1.गाॅस-सीडल विधि से समीकरणों को हल करें (Solve Equations by Gauss-Seidel Method),क्राउट विधि द्वारा समीकरण निकाय का हल (Solve System of Equations by Crout Method):

Solve Equations by Gauss-Seidel Method

गाॅस-सीडल विधि से समीकरणों को हल करें (Solve Equations by Gauss-Seidel Method) के इस आर्टिकल में समीकरण निकाय के समीकरणों वाले सवालों को क्राउट विधि,जॅकोबी पुनरावृत्ति और गाॅस-सीडल पुनरावृत्ति विधि से हल करना सीखेंगे।
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2.गाॅस-सीडल विधि से समीकरणों को हल करें के उदाहरण (Solve Equations by Gauss-Seidel Method Examples):

Example:6.क्राउट विधि द्वारा निम्न समीकरण निकाय का हल ज्ञात कीजिए:
(Solve the following system of equations by crout’s method):
10 x_1 - 7 x_2+3 x_3+5 x_4=6 \\-6 x_1+8 x_2-x_3-4 x_4=5 \\3 x_1+x_2+4 x_3+11 x_4=2 \\5 x_1-9 x_2-2 x_3+4 x_4=7
Solution: 10 x_1 - 7 x_2+3 x_3+5 x_4=6 \\-6 x_1+8 x_2-x_3-4 x_4=5 \\3 x_1+x_2+4 x_3+11 x_4=2 \\5 x_1-9 x_2-2 x_3+4 x_4=7
यहाँ A=\left[\begin{array}{cccc} 10 & -7 & 3 & 5 \\ -6 & 8 & -1 & -4 \\ 3 & 1 & 4 & 11 \\ 5 & -9 & -2 & 4 \end{array}\right] तथा B=\left[\begin{array}{l} 6 \\ 5 \\ 2 \\ 7 \end{array}\right] \cdots(1)
अतः संवर्धित मैट्रिक्स (Augmented Matrix)
M=[A : B]=\left[\begin{array}{cccc:c} 10 & -7 & 3 & 5 & 6\\ -6 & 8 & -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 4 & 11 & 2 \\ 5 & -9 & -2 & 4 & 7 \end{array}\right] \cdots(2)
अब क्राउट विधि से सहायक मैट्रिक्स (auxiliary matrix) M’ निम्न रूप में प्राप्त होगा:
M^{\prime}=\left[\begin{array}{lllll} a_{11}^{\prime} & a_{12}^{\prime} & a_{13}^{\prime} & a_{14}^{\prime}: & b_1^{\prime} \\ a_{21}^{\prime} & a_{22}^{\prime} & a_{23}^{\prime} & a_{24}^{\prime}: & b_2^{\prime} \\ a_{31}^{\prime} & a_{32}^{\prime} & a_{33}^{\prime} & a_{34}^{\prime}: & b_3^{\prime} \\ a_{41}^{\prime} & a_{42}^{\prime} & a_{43}^{\prime} & a_{44}^{\prime} : & b_4^{\prime}\end{array}\right] \cdots(3)
(1.)प्रथम स्तम्भ के अवयव
a_{11}^{\prime}=a_{11}=10, a_{21}^{\prime}=a_{21}=-6 , a_{31}^{\prime}=a_{31}=3, a_{41}^{\prime}=a_{41}=5 \cdots(4)
(2.)प्रथम पंक्ति के अवयव
a_{12}^{\prime}=\frac{a_{12}}{a_{11}}=\frac{-7}{10} तथा  a_{13}^{\prime}=\frac{a_{13}}{a_{11}}=\frac{3}{10}
तथा a_{14}^{\prime}=\frac{a_{14}}{a_{11}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} तथा b_1^{\prime}= \frac{b_1}{a_{11}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5} \cdots(5)
(3.)द्वितीय स्तम्भ के अवयव
a_{22}^{\prime}=a_{22}-a_{21}^{\prime} a_{12}^{\prime}=8-(-6)\left(-\frac{7}{10}\right) \\ \Rightarrow a_{22}^{\prime}=+\frac{19}{5}
तथा \Rightarrow a_{32}^{\prime}=a_{32}-a_{31}^{\prime} a_{12}^{\prime}=1-3\left(-\frac{7}{10} \right) \\ \Rightarrow a_{32}^{\prime}=\frac{31}{10}
तथा a_{42}^{\prime}=a_{42}-a_{41}^{\prime} a_{12}^{\prime}=-9-5\left(-\frac{7}{10}\right) \\ \Rightarrow a_{42}^{\prime}=-\frac{11}{2}
(4.)द्वितीय पंक्ति के अवयव
a_{23}^{\prime} =\frac{1}{a_{22}^{\prime}}\left(a_{23}-a_{21} a_{13}^{\prime}\right) \\ =\frac{1}{19}\left[-1-(-6)\left(\frac{3}{10}\right)\right] \\ =\frac{5}{19}\left(-1+\frac{9}{5}\right) \\ \Rightarrow a_{23}^{\prime} =\frac{4}{19}
तथा a_{24}^{\prime}=\frac{1}{a_{22}^{\prime}}\left(a_{24}-a_{21}^{\prime} a_{14}^{\prime}\right) \\ =\frac{1}{19}\left[-4-(-6)\left(\frac{5}{10}\right)\right] \\ =\frac{5}{19}(-4+3) \\ \Rightarrow a_{24}^{\prime} =-\frac{5}{19}
तथा b_2^{\prime}=\frac{1}{a_{22}}\left(b_2-a_{21}^{\prime} \cdot b_1^{\prime}\right) \ =\frac{1}{19}\left[5-(-6)\left(\frac{3}{5}\right)\right] \\ =\frac{5}{19}\left(\frac{25+18}{5}\right) \\ \Rightarrow b_2^{\prime}=\frac{43}{19}
(5.)तृतीय स्तम्भ के अवयव
a_{33}^{\prime}=a_{33}-\left(a_{31}^{\prime} a_{13}^{\prime}+a_{32}^{\prime} a_{23}^{\prime} \right) \\ =4-\left(3 \times \frac{3}{10} \times+\frac{31}{10} \times \frac{4}{19}\right) \\ =4-\left(\frac{9}{10}+\frac{124}{190}\right) \\ =4-\left(\frac{171+124}{190}\right) \\ =\frac{760-295}{190} \\ \Rightarrow a_{33}^{\prime} =\frac{465}{190}=\frac{93}{38}
तथा a_{43}^{\prime}=a_{43}-\left(a_{41}^{\prime} a_{13}^{\prime}+a_{42}^{\prime} a_{23}^{\prime}\right) \\ =-2-\left[5 \times \frac{3}{10}+\left(-\frac{11}{2}\right) \times\left(\frac{4}{19}\right)\right] \\ =-2-\left(\frac{3}{2}-\frac{22}{19}\right) \\ =-2-\left(\frac{57-44}{38}\right) \\ =-2-\frac{130}{38} \\ =\frac{-76-13}{38}=\frac{-89}{38} \\ \Rightarrow a_{43}^{\prime}=\frac{-89}{38}
(6.)तृतीय पंक्ति के अवयव
a_{34}^{\prime} =\frac{1}{a_{33}^{\prime}}\left(a_{34}-a_{31}^{\prime} a_{14}^{\prime}-a_{32}^{\prime} a_{24}^{\prime}\right) \\ =\frac{1}{\frac{93}{38}}\left(11-3 \times \frac{1}{2}-\frac{31}{10} \times \frac{-5}{19}\right) \\ =\frac{38}{93}\left(\frac{11}{1}-\frac{3}{2}+\frac{155}{190}\right) \\ =\frac{38}{93}\left(\frac{2090-285+155}{190}\right) \\ =\frac{38}{93} \times \frac{1960}{190}=\frac{392}{93} \\ \Rightarrow a_{34}^{\prime}=\frac{7448}{1767}=\frac{392}{93}
तथा b_3^{\prime}=\frac{1}{a_{33}^{\prime}}\left(b_{33}-a_{31}^{\prime} b_1^{\prime}-a_{32}^{\prime} b_2^{\prime}\right) \\=\frac{1}{\frac{93}{38}}\left(2-3 \times \frac{3}{5}-\frac{31}{10} \times \frac{43}{19}\right) \\ =\frac{38}{93}\left(\frac{2}{1}-\frac{9}{5}-\frac{1333}{190}\right) \\=\frac{38}{93} \left(\frac{380-342-1333}{190}\right) \\ \Rightarrow b_3^{\prime}=\frac{38}{93} \times-\frac{1295}{190}=-\frac{259}{93}
(7.)चतुर्थ स्तम्भ का अवयव
a_{44}^{\prime}=a_{44}-a_{41}^{\prime} a_{14}^{\prime}-a_{42}^{\prime} a_{24}^{\prime}-a_{43}^{\prime} a_{34}^{\prime} \\ =4-5 \times \frac{1}{2}-\left(-\frac{11}{2}\right) \times\left(-\frac{5}{19}\right)-\left(-\frac{89}{38}\right) \times \left(\frac{7448}{1767}\right) \\ =\frac{4}{1}-\frac{5}{2}-\frac{55}{38}+\frac{662872}{67146} \\ =\frac{268584-167865-97185+662872}{67146} \\ \Rightarrow a_{44}^{\prime}= \frac{666406}{67146} \\ \Rightarrow a_{44}^{\prime}= \frac{17537}{1767}
(8.)चतुर्थ पंक्ति का शेष अवयव
b_4^{\prime} =\frac{1}{a_{44}^{\prime}}\left(b_4-a_{41}^{\prime} b_1^{\prime}-a_{42}^{\prime} b_2^{\prime}-a_{43}^{\prime} b_3^{\prime}\right) \\ =\frac{1}{\frac{17537}{1767}}\left[7-5 \times \frac{3}{5}-\left(-\frac{11}{2}\right) \times \frac{43}{19} - \left(-\frac{89}{38}\right) \cdot\left(\frac{-259}{93}\right)\right] \\ =\frac{1767}{17537}\left[\frac{4}{1}+\frac{473}{38}-\frac{23051}{3534}\right] \\ =\frac{1767}{17537}\left[\frac{14136+43989-23051}{3534}\right] \\ =\frac{1767}{17537} \times \frac{35074}{3534} \\ \Rightarrow b_4^{\prime}=1
निकाय का हल
x_4=b_4^{\prime}=1, x_3=b_3^{\prime}-\left(a_{34}^{\prime} x_4\right) \\ x_3=-\frac{259}{93}-\left(\frac{392}{93} \times 1\right)=\frac{-259-392}{93} \\ \Rightarrow x_3 =-\frac{657}{93} \Rightarrow x_3=-7 \\ x_2 =b_2^{\prime}-\left(a_{23}^{\prime} x_3+a_{24}^{\prime} x_4\right) \\ =\frac{43}{19}-\left(\frac{4}{19} \times-7-\frac{5}{19} \times 1\right) \\=\frac{43}{19}-\left(\frac{-28}{19}-\frac{5}{19}\right) \\ =\frac{43}{19}-\left(-\frac{33}{19}\right) \\ =\frac{43+33}{19}=\frac{76}{19} \\ \Rightarrow x_2=4 \\ x_1=b_1^{\prime}-\left(a_{12}^{\prime} x_2+a_{13}^{\prime} x_3+a_{14}^{\prime} x_4\right) \\ =\frac{3}{5}-\left(\frac{-7}{10} \times 4+\frac{3}{10} \times-7+\frac{1}{2} \times 1\right) \\ =\frac{3}{5}-\left( \frac{-28-21+5}{10} \right) \\ =\frac{3}{5}+\frac{44}{10}=\frac{6+44}{10}=\frac{50}{10} \\ \Rightarrow x_1=5
अतः x_1=5, x_2=4, x_3=-7, x_4=1

Solve Equations by Gauss-Seidel Method

Example:7.निम्न समीकरण निकाय का जॅकोबी पुनरावृत्ति विधि द्वारा तृतीय सन्निकटन तक हल ज्ञात कीजिए:
(Find the solution of the following system of equations upto third order approximation by Jacobi’s iterative method)’
x_1-3 x_2+x_3=4 \\ 2 x_1+x_2-x_4=5 \\ 3 x_1-2 x_2-x_3-2 x_4=6 \\ 4 x_1-x_2+3 x_4=7
Solution: x_1-3 x_2+x_3=4 \cdots(1)\\ 2 x_1+x_2-x_4=5 \cdots(2) \\ 3 x_1-2 x_2-x_3-2 x_4=6 \cdots(3) \\ 4 x_1-x_2+3 x_4=7 \cdots(4)
समीकरण (2) को 3 से गुणा करने परः
6 x_1+3 x_2-3 x_4=15 \cdots(5) \\ 4 x_1-x_2+3 x_4=7 \cdots(4)
समीकरण (5) व (4) को जोड़ने परः
10 x_1+2 x_2=22 \\ \Rightarrow 5 x_1+x_2=11 \cdots(6) \\ x_1-3 x_2+x_3=4 \cdots(1)\\ 3 x_1-2 x_2-x_3-2 x_4=6 \cdots(3)
समीकरण (1) व (3) को जोड़ने परः
4 x_1-5 x_2-2 x_4=10 \cdots(7)
समीकरण (2) को 2 से गुणा करने परः
\begin{array}{cccc}4 x_1+2 x_2-2 x_4=10 \cdots(8) \\ 4 x_1-5 x_2-2 x_4=10 \cdots(7) \\ \quad \quad - \quad \quad + \quad \quad + \quad \quad - \text{ घटाने परः } \quad \quad  \\ \hline \end{array} \\ 7 x_2=0 \\ \Rightarrow x_2=0
x_{2} का मान (6) में रखने परः
5 x_1+0=11 \\ \Rightarrow x_1=\frac{11}{5}=2.2
x_{1}, x_{2} का मान समीकरण (1) में रखने परः
2.2-3(0)+x_3=4 \\ \Rightarrow x_3=4-2.2=1.8
x_{1}, x_{2} का मान समीकरण (2) में रखने परः
2(2.2)+0-x_4=5 \\ \Rightarrow 4.4-x_4=5 \\ \Rightarrow x_4=4.4-5 \\ \Rightarrow x_4=-0.6
अतः x_1=2.2, x_2=0, x_3=1.8, x_4=-0.6
उपर्युक्त हल विलोपन विधि से किया गया है।अब जॅकोबी पुनरावृत्ति विधि से दिए गए समीकरण निकाय को अधिकतम गुणांक वाले चर के लिए हल करने परः
\left.\begin{array}{l} x_1=\frac{1}{2}\left(5-x_2+x_4\right) \\ x_2=\frac{1}{3}\left(-4+x_1+x_3\right) \\ x_3=-6+3 x_1-2 x_2-2 x_4 \\ x_4=\frac{1}{3}\left(7-4 x_1+x_2\right) \end{array}\right] \cdots(8)
(1.)प्रथम सन्निकटन
x_1^{(1)}=\frac{5}{2}=2.5, x_2^{(1)}=-\frac{4}{3}=-1.3333, x_3^{(1)}=-6, x_4^{(1)}=\frac{7}{3}=2.3333
(2.)द्वितीय सन्निकटन
x_1^{(2)}=\frac{1}{2}(5+1.3333+2.3333)=4.3333 \\ x_2^{(2)}=\frac{1}{3}(-4+2.5-6)=-2.5 \\ x_3^{(2)}=-6+3 \times 2.5-2 \times-1.3333-2 \times 2.3333 \\ \Rightarrow x_3^{(2)}=-0.5 \\ x_4^{(2)}= \frac{1}{3}(7-4 \times 2.5-1.3333) \approx-1.4444
(3.)तृतीय सन्निकटन
x_1^{(3)}=\frac{1}{2}(5+2.5-1.4444)=3.0278 \\ x_2^{(3)}=\frac{1}{3}(-4+4.3333-0.5) \approx -0.0555 \approx 0 \\ x_3^{(3)}=-6+3 \times 4.3333-2 \times-2.5-2 \times-1.4444 \approx 14.8887 \\ x_4^{(3)}= \frac{1}{3}(7-4 \times 4.3333-2.5) \approx-4.2777
उपर्युक्त मान समीकरण को सन्तुष्ट नहीं करते हैं तथा x_2 \approx 0 अतः समीकरण (1) व (3) से x_2 का विलोपन करने तथा (2) व (4) में x_2 \approx 0 रखने परः
\begin{array}{cc}2 x_1-6 x_2+2 x_3=8 \cdots(9) \\ 9 x_1-6 x_2-3 x_3-6 x_4=18 \cdots(10) \\ \quad \quad - \quad \quad + \quad \quad + \quad \quad + \quad \quad - \text{ घटाने परः }  \quad \quad \\ \hline \end{array} \\ -7 x_1+5 x_3+6 x_4=-10 \\ x_3=\frac{1}{5}\left(-10+7 x_1-6 x_4\right) \\ x_1=\frac{1}{2} \left(5+x_4\right) \\ x_3=\frac{1}{5}\left(-10+7 x_1-6 x_4\right) \\ x_4=\frac{1}{3}\left(7-4 x_1\right)
(4.)चतुर्थ सन्निकटन
x^{(4)}=\frac{1}{2}(5-4.2777)=0.3612 \\ x_3^{(4)}=\frac{1}{5}(-10+7 \times 3.0278-6 \times-4.2777) \\ \Rightarrow x_3^{(4)} \approx 7.3722 \\ x_4^{(4)}=\frac{1}{3}(7-4 \times 3.0278) \approx-1.7037
(5.)पंचम सन्निकटन
x_1^{(5)}=\frac{1}{2}(5-1.7037) \approx 1.6482 \\ x_3^{(5)}=\frac{1}{5}(-10+7 \times 0.3612-6 \times-1.7037) \approx 0.5501 \\ x_4^{(5)}=\frac{1}{3}(7-4 \times 0.3612) \approx 1.8517
(6.)षष्ठम सन्निकटन
x_1^{(6)}=\frac{1}{2}(5+1.8517) \approx 3.4259 \\ x_3^{(6)}=\frac{1}{5}(-10+7 \times 1.6482-6 \times 1.8517) \\ \Rightarrow x_3^{(6)} \approx-1.9146 \\ x_4^{(6)}=\frac{1}{3}(7-4 \times 1.6482) \approx 0.1357
(7.)सप्तम सन्निकटन
x_1^{(7)}=\frac{1}{2}(5+0.1357) \approx 2.5679 \\ x_3^{(7)}=\frac{1}{5}(-10+7 \times 3.4259-6 \times 0.1357) \approx 2.6334 \\ x_4^{(7)}=\frac{1}{3}(7-4 \times 3.4259) \approx-2.2345
(8.)अष्ठम सन्निकटन
x_1^{(8)}=\frac{1}{2}(5-2.2345) \approx 1.3828 \\ x_3^{(8)}=\frac{1}{5}(-10+7 \times 2.5679-6 \times-2.2345) \\ \Rightarrow x_3^{(8)} \approx 4.2765 \\ \Rightarrow x_4^{(8)}=\frac{1}{3} (7-4 \times 2.5679) \approx-1.0905
(9.)नवम सन्निकटन
x_1^{(9)}=\frac{1}{2}(5-1.0905) \approx 1.9548 \\ x_3^{(9)}=\frac{1}{5}(-10+7 \times 1.3828-6 \times 1.0905) \approx 1.2445 \\ x_4^{(9)}=\frac{1}{3}(7-4 \times 1.3828) \approx 0.4896
(10.)दशम सन्निकटन
x_1^{(10)}=\frac{1}{2}(5+0.4896) \approx 2.7448 \\ x_3^{(10)}=\frac{1}{5}(-10+7 \times 1.9548-6 \times 0.4896) \approx 0.1492 \\ x_4^{(10)}=\frac{1}{3}(7-4 \times 1.9548) \approx-0.2731
इस प्रकार आगे सन्निकटन करने पर उत्तरोत्तर सुधार होता जाएगा।
Example:8. गाॅस-सीडल पुनरावृत्ति विधि द्वारा चतुर्थ सन्निकटन तक हल ज्ञात कीजिए:
(Find the solution of the following system of equations Gauss-Seidel iterative method taking upto forth order approximation)’
2 x_1-x_2+x_3=5 \\ x_1+3 x_2-2 x_3=7 \\ x_1+2 x_2+3 x_3=10
Solution: दिए गए समीकरण निकाय को अधिकतम गुणांक वाले चर के लिए हल करने परः
x_1=\frac{1}{2}\left(5+x_2-x_3\right) \cdots(1)\\ x_2=\frac{1}{3}\left(7-x_1+2 x_3\right) \cdots(2) \\ x_3=\frac{1}{3}\left(10-x_1-2 x_2\right) \cdots(3)
(1.)प्रथम सन्निकटन
समीकरण x_2=0 , x_3=0 में रखने परः
x_1^{(1)}=\frac{5}{2}=2.5
समीकरण (2) में x_1=x_1^{(1)} तथा x_3=0
x_2^{(1)}=\frac{1}{3}(7-2.5)=1.5
तथा तृतीय समीकरण में x_1=x_1^{(1)} तथा x_2=x_2^{(2)} रखने परः
x_3^{(1)}=\frac{1}{3}(10-2.5-2 \times 1.5)=1.5
अतः x_1^{(1)}=2.5, x_2^{(1)}=1.5 तथा x_3^{(1)}=1.5 \cdots(4)
(2.)द्वितीय सन्निकटन
x_1^{(2)}=\frac{1}{2}\left(5+x_2^{(1)}-x_3^{(1)}\right)=\frac{1}{2}(5+1.5-1.5) \\ \Rightarrow x_1^{(2)}=2.5 \\ x_2^{(2)}=\frac{1}{3}\left(7-x_1^{(2)}+2 x_3^{(1)}\right) \\ \Rightarrow x_2^{(2)}=\frac{1}{3}(7-2.5+2 \times 1.5)=2.5
तथा x_3^{(2)}=\frac{1}{3}\left(10-x_1^{(2)}-2 x_2^{(2)}\right) \\ \Rightarrow x_3^{(2)}=\frac{1}{3}(10-2.5-2 \times 2.5) \approx 0.8333
(3.)तृतीय सन्निकटन
x_1^{(3)}=\frac{1}{2}\left(5+x_2^{(2)}-x_3^{(2)}\right) \\ \Rightarrow x_1^{(3)}=\frac{1}{2}(5+2.5-0.8333) \approx 3.3334 \\ x_2^{(3)}=\frac{1}{3}\left(7-x_1^{(3)}+2 x_3^{(2)}\right) \\ \Rightarrow x_2^{(3)} =\frac{1}{3}(7-3.3334+2 \times 0.8333) \approx 1.7777 \\ x_3^{(3)}=\frac{1}{3}\left(10-x_1^{(3)}-2 x_2^{(3)} \right) \\ \Rightarrow x_3^{(3)}=\frac{1}{3}(10-3.3334-2 \times 1.7777) \approx 1.0371
(4.)चतुर्थ सन्निकटन
x_1^{(4)}=\frac{1}{2}\left(5+x_2^{(3)}-x_3^{(3)}\right) \\ \Rightarrow x_1^{(4)}=\frac{1}{2} \left(5+1.7777+1.0371\right) \approx 2.8703 \\ x_2^{(4)}=\frac{1}{3}\left(7-x_1^{(4)}+2 x_3^{(3)}\right) \\ \Rightarrow x_2^{(4)}=\frac{1}{3}\left(7-2.8703+2 \times 1.0371\right) \approx 2.06797 \\ x_3^{(4)} =\frac{1}{3}\left(10-x_1^{(4)}-2 x_2^{(4)}\right)\\ x_3^{(4)}=\frac{1}{3}(10-2.8703-2 \times 2.06797) \approx 0.99792 \\ x_1^{(4)}=2.8303, x_2^{(4)}=2.06797, x_3^{(4)}=0.9979
Example:9. गाॅस-सीडल पुनरावृत्ति विधि द्वारा सन्निकटन हल ज्ञात कीजिए:(दो पुनरावृत्ति कीजिए )
(Solve of the following system of linear by using Gauss-Seidel iterative method)’
83 x_1+11 x_2-4 x_3=95, \\ 7 x_1+52 x_2+13 x_3=104 \\ 3 x_1+8 x_2+29 x_3=71
Solution: दिए गए समीकरण निकाय को अधिकतम गुणांक वाले चर के लिए हल करने परः
x_1=\frac{1}{83}\left(95-11 x_2+9 x_3\right) \cdots (1) \\ x_2=\frac{1}{52}\left(104-7 x_1-13 x_3\right) \cdots(2) \\ x_3=\frac{1}{29}\left(71-3 x_1-8 x_2\right) \cdots(3)
(1.)प्रथम सन्निकटन
समीकरण x_1=0 , x_1=0 में रखने परः
x_1^{(1)}=\frac{95}{83}=1.14458
समीकरण (2) में x_1=x_1^{(1)} तथा x_2=0
x_2^{(1)}=\frac{1}{52}(104-1.14558 \times 7-13 \times 0) \\ \Rightarrow x_2^{(1)} \approx 1.84592
तथा तृतीय समीकरण में x_1=x_1^{(1)} तथा x_2=x_2^{(1)} रखने परः
x_3^{(1)}=\frac{1}{29}(71-3 \times 1.14458-8 \times 1.84592) \\ \Rightarrow x_3^{(1)}= 1.82065
अतः x_1^{(1)}=1.14458, x_2^{(1)}=1.84592, x_3^{(1)}=1.82065
(2.)द्वितीय सन्निकटन
x_1^{(2)}=\frac{1}{83}\left(95-11 x_2^{(1)}+4 x_3^{(1)}\right) \\ =\frac{1}{83}(95-11 \times 1.84592 +4 \times 1.82065) \\ \Rightarrow x_1^{(2)} \approx 0.98768 \\ x_2^{(2)}=\frac{1}{52}\left(104-7 x_1^{(2)}-13 x_3^{(1)}\right) \\ =\frac{1}{52}(104-7 \times 0.98768-13 \times 1.82065) \\ \Rightarrow x_{2}^{(2)} \approx 1.41188 \\ x_3^{(2)}=\frac{1}{29}\left(71-3 x_1^{(2)}-8 x_2^{(2)}\right) \\ =\frac{1}{29}(71-3 \times 0.98768-8 \times 1.41188) \\ \Rightarrow x_3^{(2)} \approx 1.95662
अतः x_1^{(2)} \approx 0.98768, x_2^{(2)} \approx 1.41188, x_3^{(2)} \approx 1.95662
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गाॅस-सीडल विधि से समीकरणों को हल करें (Solve Equations by Gauss-Seidel Method),क्राउट विधि द्वारा समीकरण निकाय का हल (Solve System of Equations by Crout Method) को समझ सकते हैं।

3.गाॅस-सीडल विधि से समीकरणों को हल करें के सवाल (Solve Equations by Gauss-Seidel Method Questions):

Solve Equations by Gauss-Seidel Method

गाॅस-सीडल विधि से समीकरणों को हल करें
(Apply Gauss-Seidel iterative method of solve equations):
(1.) 10 x_1+x_2+x_3=12 \\ 2 x_1+10 x_2+x_3=13 \\ 2 x_1+2 x_2+10 x_3=14
(2.) 27 x+6 y-z=85 \\ 6 x+15 y+2 z=72 \\ x+y+54 z=110
उत्तर (Answers): (1.) x_1^{(3)}=1, x_2^{(3)}=1, x_3^{(3)}=1
(2.) x^{(3)}=2.426, y^{(3)}=3.572, z^{(3)}=1.926
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गाॅस-सीडल विधि से समीकरणों को हल करें के सवाल (Solve Equations by Gauss-Seidel Method),क्राउट विधि द्वारा समीकरण निकाय का हल (Solve System of Equations by Crout Method) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.गाॅस-सीडल विधि से समीकरणों को हल करें के सवाल (Frequently Asked Questions Related to Solve Equations by Gauss-Seidel Method),क्राउट विधि द्वारा समीकरण निकाय का हल (Solve System of Equations by Crout Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

गाॅस-सीडल विधि से समीकरणों को हल करें (Solve Equations by Gauss-Seidel Method)
के इस आर्टिकल में समीकरण निकाय के समीकरणों वाले सवालों को क्राउट विधि,जॅकोबी
पुनरावृत्ति और गाॅस-सीडल पुनरावृत्ति विधि से हल करना सीखेंगे।