Radius of Convergence

अभिसरण त्रिज्या का परिचय (Introduction to Radius of Convergence):

Radius of Convergence

• अभिसरण त्रिज्या (Radius of Convergence):सम्मिश्र विश्लेषण में अभिसरण वृत्त की त्रिज्या कोशी-हाडामार्ड प्रमेय तथा द्वितीय कोशी प्रमेय के अनुप्रयोग द्वारा ज्ञात की जाती है।इस आर्टिकल में उदाहरण के अभिसरण त्रिज्या ज्ञात करेंगे।
  
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अभिसरण त्रिज्या (Radius of Convergence):

Radius of Convergence

• वृत्त |z|=R, घात श्रेणी \Sigma{a_{n}z^{n}} का अभिसरण वृत्त कहलाता है यदि इसके भीतरी भाग में वे समस्त z के मान विद्यमान है जिनके लिए घात श्रेणी अभिसारी है।त्रिज्या R को इस वृत्त की अभिसारी त्रिज्या कहते हैं।
  उपर्युक्त से स्पष्ट है कि अभिसरण वृत्त |z|=R के अन्दर घात श्रेणी निरपेक्ष एवं एकसमान अभिसारी होती है।इसके बाहर श्रेणी अपसारी होगी तथा वृत्त की परिसीमा पर श्रेणी अभिसारी या अपसारी कुछ भी हो सकती है।
  कोशी-हाडामार्ड प्रमेय के अनुसार यदि घात श्रेणी \Sigma{a_{n}z^{n}} का अभिसारी त्रिज्या R हो तो
  \frac{1}{R}=\lim_{n\rightarrow{\infin}}Sup|a_{n}|^{\frac{1}{n}}
  इसे हम अभिसारी त्रिज्या के लिए हाडामार्ड सूत्र (Hadamard’s formula) कहते हैं।
  द्वितीय कोशी प्रमेय के अनुसार यदि \left\{a_{n}\right\} एक अनुक्रम धनात्मक चरों का है तब
  \lim_{n\rightarrow{\infin}}|a_{n}|^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow{\infin}}|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|
• बशर्ते दक्षिण पक्ष की सीमा परिमित या अपरिमित रूप से अस्तित्व हो।
  अतः R=\lim_{n\rightarrow{\infin}}|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|

Radius of Convergence

• उपर्युक्त आर्टिकल में अभिसरण त्रिज्या (Radius of Convergence) के बारे में बताया गया है।