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Laurent expansion of analytic function

1.विश्लेषिक फलन का लौरां प्रसार का परिचय (Introduction to Laurent expansion of analytic function)-

विश्लेषिक फलन का लौरां प्रसार (Laurent expansion of analytic function) की थ्योरी और प्रमेय का सत्यापन इससे पूर्व आर्टिकल में किया गया है। इसलिए विश्लेषिक फलन का लौरां प्रसार (Laurent expansion of analytic function) की थ्योरी को समझने के लिए इससे पूर्व पोस्ट किए गए आर्टिकल को देखना चाहिए।उस आर्टिकल में कुछ सवालों के हल द्वारा थ्योरी समझाई गई है।
इस आर्टिकल में विश्लेषिक फलन का लौरां प्रसार (Laurent expansion of analytic function) को समझाने के लिए कुछ विशिष्ट और क्रिटिकल सवालों के हल दिए गए हैं जिनसे लौरां प्रसार को ठीक से समझा जा सकता है।
यदि वृत्तीय वलयिका a<|z-{ z }_{ 0 }|<b में विश्लेषिक फलन है तो f को निम्न प्रकार प्रदर्शित किया जा सकता है-

f\left( z \right) =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ (z-{ z }_{ 0 }) }^{ n } } +\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { b }_{ n }{ (z-{ z }_{ 0 }) }^{ -n } }
जहां (where) { a }_{ n }=\frac { 1 }{ 2\pi \iota } \int _{ { c }_{ 1 } }{ \frac { f\left( w \right) dw }{ { (w-{ z }_{ 0 }) }^{ n+1 } } } \quad \quad n=0,1,2....
और (and) { b }_{ n }=\frac { 1 }{ 2\pi \iota } \int _{ { c }_{ 2 } }{ \frac { f\left( w \right) dw }{ { (w-{ z }_{ 0 }) }^{ -n+1 } } } \quad \quad n=1,2....

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2.विश्लेषिक फलन का लौरां प्रसार (Laurent expansion of analytic function) पर आधारित उदाहरण,आप एक लॉरेंट श्रृंखला प्रश्न कैसे हल करते हैं? (How do you solve a Laurent series question?),लॉरेंट श्रृंखला के उदाहरण (Laurent series examples),लॉरेंट श्रृंखला की समस्याएं और समाधान (Laurent series problems and solutions)-

प्रदर्शित कीजिए कि (Show that)
Example-1.\sinh { (z+{ z }^{ -1 }) } ={ a }_{ 0 }+\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }({ z }^{ n }+{ z }^{ -n }) }
जहां { a }_{ n }=\frac { 1 }{ 2\pi } \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \cos { n\theta } } \sinh { (2\cos { \theta )d\theta } } \quad \quad \quad \quad [n=0,1,2....]
Solution- माना कि  f\left( z \right) =\sinh { (z+\frac { 1 }{ z } ) } जहां f(z),z\neq 0के सभी परिमित मानों के लिए विश्लेषिक फलन है। अतः f(z),वलयिका r<|z|<R में विश्लेषिक फलन होगा जहां r छोटी तथा R बड़ी संख्या है। अतः f(z) के लिए लौरां श्रेणी प्रयोग करने पर-

f\left( z \right) =\sinh { (z+{ z }^{ -1 }) } =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ z }^{ n } } +\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { b }_{ n }{ z }^{ -n } } ….(1)
जहां { a }_{ n }=\frac { 1 }{ 2\pi \iota } \int _{ { c } }{ \sinh { (z+\frac { 1 }{ z } ) } } \frac { dz }{ { z }^{ n+1 } } …(2)
और { b }_{ n }=\frac { 1 }{ 2\pi \iota } \int _{ { c } }{ \sinh { (z+\frac { 1 }{ z } ) } } \frac { dz }{ { z }^{ -n+1 } } ….(3)
C वलयिका r<|z|<R में है जिसका केन्द्र मूलबिन्दु है, में स्थित वृत्त है।यदि हम वृत्त C की त्रिज्या 1 लें तो |z|=1अर्थात् 

z={ e }^{ \iota \theta }\quad \quad \quad dz=\iota { e }^{ \iota \theta }d\theta \\ \therefore { a }_{ n }=\frac { 1 }{ 2\pi } \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ { e }^{ -\iota n\theta } } \sinh { (2\cos { \theta ){ e }^{ -\iota n\theta }d\theta } } \\ \quad \quad =\frac { 1 }{ 2\pi } [\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \cos { n\theta } } \sinh { (2\cos { \theta )d\theta } } -\iota \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \sin { n\theta } } \sinh { (2\cos { \theta )d\theta } } ]

चूंकि द्वितीय समाकलन के लिए F(2\pi -\theta )=-F(\theta ) अतः इस समाकल का मान शून्य होगा।

\therefore { a }_{ n }=\frac { 1 }{ 2\pi } \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \cos { n\theta } } \sinh { (2\cos { \theta )d\theta } } …(4)
अब { b }_{ n }={ a }_{ -n }=\frac { 1 }{ 2\pi } \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \cos { (-n\theta ) } } \sinh { (2\cos { \theta )d\theta } } \\ \quad \quad \quad \quad \quad =\frac { 1 }{ 2\pi } \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \cos { n\theta } } \sinh { (2\cos { \theta )d\theta } } \\ \quad \quad \quad \quad \quad ={ a }_{ n }…..(5)
समीकरण (4) व (5) का प्रयोग समीकरण (1) में करने पर-

f\left( z \right) =\sinh { (z+{ z }^{ -1 }) } =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ z }^{ n } } +\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ z }^{ -n } } \\ ={ a }_{ 0 }+\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ z }^{ n } } +\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ z }^{ -n } } \\ ={ a }_{ 0 }+\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }({ z }^{ n }+{ z }^{ -n }) }
जहां { a }_{ n }=\frac { 1 }{ 2\pi } \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \cos { n\theta } } \sinh { (2\cos { \theta )d\theta } }

Example-2.{ e }^{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) c\left( z-\frac { 1 }{ z } \right) } =\sum _{ n=-\infty }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ z }^{ n } }
Solution{ e }^{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) c\left( z-\frac { 1 }{ z } \right) }=\sum _{ n=-\infty }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ z }^{ n } }

माना कि f\left( z \right) ={ e }^{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) c\left( z-\frac { 1 }{ z } \right) }
दिया हुआ फलन f(z) ,z=0 के अतिरिक्त सभी परिमित मानों के लिए z-समतल में विश्लेषिक है। इसलिए फलन f(z) ,वलयिका r<|z|<R में विश्लेषिक है। जहां r बहुत छोटी और R बड़ी संख्या है। अतः f(z) के लिए लौरां श्रेणी प्रयोग करने पर-

{ e }^{ (\frac { 1 }{ 2 } )c(z-\frac { 1 }{ z } ) }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ z }^{ n } } +\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { b }_{ n }{ z }^{ -n } } …(1)
जहां { a }_{ n }=\frac { 1 }{ 2\pi \iota } \int _{ { c } }{ { e }^{ (\frac { 1 }{ 2 } )c(z-\frac { 1 }{ z } ) } } \frac { dz }{ { z }^{ n+1 } } ….(2)
तथा { b }_{ n }=\frac { 1 }{ 2\pi \iota } \int _{ { c } }{ { e }^{ (\frac { 1 }{ 2 } )c(z-\frac { 1 }{ z } ) } } \frac { dz }{ { z }^{ -n+1 } } …(3)
C और C वलयिका r<|z|<R में है जिसका केन्द्र मूलबिन्दु है, में स्थित वृत्त है।यदि हम वृत्त की त्रिज्या 1 लें तो |z|=1 अर्थात्

z={ e }^{ \iota \theta } एवं { a }_{ n }=\frac { 1 }{ 2\pi \iota } \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ { e }^{ (\frac { 1 }{ 2 } )c({ e }^{ \iota \theta }-{ e }^{ -\iota \theta }) }\frac { \iota { e }^{ \iota \theta } }{ { e }^{ \iota (n+1)\theta } } d\theta } \\ =\frac { 1 }{ 2\pi } \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ { e }^{ \iota c\sin { \theta } }{ e }^{ -\iota n\theta }d\theta } \\ =\frac { 1 }{ 2\pi } \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ { e }^{ -\iota (n\theta -c\sin { \theta } ) }d\theta } \\ =\frac { 1 }{ 2\pi } \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \{ \cos { (n\theta -c\sin { \theta } ) } } -\iota \sin { (n\theta -c\sin { \theta } ) } \} d\theta
चूंकि द्वितीय समाकलन के लिए F(-\theta )=-F(\theta )
अतः इस समाकल का मान शून्य होगा

\therefore { a }_{ n }=\frac { 1 }{ 2\pi } \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \cos { (n\theta -c\sin { \theta } ) } } d\theta ….(4)
दिया हुआ फलन z के स्थान पर -\frac { 1 }{ z } रखने पर अपरिवर्तित रहता है इसलिए

{ b }_{ n }={ (-1) }^{ n }{ a }_{ n }….(5)

{ e }^{ (\frac { 1 }{ 2 } )c(z-\frac { 1 }{ z } ) }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ z }^{ n } } +\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { b }_{ n }{ z }^{ -n } } \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ z }^{ n } } +\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { (-1) }^{ n }{ a }_{ n }{ z }^{ -n } } \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\sum _{ n=-\infty }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ z }^{ n } }
जहां { a }_{ n }=\frac { 1 }{ 2\pi } \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \cos { (n\theta -c\sin { \theta } ) } } d\theta

Example-3.क्षेत्र 0<|z|<\pi में फलन f\left( z \right) =\frac { 1 }{ { z }^{ 2 }\sinh { z } } के लिए लौरां श्रेणी के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।
(In the region 0<|z|<\pi find the first three terms of Laurent’s series of the functionf\left( z \right) =\frac { 1 }{ { z }^{ 2 }\sinh { z } } )
Solution-f\left( z \right) =\frac { 1 }{ { z }^{ 2 }\sinh { z } } \\ f\left( z \right) =\frac { 1 }{ { z }^{ 2 }(z+\frac { { z }^{ 3 } }{ 3! } +\frac { { z }^{ 5 } }{ 5! } +.....) } \\ =\frac { 1 }{ { z }^{ 3 }(1+\frac { { z }^{ 2 } }{ 6 } +\frac { { z }^{ 4 } }{ 120 } +.....) } \\ =\frac { 1 }{ { z }^{ 3 } } { (1+\frac { { z }^{ 2 } }{ 6 } +\frac { { z }^{ 4 } }{ 120 } +.....) }^{ -1 }\\ =\frac { 1 }{ { z }^{ 3 } } { [1-(\frac { { z }^{ 2 } }{ 6 } +\frac { { z }^{ 4 } }{ 120 } +.....) }+{ (\frac { { z }^{ 2 } }{ 6 } +\frac { { z }^{ 4 } }{ 120 } +.....) }^{ 2 }-.......]\\ =\frac { 1 }{ { z }^{ 3 } } [1-\frac { { z }^{ 2 } }{ 6 } -\frac { { z }^{ 4 } }{ 120 } -.......+\frac { { z }^{ 4 } }{ 36 } +.........]\\ =\frac { 1 }{ { z }^{ 3 } } [1-\frac { { z }^{ 2 } }{ 6 } -\frac { { z }^{ 4 } }{ 120 } +\frac { { z }^{ 4 } }{ 36 } +.........]\\ =\frac { 1 }{ { z }^{ 3 } } [1-\frac { { z }^{ 2 } }{ 6 } +\frac { { 10z }^{ 4 }-{ 3z }^{ 4 } }{ 360 } +.........]\\ =\frac { 1 }{ { z }^{ 3 } } [1-\frac { { z }^{ 2 } }{ 6 } +\frac { { 7z }^{ 4 } }{ 360 } +.........]\\ =\frac { 1 }{ { z }^{ 3 } } -\frac { 1 }{ 6z } +\frac { 7z }{ 360 } +..........
अतः लौरां श्रेणी के प्रथम तीन पद लेने पर-

\frac { 1 }{ { z }^{ 3 } } -\frac { 1 }{ 6z } +\frac { 7z }{ 360 }
उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा विश्लेषिक फलन का लौरां प्रसार (Laurent expansion of analytic function) को समझा जा सकता है।

3.टेलर श्रृंखला लॉरेंट से कैसे संबंधित है? (How is Taylor series related to Laurent?)-

टेलर श्रृंखला केवल तब काम करती है जब आपका फलन होलोमोर्फिक होता है, अलग-अलग विलक्षणताओं के लिए लॉरेंट श्रृंखला अभी भी काम करती है।जब f होलोमोर्फिक है, टेलर श्रृंखला और लौरेंट श्रृंखला समान हैं, और कॉची प्रमेय के साथ आप देख सकते हैं।

4.किस सम्मिश्र चर का उपयोग किया जाता है? (What are complex variables used for?)-

सम्मिश्र चर, गणित में, एक चर जो एक सम्मिश्र संख्या के मूल्य पर ले जा सकता है।मूल बीजगणित में, चर x और y आम तौर पर वास्तविक संख्याओं के मूल्यों को दर्शाते हैं। सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित (सम्मिश्र विश्लेषण) सम्मिश्र चर z का उपयोग a + bi के रूप की एक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए करता है।

5. एक बिंदु के बारे में लॉरेंट श्रृंखला का विस्तार (Laurent series expansion about a point)-

एक लौरेंट श्रृंखला को एक विशेष बिंदु c और समाकलन के पथ के संबंध में परिभाषित किया गया है।एकीकरण का मार्ग एक वलयिका (annulus) में निहित होना चाहिए, जो लाल रंग द्वारा इंगित किया गया है, जिसके अंदर f (z) होलोमोर्फिक (विश्लेषणात्मक) है।

6.लॉरेंट श्रृंखला सूत्र (Laurent series formula)-

लॉरेंट सीरीज़ ओपन एनुलस A: {z: r <| z – c | <R}। यह कहने के लिए कि लॉरेंट श्रृंखला अभिसरण करती है, हमारा मतलब है कि घात श्रेणी की धनात्मक डिग्री और घात श्रेणी की ऋणात्मक डिग्री दोनों ही अभिसरण होती हैं। एनुलस (Annulus) के बाहर, लॉरेंट श्रृंखला का अभिसरण होता है।

7. लॉरेंट श्रृंखला व्युत्पत्ति (Laurent series derivation)-

जब एक सम्मिश्र फलन में एक अलग वियुक्त विचित्रता होती है, तो हम टेलर श्रृंखला को लॉरेंट श्रृंखला द्वारा प्रतिस्थापित करेंगे। आश्चर्य नहीं कि हम इन श्रृंखलाओं को कॉशी के अभिन्न सूत्र से प्राप्त करेंगे।संख्या r को ज्यामितीय श्रेणी का अनुपात कहा जाता है क्योंकि यह श्रेणी की लगातार शर्तों का अनुपात है।

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