुजरता है अतः
3 \times 2-2+2 \times 1-4+\lambda(2+2+1-2)=0 \\ \Rightarrow 6-2+2-4+3 \lambda=0 \\ \Rightarrow \lambda=-\frac{2}{3}
का मान समीकरण (1) में रखने परः
3 x-y+2 z-4-\frac{2}{3}(x+y+z-2)=0 \\ \Rightarrow 9 x-3 y+6 z-12-2 x-2 y-2 z+4=0 \\ \Rightarrow 7 x-5 y+4 z-8=0
Illustration:10.उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों \vec{r} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})=7, \vec{r} \cdot(2 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k})=9 के प्रतिच्छेदन रेखा और (2,1,3) से होकर जाता है।
Solution:समतलों \vec{r} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})=7 तथा \vec{r} \cdot(2 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k})=9 में:
\overrightarrow{n_1}=2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}, \vec{n}_2=2 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k} \\ d_1=7, d_2=9
अतः इन समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण:
\vec{r} \cdot \left(\vec{n}_1+\lambda  \vec{n}_2\right)=d_1+\lambda d_2 \\ \Rightarrow (x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}) \cdot[2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}+\lambda(2 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k})] =7+9 \lambda \\ \Rightarrow(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}) \cdot[(2+2 \lambda) \hat{i}+(2+5 \lambda) \hat{j}+(-3+3 \lambda) \hat{k}] =7+9 \lambda \\ \Rightarrow(2+2 \lambda) x+(2+5 \lambda) y+(-3+3 \lambda) z=7+9 \lambda
यह (2,1,3) से गुजरता है अतः
(2+2 \lambda) \times 2+(2+5 \lambda) \times 1+(-3+3 \times) \times 3=7+9 \lambda \\ \Rightarrow 4+4 \lambda+2+5 \lambda-9+9 \lambda =9+9 \lambda \\ \Rightarrow 18 \lambda-9 \lambda=7+3 \\ \Rightarrow 9 \lambda=12 \Rightarrow \lambda=\frac{10}{9}
\lambda का मान रखने पर:
\vec{r} \cdot\left[\left(2+2 \times \frac{10}{9}\right) \hat{i}+\left(2+5 \times \frac{10}{9}\right) \hat{j}+\left(-3+3 \times \frac{10}{9}\right) \hat{k}\right] =7+9 \times \frac{10}{9} \\ \Rightarrow \vec{r} \cdot(38 \hat{i}+68 \hat{j}+3 \hat{k})=17 \times 9 \\ \Rightarrow \vec{r} \cdot(38 \hat{i}+68 \hat{j}+3 \hat{k})=153
Illustration:11.तलों x+y+z=1 और 2x+3y+4z=5 के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले तथा तल x-y+z=0 पर लम्बवत तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:x+y+z=1 और 2x+3y+4z=5 के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण:
x+y+z-1+\lambda(2 x+3 y+4 z-5)=0 \\ \Rightarrow(1+2 \lambda) x+(1-13 \lambda) y+(1+4 \lambda) z-1-5 \lambda=0 \cdots(1)
यह अतः समतल x-y+z=0 के लम्बवत है 
a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0 \\ \Rightarrow 1(1+2 \lambda)-1(1+3 \lambda)+1(1+4 \lambda)=0 \\ \Rightarrow 1+2 \lambda-1-3 \lambda+1+4 \lambda=0 \\ \Rightarrow 1+3 \lambda=0 \Rightarrow \lambda=-\frac{1}{3}
\lambda का मान समीकरण (1) में रखने पर:
(1+2 \times -\frac{1}{3}) x+(1+3 \times-\frac{1}{3}) y+(1+4 \times-\frac{1}{3})z-1-5 \times-\frac{1}{3}=0 \\ \Rightarrow x-z+2=0
Illustration:12.समतलों,जिनके सदिश समीकरण \vec{r} \cdot (2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})=5 और \vec{r} \cdot (3 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k})=3 हैं,के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Solution: \vec{r} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})=0 तथा \vec{r} \cdot (3 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k})=3 में
\vec{n}_1=2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}, \vec{n}_2=3 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k} \\ \left|\vec{n}_1\right| = \sqrt{(2)^2+(2)^2+(-3)^2}=\sqrt{4+4+9}=\sqrt{17} \\ \left|\vec{n}_2\right|=\sqrt{(3)^2+(-3)^2+(5)^2} =\sqrt{9+9+25}=\sqrt{43} \\ \cos \theta=\left|\frac{\vec{n}_1-\vec{n}_2}{\left|\vec{n}_1\right| \left| \vec{n}_2\right|}\right| \\ =\left|\frac{(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) \cdot(3 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k})}{\sqrt{17} \sqrt{43}}\right| \\ =\left|\frac{6-6-15}{\sqrt{731}}\right| \Rightarrow \theta=\cos^{-1} \left(\frac{15}{\sqrt{731}}\right)
Illustration:13.निम्नलिखित प्रश्नों में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समान्तर है अथवा लम्बवत हैं,और उस स्थिति में,जब ये न तो समान्तर है और न ही लम्बवत तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Illustration:13(a).7x+5y+6z+30=0 और 3x-y-10z+4=0
Solution: \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2} \Rightarrow \frac{7}{3} \neq \frac{5}{-1} \neq \frac{6}{-10} \\ \Rightarrow a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=7 \times 3+5 \times-1+6 \times -10 =44 \neq 0
अतः ये समतल न तो समान्तर हैं और न लम्बवत हैं।
\cos \theta=\left|\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2 +c_2^2}}\right| \\ =\left| \frac{ 7 \times 3+5 \times-1+6 \times-10}{\sqrt{(7)^2+(5)^2+(6)^2} \sqrt{(3)^2+(-1)^2+(-10)^2}}\right| \\ =\left|\frac{21-5-60}{\sqrt{49+25+36} \sqrt{9+1+100}} \right|=\left|\frac{-44}{\sqrt{110} \sqrt{110}}\right| \\ \Rightarrow \theta =\cos^{-1} \left(\frac{2}{5}\right)
Illustration:13(b).2x+y+3z-2=0 और x-2y+5=0
Solution:2x+y+3z-2=0,x-2y+5=0
a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=2 \times 1+1 \times-2+3 \times 0 \\ =2-2=0\\ \Rightarrow a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0
अतः दोनों समतल लम्बवत हैं।
Illustration:13(c).2x-2y+4z+5=0 और 3x-3y+6z-1=0
Solution:2x-2y+4z+5=0,3x-3y+6z-1=0
\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{3}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}, \frac{c_1}{c_2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \\ \Rightarrow \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}
अतः दोनों समतल समान्तर हैं।
Illustration:13(d).2x-y+3z-1=0 और 2x-y+3z+3=0
Solution:2x-y+3z-1=0,2x-y+3z+3=0
\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{2}=1, \frac{b_1}{b_2}=\frac{-1}{-1}=1, \frac{c_1}{c_2}=\frac{3}{3}=1 \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}
अतः दोनों समतल समान्तर हैं।
Illustration:13(e).4x+8y+z-8=0 और y+z-4=0
Solution:4x+8y+z-8=0,y+z-4=0
\frac{a_1}{a_2}=\frac{4}{0}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{8}{1}, \frac{c_1}{c_2}=\frac{1}{1} \Rightarrow \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \\ a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=4 \times 0+8 \times 1+1 \times 1=9 \neq 0[/katex]
अतः समतल न तो समान्तर हैं और न लम्बवत हैं।
\cos \theta =\left|\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2 +c_2^2}}\right| \\ =\left|\frac{4 \times 0+8 \times 1+1 \times 1}{\sqrt{4^2+8^2+1^2} \sqrt{(0)^2+(1)^2+(1)^2}}\right| \\ =\left|\frac{8+1}{\sqrt{16+64+1} \sqrt{1+1}}\right| \\ \cos \theta=\left|\frac{9}{\sqrt{81} \sqrt{2}}\right| \Rightarrow \cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos 45^{\circ} \\ \Rightarrow \theta=45^{\circ}
Illustration:14.निम्नलिखित प्रश्नों में प्रत्येक दिए गए बिन्दु से दिए गए संगत समतलों की दूरी ज्ञात कीजिए।
\begin{array}{cc} \text{बिन्दु} & \text{समतल} \\ (a)(0,0,0) & 3 x-4 y+12 z=3 \\ (b)(3,-2,1) & 2 x-y+2 z+3=0 \\ (c)(2,3,-5) & x+2 y-2 z=9 \\ (d)(-6,0,0) & 2 x-3 y+6 z-2=0 \end{array}
Illustration:14(a).(0,0,0),3x-4y+12z=3
Solution:(0,0,0) से समतल 3x-4y+12z=3 की दूरी
d=\left|\frac{a x_1+b y_1+c z_1-D}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right| \\ =\left|\frac{0 \times 3+0 \times-4+0 \times 12-3}{\sqrt{3^2+(-4)^2+(12)^2}}\right| \\ =\left|\frac{3}{\sqrt{9+6+144}}\right|=\left|\frac{3}{\sqrt{169}}\right|=\frac{3}{13} \\ \Rightarrow d =\frac{3}{13}
Illustration:14(b).(3,-2,1),2x-y+2z+3=0
Solution: a=2, b=-1, c=2, x_1=3, y_1=-2,z_1=1 \\ d=\left|\frac{a x_1+b y_1+c z_1-D}{\sqrt{a^2+b^2 +c^2}}\right| \\ =\left|\frac{2 \times 3-1 \times-2+2 \times 1+3}{\sqrt{2^2+(-1)^2+(2)^2}}\right| \\ =\left|\frac{6+2+2+3}{\sqrt{4+1+4}}\right|=\left|\frac{10+8}{\sqrt{9}}\right| \Rightarrow d=\frac{13}{3}
Illustration:14(c).(2,3,-5),x+2y-2z=9
Solution:(2,3,-5),x+2y-2z=9
x_1=2, y_1=3, z_1=-5, a=1, b=2, c=-2, D=9 \\ d=\left|\frac{a x_1+b y_1+c z_1-D}{\sqrt{a^2+b^2 +c^2}}\right| \\ =\left|\frac{1 \times 2+2 \times 3-2 \times-5-9}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}} \right|= \left|\frac{2+6+10-9}{\sqrt{1+4+4}}\right| \\ =\left|\frac{9}{\sqrt{9}}\right| \Rightarrow d=3
Illustration:14(d).(-6,0,0),2x-3y+6z=2
Solution:(-6,0,0),2x-3y+6z=2
x_1=-6, y_1=0, z_1=0, a=2, b=-3, c=6 ,D=2 \\ d=\left|\frac{a x_1+b y_1+c z_1-D}{\sqrt{a^2+b^2+ c^2}}\right| \\ =\left|\frac{-6 \times 2+0 \times-3+0 \times 6-2}{\sqrt{2^2+(3)^2+(6)^2}}\right| \\ =\left|\frac{-12-2}{\sqrt{4+9+36}}\right|=\frac{14}{\sqrt{49}}=2 \\ \Rightarrow d=2

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समतल का समीकरण कक्षा 12 (Equation of Plane Class 12),कक्षा 12 में समतल का समीकरण (Equation of Plane in Class 12) को समझ सकते हैं।

3.समतल का समीकरण कक्षा 12 की समस्याएँ (Equation of Plane Class 12 Problems):

Equation of Plane Class 12

(1.)उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से +3 इकाई दूरी पर तथा इसके अभिलम्ब के दिक्-अनुपात 12,-4,3 है।
(2.)एक समतल बिन्दु P(2,3,1) से गुजरता है तथा OP इसके लम्ब रेखा है।जहाँ O मूल बिन्दु है समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers): (1.) \frac{12}{13} x-\frac{4}{13} y+\frac{3}{13} z=3
(2.)2x+3y+z=14
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समतल का समीकरण कक्षा 12 (Equation of Plane Class 12),कक्षा 12 में समतल का समीकरण (Equation of Plane in Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.समतल का समीकरण कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Equation of Plane Class 12),कक्षा 12 में समतल का समीकरण (Equation of Plane in Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

समतल का समीकरण कक्षा 12 (Equation of Plane Class 12) के इस आर्टिकल में अभिलम्ब
रूप में समतल का समीकरण,एक दिए हुए सदिश के अनुलम्ब तथा दिए गए बिन्दु से होकर जाने
वाले समतल का समीकरण,तीन असंरेखीय बिन्दु से होकर जाने वाले समतल का समीकरण आदि
पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।