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Perpendicular length pole on tangent

1.स्पर्श रेखा पर ध्रुव से लम्ब की लम्बाई का परिचय (Introduction to Perpendicular length pole on tangent)-

स्पर्श रेखा पर ध्रुव से लम्ब की लम्बाई(Perpendicular length pole on tangent) ज्ञात करने के लिए इसमें प्रयुक्त होने वाली शब्दावली ध्रुव,ध्रुवान्तर रेखा,प्रारम्भिक रेखा का ज्ञान होना आवश्यक है।
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2.ध्रुव (Pole)-

(1.) खगोल के उन दो बिन्दुओं में कोई बिन्दु जिन पर पृथ्वी का बढ़ाया हुआ अक्ष मिलता है।खगोल की काल्पनिक दैनिक गति में दोनों ध्रुव अचर माने जाते हैं।
(2.) किसी शांकव और किसी रेखा (ध्रुवी) के संदर्भ में वह बिन्दु जो शांकव के सापेक्ष रेखा के किसी भी बिन्दु का हरात्मक संयुग्मी हो।
(3.) ध्रुवीय निर्देशांक तंत्र में वह नियत बिन्दु जिसमें किसी बिन्दु की दूरी नापी जाती है और ध्रुवान्तर रेखा जिसके सापेक्ष घूमती है।
इस आर्टिकल में उपर्युक्त तीसरी परिभाषा का प्रयोग किया गया है। साधारण अर्थ में कार्तीय निर्देशांकों में जिसे हम मूल बिन्दु कहते हैं ध्रुवीय निर्देश तंत्र में उसे हम ध्रुव कहते हैं।

3.ध्रुवान्तर रेखा(Radius vector)-

ध्रुवीय निर्देश तंत्र में ध्रुवी से किसी वक्र के किसी दिए हुए बिन्दु को मिलाने वाला दिष्ट रेखाखण्ड ध्रुवान्तर रेखा कहलाती है।

4.प्रारम्भिक रेखा (Initial Line)-

सामान्यतः कार्तीय निर्देश तंत्र में जिसे हम x-अक्ष कहते हैं उसे ही ध्रुवीय निर्देश तंत्र में प्रारम्भिक रेखा कहते हैं।

5.ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण (Angle between Radius Vector and Tangent)-

माना कि P \left( r,\theta \right) कोई एक बिन्दु वक्रr=f(\theta) पर है तथा Q=\left( r+\delta r,\theta +\delta \theta \right) ,P के समीप वक्र पर अन्य बिन्दु है।P तथा Q को मिलाओ।माना कि TPT’ वक्र पर बिन्दु P पर स्पर्श रेखा है।OP को L तक बढ़ाओ।माना अब \angle TPT'=\phi QM , OP पर लम्ब डालो। त्रिभुज PMQ में \phi =\underset { Q\rightarrow P }{ Lim } \angle MPQ

अर्थात् \phi =\underset { \delta \theta\rightarrow 0 }{ Lim } \angle MPQ   [जैसे -जैसे Q\rightarrow P,\delta \theta\rightarrow 0 ]

अतः tan\phi =tan\left\{ \underset { \delta \theta \rightarrow 0 }{ Lim } \angle MPQ \right\} \\ \\ tan\phi =\underset { \delta \theta \rightarrow 0 }{ Lim } \angle MPQ\quad =\underset { \delta \theta \rightarrow 0 }{ Lim } \frac { QM }{ PM } \\ tan\phi =\underset { \delta \theta \rightarrow 0 }{ Lim } \frac { \left( r+\delta r \right) sin\delta \theta }{ \delta r\quad cos\delta \theta -r\left( 1-cos\delta \theta \right) } \\ tan\phi =\underset { \delta \theta \rightarrow 0 }{ Lim } \frac { \left( r+\delta r \right) \frac { sin\delta \theta }{ \delta \theta } }{ \quad \frac { \delta r }{ \delta \theta } cos\delta \theta -r\frac { 2{ sin }^{ 2 }\left( \frac { \delta \theta }{ 2 } \right) }{ \delta \theta } } \\ tan\phi =\frac { \left( r+0 \right) .1 }{ \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) .1-r.0 } \quad \quad \quad \quad [\because \underset { \delta \theta \rightarrow 0 }{ Lim } \frac { sin\left( \frac { \delta \theta }{ 2 } \right) }{ \frac { \delta \theta }{ 2 } } sin\left( \frac { \delta \theta }{ 2 } \right) =1.0=0]\\ tan\phi =r\frac { d\theta }{ dr }

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6.स्पर्श रेखा पर ध्रुव से लम्ब की लम्बाई (Perpendicular length Pole on Tangent)-

माना कि वक्र r=f(\theta)के किसी बिन्दु P(\left( r,\theta \right) ) पर स्पर्श रेखा पर लम्ब OM खींचा तथा माना \angle OPT=\phi
यह भी माना OM=p

\Delta OPM से ,OM=p

                                                       OM=OP sin\phi

                                             thenp =r\quad sin\phi \quad ..........(1)

पुनः p का मान r,\theta ,\frac { dr }{ d\theta } में ज्ञात करना:

tan\phi =r\quad \frac { d\theta }{ dr }

समीकरण (1) से { p }^{ 2 }={ r }^{ 2 }{ sin }^{ 2 }\phi \\ { p }^{ 2 }=\frac { { r }^{ 2 } }{ { cosec }^{ 2 }\phi } =\frac { { r }^{ 2 } }{ { 1+cot }^{ 2 }\phi } \\ { p }^{ 2 }=\frac { { r }^{ 2 } }{ { 1+\left( \frac { 1 }{ r } \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 } } \\ \frac { 1 }{ { p }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ { r }^{ 4 } } \left[ { r }^{ 2 }+{ \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 } \right] \\ \frac { 1 }{ { p }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ { r }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { r }^{ 4 } } { \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 }\\

उदाहरण -1 वक्र r(\theta -1)=a{ \theta }^{ 2 } कि स्पर्श रेखा पर ध्रुव से डाले गए लम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिए |

find the length of the perpendicular of tangent to the curve r(\theta -1)=a{ \theta }^{ 2 }  

Solution-r(\theta -1)=a{ \theta }^{ 2 }\\ r=\frac { a{ \theta }^{ 2 } }{ \theta -1 } \\ \frac { dr }{ d\theta } =a\left[ \frac { \left( \theta -1 \right) .2\theta -{ \theta }^{ 2 }.1 }{ { \left( \theta -1 \right) }^{ 2 } } \right] \\ \frac { dr }{ d\theta } =a\left[ \frac { 2{ \theta }^{ 2 }-2\theta -{ \theta }^{ 2 } }{ { \left( \theta -1 \right) }^{ 2 } } \right] \\ \frac { dr }{ d\theta } =a\left[ \frac { { \theta }^{ 2 }-2\theta }{ { \left( \theta -1 \right) }^{ 2 } } \right]

स्पर्श रेखा पर ध्रुव से लम्ब कि लम्बाई 

\frac { 1 }{ { p }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ { r }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { r }^{ 4 } } { \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 }\\ \frac { 1 }{ { p }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ { r }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { r }^{ 4 } } { a }^{ 2 }{ \left( \frac { { \theta }^{ 2 }-2\theta }{ { \left( \theta -1 \right) }^{ 2 } } \right) }^{ 2 }\\ \frac { 1 }{ { p }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ { r }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { r }^{ 4 } } { a }^{ 2 }\frac { { { \left( { \theta }^{ 2 }-2\theta \right) }^{ 2 }\quad } }{ { \left( \theta -1 \right) }^{ 4 } } \\ \frac { 1 }{ { p }^{ 2 } } =\frac { { \left( \theta -1 \right) }^{ 2 } }{ a^{ 2 }{ \theta }^{ 4 } } +{ a }^{ 2 }\frac { { \left( \theta -1 \right) }^{ 4 } }{ a^{ 4 }{ \theta }^{ 8 } } \frac { { { \left( { \theta }^{ 2 }-2\theta \right) }^{ 2 }\quad } }{ { \left( \theta -1 \right) }^{ 4 } } \\ \frac { 1 }{ { p }^{ 2 } } =\frac { { \left( \theta -1 \right) }^{ 2 } }{ a^{ 2 }{ \theta }^{ 4 } } +{ a }^{ 2 }\frac { { \left( \theta -1 \right) }^{ 4 } }{ { { a }^{ 2 }\theta }^{ 8 } } { \left( { \theta }^{ 2 }-2\theta \right) }^{ 2 }\\ \frac { { a }^{ 2 } }{ { p }^{ 2 } } =\frac { { \left( \theta -1 \right) }^{ 2 } }{ { \theta }^{ 4 } } +\frac { { \left( { \theta }^{ 2 }-2\theta \right) }^{ 2 } }{ { \theta }^{ 8 } } \\ \frac { { a }^{ 2 } }{ { p }^{ 2 } } =\frac { { { \theta }^{ 2 }-2\theta +1 } }{ { \theta }^{ 4 } } +\frac { { { \theta }^{ 4 }-4{ \theta }^{ 3 }+4{ \theta }^{ 2 } } }{ { \theta }^{ 8 } } \\ \frac { { a }^{ 2 } }{ { p }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ { \theta }^{ 2 } } -\frac { { 2 } }{ { \theta }^{ 3 } } +\frac { 1 }{ { \theta }^{ 4 } } +\frac { 1 }{ { \theta }^{ 4 } } -\frac { 4 }{ { \theta }^{ 5 } } +\frac { 4 }{ { \theta }^{ 6 } } \\ \frac { { a }^{ 2 } }{ { p }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ { \theta }^{ 2 } } -\frac { { 2 } }{ { \theta }^{ 3 } } +\frac { 2 }{ { \theta }^{ 4 } } -\frac { 4 }{ { \theta }^{ 5 } } +\frac { 4 }{ { \theta }^{ 6 } }

उदाहरण 2-सिद्ध कीजिए कि वक्र{ r }^{ 2 }=a^{ 2 }\quad sin2\theta के किसी बिन्दु \left( r,\theta \right) पर खींची गई स्पर्श रेखा प्रारम्भिक रेखा से 3\theta कोण बनती है 

prove that the tangent at any point \left( r,\theta \right) on { r }^{ 2 }=a^{ 2 }\quad sin2\theta makes an angle 3\theta with initial line

Solution-{ r }^{ 2 }=a^{ 2 }\quad sin2\theta \\ 2r\quad \frac { dr }{ d\theta } =2\quad { a }^{ 2 }\quad cos2\theta \\ \frac { dr }{ d\theta } =\frac { { a }^{ 2 }\quad cos2\theta }{ r } \\ tan\phi =r\quad \frac { dr }{ d\theta } \quad \\ tan\phi =r\quad \frac { r }{ { a }^{ 2 }\quad cos2\theta } \\ tan\phi =\frac { { r }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }\quad cos2\theta } \\ tan\phi =\frac { { a }^{ 2 }\quad sin2\theta }{ { a }^{ 2 }\quad cos2\theta } \\ tan\phi =tan2\theta \\ \quad \quad \phi =2\theta \\ \quad \quad \psi =\theta +\phi \\ \quad \quad \psi =\theta +2\theta \\ \quad \quad \psi =3\theta \\ \quad

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