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power series expansion by Taylor theorem

1.टेलर प्रमेय द्वारा विश्लेषिक फलनों की घात श्रेणी प्रसार का परिचय (Introduction to power series expansion by Taylor theorem)-

टेलर प्रमेय द्वारा विश्लेषिक फलनों की घात श्रेणी प्रसार (power series expansion by Taylor theorem) का अध्ययन इस आर्टिकल में करेंगे।इस आर्टिकल में सम्मिश्र संख्याओं के विश्लेषण के लिए टेलर श्रेणी की प्रमेय को सिद्ध करेंगे। इससे पूर्व सम्मिश्र संख्याओं के विश्लेषण की प्रमुख प्रमेय कोशी प्रमेय के बारे में आर्टिकल पोस्ट कर चुके हैं। अतः टेलर प्रमेय को पढ़ने से पूर्व आपको कोशी समाकल सूत्र को पढ़ना चाहिए।
सम्मिश्र संख्याओं के विश्लेषण की प्रमुख प्रमेय कोशी प्रमेय के अनुप्रयोग में मोरेरा प्रमेय (कोशी प्रमेय का विलोम),टेलर एवं लोरां श्रेणी,महत्तम मापांक प्रमेय शामिल हैं।
टेलर प्रमेय द्वारा विश्लेषिक फलनों की घात श्रेणी प्रसार (power series expansion by Taylor theorem) सम्मिश्र संख्याओं के लिए किया गया है।इसके अलावा कार्तीय निर्देशांकों में भी टेलर श्रेणी प्रसार का प्रयोग किया जाता है।परन्तु इस आर्टिकल में सम्मिश्र संख्याओं तक ही सीमित रहेंगे।इस प्रकार टेलर श्रेणी का बहुआयामी उपयोग होता है।
इस आर्टिकल में टेलर प्रमेय द्वारा विश्लेषिक फलनों की घात श्रेणी प्रसार (power series expansion by Taylor theorem) के अध्ययन तक ही सीमित रहेंगे। क्योंकि अन्य प्रमेय को इसी आर्टिकल में पोस्ट करने से आर्टिकल लम्बा हो जाएगा।
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2.टेलर प्रमेय द्वारा विश्लेषिक फलनों की घात श्रेणी प्रसार (power series expansion by Taylor theorem)-

प्रमेय (Theorem)-यदि वृत्त C जिसका केन्द्र { z }_{ 0 }तथा त्रिज्या r है,के अन्दर सभी बिन्दुओं पर f(z) एक विश्लेषिक फलन हो तो C के अन्दर प्रत्येक बिन्दु z पर (If a function f(z) is analytic at all points within a circle C with centre { z }_{ 0 }and radius r ,then at each point z within C .)

f\left( z \right) =f\left( { z }_{ 0 } \right) +\left( z-{ z }_{ 0 } \right) f^{ \prime }\left( { z }_{ 0 } \right) +\frac { { \left( z-{ z }_{ 0 } \right) }^{ 2 } }{ 2! } f^{ \prime \prime }\left( { z }_{ 0 } \right) \\ +\frac { { \left( z-{ z }_{ 0 } \right) }^{ 3 } }{ 3! } f^{ \prime \prime \prime }\left( { z }_{ 0 } \right) +......+\frac { { \left( z-{ z }_{ 0 } \right) }^{ n } }{ n! } f^{ n }\left( { z }_{ 0 } \right) +......\\ f\left( z \right) =\overset { \infty }{ \underset { n=0 }{ \sum { \quad } } } { a }_{ n }{ \left( z-{ z }_{ 0 } \right) }^{ n }

जहाँ (where){ a }_{ n }=\frac { { f }^{ n }\left( { z }_{ 0 } \right) }{ n! }
उपपत्ति (Proof):माना कि C के अन्दर कोई बिन्दु z है।z के परिवेश में को{ z }_{ 0 } केन्द्र लेकर{ r }_{ 1 } त्रिज्या का एक वृत्त{ c }_{ 1 } बनाओं तो कोशी समाकल सूत्र से

f\left( z \right) =\frac { 1 }{ 2\pi i } \int _{ { c }_{ 1 } }^{ \quad }{ \frac { f\left( w \right) }{ w-z } dw } .....(1)

जहां\left| z-{ z }_{ 0 } \right| =\rho <{ r }_{ 1 },W वृत्त { c }_{ 1 }:\left| w-{ z }_{ 0 } \right| ={ r }_{ 1 }\left( \rho <{ r }_{ 1 }<r \right) की परिधि पर स्थित कोई बिन्दु है।
अब\frac { 1 }{ w-z } =\frac { 1 }{ \left( w-{ z }_{ 0 } \right) -\left( z{ -z }_{ 0 } \right) } \\ =\frac { 1 }{ \left( w-{ z }_{ 0 } \right) } \left[ \frac { 1 }{ 1-\left( z{ -z }_{ 0 } \right) /\left( w-{ z }_{ 0 } \right) } \right] ......(2)
चूंकि\alpha =\left| \frac { z{ -z }_{ 0 } }{ w-{ z }_{ 0 } } \right| =\frac { \rho }{ { r }_{ 1 } } <1

अतः भाग विधि से सरल करने पर-

\left[ \frac { 1 }{ 1-\left( z{ -z }_{ 0 } \right) /\left( w-{ z }_{ 0 } \right) } \right] =\frac { 1 }{ 1-\alpha }(माना ) \\ =1+\alpha +{ \alpha }^{ 2 }+............+{ \alpha }^{ n }+\frac { { \alpha }^{ n } }{ 1-\alpha } \\ =1+\frac { z{ -z }_{ 0 } }{ w-{ z }_{ 0 } } +{ \left( \frac { z{ -z }_{ 0 } }{ w-{ z }_{ 0 } } \right) }^{ 2 }+..........+{ \left( \frac { z{ -z }_{ 0 } }{ w-{ z }_{ 0 } } \right) }^{ n-1 }+{ \left( \frac { z{ -z }_{ 0 } }{ w-{ z }_{ 0 } } \right) }^{ n }\left[ \frac { 1 }{ 1-\left( z{ -z }_{ 0 } \right) /\left( w-{ z }_{ 0 } \right) } \right] \\ =1+\frac { z{ -z }_{ 0 } }{ w-{ z }_{ 0 } } +{ \left( \frac { z{ -z }_{ 0 } }{ w-{ z }_{ 0 } } \right) }^{ 2 }+..........+{ \left( \frac { z{ -z }_{ 0 } }{ w-{ z }_{ 0 } } \right) }^{ n-1 }+{ \left( \frac { z{ -z }_{ 0 } }{ w-{ z }_{ 0 } } \right) }^{ n }\left( \frac { w-{ z }_{ 0 } }{ z{ -z }_{ 0 } } \right) ........(3)
समीकरण (3) का (2) में प्रयोग करने पर-

\frac { 1 }{ w-z } =\frac { 1 }{ \left( w-{ z }_{ 0 } \right) } \left[ \begin{matrix} 1+\frac { z{ -z }_{ 0 } }{ w-{ z }_{ 0 } } +{ \left( \frac { z{ -z }_{ 0 } }{ w-{ z }_{ 0 } } \right) }^{ 2 }+... \\ +{ \left( \frac { z{ -z }_{ 0 } }{ w-{ z }_{ 0 } } \right) }^{ n-1 }+{ \left( \frac { z{ -z }_{ 0 } }{ w-{ z }_{ 0 } } \right) }^{ n }\left( \frac { w-{ z }_{ 0 } }{ z{ -z }_{ 0 } } \right) \end{matrix} \right] \\ =\left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ \left( w-{ z }_{ 0 } \right) } +\frac { z{ -z }_{ 0 } }{ { \left( w-{ z }_{ 0 } \right) }^{ 2 } } +\frac { { \left( z{ -z }_{ 0 } \right) }^{ 2 } }{ { \left( w-{ z }_{ 0 } \right) }^{ 3 } } +.... \\ +\frac { { \left( z{ -z }_{ 0 } \right) }^{ n-1 } }{ { \left( w-{ z }_{ 0 } \right) }^{ n } } +\frac { { \left( z{ -z }_{ 0 } \right) }^{ n } }{ { \left( w-{ z }_{ 0 } \right) }^{ n } } .\frac { 1 }{ w-z } \end{matrix} \right] ......(4)
समीकरण (4) को \frac { f\left( w \right) }{ 2\pi i } से गुणा करके प्रत्येक पद को वृत्त { c }_{ 1 } के अनुदिश w के सापेक्ष समाकल करने तथा परिणाम (1) प्रयोग करने पर-

f\left( z \right) =\frac { 1 }{ 2\pi i } \int _{ { c }_{ 1 } }^{ \quad }{ \frac { f\left( w \right) }{ w-{ z }_{ 0 } } dw } +\frac { z{ -z }_{ 0 } }{ 2\pi i } \int _{ { c }_{ 1 } }^{ \quad }{ \frac { f\left( w \right) }{ { \left( w-{ z }_{ 0 } \right) }^{ 2 } } dw } +.......\\ +\frac { { \left( z{ -z }_{ 0 } \right) }^{ n-1 } }{ 2\pi i } \int _{ { c }_{ 1 } }^{ \quad }{ \frac { f\left( w \right) }{ { \left( w-{ z }_{ 0 } \right) }^{ n } } dw } +{ R }_{ n }......(5)
जहां{ R }_{ n }=\frac { 1 }{ 2\pi i } \int _{ { c }_{ 1 } }^{ \quad }{ { \left( \frac { z{ -z }_{ 0 } }{ w{ -z }_{ 0 } } \right) }^{ n }\frac { f\left( w \right) }{ w-{ z }_{ 0 } } dw } .......(6)
अब कोशी प्रमेय का प्रयोग करने पर कोशी प्रमेय को निम्न रूप में लिखा जा सकता है-

f\left( z \right) =f\left( { z }_{ 0 } \right) +f^{ \prime }\left( { z }_{ 0 } \right) \left( z-{ z }_{ 0 } \right) +f^{ \prime \prime }\left( { z }_{ 0 } \right) \frac { { \left( z-{ z }_{ 0 } \right) }^{ 2 } }{ 2! } +\\ f^{ \prime \prime \prime }\left( { z }_{ 0 } \right) \frac { { \left( z-{ z }_{ 0 } \right) }^{ 3 } }{ 3! } +.....+f^{ n-1 }\left( { z }_{ 0 } \right) \frac { { \left( z-{ z }_{ 0 } \right) }^{ n-1 } }{ \left( n-1 \right) ! } +{ R }_{ n }......(7)
यदिn\rightarrow \infty लेने पर{ R }_{ n }\rightarrow 0 तो
\left| f\left( w \right) \right| \le M(जहां m एक अचर राशि है)W\in { c }_{ 1 }
चूंकि f(z) एक विश्लेषिक फलन है।

\left| w-z \right| =\left| \left( w-{ z }_{ 0 } \right) -\left( z{ -z }_{ 0 } \right) \right| \ge \left| \left( w-{ z }_{ 0 } \right) \right| -\left| \left( z{ -z }_{ 0 } \right) \right| ={ r }_{ 1 }-\rho
अतः \left| { R }_{ n } \right| \le \frac { 1 }{ 2\pi i } \int _{ { c }_{ 1 } }^{ \quad }{ { \left| \frac { z{ -z }_{ 0 } }{ w-{ z }_{ 0 } } \right| }^{ n } } .\frac { \left| f\left( w \right) \right| }{ \left| w-z \right| } \left| dw \right| \\ \le \frac { M }{ 2\pi } { \left( \frac { \rho }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ n }.\frac { 1 }{ { r }_{ 1 }-\rho } 2\pi { r }_{ 1 }\\ \le M{ \left( \frac { \rho }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ n }.\frac { 1 }{ 1-\left( \frac { \rho }{ { r }_{ 1 } } \right) }
अब { \left( \frac { \rho }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ n }\rightarrow 0यदिn\rightarrow \infty \quad \because \rho <{ r }_{ 1 }
फलत: { R }_{ n }\rightarrow 0जबकि n\rightarrow \infty
इसलिएf\left( z \right) =f\left( { z }_{ 0 } \right) +\overset { \infty }{ \underset { n=1 }{ \sum { \quad } } } \frac { { \left( z-{ z }_{ 0 } \right) }^{ n } }{ n! } { f }^{ n }\left( { z }_{ 0 } \right)

3.टेलर प्रमेय द्वारा विश्लेषिक फलनों की घात श्रेणी प्रसार (power series expansion by Taylor theorem) के सवाल हल सहित-

टेलर प्रमेय द्वारा विश्लेषिक फलनों की घात श्रेणी प्रसार (power series expansion by Taylor theorem) निम्न सवालों के हल द्वारा समझेंगे-
Question-1.मूल बिन्दु के सामीप्य में फलन \frac { 1 }{ \left( z-1 \right) \left( z-2 \right) } का टेलर श्रेणी में प्रसार करो।
(Expand\frac { 1 }{ \left( z-1 \right) \left( z-2 \right) } in a Taylor’s series around the origin)

f\left( z \right) =\frac { 1 }{ \left( z-1 \right) \left( z-2 \right) }
आंशिक भिन्नों में वियोजन करने पर-

\frac { 1 }{ \left( z-1 \right) \left( z-2 \right) } =\frac { A }{ z-1 } +\frac { B }{ z-2 } \\ \frac { 1 }{ \left( z-1 \right) \left( z-2 \right) } =\frac { A\left( z-2 \right) +B\left( z-1 \right) }{ \left( z-1 \right) \left( z-2 \right) } \\ \left( A+B \right) z=-2A-B=1
A+B=0 …….(1)
-2A-B=1 ……..(2)
————————–
-A=1 जोड़ने पर
A= -1
A का मान समीकरण (1) में रखने पर-
B=1

f\left( z \right) =\frac { 1 }{ z-2 } -\frac { 1 }{ z-1 } \\ f\left( z \right) =\frac { 1 }{ -2\left( 1-\frac { z }{ 2 } \right) } +\frac { 1 }{ \left( 1-z \right) } \\ =-\frac { 1 }{ 2 } { \left( 1-\frac { z }{ 2 } \right) }^{ -1 }+{ \left( 1-z \right) }^{ -1 }\\ =-\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { \left( \frac { z }{ 2 } \right) }^{ n } } +\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { z }^{ n } } \\ =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { \left( -\frac { { z }^{ n } }{ { 2 }^{ n+1 } } \right) } } +\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { z }^{ n } } \\ =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \left( 1-\frac { 1 }{ { 2 }^{ n+1 } } \right) } { z }^{ n }\\ =1+\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \left( 1-\frac { 1 }{ { 2 }^{ n+1 } } \right) } { z }^{ n }
Question-2.बिन्दु z=\frac { \pi }{ 4 } के सामीप्यf\left( z \right) =sinz में का टेलर श्रेणी में प्रसार ज्ञात कीजिए।
(Expand f\left( z \right) =sinz in a Taylor’s series aboutz=\frac { \pi }{ 4 } )
Solution-f\left( z \right) =sinz\\ f\left( z-{ z }_{ 0 }+{ z }_{ 0 } \right) =f\left( { z }_{ 0 } \right) +f^{ \prime }\left( { z }_{ 0 } \right) \left( z-{ z }_{ 0 } \right) +f^{ \prime \prime }\left( { z }_{ 0 } \right) \frac { { \left( z-{ z }_{ 0 } \right) }^{ 2 } }{ 2! } +f^{ \prime \prime \prime }\left( { z }_{ 0 } \right) \frac { { \left( z-{ z }_{ 0 } \right) }^{ 3 } }{ 3! } +...........(1)\\ f\left( z \right) =sinz\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad f\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \\ f^{ \prime }\left( z \right) =cosz\\ f^{ \prime }\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) =\cos { \frac { \pi }{ 4 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \\ f^{ \prime \prime }\left( z \right) =-\sin { z } \\ f^{ \prime \prime }\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) =-\sin { \frac { \pi }{ 4 } } =-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \\ f^{ \prime \prime \prime }\left( z \right) =-cosz\\ f^{ \prime \prime \prime }\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) =-cos\frac { \pi }{ 4 } =-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \\ f\left( z-\frac { \pi }{ 4 } +\frac { \pi }{ 4 } \right) =f\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) +f^{ \prime }\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) \left( z-\frac { \pi }{ 4 } \right) +f^{ \prime \prime }\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) \frac { { \left( z-\frac { \pi }{ 4 } \right) }^{ 2 } }{ 2! } +f^{ \prime \prime \prime }\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) \frac { { \left( z-\frac { \pi }{ 4 } \right) }^{ 3 } }{ 3! } +.........\\ f\left( z \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \left( z-\frac { \pi }{ 4 } \right) -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \frac { { \left( z-\frac { \pi }{ 4 } \right) }^{ 2 } }{ 2! } -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \frac { { \left( z-\frac { \pi }{ 4 } \right) }^{ 3 } }{ 3! } -.........\\ =\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } \left[ 1+\left( z-\frac { \pi }{ 4 } \right) -\frac { { \left( z-\frac { \pi }{ 4 } \right) }^{ 2 } }{ 2! } -\frac { { \left( z-\frac { \pi }{ 4 } \right) }^{ 3 } }{ 3! } -............. \right]

इस प्रकार हमने टेलर प्रमेय द्वारा विश्लेषिक फलनों की घात श्रेणी प्रसार (power series expansion by Taylor theorem) से इस उदाहरण को समझा |

Question-3.टेलर एवं लौरां श्रेणी प्राप्त करो जो कि निम्न क्षेत्र में वैद्य फलन \frac { { z }^{ 2 }-1 }{ \left( z+2 \right) \left( z+3 \right) } को निरूपित करती है।
(Find Taylor’s and Laurent’s series which represent the function\frac { { z }^{ 2 }-1 }{ \left( z+2 \right) \left( z+3 \right) } and valid for the regions):

(i)\left| z \right| <2  (ii)2<\left| z \right| <3  (iii)\left| z \right| >3

Solution-फलन z=-2 तथा z=-3 के अतिरिक्त सभी z के मानों के लिए विश्लेषिक है।
अब हम समतल में,बिन्दु की स्थिति के अनुसार f(z) के विभिन्न प्रसारों को ज्ञात करेंगे।

f\left( z \right) =\frac { { z }^{ 2 }-1 }{ \left( z+2 \right) \left( z+3 \right) } \\ f\left( z \right) =1-\frac { \left( 5z+7 \right) }{ \left( z+2 \right) \left( z+3 \right) } \\ \frac { \left( 5z+7 \right) }{ \left( z+2 \right) \left( z+3 \right) } =\frac { A }{ z+2 } +\frac { B }{ z+3 } \\ \left( 5z+7 \right) =A\left( z+3 \right) +B\left( z+2 \right) \\ \left( 5z+7 \right) =\left( A+B \right) z+3A+2B
तुलना करने पर-
A+B=5 ……(1)
3A+2B=7 …….(2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करके घटाने पर-
3A+2B=7 ……..(2)
2A+2B=10 ……..(3)
– – –
………………………….
A= -3
A का मान समीकरण (1) में रखने पर-
B=8

f\left( z \right) =\frac { { z }^{ 2 }-1 }{ \left( z+2 \right) \left( z+3 \right) } \\ f\left( z \right) =1+\frac { 3 }{ \left( z+2 \right) } -\frac { 8 }{ \left( z+3 \right) }

(i)जब \left| z \right| <2
अर्थात्0<\left| z \right| <2\\ f\left( z \right) =1+\frac { 3 }{ \left( z+2 \right) } -\frac { 8 }{ \left( z+3 \right) } \\ \Rightarrow f\left( z \right) =1+\frac { 3 }{ 2\left( 1+\frac { z }{ 2 } \right) } -\frac { 8 }{ 3\left( 1+\frac { z }{ 3 } \right) } \\ \Rightarrow f\left( z \right) =1+\frac { 3 }{ 2 } { \left( 1+\frac { z }{ 2 } \right) }^{ -1 }+\frac { 8 }{ 3 } { \left( 1+\frac { z }{ 3 } \right) }^{ -1 }\\ =1+\frac { 3 }{ 2 } \left[ 1-\frac { z }{ 2 } +{ \left( \frac { z }{ 2 } \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { z }{ 2 } \right) }^{ 3 }+......... \right] -\frac { 8 }{ 3 } \left[ 1-\frac { z }{ 3 } +{ \left( \frac { z }{ 3 } \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { z }{ 3 } \right) }^{ 3 }+......... \right] \\ =1+\frac { 3 }{ 2 } \overset { \infty }{ \underset { n=0 }{ \sum { \quad } } } { \left( -1 \right) }^{ n }{ \left( \frac { z }{ 2 } \right) }^{ n }-\frac { 8 }{ 3 } \overset { \infty }{ \underset { n=0 }{ \sum { \quad } } } { \left( -1 \right) }^{ n }{ \left( \frac { z }{ 3 } \right) }^{ n }\\ =1+3\overset { \infty }{ \underset { n=0 }{ \sum { \quad } } } { \left( -1 \right) }^{ n }\frac { { z }^{ n } }{ { 2 }^{ n+1 } } -8\overset { \infty }{ \underset { n=0 }{ \sum { \quad } } } { \left( -1 \right) }^{ n }\frac { { z }^{ n } }{ 3^{ n+1 } } \\ \\ =1+{ \left( -1 \right) }^{ n }\overset { \infty }{ \underset { n=0 }{ \sum { \quad } } } \left( \frac { 1 }{ { 2 }^{ n+1 } } -\frac { 1 }{ 3^{ n+1 } } \right) { z }^{ n }
जो कि क्षेत्र 0<\left| z \right| <2में टेलर प्रसार है।

(ii)2<\left| z \right| <3\\ f\left( z \right) =1+\frac { 3 }{ \left( z+2 \right) } -\frac { 8 }{ \left( z+3 \right) } \\ f\left( z \right) =1+\frac { 3 }{ z\left( 1+\frac { 2 }{ z } \right) } -\frac { 8 }{ 3\left( 1+\frac { z }{ 3 } \right) } \\ \left[ \because \frac { \left| z \right| }{ 3 } <1,\frac { \left| z \right| }{ 2 } <1 \right] \\ =1+\frac { 3 }{ z } { \left( 1+\frac { 2 }{ z } \right) }^{ -1 }+\frac { 8 }{ 3 } { \left( 1+\frac { z }{ 3 } \right) }^{ -1 }\\ =1+\frac { 3 }{ z } \left[ 1-\frac { 2 }{ z } +{ \left( \frac { 2 }{ z } \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 2 }{ z } \right) }^{ 3 }+......... \right] -\frac { 8 }{ 3 } \left[ 1-\frac { z }{ 3 } +{ \left( \frac { z }{ 3 } \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { z }{ 3 } \right) }^{ 3 }+......... \right] \\ =1+\frac { 3 }{ z } \overset { \infty }{ \underset { n=0 }{ \sum { \quad } } } { \left( \frac { 2 }{ z } \right) }^{ n }-\frac { 8 }{ 3 } \overset { \infty }{ \underset { n=0 }{ \sum { \quad } } } { \left( -1 \right) }^{ n }{ \left( \frac { z }{ 3 } \right) }^{ n }
जो कि वलयिका 2<\left| z \right| <3 में Z की धनात्मक एवं ऋणात्मक घातों में फलन का लौरां प्रसार है।

(iii)\left| z \right| >3\\ f\left( z \right) =1+\frac { 3 }{ \left( z+2 \right) } -\frac { 8 }{ \left( z+3 \right) } \\ f\left( z \right) =1+\frac { 3 }{ z\left( 1+\frac { 2 }{ z } \right) } -\frac { 8 }{ z\left( 1+\frac { 3 }{ z } \right) } \\ =1+\frac { 3 }{ z } { \left( 1+\frac { 2 }{ z } \right) }^{ -1 }-\frac { 8 }{ z } { \left( 1+\frac { 3 }{ z } \right) }^{ -1 }\\ =1+\frac { 3 }{ z } \overset { \infty }{ \underset { n=0 }{ \sum { \quad } } } { \left( -1 \right) }^{ n }{ \left( \frac { 2 }{ z } \right) }^{ n }-\frac { 8 }{ z } \overset { \infty }{ \underset { n=0 }{ \sum { \quad } } } { \left( -1 \right) }^{ n }{ \left( \frac { 3 }{ z } \right) }^{ n }\\ =1+\overset { \infty }{ \underset { n=0 }{ \sum { \quad } } } { \left( -1 \right) }^{ n }3.\frac { { 2 }^{ n } }{ { z }^{ n+1 } } -\overset { \infty }{ \underset { n=0 }{ \sum { \quad } } } { \left( -1 \right) }^{ n }8.\frac { { 3 }^{ n } }{ z^{ n+1 } } \\ =1+\overset { \infty }{ \underset { n=0 }{ \sum { \quad } } } { \left( -1 \right) }^{ n }\left[ 3.{ 2 }^{ n }-8.{ 3 }^{ n } \right] z^{ -n-1 }
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा टेलर प्रमेय द्वारा विश्लेषिक फलनों की घात श्रेणी प्रसार (power series expansion by Taylor theorem) को समझा जा सकता है।
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