क्रमचय कक्षा 11 (Permutations Class 11) के इस आर्टिकल में क्रमचय पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।क्रमचय कक्षा 11 पर आधारित सवाल निम्न हैं:
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2.क्रमचय कक्षा 11 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Permutations Class 11):

Example:1.अंक 1,2,3,4 और 5 से कितनी 3 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,यदि
(i)अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो?
(ii)अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हो?
Solution:(i)हमें 5 में से 3 अंकों की संख्या बनानी है,लेकिन अंकों की पुनरावृत्ति हो सकती है।अतः संख्या बनाने के लिए इकाई का अंक 5 में से किसी भी एक अंक को चुना जा सकता है।इस प्रकार इकाई के अंक को 5 प्रकार से चुना जा सकता है।अब क्योंकि अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है अतः दहाई व सैकड़ा वाले अंक के स्थान पर भी 5,5 प्रकार से चुन सकते हैं।
अतः कुल संख्याएँ होंगी=5×5×5=125
(ii)5 अंकों में से 3 अंकों को लेकर बनने वाली संख्याएँ होंगी:

${}^5 P_3 =\frac{5 !}{(5-3) !} \\ =\frac{5 !}{2 !}=\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 !}{2 !} \\ =60$
Example:2.अंक 1,2,3,4,5,6 से कितनी 3 अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,यदि अंकों की पुनरावृत्ति की जा सकती है?
Solution:संख्याओं को बनाने के तरीके तीन रिक्त स्थानों को उत्तरोत्तर उचित प्रकार से भरने के तरीकों की संख्या के बराबर हैं।यहाँ इकाई के स्थान को भरने के लिए 3 तीन विकल्प हैं:अंक 2,4 या 6 और यह तीनों तरीकों से किया जा सकता है।इसके पश्चात दहाई के स्थान को 6 अंकों में से किसी एक द्वारा भरा जा सकता है (क्योंकि अंकों की पुनरावृत्ति की जा सकती है),अतः इसके 6 विकल्प हैं।इसी प्रकार सैकड़ा के स्थान को भरने के लिए 6 विकल्प हैं।अतएव गुणन सिद्धान्त द्वारा तीन अंकों वाली सम संख्याओं की अभीष्ट संख्या=3×6×6=108 है।
Example:3.अंग्रेजी वर्णमाला के प्रथम 10 अक्षरों से कितने 4 अक्षर के कोड बनाए जा सकते हैं,यदि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जा सकती है।
Solution:अंग्रेजी वर्णमाला के प्रथम 10 अक्षरों में से 4 अक्षर को लेकर बनाए जा सकने वाले कोड की संख्या होगी

{}^{10} P_4 =\frac{10 !}{(10-4) !} \\ =\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 !}{6 !} \\ =10 \times 9 \times 8 \times 7=5040

Permutations Class 11

Example:4.0 से 9 तक के अंकों का प्रयोग करके कितने 5 अंकीय टेलीफोन नम्बर बनाए जा सकते हैं,यदि प्रत्येक नम्बर 67 से प्रारम्भ होता है और कोई अंक एक बार से अधिक नहीं आता है?
Solution:प्रत्येक टेलीफोन नम्बर 67 से प्रारम्भ होता है तो 67 स्थिर हो जाता है और इसलिए हमें तीन अंकों को ही व्यवस्थित करना है।अतः 5 अंकीय टेलीफोन नम्बरों की संख्या होगी:

${}^8 P_3=\frac{8 !}{(8-3) !} \\=\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 !}{5 !} \\ =336$
Example:5.एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है और परिणाम अंकित कर लिए जाते हैं परिणामों की सम्भव संख्या क्या है?
Solution:सिक्के को एक बार उछालने पर कुल सम्भव परिणाम 2 प्राप्त हो सकते हैं।अतः तीन बार उछालने पर गुणन सिद्धान्त द्वारा कुल सम्भव परिणाम=2×2×2=8
Example:6.भिन्न-भिन्न रंगों के 5 झंडे दिए हुए हैं।इनसे कितने विभिन्न संकेत बनाए जा सकते हैं,यदि प्रत्येक संकेत में 2 झंडों,एक के नीचे दूसरे के प्रयोग की आवश्यकता पड़ती है?
Solution:उत्पादित संकेतों की संख्या 2 रिक्त स्थानों को भिन्न-भिन्न रंगों के 5 उत्तरोत्तर भरने के तरीकों की संख्या के बराबर है।ऊपर के रिक्त स्थान को 5 झंडों में से किसी एक द्वारा 5 विभिन्न तरीकों से भरा जा सकता है।इसके बाद नीचे के रिक्त स्थान को शेष 4 झंडों में से किसी एक द्वारा 4 विभिन्न तरीकों से भरा जा सकता है।अतः गुणन सिद्धान्त द्वारा संकेतों की अभीष्ट संख्या=5×4=20
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा क्रमचय कक्षा 11 (Permutations Class 11),कक्षा 11 में क्रमचय (Permutations in Class 11) को समझ सकते हैं।

3.क्रमचय कक्षा 11 की समस्याएँ (Permutations Class 11 Problems):

Permutations Class 11

(1.) यदि $\frac{1}{8 !}+\frac{1}{9 !}=\frac{x}{10 !}$ तो x का मान ज्ञात कीजिए।
(2.)परिकलन कीजिए $\frac{12 !}{(10 !)(2 !)}$
(3.) ${}^{56} P_{n+6}: {}^{54} P_{n+3}=30800$ तो n का मान ज्ञात कीजिए।
(4.)ALLAHABAD शब्द के अक्षरों से बने विभिन्न शब्दों की संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.) x=100 (2.)66 (3.)n=41 (4.) $\frac{9 !}{2 ! 4 !}$
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर क्रमचय कक्षा 11 (Permutations Class 11),कक्षा 11 में क्रमचय (Permutations in Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.क्रमचय कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Permutations Class 11),कक्षा 11 में क्रमचय (Permutations in Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.क्रमचय किसे कहते हैं? (What is Permutation?):

उत्तर:दी हुई वस्तुओं में से कुछ अथवा सभी को एक साथ लेकर उन्हें जितने भिन्न-भिन्न क्रमों या विन्यासों (arrangements) में रखा जा सकता है,उनमें से प्रत्येक क्रम को क्रमचय कहते हैं।

प्रश्न:2.गुणन का आधारभूत सिद्धान्त क्या है? (What is Fundamental Principle of Multiplication?):

उत्तर:माना कि कोई घटना A, m प्रकार से और घटना B, n प्रकार से घटित हो सकती है एवं मानाकि घटना A और B आपस में सम्बन्धित नहीं है।अर्थात् घटना B का n प्रकार घटित होना घटना A के परिणाम पर निर्भर नहीं है।तब दोनों घटनाएँ A और B संयुक्त रूप से m×n प्रकार से घटित हो सकती है।

प्रश्न:3.योग का आधारभूत सिद्धान्त क्या है? (What is Fundamental Principle of Addition?):

उत्तर:मानाकि कोई घटना A, m प्रकार से और घटना B, n प्रकार से घटित हो सकती है,जबकि दोनों घटनाएँ एक साथ घटित नहीं हो सकती है।घटना A या B (दोनों में से कम से कम एक) (m+n) प्रकार से घटित हो सकती है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा क्रमचय कक्षा 11 (Permutations Class 11),कक्षा 11 में क्रमचय (Permutations in Class 11) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Permutations Class 11

क्रमचय कक्षा 11 (Permutations Class 11)

Permutations Class 11

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सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।क्रमचय कक्षा 11 पर आधारित सवाल निम्न हैं

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Satyam

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