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Limit of a Function

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1 1.फलन की सीमा (Limit of a Function),फंक्शन की सीमा की परिभाषा (Limit of a Function Definition)-
1.2 3.फलन की सीमा के उदाहरण (Limit of a Function Examples),सीमा के उदाहरण और हल (Limits Examples and Solutions)-

1.फलन की सीमा (Limit of a Function),फंक्शन की सीमा की परिभाषा (Limit of a Function Definition)-

फलन की सीमा (Limit of a Function) ज्ञात करने की कई विधियां हैं। इनमें मुख्य रूप से प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method),व्यंजक सरलीकरण विधि (Expressions Simplification Method),परिमेयकरण या द्विपरिमेयकरण विधि (Rationalization or Birationalization Method),प्रसार विधि (Expressions Method), सरलीकरण विधि (Simplification Method) का उपयोग करते हुए फलन की सीमा (Limit of a Function) का मान ज्ञात करेंगे।
(1.)सीमिओं पर प्रमेय (Theorems on Limit)-
माना प्रांत D पर दो वास्तविक फलन f तथा g परिभाषित हैं तो हम प्रांत D पर चार नये फलनf \pm g, f g,\frac{f}{g} निम्नानुसार परिभाषित कर सकते हैं:

(f \pm g)(x)=f(x) \pm g(x),(f g)(x)=f(x) \cdot g(x), \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}, g(x) \neq 0,\forall x \in D
इनके प्रयोग से हम निम्न परिणाम प्राप्त कर सकते हैं।
माना \lim _{x \rightarrow a} f(x)=l और \lim_{x \rightarrow a} g(x)=m
यदि l तथा m विद्यमान है तो
(i)योग और अन्तर नियम

\lim _{x \rightarrow a}(f \pm g)(x)=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \pm \lim _{x \rightarrow a}(x) \\ \Rightarrow \lim _{x \rightarrow \infty}(f \pm g)(x)=\ell \pm m \\ \text { (ii)गुणन नियम } \\  \lim _{x \rightarrow a}(f g)(x)=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow a} g(x) \\ \lim _{x \rightarrow a}(f g)(x)=l \cdot m \\ \text { (iii)भिन्न नियम } \\ \lim _{x \rightarrow a}\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac {\lim _{x \rightarrow a}f(x)}{\lim _{x \rightarrow a} g(x)} \\ \lim _{x \rightarrow a} \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{\ell}{m}, m \neq 0 \\ \text { (iv)अचर नियम , यदि f(x)=k, जहां k अचर है } \\ \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\lim _{x \rightarrow a}k \\ =k \\ \text { (v)अचर गुणन नियम } \\ \lim _{x \rightarrow a} k f(x)=k \lim _{x \rightarrow a} f(x) \\ \Rightarrow \lim _{x \rightarrow a} k f(x)=k l ,\text { जहां k अचर है }\\ \text { (vi)मापांक नियम } \\ \lim _{x \rightarrow a}|f(x)|=\left|\lim _{x \rightarrow a} f(x)\right| \\ \lim _{x \rightarrow a}|f(x)|=|l| \\ \text { (vii)घात नियम } \\ \Rightarrow \lim _{x \rightarrow a}\left[\{f(x)\}^{g(x)}\right]=\left[\lim _{x \rightarrow a} f(x) \right]^{\lim _{x \rightarrow a} g(x)} \\ \Rightarrow \lim _{x \rightarrow a}\left[\{f(x)\}^{g(x)}\right]=e^{m}
विशेष स्थिति:

(a) \lim _{x \rightarrow a} \log f(x)=\log \left\{\lim _{x \rightarrow a} f(x)\right\} \\ \lim _{x \rightarrow a} \log f(x)=\log l \\ (b) \lim _{x \rightarrow a} e^{f(x)}=e^{\lim _{x \rightarrow a} f(x)} \\ \Rightarrow \lim _{x \rightarrow a} e^{f(x)}=e^{l} \\ (c) \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=+\infty \text { या } -\infty \text { तब } \\ lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{f(x)}=0
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2.सीमा की परिकलन विधियां (Methods of Evaluation of Limits),परिकलन राशि सीमा विधि पर चर्चा करें (Discuss the evaluation amount limit method),त्रिकोणमितीय फलनों की सीमा (Limit of Trigonometric Functions)-

(1.)प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)-
दिए हुए फलन में सीधे सीमा का मान रखकर यदि वह अनिर्धार्य रूप (\frac {0}{0},\frac {\infty}{\infty},o \times \infty , \infty-\infty ,0^{0} ,a^{\infty} \text { तथा } \infty^{0};रूप के फलन) प्राप्त नहीं करे तो वही सीमा का मान होगा।

Ex-\lim _{x \rightarrow 3}\left(x^{2}+4 x+2\right) \\ =(3)^{2}+4(3)+2=9+12+2=23
(2.)व्यंजक सरलीकरण विधि (Expressions Simplification Method)-
यदि f(x) एवं g(x) बहुपदीय हो तथा g(a) \neq 0 तब 

\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(m)}{g(x)}=\frac{\lim _{x \rightarrow a} f(x)}{\lim _{x \rightarrow a}g(x)}=\frac{f(a)} {g(a)}
उदाहरणार्थ:\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-9}{x-3}
हल (Solution)-\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-9}{x-3} \\ =\lim _{x \rightarrow 3} \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)}=\lim _{x \rightarrow 3}(x+3) \\ =3+3=6
(3.)परिमेयकरण या द्विपरिमेयकरण विधि (Rationalization or Birationalization Method)-
वर्गमूल निहित गुणनखंड का परिमेयकरण या सरलीकरण करते हैं तथा x का मान रखते हैं।
उदाहरणार्थ:\lim _{x \rightarrow 3} \frac{3-\sqrt{5+x}}{2-\sqrt{5-x}} का मान ज्ञात कीजिए।
हल (Solution)-\lim _{x \rightarrow 3} \frac{3-\sqrt{5+x}}{2-\sqrt{5-x}} \times \frac{2+\sqrt{5-x}}{2+\sqrt{5-x}} \times \frac{3+\sqrt{5-x}}{3+\sqrt{5+x}} \\ =\lim _{x \rightarrow 3} \frac{[9-(5+x)][2+\sqrt{5-x}]}{[4-(5-x)][3+\sqrt{5+x}]} \\ =\lim _{x \rightarrow 3} \frac{(4-x)(2+\sqrt{5}-x)}{(-1+x)(3+\sqrt{5+x})} \\ =\frac{(4-3)(2+\sqrt{5-3})}{(3-1)(3+\sqrt{5+3})} \\ =\frac{2+\sqrt{2}}{2(3+\sqrt{8})}
(4.)प्रसार विधि (Expansions Method)-
यदि हो तो तथा व्यंजक में कम से कम एक प्रसार योग फलन हो तो उस फलन का प्रसार लिखकर व्यंजक को x की बढ़ती घातों में व्यक्त कर लेते हैं।इसके पश्चात् अंश व हर में x की उभयनिष्ठ घात का भाग देकर अनिर्धार्य रूप समाप्त करते हैं।निम्न दिए गए कुछ मानक फलनों के प्रसार हैं:

(a) e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots \\ (b) \bar{e}^{x}=1-x+\frac{x^{2}}{2!}-\frac{x^{3}}{3}+\cdots \\ (c) a^{x}=1+\left(x \log _{e} a\right)+\frac{(x \log _{e} a)^{2}}{2 !}+\frac{\left(x \log _{e} a \right)^{3}}{3!}+\cdots \\ (d) \log _{e}(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots \\ (e)\log _{e}(1-x)=-x-\frac{x^{2}}{2}- \frac{x^{3}}{3}-\\ (f) \sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !} \cdots \\ (g)\cos x=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4 !}-\cdots- \\ (h) \tan x=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2 x^{5}}{15}+\cdots \\ (i)(1 \pm x)^{n}=1 \pm nx+\frac{n(n-1)}{2 !} x^{2} \pm \cdots \\(j) \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e\left(1-\frac{x}{2}+\frac{11}{24} x^{2}+\cdots \right) \\(k)\sum n=1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} \\(l) \sum n^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+ \cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \\(m)\sum n^{3}= 1^{3}+2^{3}+3^{3}+ \cdots+n^{3}=\frac{\left[n(n+1)\right]^{2}}{4} \\ (n) \sinh x=x+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+\cdots \\(0) \cosh x=1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!} +\cdots \\ (p) \tanh x=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{2 x^{5}}{15}+\cdots \\ (q) \sin ^{-1} x=x+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{9 x^{5}}{5!}+\cdots \\ (r) \cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\left[x+\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{9 x^{5}}{5 !}+\cdots \right] \\ (s) \tan ^{-1} x=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\cdots
सीमाओं से सम्बन्धित कुछ महत्त्वपूर्ण परिणाम दिए हुए परिणामों से:
मानक सीमाएं (Standard Limits)-

(a) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 \\(b) \lim _{x \rightarrow 0} \cos x=1 \\ (C) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x}=1 \\ (d) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1 \\ (e)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{b^{x}-1}{x}=\log _{e} b(b \neq 0) \\ (f)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log _{e}(1+x)}{x}=1 \\ (g) \lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e \\ (h) \lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e \\ (i) \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{m}-a^{m}}{x-a}=m a^{m-1} \\ (j) \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{m}-a^{m}}{x^{n}-a^{n}}=\frac{m}{n} a^{m-n}
उदाहरणार्थ:\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}, a \neq 0 का मान ज्ञात कीजिए।
हल (Solution)-\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\left(x \log _{e} a\right)+\frac{\left(x \log _{e} a\right)^{2}}{2!}+\ldots}{x} \\ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(x \log _{e} a\right)+\frac{\left(x \log _{e} a\right)^{2}}{2!}}{2 !}+\cdots \\ =\lim_{x \rightarrow 0} \left( \log _{e} a\right)+x \frac{\left(\log _{e} a\right)^{2}}{2!} \\=\log _{e} a
(5.)x \rightarrow \infty इस प्रकार की स्थितियों में दिए गए फलन की उच्चत्तम घात को बाहर लेकर अंश व हर में अनन्त सीमा लगा दी जाती है।
उदाहरणार्थ:\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{A x^{2}+B x+C}{D x^{2}+E x+F}
हल(Solution)-\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{A x^{2}+B x+C}{D x^{2}+E x+F} \\ =\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}\left(A+\frac{B}{x}+\frac{C}{x^{2}}\right)}{x^{2}\left(D+\frac{E}{x}+\frac{f}{x^{2}}\right)} \\ =\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{A+\frac{B}{x}+\frac{C}{x^{2}}}{D+\frac{E}{x}+\frac{F}{x^{2}}} \\ \Rightarrow \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{A x^{2}+B x+C}{D x^{2}+E x+F}=\frac{A}{D}
(6.) सरलीकरण (Simplification)-
इस विधि के द्वारा अनिर्धार्य रूप वाले फलन का सरलीकरण करने के पश्चात् उसका अनिर्धार्य रूप समाप्त करके उसे हल किया जाता है।
उदाहरणार्थ:\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1-\cos x}{\sin x} का मान ज्ञात कीजिए।
हल (Solution)-\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1-\cos x}{\sin x} \\ =\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 \sin ^{2} \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} \\ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} \\ =0

3.फलन की सीमा के उदाहरण (Limit of a Function Examples),सीमा के उदाहरण और हल (Limits Examples and Solutions)-

निम्न सीमाओं के मान ज्ञात कीजिए।
Example-1.\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}+x-6}
Solution\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}+x-6} \\ =\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-2 x-x+2}{x^{2}+3 x-2 x-6} \\ =\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x(x-2)-1(x-2)}{x(x+3)-2(x+3)} \\ =\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x-3)} \\ =\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-1}{x-3} \\ =\frac{2-1}{2-3}=-1
Example-2.\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2 x-3)(x-1)}{2 x^{2}+x-3}
Solution\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2 x-3)(x-1)}{2 x^{2}+x-3} \\ =\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2 x-3)(x-1)}{2 x^{2}+3 x-2 x-3} \\=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2 x-3)(x-1)}{x(2 x+3)-1(2 x+3)} \\ =\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2 x-3)(x-1)}{(3 x-1)(2 x+3)} \\=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x-3}{2 x+3} \\ =\frac{2(1)-3}{2(1)+3} \\ =-\frac{1}{5}
Example-3.\lim _{a \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sin \alpha-\cos \alpha}{\alpha-\frac{\pi}{4}}
Solution\lim _{a \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sin \alpha-\cos \alpha}{\alpha-\frac{\pi}{4}} \\ \text {Put } \alpha=\frac{\pi}{4}^{th} \text { when } \alpha \rightarrow \frac{\pi}{4} \text { then } h \rightarrow 0 \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin (\frac{\pi}{4}+h)-\cos (\frac{\pi}{4}+h)}{\frac{\pi}{4}+h-\frac{\pi}{4}} \\ \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{\pi}{4} \cos h+\cos \frac{\pi}{4} \sin h-\left(\cos \frac{\pi}{4} \cos h- \sin \frac{\pi}{4} \sin h \right)}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{\cos h}{h}+\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{\sinh }{h}- \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{\cos h}{h}+\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{\sin h}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \sqrt{2}\left(\frac{\sin h}{h}\right) \\ =\sqrt{2}(1) \\ \lim _{a \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sin \alpha-\cos \alpha}{\alpha-\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}
Example-4.\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{n}-1}{x-1}
Solution\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{n}-1}{x-1} \\ \text { put } x=1+h \text { when } x \rightarrow 1 \text { then } h \rightarrow 0 \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(1+h)^{n}-1}{1+h-1} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1+n h+\frac{n(n-1) h^{2}}{2 !}+\cdots-1}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{n h+\frac{n(n-1)}{2 !} h^{2}+\cdots}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h\left[n+\frac{n(n-1) h}{2 !}+\cdots \right]}{h} \\ \Rightarrow \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1}=n
Example-5.\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{x}-1}{\sqrt{1+x}-1}
Solution-\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{x}-1}{\sqrt{1+x}-1} \\=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\left(x \log _{e} 2\right) +\frac{\left(x \log _{e} 2\right)^{2}}{2!}+\frac{\left(x \log _{e} 2\right)^{3}}{3!}+\cdots-1}{\sqrt{1+x}-1} \times \frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1} \\=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left[\left(x \log _{e} 2\right)+\frac{\left(x \log _{e} 2\right)^{2}}{2!}+\frac{\left(x \log _{e} 2\right)^{3}}{3}+\cdots\right][\sqrt{1+x}+1]}{1+x-1} \\ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x\left[\log _{e} 2 +x \frac{\left(\log _{e} 2\right)^{2}}{2!}+\frac{x^{2}(\log _{e} 2)^{3}}{3!}+ \cdots \right][\sqrt{1+x}+1]}{x} \\ =\log _{e} 2 .(2) \\ =2 \log _{e} 2
Example-6.\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}}{x^{2}}
Solution\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}}{x^{2}} \\ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}}{x^{2}} \times \frac{\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}} \\ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+x^{2}\right) -\left(1-x^{2}\right)}{x^{2}\left(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}\right)} \\ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+x^{2}}{x^{2}\left(1+1 e^{2}+\sqrt{1-x^{2}}\right)} \\ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x^{2}}{x^{2}\left(\sqrt{1+x^{2}} +\sqrt{1-x^{2}}\right)} \\ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2}{\left(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}\right)} \\ =\frac{2}{(1+1)} \\ =\frac{2}{2} \\=1
Example-7.\lim _{x \rightarrow 0} \frac {e^{x}+e^{x}-2 \cos x}{x \sin x}
Solution\lim _{x \rightarrow 0} \frac {e^{x}+e^{x}-2 \cos x}{x \sin x} \\ = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots +1-x+\frac{x^{2}}{2!}-\frac{x^{3}}{3!}+\cdots-2 \cos x}{x \sin x} \\ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2+x^{2}+\frac{x^{4}}{12}+........-2 \cos x}{x \sin x} \\ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+\frac{x^{4}}{12}+\cdots+2(1-\cos x)}{x \sin x} \\ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+\frac{x^{4}}{12}+\cdots+4 \sin ^{2} \frac{x}{2}}{x \sin x} \\ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \left(1+\frac{x^{2}}{12} +\cdots\right)+4 \sin ^{2}\frac{x}{2} }{x \sin x} \\ =\frac{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+x^{2}}{12}+\cdots \lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^{2}}{\lim _{x \rightarrow 0} \frac {\sin x} {x} } \\ =\frac{1+1}{1}=2
Example-8.\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{-1} x-\tan ^{-1} x}{x^{3}}
Solution\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{-1} x-\tan ^{-1} x}{x^{3}} \\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{9 x^{5}}{5!}+\cdots -\left(x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\cdots\right)}{x^{3}} \\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{9 x^{5}}{5!}+\cdots -x+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{5}}{5}+\cdots}{x^{3}} \\ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^{3}}{2}-\frac{x^{5}}{8}+\cdots}{x^{3}}\\ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{\left(1-\frac{x^{2}}{4}+\cdots\right)}{x^{3}} \\ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{2}\left(1-\frac{x^{2}}{4}+\cdots\right)=\frac{1}{2}
Example-9 \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{x+\sin x}{x-\cos x}}
Solution\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{x+\sin x}{x-\cos x}} \\ =\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{x\left(1+\frac{1}{x}(\sin x)\right)}{x\left(1-\frac{1}{x}(\cos x)\right)}} \\ =\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{ \frac{1+\frac{1}{x} \left(x+\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\cdots\right)}{1- \frac{1}{x}\left(1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4 !}-\cdots \right)}} \\ =\sqrt{\frac{1}{1}}=1
Example-10.\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{3 n^{2}-1}-\sqrt{2 n^{2}-1}}{4 n+3}
Solution\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{3 n^{2}-1}-\sqrt{2 n^{2}-1}}{4 n+3} \\ =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n \sqrt{3-\frac{1}{n^{2}}}-n \sqrt{2 -\frac{1}{n^{2}}}}{n(4+\frac{3}{n})} \\ =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n}\left[\frac{\sqrt{3-\frac{1}{n^{2}}}-\sqrt{2-\frac{1}{n^{2}}}}{(4+\frac{3}{n})}\right] \\=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n\left[\sqrt{3-\frac{1}{n^{2}}}-\sqrt{2-\frac{1}{n^{2}}} \right]}{n(4+\frac{3}{n})} \\=\frac{\sqrt{3-\frac{1}{\infty}}-\sqrt{2-\frac{1}{\infty}}}{4+\frac{3}{\infty}} \\=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4}
Example-11.\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 5 x-\sin 3 x}{\sin x}
Solution\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 5 x-\sin 3 x}{\sin x} \\ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos \left(\frac{5 x+3 x}{2}\right) \sin \left(\frac{5 x-3 x}{2}\right)}{\sin x} \\ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos 4 x \sin x}{\sin x} \\ =2 \cos 0 \\=2(1) \\ =2
Example-12.\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin x}-1}{x}
Solution\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin x}-1}{x} \\=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1+\sin x+\frac{(\sin x)^{2}}{2}+\frac{(\sin x)^{3}}{3!}+\cdots-1}{x} \\=\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\sin x}{x}+\frac{1}{2} \sin x\left(\frac{\sin x}{x}\right)+\frac{(\sin x)^{2} }{3 !} \frac{\sin x}{x}+\cdots\right] \\=+1+\frac{1}{2}(0)(1)+\frac{(0)}{3 !}(1) =+1
Example-13.\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x\left(e^{x}-1\right)}{1-\cos x}
Solution\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x\left(e^{x}-1\right)}{1-\cos x} \\ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}\frac{\left(e^{x}-1\right)}{x}}{2\sin ^{2} \frac{x}{2}} \\=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{2\left(e^{x}-1\right)}{x}}{\frac{\sin ^{2}\frac{x}{2}}{\frac{x^{2}}{4}}} \\=2 {\frac{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\left(e^{x}-1\right)}{x}}{\lim _{x \rightarrow 0} \left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^{2}}} \\={\frac{2(1)}{(1)^{2}}}=2
Example-14.\lim_{x \rightarrow a} \frac{(x+2)^{\frac{3}{2}}-(a+2)^{\frac{3}{2}}}{x-a}
Solution\lim _{x \rightarrow a} \frac{(x+2)^{\frac{3}{2}}-(a+2)^{\frac{3}{2}}}{x-a} \\ \text { put } x=a+h \text { when } x \rightarrow a \text { then } h \rightarrow 0 \\ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(a+h+2)^{\frac{3}{2}}-(a+2)^{3 / 2}}{a+h-a} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(a+2)^{\frac{3}{2}} \left(1+\frac{h}{a+2}\right)^{\frac{3}{2}}-(a+2)^{\frac{3}{2}}}{h} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(a+2)^{\frac{3}{2}}\left[1+\frac{3}{2} \cdot\left(\frac{h}{a+2}\right) +\frac{\frac{3}{2} \cdot\left(\frac{3}{2}-1\right)\left(\frac{h}{a+2}\right)^{2}}{2 !}+\cdots-1\right]}{h} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(a+2)^{\frac{3}{2}} \cdot h\left[\frac{3}{2} (\frac{1}{a+2})+\frac{3}{8}h \cdot(\frac{1}{a+2})^{2} +\cdots\right]}{h} \\=\frac{3}{2}(a+2)^{\frac{3}{2}} \cdot\left(\frac{1}{a+2}\right) \\ =\frac{3}{2}(a+2)^{\frac{1}{2}}
Example-15. \lim_{x \rightarrow 0} \frac{a e^{x}-b \cos x+c e^{-x}}{x \sin x}=2 तो a,b,c का मान ज्ञात कीजिए।
Solution-\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a e^{x}-b \cos x+c e^{-x}}{x \sin x}=2 \\ \Rightarrow \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a\left[1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots\right]-b\left[1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4 !}-\cdots\right]+c\left[1-x+\frac{x^{2}}{2!}-\frac{x^{3}}{3!}-\cdots\right]}{x\left[x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\cdots\right]}=2 \\ \Rightarrow \lim _{x \rightarrow 0}\left[(a-b+c)+(a-c) x+\frac{(a+b+c)}{2} x^{2} +\cdots\right]=\lim _{x\rightarrow 0}\left(2 x^{2}-\frac{x^{6}}{3}+\frac{x^{6}}{60}\right)
तुलना करने पर-
a-b+c=0 …..(1)
a-c=0 ……(2)

\frac{a+b+c}{2}=2 \Rightarrow a+b+c=4......(3)
(1) व (2) को जोड़ने पर-
2a-b=0 ……(4)
(2) व (3) को जोड़ने पर-
2a+b=4 …….(5)
(4) व (5) को हल करने पर-
a=1,b=2 तथा c=1
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा फलन की सीमा (Limit of a Function) को समझ सकते हैं।

4.फलन की सीमा की समस्याएं (Limit of a Function Problems)-

(1.) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-b^{x}}{x} का मान है।
(2.) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}} का मान है।
(3.) \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1+3^{\frac{1}{x}}}{1-3^{\frac{1}{x}}} का मान है।
(4.) \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x}(\sqrt{x+c}-\sqrt{x}) का मान ज्ञात कीजिए।
(5.) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^{2}-1}} का मान ज्ञात कीजिए।
(6.) \lim _{x \rightarrow \infty} \left(\frac{3 x^{2}+2 x+1}{x^{2}+x+2}\right)^{\frac{6 x+1}{3 x+1}} का मान ज्ञात कीजिए।
(7.) \lim _{x \rightarrow \infty} 2^{x} \sin \left(\frac{a}{2^{x}}\right) का मान ज्ञात कीजिए।
(8.) \lim_{x \rightarrow 1} \frac{e^{x}-e^{x}}{e^{x}+e^{-x}} का मान ज्ञात कीजिए।
(9.) \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2 x}{(\pi-2 x)^{2}} का मान ज्ञात कीजिए।
(10.) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x^{\circ}}{x} का मान है।
उत्तर (Answers)-(1)\log _{e}(\frac{a}{b}) \\ (2) \frac{1}{2} \\ (3.)-1 \\ (4)\frac{c}{2} \\ (5) \frac{1}{\sqrt 2} \\ (6.)9 \\ (7.)a \\ (8)  \frac{e^{2}-1}{e^{2}+1} \\ (9)\frac{1}{2} \\ (10) \frac{\pi}{18}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर फलन की सीमा (Limit of a Function) को ठीक से समझ सकते हैं।

5.फलन की सीमा की परिभाषा (Limit of a Function Definition)-

अपने डोमेन में एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन की सीमा (यदि यह मौजूद है) मान है कि फ़ंक्शन अपने मान के रूप में अग्रसर होता है।अनौपचारिक रूप से, किसी फंक्शन की सीमा L होने की बात कही जाती है,यदि मानों को करीब से चुनकर और उसके करीब आकर फंक्शन को स्वेच्छ ढंग से L के करीब बनाना संभव है।

6.सीमाओं के मूल्यांकन के लिए 3 तरीके क्या हैं? (What are the 3 methods for evaluating limits?),सीमाओं का मूल्यांकन कैसे करें? (How to evaluate limits?)-

मूल्यांकन की सीमाएँ
बस मूल्य फलन में रख दिया।कोशिश करने के लिए पहली बात यह है कि सीमा का मूल्य केवल अंदर रखना है, और देखें कि क्या यह काम करता है (दूसरे शब्दों में प्रतिस्थापन)।
गुणनखण्ड।हम फैक्टरिंग की कोशिश कर सकते हैं।
संयुग्म से गुणा करना तथा भाग देना।
अनंत सीमाएं और फलन का परिमेयकरण।
L’Hôpital का नियम।
औपचारिक विधि।

7.सीमाओं के मूल्यांकन को सरल बनाने के लिए किस पद्धति का उपयोग किया जाता है? (Which method is used to simplify the evaluation of limits?)-

बीजगणितीय सरलीकरण: यदि “प्लग इन” परिणाम को शून्य से विभाजित करता है, तो बीजगणितीय रूप से अभिव्यक्ति को सरल करें (यदि संभव हो), और फिर “प्लग इन” आपको सीमा प्रदान करेगा यदि आपको शून्य से विभाजन नहीं मिलता है।

8.आप बीजगणितीय रूप से एक सीमा का मूल्यांकन कैसे करते हैं? (How do you evaluate a limit algebraically?)-

अंश को युक्तिसंगत करके सीमा ज्ञात कीजिए
संयुग्म द्वारा अंश के ऊपर और नीचे गुणा करें।अंश का संयुग्म है।
गुणनखण्डों को रद्द करें।रद्द करने से आपको यह व्यंजक मिलती है।
सीमा की गणना करें।जब आप फ़ंक्शन में 13 प्लग करते हैं, तो आपको 1/6 मिलता है, जो कि सीमा है।

9.आप सम्मिश्र सीमाओं का मूल्यांकन कैसे करते हैं? (How do you evaluate complex limits?)-

आप कॉची की प्रमेय सीखेंगे और सम्मिश्र सीमा और एक अवकलज खोजने के लिए इसका उपयोग करने में सक्षम होंगे, जिसे हम एक वास्तविक संख्याओं के फलनों के लिए परिचित हैं।

10.अनंत की सीमा कैसे हल करें? (How to solve limits to infinity?)-

वास्तव में, जब हम फ़ंक्शन की डिग्री (फ़ंक्शन में उच्चतम घातांक) को देखते हैं, तो हम बता सकते हैं कि क्या होने जा रहा है: जब फ़ंक्शन की डिग्री है: 0 से अधिक, सीमा अनंत है (या finfinity) 0 से कम, सीमा 0 है।

11.परिकलन राशि सीमा विधि (Evaluation amount limit method)-

सीमाओं के मूल्यांकन के तरीकों को 4 श्रेणियों में विभाजित किया गया है – बीजगणितीय सीमाएँ, त्रिकोणमितीय सीमाएँ, लघुगणक सीमाएँ और चरघातीय सीमाएँ। बीजगणितीय सीमाएँ: f (x) एक बीजगणितीय फलन और ‘a’ एक वास्तविक संख्या हो।तब limx → af (x) को बीजगणितीय सीमा के रूप में जाना जाता है।
उपर्युक्त उदाहरणों,प्रश्नों के उत्तर और सवालों को हल करके फलन की सीमा (Limit of a Function) को भली-भांति समझा जा सकता है।

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