1.सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय निरूपण (Polar Representation of Complex Number),मापांक व कोणांक कक्षा 11 (Modulus and Argument Class 11):

Polar Representation of Complex Number

सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय निरूपण (Polar Representation of Complex Number) के अलावा सम्मिश्र संख्या का मापांक व कोणांक ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करेंगे।इन पर आधारित उदाहरण निम्नलिखित हैं:
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2.सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय निरूपण के उदाहरण (Polar Representation of Complex Number Examples):

प्रश्न संख्या 1 से 2 तक सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक का मापांक और कोणांक ज्ञात कीजिए:
Example:1. z=-1-i \sqrt{3}
Solution: z=-1-i \sqrt{3}
माना कि z=-1-i \sqrt{3}=r(\cos \theta+i \sin \theta) \\ r \cos \theta=-1, \quad r \sin \theta=-\sqrt{3}
दोनों का वर्ग करके जोड़ने पर:
r^2 \cos ^2 \theta+r^2 \sin ^2 \theta=(-1)^2+(-\sqrt{3})^2 \\ \Rightarrow r^2\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right)=1+3 \\ \Rightarrow r^2=4 \\ \Rightarrow r=\sqrt{4} \\ \Rightarrow r=2 \\ (-1,-\sqrt{3}) तृतीय चतुर्थांश में हैं अतः
कोणांक z=-\pi+\tan^{-1} \left|\frac{b}{a}\right| \\ =-\pi+\tan^{-1} \left|\frac{-\sqrt{3}}{-1}\right| \\ =-\pi+\tan^{-1} \sqrt{3} \\ =-\pi+\frac{\pi}{3} \\ =\frac{-3 \pi+\pi}{3}
कोणांक z =-\frac{2 \pi}{3}
मापांक z=r=2 तथा कोणांक z =-\frac{2 \pi}{3}
Example:2. z=-\sqrt{3}+i
Solution: z=-\sqrt{3}+i
माना कि z=-\sqrt{3}+i=r(\cos \theta+i \sin \theta) \\ r \cos \theta=-\sqrt{3}, r \sin \theta=1
दोनों का वर्ग करके जोड़ने पर:
r^2 \cos ^2 \theta+r^2 \sin ^2 \theta=(-\sqrt{3})^2+(1)^2 \\ \Rightarrow r^2\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right)=3+1 \\ \Rightarrow r^2=4  \\ \Rightarrow r=\sqrt{4} \Rightarrow r=2\\ (-\sqrt{3},1) द्वितीय चतुर्थांश में हैं अतः
कोणांक z=\pi-\tan ^{-1}\left|\frac{b}{a}\right| \\ =\pi-\tan ^{-1}\left|\frac{1}{-\sqrt{3}}\right| \\ =\pi-\tan ^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \\ =\pi-\frac{\pi}{6} \\ =\frac{6 \pi-\pi}{6}
कोणांक z=\frac{5 \pi}{6}
मापांक z=r=2 तथा कोणांक z=\frac{5 \pi}{6}
प्रश्न 3 से 8 तक सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को ध्रुवीय रूप में रूपान्तरित कीजिए:
Example:3.1-i
Solution:1-i
माना कि z=1-i=r(\cos \theta+i \sin \theta) \\ r \cos \theta=1, r \sin \theta=-1
दोनों का वर्ग करके जोड़ने पर:

r^2 \cos ^2 \theta+r^2 \sin ^2 \theta=(1)^2+(-1)^2 \\ \Rightarrow r^2\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right)=1+1 \\ \Rightarrow r^2=2 \\ \Rightarrow r=\sqrt{2}
(1,-1) चतुर्थ चतुर्थांश में हैं अतः
कोणांक z=-\tan^{-1}\left|\frac{b}{a}\right| \\ =-\tan ^{-1}\left|\frac{-1}{1}\right| \\ =-\tan ^{-1}(1)
कोणांक z=-\frac{\pi}{4} \\ \therefore 1-i का ध्रुवीय रूप=r(\cos \theta+i \sin \theta) \\ =\sqrt{2}\left[\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+\hat{\imath} \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right] \\ =\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4}-\hat{\imath} \sin \frac{\pi}{4} \right)
Example:4.-1+i
Solution:-1+i
माना कि [katex]z=-1+i=r(\cos \theta+i \sin \theta) \\ r \cos \theta=-1, r \sin \theta=1
दोनों का वर्ग करके जोड़ने पर:

r^2 \cos ^2 \theta+r^2 \sin ^2 \theta=(-1)^2+(1)^2 \\ \Rightarrow r^2\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta \right)=1+1 \\ \Rightarrow r^2=2 \\ \Rightarrow r=\sqrt{2}
(-1,1) द्वितीय चतुर्थांश में हैं अतः
कोणांक z=\pi-\tan ^{-1}\left|\frac{b}{a}\right| \\ =\pi-\tan ^{-1}\left|\frac{1}{-1}\right| \\ =\pi-\tan ^{-1} 1 \\ =\pi-\frac{\pi}{4} \\ =\frac{4 \pi-\pi}{4}
कोणांक z=\frac{3 \pi}{4}  \\ \therefore -1+i का ध्रुवीय रूप=r(\cos \theta+i \sin \theta) \\ \sqrt{2}\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)

Polar Representation of Complex Number

Example:5.-1-i
Solution:-1-i
माना कि z=-1-i=r(\cos \theta+i \sin \theta) \\ r \cos \theta=-1, r \sin \theta=-1
दोनों का वर्ग करके जोड़ने पर:

r^2 \cos ^2 \theta+r^2 \sin ^2 \theta=(-1)^2+(-1)^2 \\ \Rightarrow r^2\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right)=1+1 \\ \Rightarrow r^2=2 \\ \Rightarrow r=\sqrt{2}
(-1,-1) तृतीय चतुर्थांश में हैं अतः
कोणांक z=-\pi+\tan^{-1} \left| \frac{b}{a}\right| \\ =-\pi+\tan^{-1} \left|\frac{-1}{-1}\right| \\ =-\pi+ \tan^{-1} (1) \\ =-\pi+\frac{\pi}{4} \\=-\frac{4 \pi+\pi}{4} \\ \Rightarrow  कोणांक z=\frac{-3 \pi}{4}
-1-i का ध्रुवीय रूप=r(\cos \theta+i \sin \theta) \\ =\sqrt{2}\left[\cos \theta\left(\frac{-3 \pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{3 \pi}{4}\right)\right] \\ =\sqrt{2}\left(\cos \frac{3 \pi}{4}-i \sin \frac{3 \pi}{4} \right)
Example:6.-3
Solution:-3
माना कि z=-3+0 \cdot i=r (\cos \theta+i \sin \theta) \\ r \cos \theta=-3, r \sin \theta=0
दोनों का वर्ग करके जोड़ने पर:

r^2 \cos ^2 \theta+r^2 \sin ^2 \theta=(-3)^2+(0)^2 \\ \Rightarrow r^2\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta \right)=9 \\ \Rightarrow r^2=9 \\ \Rightarrow r=\sqrt{9} \\ \Rightarrow r=3
(-3,0) द्वितीय चतुर्थांश में हैं अतः
कोणांक z=\pi-\tan ^{-1}\left|\frac{b}{a}\right| \\ =\pi-\tan ^{-1}\left|\frac{0}{-3}\right| \\ =\pi-\tan ^{-1}(0) \\ =\pi-0
कोणांक z=\pi \\ \therefore -3 का ध्रुवीय रूप=r(\cos \theta+i \sin \theta) \\ =3(\cos \pi+i \sin \pi)
Example:7. \sqrt{3}+i
Solution: \sqrt{3}+i
माना कि z=\sqrt{3}+i=r(\cos \theta+i \sin \theta) \\ r \cos \theta=\sqrt{3}, r \sin \theta=1
दोनों का वर्ग करके जोड़ने पर:

r^2 \cos ^2 \theta+r^2 \sin ^2 \theta=(\sqrt{3})^2+(1)^2 \\ \Rightarrow r^2\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right)=3+1 \\ \Rightarrow r^2=4 \\ \Rightarrow r=\sqrt{4} \\ \Rightarrow r=2
प्रथम चतुर्थांश में हैं अतः
कोणांक z=\tan ^{-1}\left|\frac{b}{a}\right| \\ =\tan ^{-1}\left|\frac{1}{\sqrt{3}}\right|
कोणांक z=\frac{\pi}{6} \\ \therefore \sqrt{3}+i का ध्रुवीय रूप=r(\cos \theta+i \sin \theta) \\ =2\left(\cos \frac{\pi}{6}+i \sin \frac{\pi}{6}\right)
Example:8.i
Solution:i
माना कि z=0+i=r(\cos \theta+i \sin \theta) \\ r \cos \theta=0, r \sin \theta=1
दोनों का वर्ग करके जोड़ने पर:

r^2 \cos ^2 \theta+r^2 \sin ^2 \theta=0^2+1^2 \\ \Rightarrow r^2\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right)=1 \\ \Rightarrow r^2=1 \\ \Rightarrow r=\sqrt{1} \\ \Rightarrow r=1
(0,1) प्रथम चतुर्थांश में हैं अतः
कोणांक z=\tan ^{-1}\left|\frac{b}{a}\right| \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{1}{0}\right) \\ =\tan ^{-1}(\infty)
कोणांक z=\frac{\pi}{2}
i का ध्रुवीय रूप=r(\cos \theta+i \sin \theta) \\ =1\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right) \\ =\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}

3.सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय निरूपण के सवाल (Polar Representation of Complex Number Questions):

Polar Representation of Complex Number

निम्नलिखित के मापांक तथा कोणांक लिखिए:

(1.) \frac{5+i \sqrt{3}}{4-i 2 \sqrt{3}}
(2.) \frac{1+2 i}{1-(1-i)^2}
निम्नलिखित संख्याओं को ध्रुवीय रूप में व्यक्त कीजिए और इनका मापांक तथा कोणांक ज्ञात कीजिए:

(3.) \frac{1+7 i}{(2-i)^2}
(4.) \frac{a+i b}{a-i b}
उत्तर (Answers): (1.) 1, \frac{\pi}{3}     (2.)1,0°
(3.) \sqrt{2}\left[\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right]   मापांक=\sqrt{2},कोणांक=\frac{3 \pi}{4}
(4.) (\cos \theta+i \sin \theta) जहाँ \theta=\tan ^{-1}\left(\frac{2 a b}{a^2-b^2}\right) मापांक=1,कोणांक=\theta

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4.सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय निरूपण (Frequently Asked Questions Related to Polar Representation of Complex Number),मापांक व कोणांक कक्षा 11 (Modulus and Argument Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.आर्गंड तल से क्या तात्पर्य है? (What is Meant by Argand Plane?):

उत्तर:तल,जिसमें प्रत्येक बिन्दु को एक सम्मिश्र संख्या द्वारा निर्दिष्ट किया गया है,सम्मिश्र तल या आर्गंड तल कहलाता है।
आर्गंड तल में सम्मिश्र संख्या (x+iy) का मापांक बिन्दु P(x,y) से मूलबिन्दु O(0,0) के बीच की दूरी द्वारा प्राप्त होता है।
x-अक्ष पर बिन्दु सम्मिश्र संख्याओं a+i.0 रूप के संगत होते हैं और y-अक्ष पर बिन्दु,सम्मिश्र संख्याओं 0+ib रूप के संगत होते हैं ;आर्गंड तल में x-अक्ष और y-अक्ष क्रमशः वास्तविक अक्ष और काल्पनिक अक्ष कहलाते हैं।

प्रश्न:2.एक सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय निरूपण कैसे करते हैं? (How to Represent Polar Representation of a Complex Number?):

उत्तर:माना कि P,ऋणेत्तर सम्मिश्र संख्या z=x+iy का निरूपण करता है।माना कि दिष्ट रेखाखण्ड OP की लम्बाई r है और \theta वह कोण है जो OP, x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाता है।
P वास्तविक संख्याओं के क्रमित युग्म (r, \theta) से अद्वितीय रूप से निर्धारित किया जाता है। (r, \theta) बिन्दु P के ध्रुवीय निर्देशांक कहलाते हैं।
हम मूलबिन्दु को ध्रुव तथा x-अक्ष की धन दिशा को प्रारम्भिक रेखा मानते हैं।
यहाँ x=r \cos \theta, y=r \sin \theta और इसलिए z=r(\cos \theta+\sin \theta) सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप कहलाता है।यहाँ r=\sqrt{x^2+y^2}= \left|z\right| को z का मापांक कहते हैं और \theta, सम्मिश्र संख्या का कोणांक या आयाम कहलाता है तथा कोणांक z से निरूपित होता है।

प्रश्न:3.सम्मिश्र संख्याओं के कोणांक ज्ञात करने का सूत्र लिखो। (Write the Formula to Find Argument of Complex Number):

उत्तर:सम्मिश्र संख्या z=a+ib का कोणांक उस चतुर्थांश (Quadrant) पर निर्भर करता है जिसमें z स्थित है अतः
(1.)यदि a>0,b>0 (प्रथम चतुर्थांश) तब
कोणांक z=\tan ^{-1} \frac{b}{a}
(2.)यदि a<0,b>0 (द्वितीय चतुर्थांश) तब
कोणांक z=\pi-\tan ^{-1}\left|\frac{b}{a}\right|
(3.)यदि a<0,b<0 (तृतीय चतुर्थांश) तब
कोणांक z=-\pi+\tan ^{-1}\left|\frac{b}{a}\right|
(4.)यदि a>0,b<0 (चतुर्थ चतुर्थांश) तब
कोणांक z=-\tan ^{-1}\left|\frac{b}{a}\right|
टिप्पणी:सम्मिश्र संख्या 0 का कोणांक अपरिभाषित है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय निरूपण (Polar Representation of Complex Number),मापांक व कोणांक कक्षा 11 (Modulus and Argument Class 11) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय निरूपण (Polar Representation of Complex Number) के अलावा
सम्मिश्र संख्या का मापांक व कोणांक ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करेंगे।इन पर
आधारित उदाहरण निम्नलिखित हैं: